Postoji li opća formula? Nema ulaza opći slučaj Ne. Samo trebate potražiti površine bočnih stranica i zbrojiti ih.
Formula se može napisati za ravna prizma:
Gdje je opseg baze.
Ali ipak je puno lakše zbrojiti sva područja u svakom konkretnom slučaju nego zapamtiti dodatne formule. Na primjer, izračunajmo puna površina pravilna šesterokutna prizma.
Sve bočne strane su pravokutnici. Sredstva.
To se već pokazalo pri izračunavanju volumena.
Tako dobivamo:
Površina piramide
Opće pravilo vrijedi i za piramidu:
Sada izračunajmo površinu najpopularnijih piramida.
Površina pravilne trokutaste piramide
Neka stranica baze bude jednaka, a bočni rub jednak. Moramo pronaći i.
Prisjetimo se sada toga
Ovo je područje pravilnog trokuta.
I sjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:
Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.
Sada ga pronađimo.
Koristeći osnovnu formulu površine i Pitagorin poučak, nalazimo
Pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), tada formula ispada ovako:
Površina pravilne četverokutne piramide
Neka stranica baze bude jednaka, a bočni rub jednak.
Baza je kvadrat, i zato.
Ostaje pronaći područje bočne strane
Površina pravilne šesterokutne piramide.
Neka stranica baze bude jednaka i bočni rub.
Kako pronaći? Šesterokut se sastoji od točno šest identičnih pravilnih trokuta. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta kada smo izračunali površinu pravilnog trokuta. trokutasta piramida, ovdje koristimo pronađenu formulu.
Pa, već smo dva puta tražili područje bočne strane.
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada ono najvažnije.
Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.
Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što je pred njima puno više otvorenog više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?
USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.
Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.
Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kad čovjek čuje za piramidu, zamišlja ogromne građevine u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali događaju se različiti tipovi i oblici, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.
Piramida - geometrijski lik, označavajući i predstavljajući nekoliko lica. U biti, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama su trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:
- ispravan;
- krnji.
U prvom slučaju baza je pravilan poligon. Sve je ovdje bočne površine jednak između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.
U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, krnja piramida je poliedar s presjekom formiranim paralelno s bazom.
Termini i simboli
Ključni pojmovi:
- Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi kutovi su 60 stupnjeva. Figura je najjednostavniji pravilni poliedar. Ako ta figura leži na bazi, tada će se takav poliedar nazvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilna četverokutna piramida.
- Vertex– najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha oblikuje ravna linija koja se proteže od vrha do baze piramide.
- Rub– jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnja piramida.
- Odjeljak – ravna figura, formiran kao rezultat disekcije. Ne treba ga brkati s odjeljkom, budući da odjeljak također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
- Apotema- segment nacrtan od vrha piramide do njezine baze. To je ujedno i visina lica na kojoj se nalazi druga visinska točka. Ova definicija vrijedi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije krnja piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotem.
Formule za površine
Nađite površinu bočne površine piramide bilo koja vrsta može se izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i poligon je s različitim stranama, tada je u tom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, trebate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.
Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračun kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima također će imati razlike.
U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je puno lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će u nastavku biti dane odgovarajuće formule. Inače biste morali sve ispisivati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunjivalo i zbunjivalo.
Osnovna formula za izračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:
S=½ Pa (P je opseg baze i apotem)
Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, a svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo treba pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze isto, možete ga pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.
Bočna površina pravilne trokutaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:
S =½* ab *3, gdje je a apotem, b lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Zadan je lik s apotemom 5 cm i osnovnim rubom 8 cm. Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.
Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, a apotem. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.
Ovdje prvo morate pronaći opsege baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobivamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.
Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ove izračune s ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to još trebate učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.
Video
Ovaj video će vam pomoći da konsolidirate informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.
Prilikom pripreme za jedinstveni državni ispit iz matematike, učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili nepravilan. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilni trokut
Odnosno, jednakostraničan. Ona u kojoj su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Stranica poligona ima istu oznaku. Za broj upotrijebljenih kutova latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Kvadrat jednakokračan trokut izračunava se pomoću formule u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu izgleda ovako:
S = ½ P*A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njezinu vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njezina baza ima stranicu 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je apotem poznat, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.
Za trokut u osnovi dobivate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina donje stranice je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Riješenje. Budući da je poliedar četverokutan i pravilan, baza mu je kvadrat. Nakon što saznate površinu baze i bočnih stranica, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo kompliciraniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Traženi apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) jednak je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati traženu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm 2.
Problem broj 4
Stanje. Dana je točna stranica. Stranice njegove baze su 22 mm, bočni rubovi su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, osnovna površina izračunava se pomoću gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm.Preostaje samo pomoću Heronove formule izračunati površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom dobivenom za bazu.
Izračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza je 726√3 cm 2, bočna površina 3960 cm 2, cjelokupna površina 5217 cm 2.
je figura čija je baza proizvoljni mnogokut, a bočne strane su prikazane trokutima. Njihovi vrhovi leže u istoj točki i odgovaraju vrhu piramide.
Piramida može biti raznolika - trokutasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime može se odrediti ovisno o broju kutova uz bazu.
Prava piramida naziva se piramida u kojoj su stranice baze, kutovi i bridovi jednaki. Također će u takvoj piramidi površina bočnih strana biti jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina svih njezinih lica: 
To jest, da biste izračunali površinu bočne površine proizvoljne piramide, morate pronaći površinu svakog pojedinog trokuta i zbrojiti ih. Ako je piramida krnja, onda su njena lica predstavljena trapezoidima. Postoji još jedna formula za pravilnu piramidu. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluopseg baze i duljinu apoteme:
Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.
Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Bazna strana b= 6 cm, apotem a= 8 cm. Pronađite površinu bočne površine.
U osnovi pravilne četverokutne piramide nalazi se kvadrat. Prvo, pronađimo njegov opseg:
Sada možemo izračunati bočnu površinu naše piramide: 
Da biste pronašli ukupnu površinu poliedra, morat ćete pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu baze piramide može se razlikovati ovisno o tome koji poligon leži u bazi. Da biste to učinili, upotrijebite formulu za područje trokuta, površina paralelograma itd.
Razmotrite primjer izračuna površine baze piramide prema našim uvjetima. Budući da je piramida pravilna, u njenoj osnovi nalazi se kvadrat.
Kvadratna površina izračunava se formulom: ,
gdje je a stranica kvadrata. Za nas je to 6 cm, što znači da je površina baze piramide: 
Sada sve što ostaje je pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide sastoji se od zbroja površine njezine baze i bočne površine.
Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.
Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se krug može upisati u bazu piramide, a vrh piramide projicira se u njenom središtu.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Kugla se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati krug (potrebno i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar sa sve četiri strane - jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. Sve u pravilnom tetraedru diedralni kutovi(između ploha) i trostrani kutovi (na vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a rubovi su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljni trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
