sin funkcije, cos, tg i ctg uvijek su popraćeni arksinusom, arkosinusom, arktangensom i arkotangensom. Jedna je posljedica druge, a parovi funkcija jednako su važni za rad s trigonometrijskim izrazima.

Pogledajmo crtež jedinični krug, koji grafički prikazuje vrijednosti trigonometrijske funkcije.

Ako izračunamo lukove OA, arcos OC, arctg DE i arcctg MK, tada će svi oni biti jednaki vrijednosti kuta α. Donje formule odražavaju odnos između osnovnih trigonometrijskih funkcija i njihovih odgovarajućih lukova.

Da bismo razumjeli više o svojstvima arkusina, potrebno je razmotriti njegovu funkciju. Raspored ima oblik asimetrične krivulje koja prolazi kroz koordinatni centar.

Svojstva arkusina:

Ako usporedimo grafove grijeh I arcsin, dvije trigonometrijske funkcije mogu imati zajedničke obrasce.

arc kosinus

Arccos broja je vrijednost kuta α, čiji je kosinus jednak a.

Zavoj y = arcos x ogledala arcsin graf x, s jedinom razlikom što prolazi kroz točku π/2 na OY osi.

Pogledajmo detaljnije funkciju ark kosinusa:

1. Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
2. ODZ za arccos - .
3. Graf se u cijelosti nalazi u prvoj i drugoj četvrtini, a sama funkcija nije niti parna niti neparna.
4. Y = 0 na x = 1.
5. Krivulja se cijelom dužinom smanjuje. Neka svojstva ark kosinusa podudaraju se s kosinusnom funkcijom.

Neka svojstva ark kosinusa podudaraju se s kosinusnom funkcijom.

Možda će školarci takvo "detaljno" proučavanje "lukova" smatrati nepotrebnim. Međutim, inače, neke osnovne tipične Zadaci Jedinstvenog državnog ispita može dovesti učenike u zabunu.

Vježba 1. Označite funkcije prikazane na slici.

Odgovor: riža. 1 – 4, sl. 2 – 1.

U ovom primjeru naglasak je na sitnicama. Tipično, učenici su vrlo nepažljivi prema konstrukciji grafova i izgledu funkcija. Doista, zašto pamtiti vrstu krivulje ako se uvijek može iscrtati pomoću izračunatih točaka. Ne zaboravite da će u uvjetima testiranja vrijeme potrošeno na crtanje jednostavnog zadatka biti potrebno za rješavanje složenijih zadataka.

Arktangens

Arctg brojevi a su vrijednost kuta α tako da je njegov tangens jednak a.

Ako uzmemo u obzir arktangentni graf, možemo istaknuti sljedeća svojstva:

1. Graf je beskonačan i definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens neparna funkcija, dakle, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 na x = 0.
4. Krivulja raste kroz cijelo područje definicije.

Evo ukratko komparativna analiza tg x i arctg x u obliku tablice.

Arkotangens

Arcctg broja - uzima vrijednost α iz intervala (0; π) tako da mu je kotangens jednak a.

Svojstva ark kotangens funkcije:

1. Interval definiranja funkcije je beskonačan.
2. Regija prihvatljive vrijednosti– interval (0; π).
3. F(x) nije ni paran ni neparan.
4. Cijelom dužinom graf funkcije pada.

Vrlo je jednostavno usporediti ctg x i arctg x, samo trebate napraviti dva crteža i opisati ponašanje krivulja.

Zadatak 2. Povežite graf i oblik zapisa funkcije.

Ako logično razmišljamo, iz grafova je jasno da obje funkcije rastu. Stoga obje slike prikazuju određenu arctan funkciju. Iz svojstava arktangensa poznato je da je y=0 pri x = 0,

Odgovor: riža. 1 – 1, sl. 2 – 4.

Trigonometrijski identiteti arcsin, arcos, arctg i arcctg

Prethodno smo već identificirali odnos između lukova i osnovnih funkcija trigonometrije. Ta se ovisnost može izraziti nizom formula koje omogućuju izražavanje, na primjer, sinusa argumenta kroz njegov arksinus, arkosinus ili obrnuto. Poznavanje takvih identiteta može biti korisno pri rješavanju konkretnih primjera.

Također postoje odnosi za arctg i arcctg:

Još jedan koristan par formula postavlja vrijednost za zbroj arcsin i arcos, kao i arcctg i arcctg istog kuta.

Primjeri rješavanja problema

Zadaci trigonometrije mogu se podijeliti u četiri skupine: izračunati numerička vrijednost specifični izraz, konstruirajte graf ove funkcije, pronađite njezinu domenu definicije ili ODZ i izvršite analitičke transformacije za rješavanje primjera.

Prilikom rješavanja prve vrste problema morate se pridržavati sljedećeg akcijskog plana:

Kada radite s funkcijskim grafovima, glavna stvar je poznavanje njihovih svojstava i izgled iskrivljena. Za rješenja trigonometrijske jednadžbe i nejednakosti, potrebne su tablice identiteta. Što više formula učenik zapamti, lakše će pronaći odgovor na zadatak.

Recimo da na Jedinstvenom državnom ispitu trebate pronaći odgovor za jednadžbu poput:

Ako ispravno transformiramo izraz i dovedemo do pravi tip, onda je rješavanje vrlo jednostavno i brzo. Prvo, pomaknimo arcsin x na desnu stranu jednakosti.

Ako se sjećate formule arcsin (sin α) = α, onda možemo svesti potragu za odgovorima na rješavanje sustava dviju jednadžbi:

Ograničenje na model x proizašlo je, opet iz svojstava arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Kada je a ≠0, dio sustava jest kvadratna jednadžba s korijenima x1 = 1 i x2 = - 1/a. Kada je a = 0, x će biti jednako 1.

Lekcija i prezentacija na temu: "Arcsinus. Tablica arcsinusa. Formula y=arcsin(x)"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Softversko okruženje "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru

Što ćemo proučavati:
1. Što je arcsinus?
2. Oznaka arkusina.
3. Malo povijesti.
4. Definicija.

6. Primjeri.

Što je arcsinus?

Dečki, već smo naučili rješavati jednadžbe za kosinus, naučimo sada rješavati slične jednadžbe za sinus. Uzmite u obzir sin(x)= √3/2. Da biste riješili ovu jednadžbu, trebate konstruirati ravnu liniju y= √3/2 i vidjeti u kojim se točkama siječe brojčani krug. Vidi se da pravac siječe kružnicu u dvije točke F i G. Te točke će biti rješenje naše jednadžbe. Označimo F kao x1, a G kao x2. Već smo pronašli rješenje ove jednadžbe i dobili: x1= π/3 + 2πk,
i x2= 2π/3 + 2πk.

Odlučiti dana jednadžba prilično jednostavno, ali kako riješiti, na primjer, jednadžbu
sin(x)= 5/6. Očito, ova jednadžba će također imati dva korijena, ali koje vrijednosti će odgovarati rješenju na brojevnom krugu? Pogledajmo pobliže našu jednadžbu sin(x)= 5/6.
Rješenje naše jednadžbe bit će dvije točke: F= x1 + 2πk i G= x2 ​​​​+ 2πk,
gdje je x1 duljina luka AF, x2 duljina luka AG.
Napomena: x2= π - x1, jer AF= AC - FC, ali FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Ali koje su to točke?

Suočeni sa sličnom situacijom, matematičari su smislili novi simbol - arcsin(x). Čitati kao arkusinus.

Tada će rješenje naše jednadžbe biti napisano na sljedeći način: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

A rješenje je opći pogled: x= arcsin(5/6) + 2πk i x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arksinus je kut (duljina luka AF, AG) sinus, koji je jednak 5/6.

Malo povijesti arkusina

Povijest podrijetla našeg simbola potpuno je ista kao i povijest arccosa. Simbol arcsin prvi put se pojavljuje u djelima matematičara Scherfera i poznatog francuskog znanstvenika J.L. Lagrange. Nešto ranije pojam arcsinusa razmatrao je D. Bernouli, iako ga je pisao drugačijim simbolima.

Ovi su simboli postali općeprihvaćeni tek u krajem XVIII stoljeća. Prefiks "luk" dolazi od latinskog "arcus" (luk, luk). Ovo je sasvim u skladu sa značenjem koncepta: arcsin x je kut (ili bi se moglo reći luk) čiji je sinus jednak x.

Definicija arkusina

Ako je |a|≤ 1, tada je arcsin(a) broj iz segmenta [- π/2; π/2], čiji je sinus jednak a.

Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba sin(x)= a ima rješenje: x= arcsin(a) + 2πk i
x= π - arcsin(a) + 2πk

Prepišimo:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Dečki, pažljivo pogledajte naša dva rješenja. Što mislite: mogu li se zapisati općom formulom? Imajte na umu da ako postoji znak plus ispred arkusina, tada se π množi s Parni broj 2πk, a ako je predznak minus, tada je množitelj neparan 2k+1.
Uzimajući to u obzir, napišimo opća formula rješenja za jednadžbu sin(x)=a:

Postoje tri slučaja u kojima je poželjno zapisati rješenja na jednostavniji način:

sin(x)=0, tada je x= πk,

sin(x)=1, tada je x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, tada je x= -π/2 + 2πk.

Za bilo koji -1 ≤ a ≤ 1 vrijedi jednakost: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Napišimo tablicu vrijednosti kosinusa obrnuto i dobijemo tablicu za arkusinus.

Primjeri

1. Izračunajte: arcsin(√3/2).
Rješenje: Neka je arcsin(√3/2)= x, tada je sin(x)= √3/2. Prema definiciji: - π/2 ≤x≤ π/2. Pogledajmo vrijednosti sinusa u tablici: x= π/3, jer sin(π/3)= √3/2 i –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Odgovor: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Izračunajte: arcsin(-1/2).
Rješenje: Neka je arcsin(-1/2)= x, tada je sin(x)= -1/2. Prema definiciji: - π/2 ≤x≤ π/2. Pogledajmo vrijednosti sinusa u tablici: x= -π/6, jer sin(-π/6)= -1/2 i -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Odgovor: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Izračunajte: arcsin(0).
Rješenje: Neka je arcsin(0)= x, tada je sin(x)= 0. Prema definiciji: - π/2 ≤x≤ π/2. Pogledajmo vrijednosti sinusa u tablici: to znači x= 0, jer sin(0)= 0 i - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Odgovor: arcsin(0)=0.

4. Riješite jednadžbu: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk i x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pogledajmo vrijednost u tablici: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Odgovor: x= -π/4 + 2πk i x= 5π/4 + 2πk.

5. Riješite jednadžbu: sin(x) = 0.
Rješenje: Iskoristimo definiciju, tada će rješenje biti napisano u obliku:
x= arcsin(0) + 2πk i x= π - arcsin(0) + 2πk. Pogledajmo vrijednost u tablici: arcsin(0)= 0.
Odgovor: x= 2πk i x= π + 2πk

6. Riješite jednadžbu: sin(x) = 3/5.
Rješenje: Iskoristimo definiciju, tada će rješenje biti napisano u obliku:
x= arcsin(3/5) + 2πk i x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Odgovor: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Riješite nejednadžbu sin(x) Rješenje: Sinus je ordinata točke na brojevnoj kružnici. To znači: trebamo pronaći točke čija je ordinata manja od 0,7. Povucimo ravnu liniju y=0.7. On siječe brojevnu kružnicu u dvije točke. Nejednadžba y Tada će rješenje nejednadžbe biti: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arkusinusni problemi za samostalno rješavanje

1) Izračunajte: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Riješite jednadžbu: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Riješite nejednadžbu: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arktangens (y = arctan x) je inverzna funkcija tangensa (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x

Arktangens se označava na sljedeći način:
.

Graf funkcije arktangensa

Graf funkcije y = arctan x

Graf arktangensa dobiva se iz grafa tangente ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, skup vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavna vrijednost arktangensa.

Arccotangens, arcctg

Arkus tangens (y = arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa (x = ctg y). Ima domenu definicije i skup značenja.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Arkotangens se označava na sljedeći način:
.

Graf inverzne tangentne funkcije

Graf funkcije y = arcctg x

Graf arc kotangensa dobiva se iz grafa kotangensa ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavnom vrijednošću ark kotangensa.

Paritet

Funkcija arktangensa je neparna:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arktan x

Inverzna tangens funkcija nije parna ni neparna:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Svojstva - ekstremi, porast, pad

Funkcije arktangensa i arkotangensa kontinuirane su u svojoj domeni definicije, to jest za sve x. (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arktangensa i arkotangensa prikazana su u tablici.

	y = arctan x	y = arcctg x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Višestruka značenja
Uzlazno, silazno	monotono raste	monotono opada
Usponi, padovi	Ne	Ne
Nule, y = 0	x = 0	Ne
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Tablica arktangensa i arkotangensa

Ova tablica predstavlja vrijednosti arktangensa i arkotangensa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.

x	arctan x		arcctg x
	tuča	radostan.	tuča	radostan.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Formule

Formule zbroja i razlike

na

na

na

na

na

na

Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi

,
.

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

Derivati

Vidi Derivacija arktangensa i arkotangensa izvodnica > > >

Izvodnice višeg reda:
Neka . Tada se derivacija arktangensa n-tog reda može prikazati na jedan od sljedećih načina:
;
.
Simbol znači imaginarni dio sljedeći izraz.

Vidi Derivacija derivacija višeg reda arktangensa i arkotangensa > > >
Formule za izvodnice prvih pet redova također su dane tamo.

Slično za arc tangentu. Neka . Zatim
;
.

Integrali

Vršimo zamjenu x = tg t i integrirati po dijelovima:
;
;
;

Izrazimo arc tangens kroz arc tangens:
.

Proširenje niza potencija

Kada |x| ≤ 1 odvija se sljedeća dekompozicija:
;
.

Inverzne funkcije

Inverzi arktangensa i arkotangensa su tangens i kotangens.

Sljedeće formule vrijedi u cijeloj domeni definicije:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Sljedeće formule vrijede samo na skupu vrijednosti arktangensa i arkotangensa:
arctan(tg x) = x na
arcctg(ctg x) = x u .

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Ranije u programu učenici su stekli ideju o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, upoznali se s pojmovima ark kosinusa i ark sinusa te primjerima rješenja cos jednadžbe t = a i sin t = a. U ovom video vodiču pogledat ćemo rješavanje jednadžbi tg x = a i ctg x = a.

Za početak proučavanja ove teme, razmotrite jednadžbe tg x = 3 i tg x = - 3. Ako jednadžbu tg x = 3 riješimo pomoću grafa, vidjet ćemo da je sjecište grafova funkcija y = tg x i y = 3 ima beskonačan skup rješenja, gdje je x = x 1 + πk. Vrijednost x 1 je x koordinata sjecišta grafova funkcija y = tan x i y = 3. Autor uvodi pojam arktangensa: arctan 3 je broj čiji je tan jednak 3, a ovaj broj pripada intervalu od -π/2 do π/2. Koristeći koncept arktangensa, rješenje jednadžbe tan x = 3 može se napisati kao x = arctan 3 + πk.

Analogno se rješava jednadžba tg x = - 3. Iz izgrađenih grafova funkcija y = tg x i y = - 3 jasno je da će sjecišta grafova, a time i rješenja jednadžbi, biti biti x = x 2 + πk. Korištenjem arktangensa, rješenje se može napisati kao x = arctan (- 3) + πk. Na sljedećoj slici vidimo da je arctg (- 3) = - arctg 3.

Opća definicija arktangensa je sljedeća: arktangens a je broj iz intervala od -π/2 do π/2 čiji je tangens jednak a. Tada je rješenje jednadžbe tan x = a x = arctan a + πk.

Autor daje primjer 1. Nađite rješenje izraza arctan.Uvodimo oznaku: arktangens broja jednak je x, tada će tg x biti jednak zadanom broju, gdje x pripada segmentu iz -π /2 do π/2. Kao iu primjerima u prethodnim temama, koristit ćemo tablicu vrijednosti. Prema ovoj tablici tangenta dati broj odgovara vrijednosti x = π/3. Zapišimo rješenje jednadžbe: arktangens zadanog broja jednak je π/3, π/3 također pripada intervalu od -π/2 do π/2.

Primjer 2 - izračunajte arktangens negativan broj. Pomoću jednakosti arctg (- a) = - arctg a upisujemo vrijednost x. Slično primjeru 2, zapisujemo vrijednost x koja pripada segmentu od -π/2 do π/2. Iz tablice vrijednosti nalazimo da je x = π/3, dakle, -- tg x = - π/3. Odgovor na jednadžbu je - π/3.

Razmotrimo primjer 3. Riješimo jednadžbu tg x = 1. Zapišimo da je x = arctan 1 + πk. U tablici vrijednost tg 1 odgovara vrijednosti x = π/4, dakle, arctg 1 = π/4. Zamijenimo ovu vrijednost u izvornu formulu x i napišimo odgovor x = π/4 + πk.

Primjer 4: izračunajte tan x = - 4.1. U ovom slučaju x = arctan (- 4,1) + πk. Jer U ovom slučaju nije moguće pronaći vrijednost arctg; odgovor će izgledati kao x = arctg (- 4,1) + πk.

U primjeru 5 razmatra se rješenje nejednadžbe tg x > 1. Da bismo je riješili, konstruiramo grafove funkcija y = tan x i y = 1. Kao što se može vidjeti na slici, ti se grafovi sijeku u točkama x = π/4 + πk. Jer u ovom slučaju tg x > 1, na grafu označavamo tangentoidno područje koje se nalazi iznad grafa y = 1, gdje x pripada intervalu od π/4 do π/2. Odgovor pišemo kao π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Dalje ćemo razmotriti ctg jednadžba x = a. Na slici su prikazani grafovi funkcija y = cot x, y = a, y = - a, koji imaju mnogo sjecišnih točaka. Rješenja se mogu napisati kao x = x 1 + πk, gdje je x 1 = arcctg a i x = x 2 + πk, gdje je x 2 = arcctg (- a). Primjećuje se da je x 2 = π - x 1 . To implicira jednakost arcctg (- a) = π - arcctg a. Slijedi definicija ark kotangensa: ark kotangens a je broj iz intervala od 0 do π čiji je kotangens jednak a. Rješenje jednadžbe stg x = a zapisuje se kao: x = arcctg a + πk.

Na kraju video lekcije donosi se još jedan važan zaključak - izraz ctg x = a može se napisati kao tg x = 1/a, pod uvjetom da a nije jednako nuli.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Promotrimo rješavanje jednadžbi tg x = 3 i tg x = - 3. Rješavajući grafički prvu jednadžbu vidimo da grafovi funkcija y = tg x i y = 3 imaju beskonačno mnogo presječnih točaka čije apscise pišemo u obliku

x = x 1 + πk, gdje je x 1 apscisa točke presjeka prave linije y = 3 s glavnom granom tangentoida (slika 1), za koju je izumljena oznaka

arctan 3 (arktangens tri).

Kako razumjeti arctg 3?

Ovo je broj čiji je tangens 3 i taj broj pripada intervalu (- ;). Tada se svi korijeni jednadžbe tg x = 3 mogu napisati formulom x = arctan 3+πk.

Slično, rješenje jednadžbe tg x = - 3 može se napisati u obliku x = x 2 + πk, gdje je x 2 apscisa točke presjeka pravca y = - 3 s glavnom granom pravca tangentoid (slika 1), za koji je oznaka arctg(- 3) (arktangens minus tri). Tada se svi korijeni jednadžbe mogu napisati formulom: x = arctan(-3)+ πk. Slika pokazuje da je arctg(- 3)= - arctg 3.

Formulirajmo definiciju arktangensa. Arktangens a je broj iz intervala (-;) čiji je tangens jednak a.

Često se koristi jednakost: arctg(-a) = -arctg a, koja vrijedi za bilo koje a.

Poznavajući definiciju arktangensa, možemo donijeti opći zaključak o rješenju jednadžbe

tg x= a: jednadžba tg x = a ima rješenje x = arctan a + πk.

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Izračunajte arctan.

Riješenje. Neka je arctg = x, tada je tgh = i xϵ (- ;). Prikaži tablicu vrijednosti Prema tome, x =, budući da je tg = i ϵ (- ;).

Dakle, arctan =.

PRIMJER 2. Izračunajte arktan (-).

Riješenje. Koristeći jednakost arctg(- a) = - arctg a, pišemo:

arctg(-) = - arctg . Neka je - arctg = x, tada - tgh = i xϵ (- ;). Stoga je x =, budući da je tg = i ϵ (- ;). Prikaži tablicu vrijednosti

To znači - arctg=- tgh= - .

PRIMJER 3. Riješite jednadžbu tgh = 1.

1. Zapišite formulu rješenja: x = arctan 1 + πk.

2. Odredite vrijednost arktangensa

budući da je tg = . Prikaži tablicu vrijednosti

Dakle arctan1= .

3. Pronađenu vrijednost unesite u formulu rješenja:

PRIMJER 4. Riješite jednadžbu tgh = - 4.1 (tangens x jednak je minus četiri zarez jedan).

Riješenje. Napišimo formulu rješenja: x = arctan (- 4,1) + πk.

Ne možemo izračunati vrijednost arktangensa, pa ćemo rješenje jednadžbe ostaviti u dobivenom obliku.

PRIMJER 5. Riješite nejednadžbu tgh 1.

Riješenje. Riješit ćemo ga grafički.

1. Konstruirajmo tangentu

y = tgx i pravac y = 1 (slika 2). Oni se sijeku u točkama poput x = + πk.

2. Izaberimo interval x-osi u kojem se glavna grana tangentoida nalazi iznad pravca y = 1, jer je po uvjetu tgh 1. To je interval (;).

3. Koristimo periodičnost funkcije.

Svojstvo 2. y=tg x - periodična funkcija s glavnom periodom π.

Uzimajući u obzir periodičnost funkcije y = tgh, zapisujemo odgovor:

(;). Odgovor se može napisati kao dvostruka nejednakost:

Prijeđimo na jednadžbu ctg x = a. Prikažimo grafički prikaz rješenja jednadžbe za pozitivno i negativno a (slika 3).

Grafovi funkcija y = ctg x i y = a i također

y=ctg x i y=-a

imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka čije apscise izgledaju ovako:

x = x 1 +, gdje je x 1 apscisa točke presjeka pravca y = a s glavnom granom tangentoida i

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, gdje je x 2 apscisa točke presjeka pravca

y = - a s glavnom granom tangentoida i x 2 = arcstg (- a).

Imajte na umu da je x 2 = π - x 1. Dakle, zapišimo važnu jednakost:

arcstg (-a) = π - arcstg a.

Formulirajmo definiciju: ark kotangens a je broj iz intervala (0;π) čiji je kotangens jednak a.

Rješenje jednadžbe ctg x = a zapisano je u obliku: x = arcctg a + .

Imajte na umu da se jednadžba ctg x = a može transformirati u oblik

tg x = , osim kada je a = 0.

Arkusinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 a skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.

Graf arcsin funkcije

Graf funkcije y = arcsin x

Arkusinusni graf se dobiva iz sinusnog grafa ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavnom vrijednošću arkusina.

Arkosinus, arkos

Arkus kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = jer y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnogo značenja 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arkosinus se ponekad označava na sljedeći način:
.

Graf ark kosinusne funkcije

Graf funkcije y = arccos x

Arkus kosinusni graf dobiva se iz kosinusnog grafa ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavnom vrijednošću ark kosinusa.

Paritet

Funkcija arkusina je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Arkus kosinus funkcija nije paran ili neparan:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Svojstva - ekstremi, porast, pad

Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkkosinusa prikazana su u tablici.

	y = arcsin x	y = arccos x
Opseg i kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Raspon vrijednosti
Uzlazno, silazno	monotono raste	monotono opada
Visoki
minimalci
Nule, y = 0	x = 0	x = 1
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tablica arksinusa i arkkosinusa

Ova tablica predstavlja vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.

x	arcsin x		arccos x
	tuča	radostan.	tuča	radostan.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Formule zbroja i razlike

kod ili

kod i

kod i

kod ili

kod i

kod i

na

na

na

na

Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

Derivati

;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusa > > >

Izvodnice višeg reda:
,
gdje je polinom stupnja . Određuje se formulama:
;
;
.

Vidi Derivacija višeg reda izvoda arksinusa i arkkosinusa > > >

Integrali

Vršimo zamjenu x = sint. Integriramo po dijelovima, vodeći računa da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Izrazimo ark kosinus kroz ark sinus:
.

Proširenje serije

Kada |x|< 1 odvija se sljedeća dekompozicija:
;
.

Inverzne funkcije

Inverzi arkusina i arkosinusa su sinus i kosinus.

Sljedeće formule vrijede u cijeloj domeni definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Sljedeće formule vrijede samo za skup vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x na
arccos(cos x) = x u .

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.