Logaritmi

Povijest logaritama

Naziv je uveo Napier i dolazi od grčkih riječi logoz i ariumoz - doslovno znači "brojevi odnosa". Logaritme je izumio Napier. Napier je izumio logaritme najkasnije 1594. Logaritmi s bazom a predstavio učitelj matematike Speidel. Euler je riječ baza posudio iz teorije potencija i prenio je u teoriju logaritama. Glagol "logaritmirati" pojavio se u 19. stoljeću u Coppeu. Cauchy je prvi predložio uvođenje različitih znakova za decimale i prirodni logaritmi. Oznake bliske modernima uveo je njemački matematičar Pringsheim 1893. godine. On je bio taj koji je označio logaritam prirodni broj kroz ul. Definicija logaritma kao eksponenta zadane baze može se naći kod Wallisa (1665), Bernoullija (1694).

Definicija logaritma

Logaritam broj b>0 na bazu a>0, a ≠ 1, naziva se eksponent na koji treba podići broj a da bi se dobio broj b.

Logaritam broja b prema bazi a označava se: log a b

Osnovni logaritamski identitet

Ova jednakost je jednostavno još jedan oblik definicije logaritma. Često se naziva osnovni logaritamski identitet.

Primjer

1. 3=log 2 8, jer je 2³=8

2. ½=log 3 √3, jer je 3= √3

3. 3 log 3 1/5 =1/5

4. 2=log √5 5, budući da je (√5)²=5

Prirodni i decimalni logaritmi

Prirodno naziva se logaritam čija je baza jednaka e. Označava se s ln b, tj.

Decimal naziva se logaritam čija je baza 10. Označava se s lg b, tj.

Osnovna svojstva logaritama

Neka je: a > 0, a ≠ 1. Tada je:

1. log a x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. log a y/x=logax−logay (x>0, y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. log a p x=1/p*logax (x>0)

Primjer

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;

2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3=log 5 125= 3;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.

Oblici prijelaza logaritma po jednoj bazi u logaritam po drugoj bazi

1.log a b=log c b/log c a

2.log a b=1/log b a

Logaritamske jednadžbe

1) Jednadžbe koje sadrže varijablu pod predznakom logaritma (log) nazivaju se logaritamskim. Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba oblika: log a x=b, gdje je a>0 i a=1.

2) Rješenje logaritamske jednadžbe oblika: log a f(x)=log a g(x) (1) temelji se na činjenici da je ekvivalentno jednadžbi oblika f(x) = g(x) (2) sa dodatni uvjeti f(x)>0 i g(x)>0.

3) Pri prelasku s jednadžbe (1) na jednadžbu (2) mogu se pojaviti strani korijeni, stoga njihova identifikacija zahtijeva provjeru.

4) Pri rješavanju logaritamskih jednadžbi često se koristi metoda supstitucije.

Zaključak

Logaritam broj koji se može koristiti za pojednostavljenje mnogih složenih aritmetičkih operacija. Korištenje logaritama umjesto brojeva u izračunima omogućuje vam da zamijenite množenje jednostavnijim operacijama zbrajanja, dijeljenja oduzimanjem, potenciranje množenjem i vađenje korijena dijeljenjem.

Jedini način provedbe duga putovanja postojala je navigacija, koja je uvijek povezana s izvođenjem velikih količina navigacijskih proračuna. Sada je teško zamisliti proces iscrpljujućih izračuna prilikom množenja i dijeljenja pet-šestoznamenkastih brojeva "ručno". Teolog, po prirodi svoje glavne djelatnosti, baveći se trigonometrijskim izračunima u slobodno vrijeme, smislio je zamijeniti naporan postupak množenja jednostavnim zbrajanjem. On je sam rekao da mu je cilj bio “osloboditi se poteškoća i dosade izračunavanja koje mnoge obeshrabruje od proučavanja matematike.” Napori su okrunjeni uspjehom - stvoren je matematički aparat, nazvan sustav logaritama.

Dakle, što je logaritam? Osnova logaritamskih izračuna je drugačiji prikaz broja: umjesto uobičajenog položajnog sustava, na koji smo navikli, broj A se prikazuje u obliku izražaj moći, gdje se neki proizvoljni broj N, koji se naziva baza potencije, podiže na takvu potenciju n da je rezultat broj A. Dakle, n je logaritam broja A na bazu N. Izbor baze logaritama određuje naziv sustava. Za jednostavne izračune koristi se decimalni sustav logaritama, au znanosti i tehnici široko se koristi sustav prirodnih logaritama, gdje je baza iracionalni broj e = 2,718. Izraz koji definira logaritam broja A zapisan je matematičkim jezikom na sljedeći način:

n=log(N)A, gdje je N radix.

Decimalni i prirodni logaritmi imaju svoj specifičan skraćeni oblik - lgA odnosno lnA.

U sustavu izračuna koji koristi logaritme, glavni element je pretvaranje broja u potenciju pomoću tablice logaritama na neku bazu, na primjer 10. Ova manipulacija ne predstavlja nikakve poteškoće. Zatim koristimo svojstvo potencije brojeva, a to je da kada se pomnože, njihove se potencije zbrajaju. U praksi to znači da se množenje brojeva s logaritamskim prikazom zamjenjuje zbrajanjem njihovih potencija. Dakle, pitanje "što je logaritam", ako se nastavi na "zašto nam treba", ima jednostavan odgovor - da se pojednostavi postupak množenja i dijeljenja višeznamenkastih brojeva - uostalom, zbrajanje stupaca puno je jednostavnije nego množenje stupaca. Tko ne vjeruje neka pokuša zbrojiti i pomnožiti dva osmeroznamenkasta broja.

Prve tablice logaritama (temeljene na c) objavio je John Napier 1614. godine, a potpuno bezgrešna verzija, uključujući tablice decimalnih logaritama, pojavila se 1857. godine i poznata je kao Bremikerove tablice. Upotreba logaritama s bazom u oblik je zbog činjenice da se broj e vrlo jednostavno može dobiti kroz Taylorov niz koji ima široka primjena u integralnom i

Bit ovog računalnog sustava sadržana je u odgovoru na pitanje “što je logaritam” i proizlazi iz osnovnog logaritamskog identiteta: N(logaritamska baza) n, jednako logaritmu broja A(logA), jednako je ovaj broj A. U ovom slučaju A>0, tj. logaritam je definiran samo za pozitivne brojeve, a baza logaritma je uvijek veća od 0, a ne jednaka 1. Na temelju navedenog, svojstva prirodnog logaritma mogu se formulirati na sljedeći način:

1. Područje definiranja prirodnog logaritma je cijela numerička os od 0 do beskonačnosti.
2. ln x = 0 - posljedica poznate relacije - svaki broj na nultu potenciju jednak je 1.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - najvažnije svojstvo za računalne manipulacije je logaritam umnoška dvaju ramenovih brojeva i zbroja logaritama svakog od njih.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - logaritam kvocijenta dvaju brojeva jednak je razlici logaritama tih brojeva.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Prirodni logaritam je diferencijabilna, prema gore konveksna funkcija, s ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - logaritam na bilo koju pozitivnu bazu različitu od broja e razlikuje se od prirodnog samo za koeficijent.

Sada svaki školarac zna što je logaritam, ali zahvaljujući napretku u polju prim računalna tehnologija Računalni problemi su stvar prošlosti. No, logaritmi se, već kao matematički alat, koriste pri rješavanju jednadžbi s nepoznanicama u eksponentu, u izrazima za određivanje vremena

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjeruješ mi? Fino. Sada, u samo 10 - 20 minuta vi:

1. Razumjet ćete što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste ništa čuli o njima.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete trebati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na potenciju...

Osjećam da sumnjate... Dobro, označite vrijeme! Ići!

Prvo riješite ovu jednadžbu u glavi:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada, zapravo, definicija logaritma:

Baza a logaritma od x je potencija na koju a mora biti podignuto da bi se dobio x.

Zapis: log a x = b, gdje je a baza, x argument, b je ono čemu je zapravo jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom, zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se logaritmiranje. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). Mnogi ljudi isprva brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Izbjeći mučni nesporazumi, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je potencija, u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na što se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju regija prihvatljive vrijednosti (ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada samo razmatramo numerički izrazi, gdje nije potrebno znati CVD logaritma. Sva su ograničenja već uzeta u obzir od strane autora problema. Ali kad odu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada pogledajmo opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude više od jednog, vrlo je relevantan: smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto s decimale: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će mnogo manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira koristeći konkretne primjere:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. A ako se takvi faktori ne mogu sakupiti u potencije s istim eksponentima, tada izvorni broj nije točna potencija.

Zadatak. Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Napomenimo i to da mi sami primarni brojevi uvijek su sami sebi točni stupnjevi.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

Decimalni logaritam od x je logaritam na bazi 10, tj. Potencija na koju treba podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam prema bazi e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

U šesnaestom stoljeću navigacija se brzo razvija. Stoga zapažanja o nebeska tijela. Da bi se pojednostavili astronomski izračuni, u kasnom 16. i ranom 17. stoljeću, logaritamska izračunavanja.

Vrijednost logaritamske metode leži u reduciranju množenja i dijeljenja brojeva na zbrajanje i oduzimanje. Manje radno intenzivne radnje. Pogotovo ako morate raditi s višeznamenkastim brojevima.

Bürgi metoda

Prve logaritamske tablice sastavio je švicarski matematičar Joost Bürgi 1590. godine. Suština njegove metode bila je sljedeća.

Za množenje npr. 10.000 s 1.000 dovoljno je prebrojati broj nula u množitelju i množitelju, zbrojiti ih (4 + 3) i umnožak napisati 10.000.000 (7 nula). Faktori su cjelobrojni potencije broja 10. Pri množenju se zbrajaju eksponenti potencija. Obavlja se i podjela. Zamjenjuje se oduzimanjem eksponenata.

Dakle, ne mogu se svi brojevi dijeliti i množiti. Ali bit će ih više ako za bazu uzmete broj blizak 1. Na primjer, 1,000001.

To je ono što je prije četiri stotine godina učinio matematičar Jost Bürgi. Istina, svoje djelo “Aritmetičke i geometrijske tablice, zajedno s temeljitim uputama...” objavio je tek 1620. godine.

Jost Bürgi rođen je 28. veljače 1552. u Lihtenštajnu. Od 1579. do 1604. služio je kao dvorski astronom za Landgrofa Hesse-Kassela, Wilhelma IV. Kasnije kod cara Rudolfa II u Pragu. Godinu dana prije smrti, 1631., u Kasselu. Bürgi je poznat i kao izumitelj prvog sata s klatnom.

Napierove tablice

Godine 1614. pojavile su se tablice Johna Napiera. Ovaj je znanstvenik također uzeo kao bazu broj blizak jedan. Ali bilo je manje od jednog.

Škotski barun John Napier (1550.-1617.) studirao je u domovini. Volio putovati. Posjetio Njemačku, Francusku i Španjolsku. U dobi od 21 godine vratio se na obiteljsko imanje u blizini Edinburgha i tamo živio do smrti. Studirao je teologiju i matematiku. Potonje je proučavao iz djela Euklida, Arhimeda i Kopernika.

Decimalni logaritmi

Napier i Englez Brigg došli su na ideju sastavljanja tablice decimalnih logaritama. Zajedno su počeli raditi na ponovnom izračunavanju prethodno sastavljenih Napierovih tablica. Nakon Napierove smrti, Brigg ga je nastavio. Djelo je objavio 1624. godine. Stoga se decimale nazivaju i briggian.

Sastavljanje logaritamskih tablica od znanstvenika je zahtijevalo mnogo godina napornog rada. Ali produktivnost tisuća kalkulatora koji su koristili tablice koje su sastavili višestruko se povećala.