stupanj c racionalni pokazatelj
Khasyanova T.G.,
profesorica matematike
Predstavljeni materijal bit će koristan nastavnicima matematike prilikom proučavanja teme "Eksponent s racionalnim eksponentom".
Svrha predstavljenog materijala: otkriti svoje iskustvo vođenja lekcije na temu "Eksponent s racionalnim eksponentom" program rada disciplina "Matematika".
Metodologija izvođenja lekcije odgovara njenoj vrsti - lekcija proučavanja i početne konsolidacije novih znanja. Osnovna znanja i vještine ažurirana su na temelju prethodno stečenog iskustva; primarno pamćenje, konsolidaciju i primjenu novih informacija. Učvršćivanje i primjena novog gradiva odvijala se u obliku rješavanja zadataka koje sam testirala različite složenosti, dajući pozitivan rezultat u svladavanju teme.
Na početku sata postavljam učenicima sljedeće ciljeve: obrazovne, razvojne, obrazovne. Tijekom lekcije koju sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, u paru, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili su da se u svakoj fazi sata utvrdi stupanj usvojenosti znanja. Obim i složenost zadataka odgovara dobne karakteristike učenicima. Iz mog iskustva, domaća zadaća, slična problemima koji se rješavaju u učionici, omogućuje vam pouzdano učvršćivanje stečenog znanja i vještina. Na kraju sata provedena je refleksija i ocjenjivanje rada pojedinih učenika.
Ciljevi su ostvareni. Učenici su proučavali pojam i svojstva stupnja s racionalnim eksponentom te su ta svojstva naučili koristiti pri rješavanju praktičnih zadataka. Iza samostalan rad Ocjene će biti objavljene na sljedećem satu.
Vjerujem da metodiku koju ja koristim u nastavi matematike mogu koristiti i učitelji matematike.
Tema lekcije: Potencija s racionalnim eksponentom
Svrha lekcije:
Utvrđivanje razine ovladanosti učenika kompleksom znanja i vještina i na temelju toga primjena određenih rješenja za unapređenje obrazovnog procesa.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni: formirati nova znanja kod učenika o osnovnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stupnjeva s racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primjene znanja u standardnim uvjetima, u modificiranim i nestandardnim uvjetima;
razvoj: logično razmišljati i provoditi Kreativne vještine;
podizanje: razvijati interes za matematiku, nadopunjavati vokabular novim pojmovima, dobivati Dodatne informacije o svijetu oko nas. Razvijte strpljenje, ustrajnost i sposobnost prevladavanja poteškoća.
Organiziranje vremena
Aktualizacija referentnog znanja
Pri množenju potencija s istim bazama eksponenti se zbrajaju, ali baza ostaje ista:
Na primjer, 
2. Pri dijeljenju stupnjeva s istim bazama oduzimaju se eksponenti stupnjeva, ali baza ostaje ista:
Na primjer, 
3. Pri dizanju stupnja na potenciju eksponenti se množe, ali baza ostaje ista:
Na primjer,
4. Stupanj umnoška jednak je umnošku stupnjeva faktora:
Na primjer, 
5. Stupanj količnika jednak je kvocijentu stupnjeva djelitelja i djelitelja:
Na primjer, 
Vježbe s rješenjima
Pronađite značenje izraza: 
Riješenje:
U ovom slučaju nijedno svojstvo stupnja s prirodnim eksponentom ne može se eksplicitno primijeniti, jer svi stupnjevi imaju različite baze. Napišimo neke moći u drugom obliku:
(stupanj umnoška jednak je umnošku stupnjeva faktora);
(kod množenja potencija s istim bazama eksponenti se zbrajaju, ali baza ostaje ista; kod dizanja stupnja na potenciju eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).
Tada dobivamo:
U ovom primjeru korištena su prva četiri svojstva stupnja s prirodnim eksponentom.
Aritmetički kvadratni korijen
- Ovo Ne negativan broj, čiji je kvadrat jednaka,
. Na 
- izraz nije definirano, jer ne postoji realan broj čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.
Matematički diktat(8-10 min.)
Opcija
II. Opcija
1. Pronađite vrijednost izraza
A) 
b) 
1. Pronađite vrijednost izraza
A) 
b) 
2.Izračunaj
A) 
b) 
U) 
2.Izračunaj
A) 
b) 
V) 
Samotestiranje(na reveru):
Matrica odgovora:
№ opcija/zadatak
Problem 1
Problem 2
opcija 1
a) 2
b) 2
a) 0,5
b) 
V) 
opcija 2
a) 1.5
b)
A) 
b) 
u 4
II Formiranje novih znanja
Razmotrimo kakvo značenje izraz ima, gdje 
- pozitivan broj – razlomački broj i m-cijeli broj, n-prirodni (n›1)
Definicija: potencija a›0 s racionalnim eksponentomr = , m- cijeli, n-prirodno ( n›1) poziva se broj.
Tako: 
Na primjer: 
Bilješke:
1. Za svaki pozitivan a i svaki racionalni r broj 
pozitivno.
2. Kada racionalni stupanj brojevimaanije utvrđeno.
Izrazi poput 
nema smisla.
3.Ako 
razlomački pozitivan broj je 
.
Ako frakcijski negativan broj, dakle 
-nema smisla.
Na primjer: 
- nema smisla.
Razmotrimo svojstva stupnja s racionalnim eksponentom.
Neka je a >0, b>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada stupanj s bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.
Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.
MBOU "Sidorskaya"
Izrada okvirnog plana otvorena lekcija
iz algebre u 11. razredu na temu:
Pripremljeno i izvedeno
učitelj matematike
Iskhakova E.F.
Nacrt otvorenog sata iz algebre u 11. razredu.
Predmet : “Stupanj s racionalnim eksponentom.”
Vrsta lekcije : Učenje novog gradiva
Ciljevi lekcije:
Upoznati učenike s pojmom stepena s racionalnim eksponentom i njegovim osnovnim svojstvima, na temelju prethodno proučenog gradiva (stupanj s cjelobrojnim eksponentom).
Razviti računalne vještine i sposobnost pretvorbe i usporedbe brojeva s racionalnim eksponentima.
Razvijati matematičku pismenost i interes za matematiku kod učenika.
Oprema : Kartice sa zadacima, izlaganje učenika po stupnju s cjelobrojnim pokazateljem, izlaganje nastavnika po stupnju s racionalnim pokazateljem, prijenosno računalo, multimedijski projektor, platno.
Tijekom nastave:
Organiziranje vremena.
Provjera usvojenosti obrađene teme na pojedinačnim karticama sa zadacima.
Zadatak br. 1.
=2;
B) =x + 5;
Riješite sustav iracionalne jednadžbe: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
Zadatak br. 2.
Riješite iracionalnu jednadžbu: 
= - 3;
B) = x - 2;
Riješite sustav iracionalnih jednadžbi: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
Tema naše današnje lekcije je " Potencija s racionalnim eksponentom».
Objašnjenje novog gradiva na primjeru prethodno proučenog gradiva.
Već ste upoznati s konceptom stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Tko će mi pomoći da ih zapamtim?
Ponavljanje pomoću prezentacije " Stupanj s cjelobrojnim eksponentom».
Za bilo koje brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:
a m * a n =a m+n ;
a m: a n = a m-n (a ≠ 0);
(a m) n = a mn;
(a b) n = a n * b n;
(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;
a 1 =a; a 0 = 1 (a ≠ 0)
Danas ćemo generalizirati pojam potencije broja i dati značenje izrazima koji imaju razlomački eksponent. Predstavimo se definicija stupnjevi s racionalnim eksponentom (Prezentacija “Stupanj s racionalnim eksponentom”):
Snaga a > 0 s racionalnim eksponentom r = , Gdje m je cijeli broj, i n – prirodno ( n > 1), nazvao broj m .
Dakle, po definiciji to dobivamo = m .
Pokušajmo primijeniti ovu definiciju prilikom izvršavanja zadatka.
PRIMJER br. 1
Predstavljam izraz kao korijen broja:
A) B) U) .
Sada pokušajmo primijeniti ovu definiciju obrnuto
II Izrazi izraz kao potencija s racionalnim eksponentom:
A) 2 B) U) 5 .
Potencija 0 definirana je samo za pozitivne eksponente.
0 r= 0 za bilo koju r> 0.
Korištenje ovu definiciju, Kuće ispunit ćete #428 i #429.
Pokažimo sada da su gore formuliranom definicijom stupnja s racionalnim eksponentom sačuvana osnovna svojstva stupnjeva, koja vrijede za sve eksponente.
Za bilo koje racionalne brojeve r i s i bilo koje pozitivne a i b vrijede sljedeće jednakosti:
1 0 . a r a s =a r+s ;
PRIMJER: *
20 . a r: a s =a r-s ;
PRIMJER: :
3 0 . (a r) s = a rs;
PRIMJER: ( -2/3
4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .
PRIMJER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
PRIMJER korištenja nekoliko svojstava odjednom: * : .
Minute tjelesnog odgoja.
Stavili smo olovke na stol, ispravili poleđine, a sada posegnemo naprijed, želimo dotaknuti ploču. Sada smo ga podigli i nagnuli desno, lijevo, naprijed, nazad. Pokazao si mi svoje ruke, sada mi pokaži kako tvoji prsti mogu plesati.
Rad na materijalu
Uočimo još dva svojstva potencija s racionalnim eksponentima:
6 0 . Neka r – racionalni broj i 0< a < b . Тогда
a r < b r na r> 0,
a r < b r na r< 0.
7 0 . Za sve racionalne brojever I s od nejednakosti r> s slijedi to
a r>a r za a > 1,
a r < а r na 0< а < 1.
PRIMJER: Usporedite brojeve:
I ; 2 300 i 3 200 .
Sažetak lekcije:
Danas smo se na satu prisjetili svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom, naučili definiciju i osnovna svojstva stupnja s racionalnim eksponentom te ispitali primjenu ovog teorijskog gradiva u praksi pri izvođenju vježbi. Želio bih vam skrenuti pozornost na činjenicu da je tema "Eksponent s racionalnim eksponentom" obavezna u Zadaci Jedinstvenog državnog ispita. U pripremi domaća zadaća ( br. 428 i br. 429
Nakon što se utvrdi snaga broja, logično je govoriti o svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva potencije broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima
Prema definiciji potencije s prirodnim eksponentom, potencija a n je umnožak n faktora od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, a također i pomoću svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:
- glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
- svojstvo kvocijentnih potencija s identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
- svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
- svojstvo kvocijenta u prirodni stupanj(a:b) n =a n:b n ;
- dizanje stupnja na potenciju (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- usporedba stupnja s nulom:
- ako je a>0, tada je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
- ako je a=0, tada je a n =0;
- ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ako su a i b pozitivni brojevi i a
- ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0
- ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0
Odmah napomenimo da su sve napisane jednakosti identičan prema navedenim uvjetima, desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .
Sada pogledajmo svaki od njih u detalje.
Pođimo od svojstva umnoška dviju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo stupnja: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.
Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji potencije s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m ·a n može se napisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz može se napisati kao 
, a taj umnožak je potencija broja a s prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovo dovršava dokaz.
Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stupnjeva možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu valjanost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenjem potenciranja imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.
Osnovno svojstvo stupnja, temeljeno na svojstvima množenja, može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodni brojevi n 1 , n 2 , …, n k jednakost je istinita a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija s prirodnim eksponentom – svojstvo kvocijentskih potencija s istim bazama: za bilo koji realni broj a različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n, vrijedi jednakost a m:a n =a m−n.
Prije iznošenja dokaza ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je potreban da bi se izbjeglo dijeljenje s nulom jer je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem složili smo se da ne možemo dijeliti s nulom. Uvjet m>n je uveden kako ne bismo išli dalje od prirodnih eksponenata. Zaista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n) ili negativan broj (što se događa za m Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time je dokazano svojstvo kvocijentskih potencija s identičnim bazama. Navedimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stupnja. Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodna potencija n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednaka je umnošku potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n . Doista, po definiciji stupnja s prirodnim eksponentom imamo Evo primjera: Ovo se svojstvo proteže na snagu umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Radi jasnoće, pokazat ćemo ovo svojstvo primjerom. Za umnožak tri faktora na potenciju broja 7 imamo . Sljedeće svojstvo je svojstvo kvocijenta u naravi: kvocijent realnih brojeva a i b, b≠0 na prirodnu potenciju n jednak je kvocijentu potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n. Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n kvocijent a n podijeljen s b n . Napišimo ovo svojstvo koristeći određene brojeve kao primjer: Sada to izgovorimo svojstvo podizanja potencije na potenciju: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n potencija a m na potenciju n jednaka je potenci broja a s eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n. Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Dokaz svojstva potencije na stupanj je sljedeći lanac jednakosti: Svojstvo koje se razmatra može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s vrijedi jednakost Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom. Počnimo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i potencije s prirodnim eksponentom. Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0. Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što proizlazi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A potencija broja a s prirodnim eksponentom n, po definiciji, umnožak je n faktora od kojih je svaki jednak a. Ovi nam argumenti omogućuju da ustvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i Sasvim je očito da je za svaki prirodni broj n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0. Prijeđimo na negativne baze stupnja. Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2·m, gdje je m prirodan broj. Zatim Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada Prijeđimo na svojstvo usporedbe potencija s istim prirodnim eksponentima koje ima sljedeću formulaciju: od dviju potencija s istim prirodnim eksponentima n je manji od onog čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to. Nejednakost a n svojstva nejednakosti istinita je i dokaziva nejednakost oblika a n (2.2) 7 i Ostaje još dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Idemo to formulirati. Od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim bazama većim od jedan veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva. Dokažimo to za m>n i 0 Ostalo je dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da za m>n i a>1 a m >a n vrijedi. Razlika a m −a n nakon iznošenja n iz zagrade poprima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 je pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1 stupanj a m−n je veće od jedan. Prema tome, a m −a n >0 i a m >a n , što je i trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2.
. Na temelju svojstava množenja, posljednji proizvod može se prepisati kao 
, koji je jednak a n · b n .
.
.
.
. Radi veće jasnoće, ovdje je primjer s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Jer svaki od umnožaka oblika a·a je jednak umnošku modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan 
a stupanj a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
. Svi umnošci a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a njegovim množenjem s preostalim negativnim brojem a dobiva se negativan broj. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima
Budući da su prirodni brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s cijelim pozitivnim eksponentom u potpunosti podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.
Stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, definirali smo na način da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom, izražena jednakostima, ostanu važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.
Dakle, za sve realne brojeve a i b različite od nule, kao i za sve cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;
- ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je 0
Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo napisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a=0 i kada su brojevi m i n prirodni brojevi.
Dokazivanje svakog od ovih svojstava nije teško, za to je dovoljno koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stepena na stepen vrijedi i za pozitivne cijele brojeve i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada vrijede jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Učinimo to.
Za pozitivne p i q jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.
Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji potencije s negativnim cijelim eksponentom, dakle 
. Po svojstvu kvocijenata na potencije imamo 
. Kako je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada je . Posljednji izraz, po definiciji, je potencija oblika a −(p·q), koja se, zbog pravila množenja, može napisati kao (−p)·q.
Također 
.
I 
.
Koristeći isti princip, možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, napisanim u obliku jednakosti.
U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n koja vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i sve pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n · b n također je pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle a −n >b −n , što je i trebalo dokazati.
Posljednje svojstvo potencija s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.
Svojstva potencija s racionalnim eksponentima
Definirali smo stupanj s razlomačkim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, potencije s razlomačkim eksponentima imaju ista svojstva kao i potencije s cjelobrojnim eksponentima. Naime:
Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, te na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Pružimo dokaze.
Prema definiciji potencije s razlomačkim eksponentom i , tada 
. Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , iz čega, po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom, imamo 
, a pokazatelj stečenog stupnja može se transformirati na sljedeći način: . Ovo dovršava dokaz.
Drugo svojstvo potencija s razlomačkim eksponentima dokazuje se na potpuno sličan način: 
Preostale jednakosti se dokazuju koristeći slične principe: 
Prijeđimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju uvjeti m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a
Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, odnosno i a p >b p .
Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da za racionalne brojeve p i q vrijedi p>q na 0 
I 
. A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, prema tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0
Svojstva potencija s iracionalnim eksponentima
Iz načina definiranja stupnja s iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva potencija s iracionalnim eksponentima:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p·q ;
- za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednakosti a p b p ;
- za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0
Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentom p i q za a>0 imaju ista svojstva.
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).
Izrazi, pretvorba izraza
Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija
U ovom ćemo članku govoriti o pretvaranju izraza s potencijama. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što je otvaranje zagrada i donošenje sličnih izraza. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene posebno izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava stupnjeva itd.
Navigacija po stranici.
Što su izrazi moći?
Pojam "izrazi snage" praktički se ne pojavljuje u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo kakve radnje s izrazima za potencije, postaje jasno da se izrazi za potencije podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim natuknicama sadrže potencije. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:
Definicija.
Izrazi moći su izrazi koji sadrže stupnjeve.
Dajmo primjeri izraza snage. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se razvijao pogled na od stupnja s prirodnim pokazateljem do stupnja s stvarni pokazatelj.
Kao što je poznato, prvo se upoznaje s potencijom broja s prirodnim eksponentom, au ovoj fazi prvi najjednostavniji potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojavljuju se −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.
Nešto kasnije proučava se potencija broja s cijelim eksponentom, što dovodi do pojave potencijskih izraza s negativnim cijelim potencijama, poput sljedećih: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
U srednjoj školi vraćaju se na diplome. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom, što za sobom povlači pojavu odgovarajućih izraza za potenciju: 
, , 
i tako dalje. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .
Stvar nije ograničena na navedene izraze potencije: dalje varijabla prodire u eksponent, pa nastaju npr. sljedeći izrazi: 2 x 2 +1 ili 
. A nakon upoznavanja s , počinju se pojavljivati izrazi s potencijama i logaritmima, npr. x 2·lgx −5·x lgx.
Dakle, bavili smo se pitanjem što izrazi moći predstavljaju. Zatim ćemo ih naučiti transformirati.
Glavne vrste transformacija potencijskih izraza
S izrazima snage možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti numerički izrazi njihove vrijednosti, dati slične pojmove itd. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za izvođenje radnji. Navedimo primjere.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza za potenciju 2 3 ·(4 2 −12) .
Riješenje.
Prema redoslijedu izvođenja radnji prvo izvršite radnje u zagradi. Tu, prvo, zamjenjujemo potenciju 4 2 njegovom vrijednošću 16 (ako je potrebno, vidi), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
U dobivenom izrazu potenciju 2 3 zamijenimo njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunamo umnožak 8·4=32. Ovo je željena vrijednost.
Tako, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Odgovor:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Primjer.
Pojednostavite izraze s potencijama 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Riješenje.
Očito je da ovaj izraz sadrži slične članove 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 , te ih možemo dati: .
Odgovor:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Primjer.
Izrazite izraz s moćima kao proizvod.
Riješenje.
Zadatak možete riješiti tako da broj 9 predstavite kao potenciju broja 3 2, a zatim upotrijebite formulu za skraćeno množenje - razlika kvadrata: 
Odgovor:
Tu su i broj transformacije identiteta, svojstveno posebno izrazima moći. Analizirat ćemo ih dalje.
Rad s bazom i eksponentom
Postoje stupnjevi čija baza i/ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer dajemo unose (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz u bazi stupnja i izraz u eksponentu s identično jednakim izrazom u ODZ njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno transformirati bazu stupnja, a posebno eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak izvornom.
Takve nam transformacije omogućuju pojednostavljenje izraza s moćima ili postizanje drugih ciljeva koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za potenciju (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti prijelaz na potenciju 4,1 1,3. I nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova na bazu stupnja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobivamo izraz snage jednostavnijeg oblika a 2·(x+ 1) .
Korištenje svojstava stupnja
Jedan od glavnih alata za transformaciju izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva potencija:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Imajte na umu da za prirodne, cijele i pozitivne eksponente ograničenja za brojeve a i b možda neće biti tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivno a, već i za negativno a, te za a=0.
U školi je glavni fokus pri transformaciji izraza moći na sposobnosti odabira odgovarajućeg svojstva i njegove pravilne primjene. U tom su slučaju baze stupnjeva obično pozitivne, što omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama potencija - površina prihvatljive vrijednosti varijable je obično takva da baze na njoj uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava stupnjeva. Općenito, trebate se stalno pitati je li moguće koristiti bilo koje svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna uporaba svojstava može dovesti do sužavanja obrazovne vrijednosti i drugih nevolja. O ovim točkama raspravlja se detaljno i s primjerima u članku transformacija izraza pomoću svojstava stupnjeva. Ovdje ćemo se ograničiti na razmatranje nekoliko jednostavnih primjera.
Primjer.
Izrazi a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 kao potenciju s bazom a.
Riješenje.
Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 koristeći svojstvo podizanja potencije na potenciju: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Izvorni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očito, preostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, koju imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Odgovor:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Svojstva potencija pri transformaciji izraza potencija koriste se i slijeva na desno i s desna na lijevo.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza za potenciju.
Riješenje.
Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje nam prijelaz s izvornog izraza na proizvod oblika i dalje. A kada se potencije množe s istim bazama, eksponenti se zbrajaju: 
.
Bilo je moguće transformirati izvorni izraz na drugi način: 
Odgovor:
.
Primjer.
Zadan je izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6, uvedite novu varijablu t=a 0,5.
Riješenje.
Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i zatim, na temelju svojstva stupnja na stupanj (a r) s =a r s, primijenjeno s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3. Tako, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobivamo t 3 −t−6.
Odgovor:
t 3 −t−6 .
Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije
Izrazi potencije mogu sadržavati ili predstavljati razlomke s potencijama. Sve osnovne transformacije razlomaka koje su svojstvene razlomcima bilo koje vrste u potpunosti su primjenjive na takve razlomke. To jest, razlomci koji sadrže potencije mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno s njihovim brojnikom i zasebno s nazivnikom, itd. Kako bismo ilustrirali ove riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.
Primjer.
Pojednostavite izraz snage 
.
Riješenje.
Ovaj izraz snage je razlomak. Radimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobiveni izraz pomoću svojstava potencije, a u nazivniku prikazujemo slične pojmove: 
I također promijenimo predznak nazivnika stavljanjem minusa ispred razlomka: 
.
Odgovor:
.
Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik provodi se slično svođenju racionalnih razlomaka na novi nazivnik. U ovom slučaju se također nalazi dodatni faktor i njime se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja VA. Da se to ne dogodi, potrebno je da dodatni faktor ne ide na nulu ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.
Primjer.
Svedi razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) 
na nazivnik.
Riješenje.
a) U ovom slučaju vrlo je lako otkriti koji dodatni množitelj pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je množitelj od 0,3, budući da je 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Imajte na umu da u rasponu dopuštenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), snaga a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik zadanog razlomak ovim dodatnim faktorom: 
b) Ako bolje pogledate nazivnik, ustanovit ćete da 
i množenjem ovog izraza s dat će se zbroj kubova i , odnosno . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo svesti izvorni razlomak.
Tako smo pronašli dodatni faktor. U rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli x i y, izraz ne nestaje, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim: 
Odgovor:
A) 
, b) 
.
Također nema ništa novo u smanjivanju razlomaka s potencijama: brojnik i nazivnik predstavljeni su kao brojni faktori, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.
Primjer.
Smanjite razlomak: a) 
, b) .
Riješenje.
a) Prvo, brojnik i nazivnik mogu se smanjiti brojevima 30 i 45, što je jednako 15. Također je očito moguće izvesti smanjenje za x 0,5 +1 i za 
. Evo što imamo: 
b) U ovom slučaju identični faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje u rastavljanju nazivnika pomoću formule razlike kvadrata: 
Odgovor:
A) 
b) 
.
Pretvaranje razlomaka u novi nazivnik i smanjivanje razlomaka uglavnom se koriste za rad s razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Pri zbrajanju (oduzimanju) razlomaka oni se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), ali nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovim inverzom.
Primjer.
Prati korake 
.
Riješenje.
Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih pod zajednički nazivnik, a to je 
, nakon čega oduzimamo brojnike: 
Sada množimo razlomke: 
Očito je moguće smanjiti za potenciju x 1/2, nakon čega imamo 
.
Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: 
.
Odgovor:
Primjer.
Pojednostavite Power Expression 
.
Riješenje.
Očito, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak 
. Jasno je da s ovlastima X-a treba učiniti još nešto. Da bismo to učinili, transformiramo dobiveni razlomak u proizvod. To nam daje mogućnost da iskoristimo svojstvo dijeljenja potencija s istim bazama: 
. I na kraju procesa iz kojeg krećemo posljednji rad na razlomak.
Odgovor:
.
Dodajmo i to da je moguće, au mnogim slučajevima i poželjno, faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti s .
Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama
Često, u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije su prisutni i korijeni s razlomačkim eksponentima. Da bi se takav izraz pretvorio u pravi tip, u većini slučajeva dovoljno je ići samo na korijene ili samo na moći. Ali budući da je prikladnije raditi s moćima, obično se kreću od korijena do moći. Međutim, preporučljivo je provesti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena s ovlastima bez potrebe za pozivanjem na modul ili dijeljenjem ODZ-a u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak prijelaz s korijena na potencije i natrag Nakon upoznavanja stupnja s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj c iracionalni pokazatelj, što nam omogućuje da govorimo o stupnju s proizvoljnim realnim eksponentom. U ovoj fazi škola počinje učiti eksponencijalna funkcija , koji je analitički dan potencijom čija je baza broj, a eksponent varijabla. Dakle, suočeni smo s izrazima potencije koji u bazi potencije sadrže brojeve, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.
Treba reći da se transformacija izraza navedenog tipa obično mora izvršiti prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe I eksponencijalne nejednakosti , a te su pretvorbe vrlo jednostavne. U velikoj većini slučajeva oni se temelje na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Najprije se potencije u čijim eksponentima nalazi zbroj određene varijable (ili izraza s varijablama) i broja zamjenjuju umnošcima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji član izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Zatim se obje strane jednakosti dijele s izrazom 7 2 x, koji na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu uzima samo pozitivne vrijednosti (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ovog tipa, nismo sada govorimo o tome, stoga se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ): 
Sada možemo poništiti razlomke s potencijama, što daje 
.
Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamijenjen je potencijama odnosa, što rezultira jednadžbom 
, što je ekvivalentno 
. Napravljene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable, koja reducira rješenje na izvorno eksponencijalna jednadžba za rješavanje kvadratne jednadžbe
