Test na eksponencijalnim i logaritamskim jednadžbama. Test iz matematike na temu “Logaritamske jednadžbe i nejednadžbe

1 od 22

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

Slajd br. 1

Znanstveni priručnik o algebri Tema: “Logaritamske i eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe” Izvršila: Manuilova L.N. - profesorica matematike MBOU Srednja škola br. 76, Izhevsk Udmurtia

Slajd br. 2

Sadržaj: Poglavlje 1. 1.1. Pojam logaritma 1.2. Svojstva logaritma 1.3. Logaritamske jednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri 1.4. Logaritamske nejednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri Poglavlje 2. 2.1. Potencija pozitivnog broja je 2,2. Eksponencijalna funkcija 2.3. Eksponencijalne jednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri 2.4. Eksponencijalne nejednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri Poglavlje 3. 3.1. Test iz teme “Logaritamske jednadžbe i nejednadžbe” I stupanj složenosti II stupanj složenosti III stupanj složenosti 3.2. Test na temu “Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe” I stupanj složenosti II stupanj složenosti III stupanj složenosti

Slajd br. 3

1.1 Koncept logaritma y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) je broj n takav da je b = an. Logaritam pozitivnog broja b na bazu a (a > 0,a ≠ 1) označava se na sljedeći način: n = loga b Iz definicije logaritma očito je slijedi da za a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

Slajd br. 4

Logaritamska funkcija y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Funkcija y = loga x naziva se logaritamska funkcija. Svojstva funkcije y = loga x, za a > 0: Kontinuirana i rastuća na intervalu (0;+∞); Ako je x→+∞, onda je y→+∞; ako je x→0, onda je y→ -∞. Kako je loga1=0, onda iz svojstva 1 slijedi: ako je x > 1, onda je y > 0; ako je 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, zatim y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Slajd br. 5

Neka su a, M i N pozitivni brojevi, pri čemu je a ≠ 1, a k je realan broj. Tada su točne jednakosti: 1. loga (M N) = loga M + loga N - logaritam umnoška pozitivnih brojeva. jednak zbroju logaritmi ovih brojeva. 2. loga M = loga M – loga N - Logaritam kvocijenta pozitivnih brojeva N jednak je razlici logaritama djelitelja i djelitelja. 3. loga Mk = k · loga M - Logaritam potencije pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma tog broja. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Formula za pretvorbu logaritama iz jedne logb a logb a baze u drugu. Pojedinačni slučajevi: 1. log10 b = log b - Logaritam pozitivnog broja b na bazi 10 naziva se decimalni logaritam brojevi b. 2. loge b = ln b - Logaritam pozitivnog broja b prema bazi e naziva se prirodni logaritam brojevi b 1.2 Svojstva logaritama

Slajd br. 6

1. Neka je a zadan pozitivan broj koji nije jednak 1, b je zadan realan broj. Tada se jednadžba loga x = b naziva najjednostavnijom logaritamskom jednadžbom. Na primjer, jednadžbe a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2 ; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) su najjednostavnije logaritamske jednadžbe. Prema definiciji logaritma, ako broj x0 zadovoljava numeričku jednakost loga x = b, tada je broj x0 ab, a taj broj x0 = ab je jedini. Dakle, za bilo koji realni broj b, jednadžba loga x = b ima jedinstveni korijen x0 = ab. 2. Jednadžbe koje nakon zamjene nepoznanica prelaze u najjednostavnije logaritamske jednadžbe: a) log5 (4x – 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1 ; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Jednadžbe (Teorijski dio)

Slajd br. 7

1.3 Primjeri log3 x = 3 Prepišimo jednadžbu u obliku: log3 x = log3 27 Tada je očito da ova jednadžba ima jedan korijen x0 = 27. Odgovor: 27. b) log1/3 x = -2 Ova jednadžba ima jedan korijen x0 = ( ⅓)-2 =9 Odgovor: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Svodeći sve logaritme na istu bazu, prepisujemo jednadžba kao: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Budući da je svaki član zbroja u zagradama pozitivan, zbroj nije jednak nuli. Prema tome, jednadžba (1), a time i jednadžba (2), ekvivalentne su jednadžbi log25 x = 0, koja ima jedan korijen x0 = 1. Dakle, jednadžba (1) ima jedan korijen x0 = 1. Odgovor: 1 . a, b – najjednostavnije jednadžbe; c je jednadžba koja se nakon transformacija pretvara u najjednostavniji log. jednadžba

Slajd br. 8

1.3 Primjeri a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Uvođenjem novog poznatog t = 4x – 3, prepisujemo jednadžbu u obliku: log5 t = 2. Ova jednadžba ima jedan korijen t1 = 52 =25. Da biste pronašli korijen jednadžbe (1), trebate riješiti jednadžbu: 4x – 3 = 25. (2) Ona ima jedan korijen x1 =7. Stoga jednadžba (1) također ima jedan korijen x1=7. Odgovor: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) Uvođenjem nove nepoznanice t = log (3x + 1) i uzimajući u obzir da je log 0.01 = -2, jednadžbu (1) prepisujemo u obliku: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Rješavanjem racionalne jednadžbe (2) nalazimo da ona ima dva korijena t1 = -2 i t2 = 1. Da bismo pronašli sve korijene jednadžbe (1), potrebno je kombinirati korijene dviju jednadžbi log(3x + 1) = -2 i log(3x + 1) = 1. Prva jednadžba je ekvivalentna jednadžbi 3x + 1 = 10-2, koji ima jedan korijen x1 = -0,33. Druga jednadžba je ekvivalentna jednadžbi 3x + 1 = 10, koja također ima jedan korijen x2 = 3. Odgovor: -0,33 ; 3. a, b – jednadžbe svedene na najjednostavniju zamjenom nepoznanice

Slajd br. 9

1.4 Nejednadžbe (teorijski dio) Neka je a zadan pozitivan broj koji nije jednak 1, b zadan realan broj. Tada vrijede nejednakosti: loga x > b (1) loga x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, tada funkcija y = loga x raste u cijeloj svojoj domeni definicije, tj. na intervalu (0;+∞). Dakle, za bilo koji broj x > x0 vrijedi brojčana nejednakost loga x > loga x0 , a za bilo koji broj x iz intervala 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 i bilo kojeg realnog broja b, skup svih rješenja nejednadžbe (3) je interval (x0 ;+ ∞), a skup svih rješenja nejednadžbe (4) je interval (0; x0). Ako je 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 numerička nejednakost loga x je istinita< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >loga x0. Osim toga, jednakost loga x = loga x0 vrijedi samo za x = x0. Dakle, u 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Slajd br. 10

1.4 Nejednadžbe (Teorijski dio) Na koordinatna ravnina xOy razmotrimo grafove funkcija y = loga x i y = b. Pravac y = b siječe graf funkcije y = loga x u jednoj točki x0 = ab. Ako je a > 1, tada se za svaki x > x0 odgovarajuća točka na grafu funkcije y = loga x nalazi iznad pravca y = b, tj. za svaki x > x0 odgovarajuća ordinata y = ax veća je od ordinate ax0, a za svaki x iz intervala 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 odgovarajuća točka na grafu funkcije y = loga x nalazi se ispod pravca y = b, a za svaki x od intervala 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

Slajd br. 11

1.4 Primjeri Riješimo nejednadžbu log1/3 x > -2. (1) Budući da je -2 = log⅓ 9, tada se nejednadžba (1) može prepisati kao log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Budući da je ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Budući da je ½ = log4 2, tada se nejednadžba (3) može prepisati kao log4 x > log4 2 (4) Budući da je 4 > 1, tada je funkcija y = log4 x rastuća. Stoga je skup svih rješenja nejednadžbe (4), a time i nejednadžbe (3), interval (2;+∞). Odgovor: (2;+∞). (vidi sliku 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Slika 1 y = ½ y = log4 x

Slajd br. 12

1.4 Primjeri Riješimo nejednadžbu log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Budući da je log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), tada se nejednadžba (5) može prepisati kao: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 ili kao log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, tada je funkcija y = log3 x rastuća. Stoga je skup svih rješenja nejednadžbe (6), a time i nejednadžbe (5), interval 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Slajd br. 13

2.1 Potencija pozitivnog broja Potencija c racionalni pokazatelj Neka je a pozitivan broj i neka je p/q racionalni broj(q ≥ 2). Po definiciji, broj a na potenciju p/q je aritmetički korijen potencije q od a na potenciju p, tj. a p/q = q√ap . TEOREMA. Neka je a pozitivan broj, p cijeli broj, k i q cijeli brojevi, q ≥ 2, k ≥ 2. Tada vrijede jednakosti: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = a pq /q; Svojstva stupnja s racionalnim eksponentom TEOREM 1. Pozitivan broj a na stupanj s bilo kojim racionalnim eksponentom r je pozitivan: ar > 0 TEOREM 2. Neka je a pozitivan broj, a r1, r2 i r racionalni brojevi. Tada su istinita sljedeća svojstva: 1. Pri množenju potencija s racionalnim eksponentima istog pozitivnog broja eksponenti se zbrajaju: ar1 ∙ ar2 = ar1 + r2. 2. Pri dijeljenju potencija s racionalnim eksponentima istog pozitivnog broja eksponenti se oduzimaju: ar1: ar2 = ar1 – r2. 3. Pri dizanju potencije s racionalnim eksponentom pozitivnog broja u racionalni stupanj eksponenti se množe: (a r1) r2 = a r1∙ r2. TEOREM 3. Neka su a i b pozitivni brojevi, a r racionalan broj. Tada vrijede sljedeća svojstva stupnja s racionalnim eksponentom: Stupanj s racionalnim eksponentom umnoška pozitivnih brojeva jednak je umnošku istih potencija faktora: (ab)r = ar ∙ br . Potencija s racionalnim eksponentom kvocijenta pozitivnih brojeva jednaka je kvocijentu istih potencija djelitelja i djelitelja: (a / b)r = ar / br. TEOREM 4. Neka je broj a > 1, a r je racionalan broj. Tada je ar > 1 za r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, a racionalni brojevi r1 i r2 zadovoljavaju nejednakost r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Slajd br. 14

2.2 Eksponencijalna funkcija Promotrimo funkciju y = a (1) , gdje je a > 0 i a ≠ 0, na skupu racionalnih brojeva. Za svaki racionalni broj r definiran je broj ar. Ovako je za sada definirana funkcija (1) na skupu racionalnih brojeva. Graf ove funkcije u koordinatnom sustavu x0y skup je točaka (x; ax), gdje je x bilo koji racionalni broj. Za a > 1 ovaj graf je shematski prikazan na slici (1), a za 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют eksponencijalna funkcija s bazom a.

Slajd br. 15

2.3 Eksponencijalne jednadžbe (Teorijski dio) 1. Neka je a zadan pozitivan broj koji nije jednak 1, b je zadan realan broj. Tada se jednadžba ax = b (1) naziva najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. Na primjer, jednadžbe 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 su najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Korijen (ili rješenje) jednadžbe s nepoznatim x je broj x0, kada se on zamijeni u jednadžbu umjesto x, dobiva se ispravna numerička jednakost. Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili pokazati da ih nema. Budući da ax0 > 0 za bilo koji realni broj x0 za koji bi numerička jednakost ax0 = b bila točna, zadovoljava jednina x0 = loga b. Dakle, jednadžba (1): Za b ≤ 0 nema korijena; Za b > 0, ima jedan korijen x0 = loga b. 2. Jednadžbe koje nakon zamjene nepoznatih prelaze u najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe.

Slajd br. 16

2.3 Primjeri Riješimo jednadžbu (1/2)x = 2 (2) Budući da je 2 > 1, ova jednadžba ima jedan korijen x0 = log½ 2 = -1. Odgovor: -1. Riješimo jednadžbu 3x = 5 (3) Budući da je 5 > 0, ova jednadžba ima jedan korijen x0 = log3 5. Odgovor: log3 5. Riješite jednadžbu 25x = -25 Budući da je -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 ova se jednadžba često piše kao ax = aα, gdje je α = loga b. Tada je očito da je jedini korijen ove jednadžbe, a time i jednadžbe (1), broj α. Kako se jednadžba (2) može napisati u obliku (1/2)x = (1/2)-1, tada je njen jedini korijen x0 = -1. Budući da se jednadžba (3) može napisati kao 3x = 3log 35, njen jedini korijen je x0 = log3 5.

Slajd br. 17

2.3 Primjeri Sada pogledajmo jednadžbe koje se nakon jednostavnih transformacija pretvaraju u jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Riješimo jednadžbu 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Budući da je 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, tada se jednadžba (4) može prepisati kao 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 ili u obliku 5x = 52 (5) Očito je da jednadžba (5), a time i jednadžba (4), ima jedan korijen x0 = 2. Odgovor: 2. Riješite jednadžbu 4 3x - 9 2x = 0 (6) Budući da je 2x ≠ 0 za bilo koji realni broj, onda dijeljenjem jednadžbe (6) s 2x, dobivamo jednadžbu 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) ekvivalentnu jednadžbi (6). Jednadžba (7) se može prepisati kao (3/2)x = (3/2)2. (8) Kako jednadžba (8) ima jedan korijen x0 = 2, onda ekvivalentna jednadžba (6) ima jedan korijen x0 = 2. Odgovor: 2.

Slajd br. 18

2.3 Primjeri Riješimo jednadžbu 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) Nakon što smo jednadžbu (9) prepisali u obliku 34x2 – 8x + 3 = 1, uvodimo novu nepoznanicu t = 4x2 – 8x + 3. Tada se jednadžba (9) može prepisati u obliku 3t = 1. (10 ) Budući da jednadžba (10 ) ima jedan korijen t1 = 0, tada je za pronalaženje korijena jednadžbe (9) potrebno riješiti jednadžbu 4x2 – 8x + 3 = 0. Ova jednadžba ima dva korijena x1 = 1 /2, x2 = 3/2, pa jednadžba (9) ima iste korijene. Odgovor: 1/2 ; 3/2. Sada razmotrite rješavanje jednadžbi koje se, nakon uvođenja nove nepoznate t, pretvaraju u kvadratne ili racionalne jednadžbe s nepoznatom t. Riješimo jednadžbu 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Budući da je 4x = (2x)2, tada se jednadžba (11) može prepisati kao (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Uvođenjem nove nepoznanice t = 2x, dobivamo kvadratnu jednadžbu t2 - 3t + 2 = 0, koja ima dva korijena t1 = 1, t2 = 2. Stoga, da bismo pronašli sve korijene jednadžbe (11), trebamo kombinirati sve korijene iz dvije jednadžbe 2x = 1 i 2x = 2. Nakon što smo riješili ove najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe, nalazimo da su svi korijeni jednadžbe (11) x1 = 0; x2 = 1. Odgovor: 0; 1 .

Slajd br. 19

2.4 Eksponencijalne nejednadžbe (teorijski dio) Neka je a zadan pozitivan broj koji nije jednak 1, b zadan realan broj. Tada vrijede nejednakosti ax > b (1) i ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 za bilo koji realni broj x0, tada za b ≤ 0 nejednakost a x0 > b vrijedi za bilo koji realni broj x0, ali ne postoji niti jedan realni broj x0 za koji bi bila istinita numerička nejednakost a x0< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, tada se nejednadžba (1) i (2) može prepisati kao ax > ax0 (1) i ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Budući da je za takav a funkcija y = ax rastuća, tada za bilo koji broj x > > ax0 i za bilo koji broj x > x0 vrijedi numerička nejednakost ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Slajd br. 20

2.4 Eksponencijalne nejednadžbe (Teorijski dio) Dakle, za b > 0 i a > 1, skup svih rješenja nejednadžbe (3) je interval (x0 ;+∞), a skup svih rješenja nejednadžbe (4) je interval (-∞; x0) , gdje je x0 = loga b. Neka sada 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 numerička nejednakost ax je istinita< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 i 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b i nema x za koje vrijedi nejednakost ax< b . При b >0 pravac y = b siječe graf funkcije y = ah u jednoj točki x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Slajd br. 22

2.4 Primjeri Riješite nejednadžbu 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, tada se nejednadžba (1) može prepisati kao 2x< 23. (2) Так как 2 >1, tada je funkcija y = 2x rastuća. Stoga su sva rješenja nejednadžbe (2), a time i nejednadžbe (1), x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, tada se ova nejednakost (3) može prepisati kao (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Odgovor: (log⅓ 5; +∞). Razmotrimo nejednadžbu koja se nakon zamjene nepoznate pretvara u najjednostavniju eksponencijalna nejednakost. Riješimo nejednadžbu 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, tada su sva rješenja ove nejednadžbe t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив kvadratna nejednakost(6), nalazimo sva njegova rješenja: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja. Koncentracija pažnje: Koncentracija pažnje jednaka je N. N = (broj točnih odgovora) x 0,125 x 100%. Zapisati poseban slučaj formule za prijelaz na logaritam druge baze Napiši formulu za prijelaz na logaritam druge baze Čemu je jednak logaritam potencije broja i baze? Koliki je logaritam baze? Što je logaritam potencije broja? Koliki je logaritam kvocijenta? Koliki je logaritam umnoška? Formulirajte definiciju logaritma. Odgovorite na pitanje

Razmotrimo međusobni dogovor graf funkcije y = log a x (a > 0, a ≠ 1) i pravca y = b. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja ZAKLJUČAK: Graf funkcije y = log a x (a > 0, a ≠ 1) i pravac y = b sijeku se u jednoj točki, tj. jednadžba log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 ima jedinstveno rješenje x 0 = a b.

DEFINICIJA: Jednadžba log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 naziva se najjednostavnijom logaritamskom jednadžbom. Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja Primjer:

Vrste i metode rješavanja logaritamskih jednadžbi. DEFINICIJA: Logaritamske jednadžbe su one koje sadrže nepoznanicu ispod znaka logaritma ili u osnovi logaritma (ili oboje). Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja

Vrste i metode rješavanja logaritamskih jednadžbi. DODATAK: Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi potrebno je voditi računa o: rasponu dopuštenih vrijednosti logaritma: pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivne vrijednosti; u osnovi logaritama postoje samo pozitivne veličine različite od jedinice; svojstva logaritama; djelovanje potenciranje. Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 1) Najjednostavnije logaritamske jednadžbe. Primjer br. 1 Odgovor: Rješenje:

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 2) Logaritamske jednadžbe, svedene na najjednostavnije logaritamske jednadžbe. Primjer br. 1 Odgovor: Rješenje:

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 3) Logaritamske jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe. Primjer br. 2 Odgovor: Rješenje: U pronađenom rasponu dopuštenih vrijednosti varijable x transformiramo jednadžbu koristeći svojstva logaritama. Uzimajući u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti, dobivamo: 10; 100

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 4) Logaritamske jednadžbe, svođenje na racionalne jednadžbe. Primjer br. 1 Odgovor: Rješenje: Vratimo se na varijablu x

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 5) Logaritamske jednadžbe s varijablom u bazi i pod znakom logaritma. Primjer br. 1 Odgovor: Rješenje: U pronađenom rasponu dopuštenih vrijednosti varijable x transformiramo jednadžbu i dobijemo: Uzimajući u obzir raspon dopuštenih vrijednosti varijable x, dobivamo:

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i načini rješavanja Vrste i načini rješavanja logaritamskih jednadžbi. 5) Logaritamske jednadžbe s varijablom u bazi i pod znakom logaritma. Primjer br. 2 Odgovor: Rješenje: U pronađenom rasponu dopuštenih vrijednosti varijable x, jednadžba je ekvivalentna skupu: Uzimajući u obzir raspon dopuštenih vrijednosti varijable x, dobivamo: 5; 6.

Logaritamske jednadžbe, njihove vrste i metode rješavanja

Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi koristiti svojstva logaritama, kao i svojstva logaritamske funkcije

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Područje definiranja: x > 0;

2) Raspon: y R ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) Za a>1 funkcija y=log a x raste, za 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, tj.

a >1 i log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

Pri prijelazu s logaritamskih jednadžbi (nejednadžbi) na jednadžbe (nejednadžbe) koje ne sadrže predznak logaritma, treba voditi računa o rasponu dopuštenih vrijednosti (APV) izvorne jednadžbe (nejednadžbe).

Zadaci i testovi na temu "Logaritamske jednadžbe"

Logaritamske jednadžbe
Lekcije: 4 Zadaci: 25 Testovi: 1
Sustavi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Demonstrativna i logaritamska funkcija 11. razred
Lekcija: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1
§5.1. Rješavanje logaritamskih jednadžbi
Lekcija: 1 Zadaci: 38
§7 Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe - Odjeljak 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije, 10. razred
Lekcija: 1 Zadaci: 17
Ekvivalencija jednadžbi - Jednadžbe i nejednadžbe 11. razred
Lekcije: 2 Zadaci: 9 Testovi: 1

Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi u mnogim slučajevima potrebno je koristiti svojstva logaritma umnoška, kvocijenta ili stupnja. U slučajevima kada u jednoj logaritamskoj jednadžbi postoje logaritmi s različitim bazama, koristi se navedena svojstva moguće tek nakon prijelaza na logaritme s jednakim bazama.

Osim toga, rješavanje logaritamske jednadžbe treba započeti pronalaženjem raspona dopuštenih vrijednosti (O.D.Z.) dana jednadžba, jer Tijekom postupka rješenja mogu se pojaviti strani korijeni. Prilikom ispunjavanja rješenja ne zaboravite provjeriti pronađene korijene na pripadnost O.D.Z.

Možete riješiti logaritamske jednadžbe bez korištenja O.D.Z. U ovom slučaju provjera je obvezni element rješenja.

Primjeri.

Riješite jednadžbe:

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Riješenje:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.

glavni cilj pri radu s ponuđenim ulaznicama:

poučiti učenike uočiti zajedništvo u rješavanju odgovarajućih jednadžbi i nejednadžbi i razlike pri zapisivanju odgovora;
ušteda vremena;
sposobnost snalaženja u sadržaju ovog materijala.

Ako prvi cilj ne izaziva pitanja, onda se ušteda vremena ne osjeti odmah. Iako je upravo manjak vremena utjecao na strukturu ulaznica. Sastavljaju se prema istom principu. Jednadžbe i nejednadžbe su raspoređene tako da je lakše uspostaviti podudarnost između njih.

I unatoč preporuci nastavnika: riješiti jednadžbu i odmah nakon nje rješenje odgovarajuće nejednadžbe, polovica učenika radije je prvo riješila sve jednadžbe iz prvog stupca, a zatim krenula s rješavanjem nejednadžbi. Prilikom zapisivanja odgovora obratite pozornost da zbog nepostojanja korijena u jednadžbi ne slijedi da nejednadžba neće imati rješenja.

Prilikom polaganja drugog testa nije bilo takvih problema, budući da su mnogi razvili sposobnost "vidjenja" i razvili određene vještine.

U svakoj listići materijal je odabran tako da se uz jednadžbe (nejednadžbe) riješene definicijom i svojstvima nalaze jednadžbe (nejednadžbe) riješene faktorizacijom; mijenjanje varijabli. I, naravno, odluka se ponavlja kvadratne jednadžbe i nejednakosti drugog stupnja.

Na listićima je samo 26 zadataka. Stoga su studentima ponuđeni sljedeći standardi: “5” – 26 ass. , “4” – 19–25 ass. , "3" - 14-18 ass. , "2" - manje od 14 ass.

Učenik koji se prijavljuje za ocjenu “5” mora imati vremena riješiti sve jednadžbe i nejednadžbe tijekom sata. Prvih četrnaest zadataka je potreban minimum. Naravno, test se može ponoviti. Ali preporučljivo je to učiniti unutar predviđenog vremena.

Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit, kada su vještine rješavanja jednadžbi (nejednakosti) već razvijene, zadaci se mogu zamijeniti. Na primjer, ove:

naznačiti zbroj (umnožak) korijena jednadžbe;
označiti najmanji (najveći) korijen jednadžbe;
pronaći najmanje (najveće) cjelobrojno rješenje nejednadžbe;
pronaći zbroj (umnožak) cjelobrojnih rješenja nejednadžbe.

Naravno, svaki učitelj može sam dopuniti ovaj popis. Ovisno o razredu, postaje potrebno nekim zadacima posvetiti više pozornosti, a nekima manje.

Ulaznice se mogu koristiti i za kolokvije i za samostalan rad. Svaka ulaznica se sastoji od dva bloka: osnovna razina(1. razina) i povišena (2. razina). Blok se sastoji od dva dijela: jednadžbe i nejednadžbe, koji su podijeljeni u dva stupca kako bi učenik lakše uspostavio korespondenciju među njima.

Ispod je šest opcija ulaznica za svaku temu. Odgovori su im dati.

Prilog 1. Logaritamske jednadžbe i nejednadžbe.

Dodatak 2. Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe.

Dodatak 3. Odgovori na karte iz algebre i počeci analize.