Zadaci za određivanje vrijednosti u raznim brojevnim sustavima i njihovim bazama
Vježba 1. Za kodiranje znakova @, $, &, % koriste se dvoznamenkasti sekvencijalni binarni brojevi. Prvi znak odgovara broju 00. Pomoću ovih znakova kodiran je sljedeći niz: $%&&@$. Dekodirajte ovaj niz i pretvorite rezultat u heksadecimalni brojevni sustav.
Riješenje.
1. Usporedimo binarne brojeve sa znakovima koje kodiraju:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
3. Pretvorite binarni broj u heksadecimalni brojevni sustav:
0111 1010 0001 = 7A1
Odgovor. 7A1 16.
Zadatak 2. U vrtu ima 100 x voćaka, od toga 33 x jabuka, 22 x ...
– kruške, 16 x – šljive, 17 x – trešnje. Što je baza brojevnog sustava (x).
Riješenje.
1. Imajte na umu da su svi uvjeti dvoznamenkasti. U bilo kojem brojevnom sustavu mogu se predstaviti na sljedeći način:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, gdje su a i b znamenke odgovarajućih znamenki broja.
Za troznamenkasti broj to bi bilo ovako:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c
2. Uvjet problema je:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Zamijenimo brojeve u formule:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2
3. Riješite kvadratnu jednadžbu:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Korijen od D je 11.
Korijenje kvadratna jednadžba:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ili x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Negativan broj ne može biti baza brojevnog sustava. Stoga x može biti samo 9.
Odgovor. Tražena baza brojevnog sustava je 9.
Zadatak 3. U brojevnom sustavu s nekom bazom decimalni broj 12 zapisuje se kao 110. Pronađite tu bazu.
Riješenje.
Prvo ćemo broj 110 napisati kroz formulu za zapis brojeva u pozicijskim brojevnim sustavima kako bismo pronašli vrijednost u decimalnom brojevnom sustavu, a zatim ćemo grubom silom pronaći bazu.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Moramo dobiti 12. Pokušajmo 2: 2 2 + 2 = 6. Pokušaj 3: 3 2 + 3 = 12.
To znači da je baza brojnog sustava 3.
Odgovor. Tražena baza brojevnog sustava je 3.
Heksadecimalni i oktalni brojevni sustavi
Vježba 1. Koji broj u heksadekadskom brojevnom sustavu odgovara broju 11000101?
Riješenje.
Prilikom pretvaranja binarnog broja u heksadecimalni, prvi se dijeli na grupe od četiri znamenke, počevši od kraja. Ako broj znamenki nije djeljiv s četiri, tada prve četiri znamenke prethode nule. Svaka četvorka ima jedinstvenu korespondenciju s jednom znamenkom u heksadecimalnom brojevnom sustavu.
11000101 = 1100 0101 = C5 16
Nema potrebe da imate tablicu dopisivanja pred očima. Binarno brojanje prvih 15 brojeva može se obaviti u vašoj glavi ili zapisati uzastopno. Ne treba zaboraviti da 10 u decimalnom sustavu odgovara A u heksadecimalnom, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.
Odgovor. 11000101 = C5 16
Zadatak 2. Izračunajte zbroj binarnih brojeva x i y, s x = 10100 i y = 10101. Izrazite rezultate kao oktalni broj.
Riješenje.
Zbrojimo dva broja. Pravila binarne i decimalne aritmetike su ista:
Prilikom pretvaranja binarnog broja u oktalni, prva se dijeli u skupine od tri znamenke, počevši od kraja. Ako broj znamenki nije djeljiv s tri, tada prve tri prethode nule:
Odgovor. Zbroj binarnih brojeva 10100 i 10101, predstavljenih u oktalnom brojevnom sustavu, iznosi 51.
Pretvorba u binarni brojevni sustav
Vježba 1.Čemu je jednak broj 37? binarni sustav mrtav obračun?
Riješenje.
Možete pretvoriti dijeljenjem s 2 i kombiniranjem ostataka obrnutim redoslijedom.
Drugi način je rastaviti broj na zbroj potencija dvojke, počevši od najviše, čiji je izračunati rezultat manji dati broj. Prilikom pretvorbe nedostajuće potencije broja treba zamijeniti nulama:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Odgovor. 37 10 = 100101 2 .
Zadatak 2. Koliko značajnih nula ima u binarnom zapisu? decimalni broj 73?
Riješenje.
Rastavimo broj 73 na zbroj potencija dvojke, počevši od najveće, zatim potencije koje nedostaju množimo s nulama, a postojeće s jedinicom:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Odgovor. Binarni prikaz decimalnog broja 73 ima četiri značajne nule.
Zadatak 3. Izračunajte zbroj brojeva x i y za x = D2 16, y = 37 8. Rezultat prikazati u binarnom brojevnom sustavu.
Riješenje.
Podsjetimo se da je svaka znamenka heksadecimalnog broja sastavljena od četiri binarne znamenke, a svaka znamenka oktalnog broja od tri:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Zbrojimo dobivene brojeve:
Odgovor. Zbroj brojeva D2 16 i y = 37 8, predstavljen u binarnom brojevnom sustavu, iznosi 11110001.
Zadatak 4. dano: a= D7 16, b= 331 8 . Koji broj c, napisano u binarnom brojevnom sustavu, zadovoljava uvjet a< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Riješenje.
Pretvorimo brojeve u binarni brojevni sustav:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Prve četiri znamenke svih brojeva su iste (1101). Stoga je usporedba pojednostavljena na usporedbu donje četiri znamenke.
Prvi broj s popisa jednak je broju b, dakle, nije prikladan.
Drugi broj je veći od b. Treći broj je a.
Samo četvrti broj je prikladan: 0111< 1000 < 1001.
Odgovor.Četvrta opcija (11011000) ispunjava uvjet a< c < b .
Pretvorba u decimalni brojevni sustav
Vježba 1. Kojem broju u decimalnom sustavu odgovara 24 16?
Riješenje.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Odgovor. 24 16 = 36 10
Zadatak 2. Poznato je da je X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Kolika je vrijednost X u decimalnom brojevnom sustavu?
Riješenje.
12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Pronađite broj: X = 6 + 4 + 5 = 15
Odgovor. X = 15 10
Zadatak 3. Izračunajte vrijednost zbroja 10 2 + 45 8 + 10 16 u decimalnom zapisu.
Riješenje.
Pretvorimo svaki član u decimalni brojevni sustav:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Zbroj je: 2 + 37 + 16 = 55
Odgovor. 55 10
Aritmetičke operacije u binarnom brojevnom sustavu
Sustavi brojeva
Broj teme:
U binarnom brojevnom sustavu aritmetičke operacije izvode se prema istim pravilima kao i u decimalnom brojevnom sustavu jer oba su pozicijska (zajedno s oktalnim, heksadecimalnim, itd.).
Dodatak
Zbrajanje jednoznamenkastih binarnih brojeva izvodi se prema sljedećim pravilima:
U potonjem slučaju, kada se zbrajaju dvije jedinice, niža znamenka se prelijeva i 1 se prenosi na višu znamenku. Preljev se događa ako je zbroj jednak bazi brojevnog sustava (u ovom slučaju to je broj 2) ili veći od nje (za binarni brojevni sustav to nije relevantno).
Na primjer, zbrojimo bilo koja dva binarna broja:
Oduzimanje
Oduzimanje jednoznamenkastih binarnih brojeva izvodi se prema sljedećim pravilima:
0 - 1 = (posudba od visokog ranga) 1
Množenje
Množenje jednoznamenkastih binarnih brojeva izvodi se prema sljedećim pravilima:
Podjela
Dijeljenje se izvodi na isti način kao u decimalnom brojevnom sustavu:
Svrha usluge. Mrežni kalkulator dizajniran je za dodavanje binarnih brojeva u prednje, obrnute i komplementarne kodove.Sljedeće se također koristi s ovim kalkulatorom:
Pretvaranje brojeva u binarni, heksadecimalni, decimalni, oktalni brojevni sustav
Množenje binarnih brojeva
Format s pomičnim zarezom
Primjer br. 1. Predstavite broj 133,54 u obliku pomičnog zareza.
Riješenje. Predstavimo broj 133,54 u normaliziranom eksponencijalnom obliku:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Broj 1,3354*exp 10 2 sastoji se od dva dijela: mantise M=1,3354 i eksponenta exp 10 =2
Ako je mantisa u rasponu 1 ≤ M Predstavljanje broja u denormaliziranom eksponencijalnom obliku.
Ako je mantisa u rasponu 0,1 ≤ M, predstavimo broj u denormaliziranom eksponencijalnom obliku: 0,13354*exp 10 3
Primjer br. 2. Predstavite binarni broj 101.10 2 u normaliziranom obliku, napisan u 32-bitnom standardu IEEE754.
Tablica istine
Izračun granica
Aritmetika u binarnom brojevnom sustavu
Aritmetičke operacije u binarnom sustavu izvode se na isti način kao i u decimalnom sustavu. Ali, ako se u decimalnom sustavu brojeva prijenos i posuđivanje provode s deset jedinica, onda u binarnom sustavu brojeva - s dvije jedinice. U tablici su prikazana pravila zbrajanja i oduzimanja u binarnom brojevnom sustavu.- Prilikom zbrajanja dviju jedinica u binarnom brojevnom sustavu, ovaj bit će biti 0 i jedinica će se prenijeti u bit najveće važnosti.
- Pri oduzimanju jedan od nule, jedan se posuđuje od najviše znamenke, gdje je 1. Jedinica zauzeta u ovoj znamenki daje dvije jedinice u znamenki u kojoj se radnja izračunava, kao i jednu u svim međuznamenkama.
Dodavanje brojeva uzimajući u obzir njihove znakove na stroju je niz sljedećih radnji:
- pretvaranje izvornih brojeva u navedeni kod;
- zbrajanje kodova po bitovima;
- analiza dobivenog rezultata.
Prilikom izvođenja operacije u kodu komplementa dvojke (modificiranog komplementa dvojke), ako se jedinica prijenosa pojavi u bitu predznaka kao rezultat zbrajanja, ona se odbacuje.
Operacija oduzimanja u računalu se izvodi preko zbrajanja prema pravilu: X-Y=X+(-Y). Daljnje radnje izvode se na isti način kao i za operaciju dodavanja.
Primjer br. 1.
Zadano je: x=0,110001; y= -0,001001, dodajte obrnuti modificirani kod.
Zadano je: x=0,101001; y= -0,001101, dodajte dodatni modificirani kod. 
Primjer br. 2. Riješite primjere o oduzimanju binarnih brojeva koristeći komplement 1 i metodu cikličkog prijenosa.
a) 11 - 10.
Riješenje.
Zamislimo brojeve 11 2 i -10 2 u obrnutom kodu.
Binarni broj 0000011 ima recipročni kod 0,0000011
Zbrojimo brojeve 00000011 i 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 2. znamenki (1 + 1 = 10). Zato pišemo 0, a 1 premještamo na 3. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Kao rezultat dobivamo:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Došlo je do prijenosa bita predznaka. Dodajmo ga (tj. 1) dobivenom broju (tako provodimo postupak cikličkog prijenosa).
Kao rezultat dobivamo:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Rezultat zbrajanja: 00000001. Pretvorimo ga u decimalni prikaz. Da biste preveli cijeli broj, trebate pomnožiti znamenku broja s odgovarajućim stupnjem znamenke.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Rezultat zbrajanja (decimalni zapis): 1
b) 111-010 Zamislimo brojeve 111 2 i -010 2 u obrnutom kodu.
Obrnuti kod za pozitivan broj isti je kao i kod za naprijed. Za negativan broj sve znamenke broja zamjenjuju se suprotnim (1 s 0, 0 s 1), a jedinica se upisuje u znamenku predznaka.
Binarni broj 0000111 ima recipročni kod 0,0000111
Binarni broj 0000010 ima recipročni kod 1,1111101
Zbrojimo brojeve 00000111 i 11111101
Došlo je do prekoračenja u 0. znamenki (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 1. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Došlo je do preljeva u 1. znamenki (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 2. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 2. znamenki (1 + 1 + 1 = 11). Zato pišemo 1, a 1 premještamo na 3. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Došlo je do prekoračenja u 3. znamenki (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 4. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 4. bitu (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 5. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 5. znamenki (1 + 1 = 10). Zato pišemo 0, a 1 premještamo na 6. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 6. bitu (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 7. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo je do preljeva u 7. bitu (1 + 1 = 10). Stoga pišemo 0, a 1 premještamo na 8. znamenku.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Kao rezultat dobivamo:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo je do prijenosa bita predznaka. Dodajmo ga (tj. 1) dobivenom broju (tako provodimo postupak cikličkog prijenosa).
Kao rezultat dobivamo:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Rezultat zbrajanja: 00000101
Dobili smo broj 00000101. Da biste pretvorili cijeli dio, trebate pomnožiti znamenku broja s odgovarajućim stupnjem znamenke.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Rezultat zbrajanja (decimalni zapis): 5
Zbrajanje binarnih realnih brojeva s pomičnim zarezom
Na računalu se bilo koji broj može prikazati u formatu s pomičnim zarezom. Format s pomičnim zarezom prikazan je na slici:
Na primjer, broj 10101 u formatu s pomičnim zarezom može se napisati ovako:
Računala koriste normalizirani oblik zapisivanja brojeva u kojem se mjesto decimalne točke uvijek daje ispred značajna brojka mantise, tj. uvjet je ispunjen:
b -1 ≤|M| Normalizirani broj - Ovo je broj koji ima značajnu znamenku iza decimalne točke (tj. 1 u binarnom brojevnom sustavu). Primjer normalizacije:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Prilikom dodavanja brojeva s pomičnim zarezom, poravnanje reda se izvodi prema višem redu: 
Algoritam za zbrajanje brojeva s pomičnim zarezom:
- Usklađivanje naloga;
- Dodavanje mantisa u modificiranom dodatnom kodu;
- Normalizacija rezultata.
Primjer br. 4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Usklađivanje naloga;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Dodavanje mantisa u dodatno modificiranom kodu;
MA dodatni mod. =00,01011
MB dodatni mod. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalizacija rezultata.
A+B=0,1101*2 10
Primjer br. 3. Napiši decimalni broj u binarnom brojevnom sustavu i zbroji dva broja u binarnom brojevnom sustavu.
Primjer 1. Pronađite X ako Za transformaciju lijeve strane jednakosti koristimo se redom De Morganov zakon za logično zbrajanje i zakon dvostruke negacije: Prema distribucijskom zakonu za logično zbrajanje: Prema zakonu isključivanja trećeg i zakon isključenja konstanti: Rezultirajuću lijevu stranu izjednačimo s desnom: X = B Na kraju dobijemo: X = B. Primjer 2. Pojednostavite logički izraz Provjerite ispravnost pojednostavljenja pomoću tablica istinitosti za izvornu i rezultirajuću logički izraz. Prema zakonu opće inverzije za logičko zbrajanje (de Morganov prvi zakon) i zakonu dvostruke negacije: Prema distributivnom zakonu za logičko zbrajanje: Prema zakonu kontradikcije: Prema zakonu idempotencije Zamjenjujemo vrijednosti i korištenjem komutativnog zakona i grupiranjem članova dobivamo : Prema zakonu isključivanja (lijepljenja) Zamijenimo vrijednosti i dobivamo: Prema zakonu isključenja konstanti za logičko zbrajanje i zakonu idempotencije: Zamjena vrijednosti i dobiti: Prema distribucijskom zakonu za logičko množenje: Prema zakonu isključenja trećeg: Zamijeniti vrijednosti i na kraju dobiti: 2 Logičke osnove računala Diskretni pretvarač, koji nakon obrade ulaznih binarnih signala, proizvodi izlazni signal koji je vrijednost jedne od logičkih operacija, naziva se logički element. Ispod su simboli (sklopovi) osnovnih logičkih elemenata koji provode logičko množenje (konjunktor), logičko zbrajanje (disjunktor) i negaciju (inverter). Riža. 3.1. Konjunktor, disjunktor i invertor Računalni uređaji (zbrajači u procesoru, memorijske ćelije u RAM-u i dr.) izgrađeni su na temelju osnovnih logičkih elemenata. Primjer 3. Za zadanu logičku funkciju F(A, B) = =B&AÚB&A konstruirajte logički sklop. Konstrukcija mora započeti logičkom operacijom, koja se mora izvesti posljednja. U ovom slučaju, takva operacija je logično zbrajanje, stoga na izlazu logičkog sklopa mora postojati disjunktor. Signali se na njega dovode s dva konektora, koji pak dobivaju jedan normalni i jedan invertirani ulazni signal (iz pretvarača). Primjer 4. Logički sklop ima dva ulaza X i Y. Odredite logičke funkcije F1(X,Y) i F2(X,Y) koje su implementirane na njegova dva izlaza. Funkcija F1(X,Y) implementirana je na izlazu prvog konjunktora, odnosno F1(X,Y) = X&Y. Istodobno se signal s konektora dovodi na ulaz pretvarača, na čijem se izlazu realizira X&Y signal, koji se pak dovodi na jedan od ulaza drugog konektora. Signal Xv Y iz disjunktora dovodi se na drugi ulaz drugog konjunktora, dakle, funkcija F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Razmotrimo shemu za zbrajanje dva n-bitna binarna broja. Pri zbrajanju znamenki i-ro znamenke zbrajaju se ai i bi te Pi-1 - prijenos sa i-1 znamenke. Rezultat će biti st - zbroj i Pi - prijenos na najznačajniju znamenku. Dakle, jednobitno binarno zbrajalo je uređaj s tri ulaza i dva izlaza. Primjer 3.15. Konstruirajte tablicu istine za jednobitno binarno zbrajalo pomoću tablice za zbrajanje binarnih brojeva. Okidač. Okidači se koriste za pohranjivanje informacija u RAM računala, kao iu interne registre procesora. Okidač može biti u jednom od dva stabilna stanja, što vam omogućuje pamćenje, pohranjivanje i čitanje 1 bita informacija. Najjednostavniji okidač je .RS okidač. Sastoji se od dva NOR vrata koja implementiraju logičku funkciju F9 (vidi tablicu 3.1). Ulazi i izlazi elemenata spojeni su prstenom: izlaz prvog spojen je s ulazom drugog, a izlaz drugog s ulazom prvog. Okidač ima dva ulaza S (od engleskog set - instalacija) i I (od engleskog reset - reset) i dva izlaza Q (izravni) i Q (inverzni). Riža. 2 Logički sklop RS flip-flopa Primjer 3.16. Izradite tablicu koja opisuje stanje ulaza i izlaza RS flip-flopa. Ako ulazi primaju signale R = 0 i S = 0, tada je flip-flop u načinu pohranjivanja; prethodno postavljene vrijednosti pohranjuju se na izlazima Q i Q. Ako se na ulazu za podešavanje S kratkotrajno primi signal 1, tada flip-flop prelazi u stanje 1 i nakon što signal na ulazu S postane 0, flip-flop će zadržati to stanje, tj. pohrani 1. Kada se 1 primijeni na ulaz R, flip-flop će prijeći u stanje 0. Primjena logičke jedinice na oba ulaza S i R može dovesti do dvosmislenog rezultata, stoga je takva kombinacija ulaznih signala zabranjena. Zadaci za samostalno rješavanje 1. Postoji 16 logičkih funkcija dviju varijabli (vidi tablicu 3.1). Konstruirajte njihove logičke sklopove koristeći osnovna logička vrata: konjunktor, disjunktor i inverter. 2. Dokažite da je logički sklop razmatran u primjeru 3.10 jednobitni binarni poluzbrajač (prijenos iz bita nižeg reda nije uzet u obzir). 3. Konstruiranjem tablice istinitosti dokažite da logička funkcija P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) određuje prijenos do najznačajnije znamenke pri zbrajanju binarnih brojeva (A i B su članovi, Po je prijenos od najmanje značajne znamenke). 4. Konstruiranjem tablice istinitosti dokažite da logička funkcija S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) određuje zbroj pri zbrajanju binarnih brojeva (A i B su članovi, Po je prijenos s niže znamenke). 5. Konstruirati logički sklop jednobitnog binarnog zbrajala. Koliko je osnovnih logičkih vrata potrebno za implementaciju 64-bitnog zbrajala binarnih brojeva? 6. Koliko osnovnih logičkih elemenata čini RAM modernog računala kapaciteta 64 MB? 1. Zapiši u proširenom obliku brojeve: a) A8=143511; d)A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8 = 0,143511; c)A16=143511; e)A1e=1AZ,5C1. 2. Zapišite sljedeće brojeve u sažetom obliku: a) A10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; b)A16=A-161+1-16°+7- 16" 1+5-16~2. 3. Jesu li brojevi pravilno napisani u odgovarajućim brojevnim sustavima: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b)A8=-5678; d)A2=22,2? 4. Koju najmanju osnovicu ima brojevni sustav ako su u njemu zapisani brojevi 127, 222, 111? Odredite decimalni ekvivalent tih brojeva u pronađenom brojevnom sustavu. 5. Koji je decimalni ekvivalent brojeva 101012, 101018 1010116? 6. Troznamenkasti decimalni broj završava znamenkom 3. Ako se ta znamenka pomakne za dvije znamenke ulijevo, odnosno s njom počinje zapis novog broja, tada će taj novi broj biti jedan trostruki veći od izvornog broj. Pronađite izvorni broj. 2.22 Šesteroznamenkasti decimalni broj počinje s lijeve strane znamenkom 1. Ako se ta znamenka pomakne s prvog mjesta lijevo na zadnje mjesto desno, tada će vrijednost dobivenog broja biti tri puta veća od onaj izvorni. Pronađite izvorni broj. 2.23.Koji je od brojeva 1100112, 1114, 358 i 1B16: a) najveći; b) najmanji? 2.27 Postoji li trokut čije su duljine stranica izražene brojevima 12g, 1116 i 110112? 2.28.Koji je najveći decimalni broj koji se može napisati troznamenkasto u binarnom, oktalnom i heksadekadskom brojevnom sustavu? 2.29. “Neozbiljna” pitanja. Kada je 2x2=100? Kada je 6x6=44? Kada je 4x4=20? 2.30. Zapiši cijele decimalne brojeve koji pripadaju sljedećim brojčanim intervalima: a) ; b) ; V) . 2.31 U razredu ima 11 112 djevojčica i 11 002 dječaka. Koliko učenika ima u razredu? 2.32.U razredu ima 36 učenika, od toga 21 djevojčica i 15 dječaka. U kojem su brojevnom sustavu učenici brojani? 2. 33. U vrtu ima 100q voćaka, od toga 33q jabuka, 22q krušaka, 16q šljiva i 5q trešanja. U kojem se brojevnom sustavu broje stabla? 2.34 Bilo je 100q jabuka. Nakon što je svaka od njih prerezana na pola, bilo je 1000q polovica. U brojevnom sustavu, s kojom osnovom su se računali? 2.35.Imam 100 braće. Najmlađi je star 1000 godina, a najstariji 1111 godina. Najstariji je u razredu 1001. Je li ovo moguće? 2.36 Jednom davno bilo je jezerce u čijem je središtu rastao jedan list lopoča. Svaki dan se broj takvih listova udvostručio, a desetog dana cijela je površina ribnjaka već bila ispunjena lišćem ljiljana. Koliko je dana bilo potrebno da se pola ribnjaka napuni lišćem? Koliko je listova bilo nakon devetog dana? 2.37.Odabirom potencija broja 2, koje zbrojem daju zadani broj, pretvorite u binarni brojevni sustav sljedeće brojeve: a) 5; u 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Provjerite ispravnost prijevoda pomoću programa Advanced Converter. 2.3. Prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi 2.3.1. Prevođenje cijelih brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi Možete formulirati algoritam za pretvaranje cijelih brojeva iz sustava s bazom p u sustav s bazom q: 1. Izraziti bazu novog brojevnog sustava znamenkama izvornog brojevnog sustava i izvršiti sve sljedeće radnje u izvornom brojevnom sustavu. 2. Zadani broj i dobivene cjelobrojne kvocijente dosljedno dijelimo s bazom novog brojevnog sustava dok ne dobijemo kvocijent koji je manji od djelitelja. 3. Dobiveni ostaci, koji su znamenke brojeva u novom brojevnom sustavu, usklađuju se s abecedom novog brojevnog sustava. 4. Sastavi broj u novom brojevnom sustavu pišući ga počevši od zadnjeg ostatka. Primjer 2.12 Pretvorimo decimalni broj 17310 u oktalni brojevni sustav: ■ Dobivamo: 17310=2558. Primjer 2.13 Pretvorimo decimalni broj 17310 u heksadecimalni brojevni sustav: - Dobivamo: 17310=AD16. Primjer 2.14 Pretvorite decimalni broj 1110 u binarni brojevni sustav. Dobivamo: 111O=10112. Primjer 2.15 Ponekad je zgodnije algoritam prevođenja napisati u obliku tablice. Pretvorimo decimalni broj 36310 u binarni. 2.3.2. Pretvaranje razlomaka iz jednog brojevnog sustava u drugi Možete formulirati algoritam za pretvaranje pravilnog razlomka s bazom p u razlomak s bazom q: 1. Izraziti bazu novog brojevnog sustava znamenkama izvornog brojevnog sustava i izvršiti sve sljedeće radnje u izvornom brojevnom sustavu. 2. Zadani broj i dobivene razlomke umnožaka dosljedno množite bazom novog sustava sve dok razlomak umnoška ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne potrebna točnost prikaza brojeva. 3. Dobiveni cjelobrojni dijelovi umnožaka, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, usklađuju se s abecedom novog brojevnog sustava. 4. Sastavi razlomački dio broja u novom brojevnom sustavu počevši od cjelobrojnog dijela prvog umnoška. Primjer 2.16. Pretvorite broj 0,6562510 u oktalni brojevni sustav. Primjer 2.17. Pretvorite broj 0,6562510 u heksadecimalni brojevni sustav. Primjer 2.18. Pretvorite decimalni razlomak 0,562510 u binarni brojevni sustav. Primjer 2.19 Pretvorite decimalni razlomak 0,710 u binarni brojevni sustav. Očito se taj proces može nastaviti unedogled, dajući sve više i više novih znakova u slici binarnog ekvivalenta broja 0,710. Dakle, u četiri koraka dobivamo broj 0,10112, a u sedam koraka broj 0,10110012, što je točniji prikaz broja 0,710 u binarnom obliku i tako dalje. Takav beskrajni proces završava se u određenom koraku, kada se vjeruje da je postignuta potrebna točnost prikaza brojeva. 2.3.3. Translacija proizvoljnih brojeva Translacija proizvoljnih brojeva, odnosno brojeva koji sadrže cijeli i razlomački dio, provodi se u dvije faze. Cijeli dio se prevodi posebno, a razlomak posebno. U konačnom zapisu dobivenog broja cijeli se dio odvaja od razlomka. Primjer 2.20 Pretvorite broj 17.2510 u binarni brojevni sustav. Prevođenje cijelog dijela: Prevođenje razlomljenog dijela: Primjer 2.21. Pretvorite broj 124,2510 u oktalni. 2.3.4. Pretvaranje brojeva iz brojevnog sustava s bazom 2 u brojevni sustav s bazom 2n i natrag Pretvaranje cijelih brojeva - Ako je baza q-arnog brojevnog sustava potencija broja 2, tada pretvaranje brojeva iz q-arnog brojevnog sustava u binarni i natrag se može izvesti korištenjem jednostavnijih metoda pravila. Da biste zapisali cjelobrojni binarni broj u brojevnom sustavu s bazom q = 2", potrebno je: 1. Podijeliti binarni broj s desna na lijevo u skupine od po n znamenki. 2. Ako zadnja lijeva skupina ima manje n znamenki, tada potrebnom broju znamenki treba dodati nule s lijeve strane 3. Svaku skupinu promatrati kao n-bitni binarni broj i zapisati je odgovarajućom znamenkom u brojevnom sustavu s bazom q = 2p Primjer 2.22. Broj 1011000010001100102 bit će preveden u oktalni brojevni sustav. Broj s desna na lijevo dijelimo na trijade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu znamenku: Dobivamo oktalni prikaz izvornog broja: 5410628. Primjer 2.23. Pretvorimo broj 10000000001111100001112 u heksadecimalni brojevni sustav. Broj s desna na lijevo dijelimo na tetrade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću heksadecimalnu znamenku: Dobivamo heksadecimalni prikaz izvornog broja: 200F8716. Pretvaranje razlomačkih brojeva. Da biste zapisali frakcijski binarni broj u brojevnom sustavu s bazom q = 2", trebate: 1. Podijeliti binarni broj slijeva na desno u grupe od po n znamenki. 2. Ako posljednja desna grupa ima manje n znamenki, tada se s desne strane mora dopuniti nulama do potrebnog broja znamenki 3. Svaku skupinu promatrati kao n-bitni binarni broj i zapisati je odgovarajućom znamenkom u brojevnom sustavu s bazom q = 2p Primjer 2.24 .Broj 0,101100012 pretvorimo u oktalni brojevni sustav.Broj s lijeve na desnu stranu podijelimo na trijade i ispod svake od njih upišemo odgovarajuću oktalnu znamenku: Dobijemo oktalni prikaz izvornog broja: 0,5428 Primjer 2.25 Broj 0,1000000000112 pretvaramo u heksadecimalni brojevni sustav.Broj slijeva nadesno dijelimo na tetrade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću heksadecimalnu znamenku: Dobivamo heksadecimalni prikaz izvornog broja: 0,80316 Prijevod proizvoljnih brojeva Da bi za pisanje proizvoljnog binarnog broja u brojevnom sustavu s bazom q - 2n potrebno je: [ 1. Cjelobrojni dio zadanog binarnog broja podijeliti s desna na lijevo, a frakcijski - slijeva na desno u skupine od po n znamenki. 2. Ako posljednja lijeva i/ili desna grupa sadrži manje od n znamenki, tada se s lijeve i/ili desne strane moraju dopuniti nulama do potrebnog broja znamenki. 3. Svaku skupinu promatrajte kao n-bitni binarni broj i zapišite je odgovarajućom znamenkom u brojevnom sustavu s bazom q = 2n. Primjer 2.26 Pretvorimo broj 111100101.01112 u oktalni brojevni sustav. Cjelobrojni i razlomački dio broja dijelimo na trijade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu znamenku: Dobivamo oktalni prikaz izvornog broja: 745,34S. Primjer 2.27 Pretvorimo broj 11101001000.110100102 u heksadecimalni brojevni sustav. Cjelobrojni i razlomački dio broja podijelimo na tetrade i ispod svake od njih upišemo odgovarajuću heksadecimalnu znamenku: Dobivamo heksadecimalni prikaz izvornog broja: 748,D216. Prevođenje brojeva iz brojevnog sustava s bazom q = 2 u binarni sustav Da biste proizvoljni broj zapisan u brojevnom sustavu s bazom q = 2 pretvorili u binarni brojevni sustav, potrebno je svaku znamenku tog broja zamijeniti njezinim n -znamenkasti ekvivalent u binarnom brojevnom sustavu . Primjer 2.28. Pretvorimo heksadecimalni broj 4AC351b u binarni brojevni sustav. U skladu s algoritmom: i Dobivamo: 10010101100001101012. Zadaci za samostalno rješavanje 2.38. Ispuni tablicu u čiji svaki red mora biti upisan isti cijeli broj u različitim brojevnim sustavima. 2.39. Ispunite tablicu u kojoj u svakom redu mora biti napisan isti razlomački broj u različitim brojevnim sustavima. 2.40. Ispunite tablicu u čiji svaki red treba upisati isti proizvoljni broj (broj može sadržavati i cijeli i razlomački dio) u različitim brojevnim sustavima. 2.4. Aritmetičke operacije u položajnim brojevnim sustavima
Aritmetičke operacije u binarnom brojevnom sustavu.
Primjer 2.29. Pogledajmo neke primjere zbrajanja binarnih brojeva:
Oduzimanje. Pri izvođenju operacije oduzimanja uvijek se od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti oduzima manji broj i stavlja se odgovarajući znak. U tablici oduzimanja, 1 s crticom znači posudbu u najvišem rangu.
Primjer 2.31. Pogledajmo neke primjere množenja binarnih brojeva:
Vidite da se množenje svodi na pomake množenika i zbrajanja.
Podjela. Operacija dijeljenja izvodi se algoritmom sličnim algoritmu za izvođenje operacije dijeljenja u dekadskom brojevnom sustavu.
Zbrajanje u drugim brojevnim sustavima. Ispod je tablica zbrajanja u oktalnom brojevnom sustavu:
2.42. Rasporedite predznake aritmetičkih operacija tako da u binarnom sustavu budu točne jednakosti:
Za svaki broj upišite odgovor u naznačenom i decimalnom brojevnom sustavu. 2.44. Koji broj stoji ispred svakog od sljedećeg:
2.45. Zapiši cijele brojeve koji pripadaju sljedećim numeričkim intervalima:
a) u binarnom sustavu;
b) u oktalnom sustavu;
c) u heksadekadskom sustavu.
Za svaki broj upišite odgovor u naznačenom i decimalnom brojevnom sustavu.
2.47. Odredite aritmetičku sredinu sljedećih brojeva:
2.48. Zbroj oktalnih brojeva 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 pretvoreno u heksadecimalni brojevni sustav.
Pronađite petu znamenku slijeva u broju jednakom tom iznosu.
 |
Oporavite nepoznate brojeve označene upitnikom u
sljedeće primjere o zbrajanju i oduzimanju, nakon što je prvo utvrđeno
Le, u kojem su sustavu prikazani brojevi.
Tema lekcije: Aritmetičke operacije u položajnim brojevnim sustavima.
9. razred
Ciljevi lekcije:
Didaktičko: upoznati učenike s zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem u binarnom brojevnom sustavu te provesti početno razvijanje vještine izvođenja tih radnji.
Obrazovni: razviti interes učenika za učenje novih stvari, pokazati mogućnost nestandardnog pristupa izračunima.
Razvojni: razvijati pozornost, strogost mišljenja i vještine zaključivanja.
Struktura lekcije.
Organizacijski trenutak –1 minuta.
Provjera domaće zadaće putem usmene provjere znanja –15 minuta.
Domaća zadaća -2 minute.
Rješavanje problema uz istovremenu analizu i samostalnu izradu gradiva -25 min.
Sažimanje lekcije -2 minute.
TIJEKOM NASTAVE
Org trenutak.
Provjera domaće zadaće (usmeni test) .
Učitelj redom čita pitanja. Učenici pažljivo slušaju pitanje bez zapisivanja. Snima se samo odgovor i to vrlo kratko. (Ako možete odgovoriti jednom riječju, tada se samo ta riječ zapisuje).
Što je brojevni sustav? (-je znakovni sustav u kojem se brojevi zapisuju prema određenim pravilima pomoću znakova određene abecede koji se nazivaju brojevi )
Koje brojevne sustave poznajete?( nepozicijski i pozicijski )
Koji se sustav naziva nepozicijskim? (Broj se naziva nepozicijskim ako kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrijednost) znamenke u broju ne ovisi o njezinu položaju u zapisu broja. ).
Što je osnova položajnog MSS-a? (jednak broju znamenki koje čine njegovu abecedu )
Koju matematičku operaciju treba upotrijebiti za pretvaranje cijelog broja iz decimalnog broja u bilo koji drugi? (Diobom )
Što treba učiniti da se broj pretvori iz decimalnog u binarni? (Uzastopno podijelite s 2 )
Koliko će se puta smanjiti broj 11,1? 2 pri pomicanju zareza jedno mjesto ulijevo? (2 puta )
Poslušajmo sada pjesmu o neobičnoj djevojci i odgovorimo na pitanja. (Stih zvuči )
IZVANREDNA DJEVOJKA
Imala je tisuću i sto godina
Išla je u sto prvi razred,
Nosila je stotinu knjiga u aktovci.
Ovo je sve istina, a ne gluposti.
Kada, brišući prašinu s desetak stopa,
Hodala je cestom.
Psić je uvijek trčao za njom
S jednim repom, ali sa sto nogu.
Hvatala je svaki zvuk
Sa svojih deset ušiju,
I deset preplanulih ruku
Držali su aktovku i uzicu.
I deset tamnoplavih očiju
Gledali smo svijet kao i obično,
Ali sve će postati sasvim normalno,
Kada ćeš razumjeti moju priču?
/ N. Starikov /
A koliko je djevojčica imala godina? (12 godina ) U koji je razred išla? (5. razred ) Koliko je ruku i nogu imala? (2 ruke, 2 noge ) Kako štene ima 100 nogu? (4 šape )
Nakon završenog testa, učenici sami naglas čitaju odgovore, provodi se samotestiranje i ocjenjuju se.
Kriterij:
10 točnih odgovora (može i mala greška) – “5”;
9 ili 8 - "4";
7, 6 – “3”;
ostalo je "2".
II. Domaća zadaća (2 minute)
10111
2
- 1011
2
= ?
(
1100
2
)
10111
2
+ 1011
2
= ?
(
100010
2
)
10111
2
* 1011
2
= ?
(
11111101
2
))
III. Rad s novim materijalom
Aritmetičke operacije u binarnom brojevnom sustavu.
Aritmetika binarnog brojevnog sustava temelji se na korištenju tablica za zbrajanje, oduzimanje i množenje znamenki. Aritmetički operandi nalaze se u gornjem retku i prvom stupcu tablice, a rezultati su na sjecištu stupaca i redaka:
0
1
1
1
Dodatak.
Binarna tablica zbrajanja iznimno je jednostavna. Samo u jednom slučaju, kada se izvodi zbrajanje 1+1, dolazi do prijenosa na najznačajniju znamenku.
1001 + 1010 = 10011
1101 + 1011 = 11000
11111 + 1 = 100000
1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101
10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )
Oduzimanje.
Pri izvođenju operacije oduzimanja uvijek se od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti oduzima manji broj i stavlja se odgovarajući znak. U tablici oduzimanja, 1 s crticom znači posudbu u najvišem rangu. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0
101011111 – 110101101 = – 1001110
100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )
Množenje
Operacija množenja izvodi se pomoću tablice množenja prema uobičajenoj shemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sustavu s uzastopnim množenjem množenika sljedećom znamenkom množitelja. 11001 * 1101 = 101000101
11001,01 * 11,01 = 1010010,0001
Množenje se svodi na pomake množenika i zbrajanja.
111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )
V. Sažimanje lekcije
Kartica za dopunski studentski rad.
Izvođenje aritmetičkih operacija:
A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );
10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );
101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );
B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );
Dodatak. Osnova za zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu je tablica za zbrajanje jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 6).
Važno je obratiti pozornost na činjenicu da se pri zbrajanju dviju jedinica vrši prijenos na najznačajniju znamenku. To se događa kada veličina broja postane jednaka ili veća od baze brojevnog sustava.
Zbrajanje višebitnih binarnih brojeva provodi se u skladu s gornjom tablicom zbrajanja, uzimajući u obzir moguće prijenose s nižih na više znamenke. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve u stupac:
Provjerimo ispravnost izračuna zbrajanjem u decimalni brojevni sustav. Pretvorimo binarne brojeve u decimalni brojevni sustav i zbrojimo ih:
Oduzimanje. Osnova za oduzimanje binarnih brojeva je tablica za oduzimanje jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 7).
Pri oduzimanju većeg broja (1) od manjeg broja (0) posuđuje se od najviše znamenke. Kredit je u tablici označen crtom 1.
Oduzimanje višebitnih binarnih brojeva provodi se u skladu s ovom tablicom, uzimajući u obzir moguće posudbe u najvažnijim bitovima.
Na primjer, oduzmimo binarne brojeve:
Množenje. Množenje se temelji na tablici množenja jednoznamenkastih binarnih brojeva (tablica 8).
Množenje višeznamenkastih binarnih brojeva provodi se u skladu s ovom tablicom množenja prema uobičajenoj shemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sustavu, uz uzastopno množenje množenika sljedećom znamenkom množitelja. Pogledajmo primjer množenja binarnih brojeva 
