Površina pravilne piramide. Ukupna površina piramide

Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u podnožju ovog poliedra nalazi se proizvoljni poligon, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se skupljaju na jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, saznajmo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da je površina takva geometrijsko tijelo bit će sastavljena od zbroja površina baze i cijele njezine bočne površine.

Izračunavanje površine baze piramide

Odabir formule za izračun ovisi o obliku poligona ispod naše piramide. Može biti pravilan, odnosno sa stranicama iste duljine, ili nepravilan. Razmotrimo obje opcije.

Osnova je pravilan mnogokut

Iz školski tečaj znan:

površina kvadrata bit će jednaka duljini kvadratne stranice;
Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenom s 4 i pomnoženom s Korijen od tri.

Ali također postoji opća formula, da biste izračunali površinu bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti opseg ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), a zatim rezultat podijeliti s dva: Sn= 1/2P*r.

U osnovi je nepravilan poligon

Shema za pronalaženje njegove površine je prvo podijeliti cijeli poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih pomoću formule: 1/2a*h (gdje je a baza trokuta, h je visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbroj površina svih njegovih bočnih stranica. Ovdje također postoje 2 opcije.

Neka imamo proizvoljnu piramidu, tj. jedan s nepravilnim poligonom u svojoj osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica zasebno i zbrojiti rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trokuti, izračun se provodi pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
Neka je naša piramida ispravna, tj. u njenoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njenom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne plohe (Sb), dovoljno je pronaći polovicu umnoška opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg mnogokuta određuje se zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njezine baze s površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trokutaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Pomoću formule So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Koristimo istu formulu za pronalaženje površine svakog lica piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobivamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbroj svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Zbrajanjem površina stranica i baze dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.

Površina četverokutne piramide

Površina bočne površine je zbroj 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze morat će se tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide opet se dobije zbrajanjem površine baze i ukupne površine date piramide.

Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbroja površina njezinih bočnih stranica.

U četverokutnoj piramidi postoje dvije vrste lica - četverokut u osnovi i trokuti sa zajedničkim vrhom, koji čine bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formulu za površinu trokuta ili također možete koristiti formulu za površinu četverokutne piramide (samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i poznata je duljina brida a baze i apotema h privučena njoj, tada je:

Ako su prema uvjetima zadane duljina brida c pravilne piramide i duljina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost pomoću sljedeće formule:

Ako je zadana duljina brida na bazi i suprotnog oštar kut na vrhu, tada se površina bočne površine može izračunati omjerom kvadrata stranice a i dvostrukog kosinusa polovice kuta α:

Razmotrimo primjer izračuna površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.

Problem: Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Duljina ruba b = 7 cm, duljina osnovne stranice a = 4 cm Zamjena postavljene vrijednosti u formulu:

Pokazali smo izračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, morate rezultat pomnožiti s brojem lica, odnosno s 4. Ako je piramida proizvoljna i njezina lica nisu jednaka jedna drugoj, tada se mora izračunati površina za svaku pojedinačnu stranu. Ako je baza pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će prema tome i lica piramide također biti identična u parovima.
Formula za područje baze četverokutne piramide izravno ovisi o tome koji četverokut leži u bazi. Ako je piramida točna, tada se površina baze izračunava pomoću formule, ako je baza romb, tada ćete morati zapamtiti kako se nalazi. Ako u podnožju postoji pravokutnik, tada će pronalaženje njegove površine biti prilično jednostavno. Dovoljno je znati duljine stranica baze. Razmotrimo primjer izračuna površine baze četverokutne piramide.

Zadatak: Neka je dana piramida u čijoj osnovi leži pravokutnik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm.S vrha piramide na svaku od stranica spušten je apotem. h-a =4 cm, h-b =6 cm.Vrh piramide leži na istoj liniji na kojoj je sjecište dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četverokutne piramide sastoji se od zbroja površina svih lica i površine baze. Prvo, pronađimo područje baze:

Sada pogledajmo stranice piramide. U parovima su identični, jer visina piramide siječe točku presjeka dijagonala. To jest, u našoj piramidi postoje dva trokuta s bazom a i visina h-a, kao i dva trokuta s bazom b i visina h-b. Sada ćemo pronaći područje trokuta koristeći dobro poznatu formulu:

Sada ćemo izvesti primjer izračuna površine četverokutne piramide. U našoj piramidi s pravokutnikom u osnovi, formula bi izgledala ovako:

Trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.

U takvoj su piramidi rubovi baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, morate primijeniti formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je dana pravilna piramida. Stranica trokuta na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, pronaći ćemo opseg. Sjećamo se da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:

Zamijenimo podatke i pronađimo vrijednost:

Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu:

Da biste primijenili formulu za područje trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, morate pronaći područje baze poliedra. Da biste to učinili, upotrijebite formulu:

Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Moguće je koristiti bilo koji izračun parametara za određenu figuru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrimo primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.

Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta na bazi je a = 6 cm. Izračunajte površinu baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koji se nalazi u podnožju piramide. Zamijenimo podatke u formulu:

Vrlo često morate pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morat ćete zbrojiti površinu bočne površine i baze.

Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo površinu bočne površine pomoću već poznate formule. Izračunajmo opseg:

Zamijenite podatke u formulu:
Sada pronađimo područje baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide ne smijete zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.

upute

Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću različitih formula, ovisno o poznatim podacima:

S = (a*h)/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;

S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trokuta, a β kut između tih stranica;

S = (r*(a + b + c))/2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r polumjer kružnice upisane u ovaj trokut;

S = (a*b*c)/4*R, gdje je R polumjer trokuta opisanog krugu;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ako je trokut pravokutan);

S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).

Zapravo, ovo su samo najosnovnije poznate formule za pronalaženje površine trokuta.

Nakon što ste izračunali površine svih trokuta koji su lica piramide pomoću gornjih formula, možete početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi vrlo jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji tvore bočnu površinu piramide. To se može izraziti formulom:

Sp = ΣSi, gdje je Sp područje bočne površine, Si je područje i-tog trokuta, koji je dio njegove bočne površine.

Radi veće jasnoće, možemo razmotriti mali primjer: dana je redovita piramida, čije su bočne strane oblikovane jednakostraničnim trokutima, a na njezinoj osnovi leži kvadrat. Duljina ruba ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.

Rješenje: poznata je duljina brida ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostraničnog trokuta. Dakle, možemo reći da su sve stranice svih trokuta na bočnoj površini jednake 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Poznato je da u podnožju piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da su dana četiri jednakostranična trokuta. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm²

Prvo, izračunajmo površinu bočne površine piramide. Bočna ploha je zbroj površina svih bočnih ploha. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja ima pravilan mnogokut u svojoj bazi, a vrh je projiciran u središte tog mnogokuta), tada je za izračun cijele bočne površine dovoljno pomnožiti opseg s bazu (to jest, zbroj duljina svih stranica mnogokuta koji leži na osnovnoj piramidi) s visinom bočne strane (koja se inače naziva apotem) i podijelite dobivenu vrijednost s 2: Sb = 1/2P* h, gdje je Sb površina bočne površine, P je opseg baze, h je visina bočne strane (apotem).

Ako pred sobom imate proizvoljnu piramidu, morat ćete posebno izračunati površine svih ploha i zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, upotrijebite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b baza trokuta, a h visina. Kada su izračunate površine svih ploha, preostaje ih samo zbrojiti i dobiti površinu bočne plohe piramide.

Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Odabir formule za izračun ovisi o tome koji mnogokut leži u osnovi piramide: pravilan (to jest, jedan sa svim stranicama iste duljine) ili nepravilan. Površina pravilnog poligona može se izračunati množenjem perimetra s polumjerom upisane kružnice u poligon i dijeljenjem dobivene vrijednosti s 2: Sn = 1/2P*r, gdje je Sn površina mnogokut, P je opseg, a r je polumjer upisane kružnice u mnogokut.

Krnja piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom. Pronalaženje bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovice zbroja baza s . Razmotrimo primjer izračuna bočne površine. Pretpostavimo da nam je dana pravilna piramida. Duljine baze su b = 5 cm, c = 3 cm. Apotem a = 4 cm. Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći opseg baza. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednaka : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kad čovjek čuje za piramidu, zamišlja ogromne građevine u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali događaju se različiti tipovi i oblici, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.

Piramida - geometrijski lik, označavajući i predstavljajući nekoliko lica. U biti, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama su trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:

ispravan;
krnji.

U prvom slučaju baza je pravilan poligon. Sve je ovdje bočne površine jednak između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.

U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, krnja piramida je poliedar s presjekom formiranim paralelno s bazom.

Termini i simboli

Ključni pojmovi:

Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi kutovi su 60 stupnjeva. Figura je najjednostavniji pravilni poliedar. Ako ta figura leži na bazi, tada će se takav poliedar nazvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilnom četverokutna piramida.
Vertex– najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha oblikuje ravna linija koja se proteže od vrha do baze piramide.
Rub– jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnja piramida.
Odjeljak – ravna figura, formiran kao rezultat disekcije. Ne treba ga brkati s odjeljkom, budući da odjeljak također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
Apotema- segment nacrtan od vrha piramide do njezine baze. To je ujedno i visina lica na kojoj se nalazi druga visinska točka. Ova definicija vrijedi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije krnja piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotem.

Formule za površine

Nađite površinu bočne površine piramide bilo koja vrsta može se izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i mnogokut je sa različite strane, onda je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, trebate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračun kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima također će imati razlike.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je puno lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će u nastavku biti dane odgovarajuće formule. Inače biste morali sve ispisivati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunjivalo i zbunjivalo.

Osnovna formula za izračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:

S=½ Pa (P je opseg baze i apotem)

Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, a svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo treba pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze isto, možete ga pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.

Bočna površina pravilne trokutaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotem, b lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Zadan je lik s apotemom 5 cm i osnovnim rubom 8 cm. Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, a apotem. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.

Ovdje prvo morate pronaći opsege baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobivamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ove kalkulacije sa puna površina cijeli poliedar. A ako to još trebate učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.