Ostale su 3 sekunde do kraja finalne utakmice košarkaškog turnira Olimpijskih igara u Münchenu 1972. godine. Amerikanci - tim SAD - već su slavili pobjedu! Naša momčad - reprezentacija SSSR-a - pobijedila je s 10-ak razlike protiv velikog Dream Teama...

Nekoliko minuta prije kraja utakmice. No, ispustivši svu prednost na kraju je već gubila jedan poen 49:50. Onda se dogodilo nevjerojatno! Ivan Edeshko ubacuje loptu iza čelne linije preko cijelog igrališta ispod američkog ringa, gdje naš centar Alexander Belov, okružen dvojicom protivnika, prima loptu i ubacuje je u koš. 51:50 – Olimpijski smo prvaci!!!

Kao dijete tada sam doživio najjače emocije - prvo razočarenje i ogorčenost, potom ludo oduševljenje! Emocionalno sjećanje na ovu epizodu urezano mi je u svijest do kraja života! Pogledajte video na internetu na zahtjev "zlatnog bacanja Aleksandra Belova", nećete požaliti.

Amerikanci tada nisu priznali poraz i odbili su primiti srebrne medalje. Može li se u tri sekunde napraviti ono što su naši igrači? Prisjetimo se fizike!

U ovom ćemo članku razmotriti kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontali, izradit ćemo program u Excelu za rješavanje ovog problema kada razne kombinacije izvorne podatke i pokušati odgovoriti na gore postavljeno pitanje.

Ovo je prilično dobro poznat problem u fizici. U našem slučaju tijelo bačeno pod kutom prema horizontali je košarkaška lopta. Izračunat ćemo početnu brzinu, vrijeme i putanju lopte koju je preko cijelog terena bacio Ivan Edeshko i koja je pala u ruke Alexandera Belova.

Matematika i fizika košarkaškog leta.

Formule i izračuni prikazani u nastavku suexcel univerzalni su za širok raspon problema o tijelima bačenim pod kutom u odnosu na horizont i leteći duž parabolične putanje bez uzimanja u obzir utjecaja trenja zraka.

Dijagram izračuna prikazan je na donjoj slici. Pokrenite MS Excel ili OOo Calc.

Početni podaci:

1. Budući da se nalazimo na planeti Zemlji i razmatramo balistički problem - kretanje tijela u gravitacijskom polju Zemlje, prvo što ćemo učiniti je napisati glavnu karakteristiku gravitacijsko polje– ubrzanje slobodan pad g u m/s 2

u ćeliju D3: 9,81

2. Dimenzije košarkaškog terena su 28 metara dužine i 15 metara širine. Vodoravna udaljenost lopte od gotovo cijelog terena do obruča od suprotne osnovne linije x pisati u metrima

u ćeliju D4: 27,000

3. Ako pretpostavimo da je Edeshko izveo bacanje s visine od oko dva metra, a Belov uhvatio loptu tek negdje u visini obruča, tada je s visinom košarkaškog obruča od 3,05 metara okomita udaljenost između točaka odlaska i dolaska kuglice će biti 1 metar. Zapišimo okomiti pomak g u metrima

u ćeliju D5: 1,000

4. Prema mojim mjerenjima na videu, uzletni kut lopte je α 0 od Edeshkovih ruku nije prelazio 20°. Unesite ovu vrijednost

u ćeliju D6: 20,000

Rezultati izračuna:

Osnovne jednadžbe koje opisuju gibanje tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizont bez uzimanja u obzir otpora zraka:

x =v 0*cos α 0 *t

g =v 0*grijeh α 0 *t -g *t 2 /2

5. Izrazimo vrijeme t iz prve jednadžbe, zamijenite je u drugu i izračunajte početnu brzinu lopte v 0 u m/s

u ćeliji D8: =(D3*D4^2/2/COS (RADIJANI(D6))^2/(D4*TAN (RADIJANI(D6)) -D5))^0,5 =21,418

v 0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y )) 0,5

6. Vrijeme leta lopte iz Edeshkovih ruku u Belovljeve ruke t Izračunajmo u sekundama, znajući sada v 0 , iz prve jednadžbe

u ćeliji D9: =D4/D8/COS (RADIJANI(D6)) =1,342

t = x /(v 0 * cosα 0 )

7. Nađimo kut smjera brzine leta lopte α ja na točki putanje koja nas zanima. Da bismo to učinili, napišemo početni par jednadžbi u sljedećem obliku:

g =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(cosα 0 ) 2)

Ovo je jednadžba parabole - putanje leta.

Moramo pronaći kut nagiba tangente na parabolu u točki koja nas zanima - to će biti kut α ja. Da biste to učinili, uzmite derivaciju, koja je tangens kuta tangente:

da =tgα 0 -g *x /(v 0 2*(cosα 0 ) 2)

Izračunajmo kut dolaska lopte u Belovljeve ruke α ja u stupnjevima

u ćeliji D10: =ATAN (TAN (RADIJANI(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (RADIJANI(D6))^2)/PI()*180 =-16,167

α ja = arctgg ’ = arctg(tgα 0 — g * x /(v 0 2 *(cosα 0 ) 2))

Obračun u Excelu je u osnovi završen.

Ostale mogućnosti plaćanja:

Koristeći napisani program, možete brzo i jednostavno izvesti izračune s drugim kombinacijama početnih podataka.

Neka zadana vodoravna x = 27 metara , vertikalna g = 1 metar dometa leta i početne brzine v 0 = 25 m/s.

Moramo pronaći vrijeme leta t i odlazni kutovi α 0 i dolazak α ja

Upotrijebimo uslugu MS Excel "Odabir parametara". Više puta sam detaljno objasnio kako ga koristiti u nekoliko članaka na blogu. Možete pročitati više o korištenju ove usluge.

Vrijednost u ćeliji D8 postavljamo na 25 000 tako da promijenimo vrijednost u ćeliji D6 odabirom iste. Rezultat je na slici ispod.

Izvorni podaci u ovoj verziji izračuna u Excelu (kao i u prethodnoj) označeni su plavim okvirima, a rezultati ocrtani crvenim pravokutnim okvirima!

Postavljanje u stolExcel neka vrijednost od interesa u jednoj od ćelija sa svijetložutom ispunom odabirom promijenjene vrijednosti u jednoj od ćelija sa svijetlo tirkiznom ispunom može se dobiti u opći slučaj deset razne opcije rješavanje problema gibanja tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizont s deset različitih skupova početnih podataka!!!

Odgovor na pitanje:

Odgovorimo na pitanje postavljeno na početku članka. Lopta koju je poslao Ivan Edeshko doletjela je do Belova za 1,342 sekunde, prema našem izračunu. Alexander Belov uhvatio je loptu, doskočio, skočio i bacio. Za sve to imao je dosta vremena - 1,658 sekundi! Ovo je stvarno dovoljno vremena! Detaljan pregled video materijala potvrđuje navedeno. Naši igrači imali su tri sekunde da loptu sa svoje osnovne linije dopreme do protivničke ploče i ubace je u obruč, upisavši se zlatnim slovima u povijest košarke!

preklinjem pun poštovanja autorsko djelo Preuzmi datoteku nakon pretplate za najave članaka!

Ako se tijelo baci pod kutom prema horizontu, tada na njega u letu djeluju sila teže i sila otpora zraka. Ako se zanemari sila otpora, onda je jedina preostala sila gravitacija. Dakle, prema 2. Newtonovom zakonu, tijelo se giba akceleracijom jednakom akceleraciji sile teže; projekcije ubrzanja na koordinatne osi ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematičke karakteristike tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizontalu

Bilo koje složeno kretanje materijalnu točku možemo prikazati kao superpoziciju neovisnih gibanja duž koordinatnih osi, a u smjeru različitih osi vrsta gibanja može se razlikovati. U našem slučaju, gibanje letećeg tijela može se prikazati kao superpozicija dvaju neovisnih gibanja: jednolikog gibanja po horizontalnoj osi (X-os) i jednoliko ubrzanog gibanja po okomitoj osi (Y-osi) (slika 1). .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je kut bacanja.

S našim odabirom ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. Tada dobivamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme gibanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavimo koordinatu y jednaku nuli, jer u trenutku doskoka visina tijela je nula. Odavde dobivamo vrijeme leta:

Druga vremenska vrijednost pri kojoj je visina nula je nula, što odgovara trenutku bacanja, tj. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta dobivamo iz prve formule (1). Domet leta je vrijednost x koordinate na kraju leta, tj. u vremenu jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobivamo:

Iz ove formule je vidljivo da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stupnjeva.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, trebate zamijeniti vremensku vrijednost jednaku polovici vremena leta (2) u ovu formulu, jer Maksimalna visina leta je na sredini putanje. Provodeći izračune, dobivamo

Iz jednadžbi (1) može se dobiti jednadžba putanje tijela, tj. jednadžba koja povezuje x i y koordinate tijela tijekom gibanja. Da biste to učinili, morate izraziti vrijeme iz prve jednadžbe (1):

i zamijenite ga u drugu jednadžbu. Tada dobivamo:

Ova jednadžba je jednadžba putanje gibanja. Može se vidjeti da je ovo jednadžba parabole s njezinim granama prema dolje, kao što je naznačeno znakom "-" ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su kut bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje jednostavno konstante, tj. stalni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod kutom $(\mathbf \alpha )$ u odnosu na horizont. Vrijeme leta $t = 2 s$. Na koju visinu Hmax će se tijelo podići?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon gibanja tijela ima oblik:

$$\lijevo\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Vektor početne brzine čini kut $(\mathbf \alpha )$ s osi OX. Stoga,

\ \ \

Kamen je bačen s vrha planine pod kutom = 30$()^\circ$ u odnosu na horizont početnom brzinom $v_0 = 6 m/s$. Kut nagnute ravnine = 30$()^\circ$. Na kojoj će udaljenosti od točke bacanja pasti kamen?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo ishodište koordinata u točku bacanja, OX - duž nagnute ravnine prema dolje, OY - okomito na nagnutu ravninu prema gore. Kinematičke karakteristike kretanja:

Zakon gibanja:

$$\lijevo\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(niz) \right.$$ \

Zamjenom dobivene vrijednosti $t_V$, nalazimo $S$:

Neka tijelo bude bačeno pod kutom α prema horizontu brzinom \(~\vec \upsilon_0\). Kao iu prethodnim slučajevima, zanemarit ćemo otpor zraka. Za opis kretanja potrebno je odabrati dvije koordinatne osi - Vol I Joj(Sl. 1). Referentna točka je kompatibilna s početnim položajem tijela. Projekcije početne brzine na os Joj I Vol\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Projekcije ubrzanja: g x = 0; g y = - g.

Tada će gibanje tijela biti opisano jednadžbama:

\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \ alfa t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)

Iz ovih formula proizlazi da se u vodoravnom smjeru tijelo giba jednoliko brzinom \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), a u okomitom smjeru - jednoliko ubrzano.

Putanja tijela bit će parabola. S obzirom da se u gornjoj točki parabole υ y = 0, možete pronaći vrijeme t 1 podizanje tijela do gornje točke parabole:

\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)\)

Zamjena vrijednosti t 1 u jednadžbu (3), nalazimo najveću visinu dizanja tijela:

\(~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),\) \(~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)\) - najveća visina dizanja tijela.

Vrijeme leta tijela nalazimo iz uvjeta da pri t = t 2. koordinata g 2 = 0. Prema tome, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0\). Stoga je \(~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)\) vrijeme leta tijela. Uspoređujući ovu formulu s formulom (5), vidimo da t 2 = 2 t 1 . Vrijeme kretanja tijela s najveće visine t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Prema tome, vrijeme koje je potrebno tijelu da se podigne na svoju maksimalnu visinu isto je vrijeme koje je potrebno da se spusti s te visine. Zamjena koordinata u jednadžbu x(1) vremenska vrijednost t 2, nalazimo:

\(~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)\) - domet leta tijela .

Trenutna brzina u bilo kojoj točki putanje usmjerena je tangencijalno na putanju (vidi sliku 1). Modul brzine određuje se formulom

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .\)

Dakle, gibanje tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizont ili u vodoravnom smjeru možemo smatrati rezultatom dvaju neovisnih gibanja - vodoravnog ravnomjernog i okomitog jednoliko ubrzanog (slobodnog pada bez početne brzine ili gibanja tijela bačenog okomito). prema gore).

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u Srednja škola: Teorija. Zadaci. Testovi: Udžbenik. dodatak za ustanove općeg obrazovanja. okoliš, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; ur. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 16-17.

Ispod su uvjeti problema i skenirana rješenja. Ako trebate riješiti problem na ovu temu, ovdje možete pronaći sličan uvjet i riješiti svoj po analogiji. Učitavanje stranice može potrajati neko vrijeme zbog velikog broja slika. Ako trebate rješavanje problema ili online pomoć u fizici, obratite nam se, rado ćemo vam pomoći.

Princip rješavanja ovih problema je rastavljanje brzine slobodno padajućeg tijela na dvije komponente - horizontalnu i vertikalnu. Horizontalna komponenta brzine je konstantna, vertikalno kretanje se odvija s akceleracijom slobodnog pada g=9,8 m/s 2 . Može se primijeniti i zakon očuvanja mehanička energija, prema kojem je zbroj potencijalne i kinetičke energije tijela u ovom slučaju konstantan.

Materijalna točka je bačena pod kutom prema horizontu početnom brzinom od 15 m/s. Početna kinetička energija je 3 puta veća od kinetičke energije točke na vrhu putanje. Koliko se visoko povisila točka?

Tijelo je bačeno pod kutom od 40 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom 10 m/s. Nađite udaljenost koju će tijelo preletjeti prije pada, visinu uspona u gornjoj točki putanje i vrijeme leta.

Tijelo je bačeno s tornja visine H, pod kutom α u odnosu na horizontalu, početnom brzinom v. Pronađite udaljenost od tornja do mjesta gdje je tijelo palo.

Tijelo mase 0,5 kg bačeno je s površine Zemlje pod kutom od 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu, početnom brzinom 10 m/s. Nađite potencijalnu i kinetičku energiju tijela nakon 0,4 s.

Materijalna točka bačena je uvis sa Zemljine površine pod kutom prema horizontu početnom brzinom od 10 m/s. Odredite brzinu točke na visini od 3 m.

Tijelo je bačeno uvis sa Zemljine površine pod kutom od 60 stupnjeva početnom brzinom od 10 m/s. Odredite udaljenost do mjesta udara, brzinu tijela na mjestu udara i vrijeme leta.

Tijelo je bačeno uvis pod kutom prema horizontali početnom brzinom 20 m/s. Udaljenost do točke pada je 4 puta veća od maksimalne visine dizanja. Odredite kut pod kojim je tijelo bačeno.

Tijelo je bačeno s visine 5 m pod kutom 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom 22 m/s. Odredi domet leta tijela i vrijeme leta tijela.

Tijelo je bačeno sa Zemljine površine pod kutom prema horizontu početnom brzinom 30 m/s. Pronađite tangencijalni i normalno ubrzanje tijela 1s nakon bacanja.

Tijelo je bačeno s površine Zesli pod kutom od 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom od 14,7 m/s. Nađite tangencijalnu i normalnu akceleraciju tijela 1,25 s nakon bacanja.

Tijelo je bačeno pod kutom od 60 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom 20 m/s. Nakon kojeg vremena će kut između brzine i horizonta postati 45 stupnjeva?

Bačena lopta u teretani pod kutom prema horizontu,s početnom brzinom od 20 m/s, na vrhu putanje dotaknuo je strop na visini od 8 m i pao na određenoj udaljenosti od mjesta bacanja. Nađite tu udaljenost i kut pod kojim je tijelo bačeno.

Tijelo bačeno s površine Zemlje pod kutom prema horizontu palo je nakon 2,2 s. Pronađite najveću visinu podizanja tijela.

Kamen se baca pod kutom od 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu. Kamen je dva puta dosegao određenu visinu - 1 s i 3 s nakon što je bačen. Nađite tu visinu i početnu brzinu kamena.

Kamen je bačen pod kutom od 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom 10 m/s. Odredi udaljenost od točke bacanja do kamena nakon 4 s.

Projektil se ispaljuje u trenutku kada avion prelijeće top, pod kutom prema horizontu, početnom brzinom od 500 m/s. Granata je pogodila avion na visini od 3,5 km 10 sekundi nakon ispaljivanja. Kolika je brzina aviona?

Topovsko zrno mase 5 kg bačeno je s površine Zemlje pod kutom od 60 stupnjeva u odnosu na horizontalu. Energija potrošena za ubrzanje utega je 500 J. Odredite domet i vrijeme leta.

Tijelo je bačeno s visine 100 m pod kutom 30 stupnjeva u odnosu na horizontalu početnom brzinom 5 m/s. Pronađite domet leta tijela.

Tijelo mase 200 g, bačeno s površine Zemlje pod kutom prema horizontu, palo je na udaljenost od 5 m nakon vremena od 1,2 s. Nađi posao bacanja tijela.

Kinematika - to je jednostavno!

Nakon bacanja, u letu, na tijelo djeluje sila teže Ft i sila otpora zraka Fs.
Ako se tijelo giba malim brzinama, tada se sila otpora zraka obično ne uzima u obzir pri proračunu.
Dakle, možemo pretpostaviti da na tijelo djeluje samo sila teže, što znači da je kretanje bačenog tijela slobodan pad.
Ako se radi o slobodnom padu, tada je akceleracija bačenog tijela jednaka akceleraciji slobodnog pada g.
Na malim visinama u odnosu na Zemljinu površinu sila teže Ft praktički se ne mijenja, pa se tijelo giba konstantnom akceleracijom.

Dakle, kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu je varijanta slobodnog pada, tj. kretanje s konstantnom akceleracijom i zakrivljenom putanjom(budući da se vektori brzine i ubrzanja ne podudaraju u smjeru).

Formule za ovo kretanje u vektorskom obliku: Za izračunavanje gibanja tijela odabire se pravokutni XOY koordinatni sustav, jer putanja tijela je parabola koja leži u ravnini koja prolazi vektorima Ft i Vo.
Ishodište koordinata obično se bira kao točka u kojoj se bačeno tijelo počinje gibati.

U svakom trenutku promjena brzine gibanja tijela u smjeru koincidira s akceleracijom.

Vektor brzine tijela u bilo kojoj točki putanje može se rastaviti na 2 komponente: vektor V x i vektor V y.
U bilo kojem trenutku, brzina tijela bit će određena kao geometrijski zbroj ovih vektora:

Prema slici, projekcije vektora brzine na koordinatne osi OX i OY izgledaju ovako:

Izračun brzine tijela u bilo kojem trenutku:

Izračun kretanja tijela u bilo kojem trenutku:

Svaka točka na putanji kretanja tijela odgovara koordinatama X i Y:

Formule za izračun koordinata bačenog tijela u bilo kojem trenutku:

Iz jednadžbe gibanja mogu se izvesti formule za izračun najvećeg dometa leta L:

i najveća visina leta H:

p.s.
1. S jednakim početnim brzinama Vo, raspon leta:
- povećava se ako se početni kut bacanja poveća s 0 o na 45 o,
- smanjuje se ako se početni kut bacanja poveća sa 45 o na 90 o.

2. Pri jednakim početnim kutovima bacanja domet leta L raste s povećanjem početne brzine Vo.

3. Poseban slučaj gibanja tijela bačenog pod kutom u odnosu na horizontalu je kretanje tijela bačenog vodoravno, dok je početni kut bacanja nula.