Koncentracija pažnje:

Definicija. Funkcija vrsta se zove eksponencijalna funkcija .

Komentar. Isključenje iz osnovnih vrijednosti a brojevi 0; 1 i negativne vrijednosti a objašnjava se sljedećim okolnostima:

Sam analitički izraz a x u tim slučajevima zadržava svoje značenje i može se koristiti u rješavanju problema. Na primjer, za izraz x y točka x = 1; g = 1 je unutar raspona prihvatljivih vrijednosti.

Konstruirajte grafove funkcija: i.

Graf eksponencijalne funkcije
y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1

Svojstva eksponencijalne funkcije

Svojstva eksponencijalne funkcije	y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1
Funkcijska domena
2. Raspon funkcija
3. Intervali usporedbe s jedinicom	na x> 0, a x > 1	na x > 0, 0< a x < 1
	na x < 0, 0< a x < 1	na x < 0, a x > 1
4. Parni, neparni.	Funkcija nije ni parna ni neparna (funkcija opći pogled).
5.Monotonija.	monotono raste za R	monotono se smanjuje za R
6. Krajnosti.	Eksponencijalna funkcija nema ekstrema.
7.Asimptota	O-os x je horizontalna asimptota.
8. Za bilo kakve stvarne vrijednosti x I g;

Kada je tablica popunjena, paralelno s ispunjavanjem rješavaju se zadaci.

Zadatak br. 1. (Naći domenu definicije funkcije).

Koje vrijednosti argumenata vrijede za funkcije:

Zadatak br. 2. (Pronaći raspon vrijednosti funkcije).

Na slici je prikazan graf funkcije. Navedite domenu definicije i raspon vrijednosti funkcije:

Zadatak br. 3. (Jedinikom označiti intervale usporedbe).

Usporedite svaku od sljedećih snaga s jednom:

Zadatak br. 4. (Proučiti funkciju za monotonost).

Usporedi realne brojeve po veličini m I n Ako:

Zadatak br. 5. (Proučiti funkciju za monotonost).

Izvedite zaključak o osnovi a, ako:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Kako su međusobno relativni grafovi eksponencijalnih funkcija za x > 0, x = 0, x< 0?

Jedan koordinatna ravnina konstruirani su grafovi funkcija:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Kako su međusobno relativni grafovi eksponencijalnih funkcija za x > 0, x = 0, x< 0?

Broj jedna od najvažnijih konstanti u matematici. Po definiciji, to jednak limitu niza s neograničenim povećanje n . Oznaka e ušao Leonard Euler godine 1736. Izračunao je prve 23 znamenke ovog broja u decimalnom zapisu, a sam je broj u čast Napiera nazvan "broj koji nije Pierre". Broj e ima posebnu ulogu u matematičkoj analizi. Eksponencijalna funkcija s bazom e, nazvan eksponent i naznačen je y = e x. Prvi znakovi brojevima e lako zapamtiti: dva, zarez, sedam, godina rođenja Lava Tolstoja - dva puta, četrdeset pet, devedeset, četrdeset pet.

Domaća zadaća:

Kolmogorov paragraf 35; broj 445-447; 451; 453.

Ponoviti algoritam za konstruiranje grafova funkcija s varijablom pod znakom modula.

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, na njima se sve temelji, od njih se sve gradi i na njih se sve svodi.

U ovom ćemo članku navesti sve glavne elementarne funkcije, dati njihove grafove i dati bez zaključaka ili dokaza svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema shemi:

• ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (po potrebi vidjeti članak klasifikacija točaka diskontinuiteta funkcije);
• par i nepar;
• intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dolje), točke infleksije (po potrebi vidi članak konveksnost funkcije, smjer konveksnosti, točke infleksije, uvjeti konveksnosti i infleksije);
• kose i horizontalne asimptote;
• singularne točke funkcija;
• posebna svojstva nekih funkcija (npr. najmanji pozitivni period trigonometrijskih funkcija).

Ako ste zainteresirani za ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), n-ti korijen, potencijska funkcija, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijska i inverzna trigonometrijska funkcija.

Navigacija po stranici.

Stalna funkcija.

Konstantna funkcija definirana je na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realni broj. Konstantna funkcija pridružuje svaku realnu vrijednost nezavisne varijable x istoj vrijednosti zavisne varijable y - vrijednosti C. Konstantna funkcija naziva se i konstanta.

Graf konstantne funkcije je ravna linija paralelna s x-osi koja prolazi točkom s koordinatama (0,C). Kao primjer prikazat ćemo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i, koje na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji.

Svojstva konstantne funkcije.

• Domena: cijeli skup realnih brojeva.
• Konstantna funkcija je parna.
• Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od jednina SA .
• Konstantna funkcija je nerastuća i neopadajuća (zato je i konstantna).
• O konveksnosti i konkavnosti konstante nema smisla govoriti.
• Nema asimptota.
• Funkcija prolazi kroz točku (0,C) koordinatne ravnine.

Korijen n-tog stupnja.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je dana formulom , gdje je n – prirodni broj, veći od jedan.

Korijen n-tog stupnja, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Kao primjer, ovdje je slika sa slikama grafova funkcija i odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafikoni korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Svojstva funkcije n-tog korijena za parni n.

N-ti korijen, n je neparan broj.

Funkcija n-tog korijena s eksponentom neparnog korijena n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, ovdje su grafikoni funkcija i odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.

Za druge neparne vrijednosti eksponenta korijena, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije n-tog korijena za neparan n.

Funkcija snage.

Funkcija snage dana je formulom oblika .

Razmotrimo oblik grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena ovisno o vrijednosti eksponenta.

Počnimo s potencnom funkcijom s cjelobrojnim eksponentom a. U tom slučaju izgled grafova potencijskih funkcija i svojstva funkcija ovise o parnosti ili neparnosti eksponenta, kao io njegovom predznaku. Stoga prvo razmatramo funkcije potencije za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne eksponente, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju za parne negativne a.

Svojstva potencijskih funkcija s razlomačkim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih potencijskih funkcija) ovise o vrijednosti eksponenta a. Razmotrit ćemo ih, prvo, za a od nula do jedan, drugo, za veće od jedan, treće, za a od minus jedan do nula, četvrto, za manje od minus jedan.

Na kraju ovog odjeljka, radi cjelovitosti, opisat ćemo funkciju potencije s nultim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s neparnim pozitivnim eksponentom, to jest s a = 1,3,5,....

Donja slika prikazuje grafove funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija, – zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Svojstva funkcije potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s parnim pozitivnim eksponentom, to jest za a = 2,4,6,....

Kao primjer navodimo grafove funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Za a=2 imamo kvadratna funkcija, čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafove funkcije snage za neparnost negativne vrijednosti eksponent, odnosno za a = -1, -3, -5,... .

Na slici su kao primjeri prikazani grafovi potencijskih funkcija - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo obrnuta proporcionalnost , čiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije potencije s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija potencije s parnim negativnim eksponentom.

Prijeđimo na funkciju snage za a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafovi funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija.

Svojstva funkcije potencije s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija potencije s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je područje definicije funkcije snage interval. Propisuje se da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i načelima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo ovog stajališta, odnosno skupom ćemo smatrati domene definiranja potencijskih funkcija s razlomačkim pozitivnim eksponentima. Preporučamo da učenici saznaju mišljenje svog učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli nesuglasice.

Razmotrimo funkciju potencije s racionalnim ili ir racionalni pokazatelj a , i .

Prikažimo grafove funkcija snage za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija potencije s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju potencije s necijelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Prikažimo grafove funkcija snage zadane formulama (redom crne, crvene, plave i zelene linije).

>

Za ostale vrijednosti eksponenta a, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage pri .

Funkcija potencije s realnim eksponentom većim od minus jedan i manjim od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je domena definicije funkcije snage interval . Propisuje se da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i načelima analize NE DEFINIRAJU funkcije snage s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo ovog stajališta, odnosno domene definiranja potencijskih funkcija s razlomačkim razlomačkim negativnim eksponentima smatrat ćemo skupom, odnosno skupom. Preporučamo da učenici saznaju mišljenje svog učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli nesuglasice.

Prijeđimo na funkciju snage, kgod.

Da bismo imali dobru predodžbu o obliku grafova funkcija snage za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja).

Svojstva potencije s eksponentom a, .

Funkcija potencije s necijelim realnim eksponentom koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija snage za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije potencije s necijelim negativnim eksponentom manjim od minus jedan.

Kada je a = 0, imamo funkciju - to je ravna crta iz koje je isključena točka (0;1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 ne pridaje nikakav značaj).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od glavnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i ima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a. Hajdemo shvatiti ovo.

Najprije razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije poprima vrijednost od nula do jedan, tj.

Kao primjer prikazujemo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafikoni eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za ostale vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Prijeđimo na slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije više od jednog, to je, .

Kao ilustraciju donosimo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za ostale vrijednosti baze veće od jedan, grafikoni eksponencijalne funkcije imat će sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeći glavni elementarna funkcija je logaritamska funkcija, gdje je , . Logaritamska funkcija definirana je samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije ima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a.

Odluka većine matematički problemi je na neki način povezan s transformacijom numeričkih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. Gore navedeno posebno se odnosi na odluku. U verzijama Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, ova vrsta problema uključuje, posebno, zadatak C3. Naučiti rješavati C3 zadatke važno je ne samo radi uspjeha polaganje Jedinstvenog državnog ispita, ali i iz razloga što će ova vještina biti korisna pri proučavanju kolegija matematike u srednjoj školi.

Prilikom rješavanja C3 zadataka morate rješavati razne vrste jednadžbi i nejednadžbi. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module ( apsolutne vrijednosti), kao i kombinirane. Ovaj članak govori o glavnim vrstama eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi, kao io različitim metodama za njihovo rješavanje. Pročitajte o rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednakosti u odjeljku "" u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 problema iz Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita matematika.

Prije nego počnemo analizirati specifične eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, kao učitelj matematike, predlažem da obnovite teoretski materijal koji će nam trebati.

Eksponencijalna funkcija

Što je eksponencijalna funkcija?

Funkcija forme g = a x, Gdje a> 0 i a≠ 1 se zove eksponencijalna funkcija.

Osnovni, temeljni svojstva eksponencijalne funkcije g = a x:

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije je eksponent:

Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi

Indikativno nazivaju se jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne jednadžbe morate znati i moći koristiti sljedeći jednostavni teorem:

Teorem 1. Eksponencijalna jednadžba a f(x) = a g(x) (Gdje a > 0, a≠ 1) ekvivalentna je jednadžbi f(x) = g(x).

Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i operacije sa stupnjevima:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

Primjer 1. Riješite jednadžbu:

Riješenje: Koristimo gornje formule i zamjenu:

Jednadžba tada postaje:

Diskriminator primljenog kvadratna jednadžba pozitivan:

Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}

To znači da dana jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

Prelazeći na obrnutu zamjenu, dobivamo:

Druga jednadžba nema korijena, budući da je eksponencijalna funkcija strogo pozitivna kroz cijelo područje definiranja. Riješimo drugi:

Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremu 1, prelazimo na ekvivalentnu jednadžbu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.

Odgovor: x = 3.

Primjer 2. Riješite jednadžbu:

Riješenje: Jednadžba nema ograničenja u rasponu dopuštenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija g = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).

Jednadžbu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:

Zadnji prijelaz je izveden u skladu s teoremom 1.

Odgovor:x= 6.

Primjer 3. Riješite jednadžbu:

Riješenje: obje strane izvorne jednadžbe mogu se podijeliti s 0,2 x. Ovaj prijelaz će biti ekvivalentan, jer je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je strogo pozitivna u svojoj domeni definicije). Tada jednadžba poprima oblik:

Odgovor: x = 0.

Primjer 4. Riješite jednadžbu:

Riješenje: jednadžbu pojednostavljujemo na elementarnu pomoću ekvivalentnih transformacija koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija navedenih na početku članka:

Dijeljenje obje strane jednadžbe s 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, jer ovaj izraz nije jednaka nuli ni za jednu vrijednost x.

Odgovor: x = 0.

Primjer 5. Riješite jednadžbu:

Riješenje: funkcija g = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednadžbe, raste. Funkcija g = —x-2/3 na desnoj strani jednadžbe se smanjuje. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše jedna točka. U ovom slučaju lako je pogoditi da se grafovi sijeku u točki x= -1. Neće biti drugih korijena.

Odgovor: x = -1.

Primjer 6. Riješite jednadžbu:

Riješenje: pojednostavljujemo jednadžbu pomoću ekvivalentnih transformacija, imajući posvuda na umu da je eksponencijalna funkcija strogo veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračunavanje umnoška i kvocijenta potencija navedenih na početku članka:

Odgovor: x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi

Indikativno nazivaju se nejednadžbe u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedećeg teoreme:

Teorem 2. Ako a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) ekvivalentna je nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то eksponencijalna nejednakost a f(x) > a g(x) ekvivalentna je nejednakosti suprotnog značenja: f(x) < g(x).

Primjer 7. Riješite nejednadžbu:

Riješenje: Predstavimo izvornu nejednakost u obliku:

Podijelimo obje strane ove nejednakosti s 3 2 x, u ovom slučaju (zbog pozitivnosti funkcije g= 3 2x) znak nejednakosti se neće promijeniti:

Upotrijebimo zamjenu:

Tada će nejednakost imati oblik:

Dakle, rješenje nejednadžbe je interval:

prelazeći na obrnutu supstituciju, dobivamo:

Zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, lijeva nejednadžba je automatski zadovoljena. Koristeći dobro poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednadžbu:

Budući da je baza stupnja broj veći od jedan, ekvivalent (prema teoremu 2) je prijelaz na sljedeću nejednadžbu:

Dakle, konačno smo dobili odgovor:

Primjer 8. Riješite nejednadžbu:

Riješenje: Koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, nejednakost prepisujemo u obliku:

Uvedimo novu varijablu:

Uzimajući u obzir ovu zamjenu, nejednakost ima oblik:

Množenjem brojnika i nazivnika razlomka sa 7 dobivamo sljedeću ekvivalentnu nejednadžbu:

Dakle, sljedeće vrijednosti varijable zadovoljavaju nejednakost t:

Zatim, prelazeći na obrnutu zamjenu, dobivamo:

Kako je baza stupnja ovdje veća od jedan, prijelaz na nejednakost bit će ekvivalentan (prema teoremu 2):

Napokon dobivamo odgovor:

Primjer 9. Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:

Ona je uvijek veća od nule (zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije), pa nema potrebe mijenjati predznak nejednakosti. Dobivamo:

t nalazi se u intervalu:

Prelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se izvorna nejednakost dijeli na dva slučaja:

Prva nejednadžba nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Riješimo drugi:

Primjer 10. Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Grane parabole g = 2x+2-x 2 usmjerena je prema dolje, stoga je ograničena odozgo vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Grane parabole g = x 2 -2x+2 u indikatoru su usmjereni prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Istovremeno se ispostavlja da je funkcija ograničena odozdo g = 3 x 2 -2x+2, što je na desnoj strani jednadžbe. Ona postiže svoj cilj najniža vrijednost u istoj točki kao parabola u eksponentu, a ta je vrijednost jednaka 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija s lijeve strane i funkcija s desne strane poprime vrijednost jednaku 3 u istoj točki (sjecištem Raspon vrijednosti ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uvjet je zadovoljen u jednoj točki x = 1.

Odgovor: x= 1.

Kako bi naučili odlučivati eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, potrebno je stalno se uvježbavati u njihovom rješavanju. U ovom teškom zadatku mogu vam pomoći razne stvari. metodički priručnici, zadataknici iz osnovne matematike, zbirke natjecateljskih zadataka, nastava matematike u školi, kao i pojedinačne sesije sa stručnim mentorom. Od srca vam želim uspjeh u pripremi i izvrsne rezultate na ispitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gosti! Molimo vas da ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednadžbi u komentarima. Nažalost, nemam apsolutno nimalo vremena za ovo. Takve poruke će biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu dopuštala da sami riješite svoj zadatak.

1. Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika y(x) = a x, ovisno o eksponentu x, s konstantnom vrijednošću baze stupnja a, gdje je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je skup realnih brojeva).

Razmotrimo graf funkcije ako baza ne zadovoljava uvjet: a>0
a) a< 0
Ako a< 0 – возможно возведение в целую степень или в racionalni stupanj s neparnim eksponentom.
a = -2

Ako je a = 0, funkcija y = je definirana i ima konstantna vrijednost 0

c) a =1
Ako je a = 1, funkcija y = je definirana i ima konstantnu vrijednost 1

2. Pogledajmo pobliže eksponencijalnu funkciju:

0

Funkcijska domena (DOF)

Raspon dopuštenih vrijednosti funkcije (APV)

3. Nule funkcije (y = 0)

4. Točke presjeka s osi ordinata oy (x = 0)

5. Rastuće, opadajuće funkcije

Ako je , tada funkcija f(x) raste
Ako je , tada funkcija f(x) opada
Funkcija y= , na 0 Funkcija y =, za a> 1, monotono raste
To slijedi iz svojstava monotonosti stupnja c stvarni pokazatelj.

6. Parna, neparna funkcija

Funkcija y = nije simetrična s obzirom na os 0y i s obzirom na ishodište koordinata, stoga nije ni parna ni neparna. (Opća funkcija)

7. Funkcija y = nema ekstrema

8. Svojstva stupnja s realnim eksponentom:

Neka je a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Zatim za xϵR; yϵR:

Svojstva stupnja monotonosti:

ako tada
Na primjer:

Ako je a> 0, tada je .
Eksponencijalna funkcija je kontinuirana u bilo kojoj točki ϵ R.

9. Relativni položaj funkcije

Što je baza a veća, to je bliža osi x i oy

a > 1, a = 20

Ako je a0, tada eksponencijalna funkcija ima oblik blizak y = 0.
Ako je a1, onda dalje od osi ox i oy i graf poprima oblik blizak funkciji y = 1.

Primjer 1.
Konstruirajte graf od y =

Eksponencijalna funkcija

Funkcija oblika y = a x , gdje je a veće od nule, a a nije jednako jedan, naziva se eksponencijalna funkcija. Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije:

1. Područje definiranja eksponencijalne funkcije bit će skup realnih brojeva.

2. Raspon vrijednosti eksponencijalne funkcije bit će skup svih pozitivnih realnih brojeva. Ponekad se ovaj skup označava kao R+ radi kratkoće.

3. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija biti rastuća u cijeloj domeni definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a zadovoljeno sljedeći uvjet 0

4. Sva osnovna svojstva stupnjeva bit će važeća. Glavna svojstva stupnjeva predstavljena su sljedećim jednakostima:

a x *a g = a (x+y) ;

(a x )/(a g ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a g );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) g = a (x * y) .

Ove jednakosti će vrijediti za sve realne vrijednosti x i y.

5. Graf eksponencijalne funkcije uvijek prolazi točkom s koordinatama (0;1)

6. Ovisno o tome raste li eksponencijalna funkcija ili opada, njezin će graf imati jedan od dva oblika.

Na sljedećoj slici prikazan je graf rastuće eksponencijalne funkcije: a>0.

Sljedeća slika prikazuje graf opadajuće eksponencijalne funkcije: 0

I graf rastuće eksponencijalne funkcije i graf padajuće eksponencijalne funkcije, prema svojstvu opisanom u petom odlomku, prolaze kroz točku (0;1).

7. Eksponencijalna funkcija nema točaka ekstrema, odnosno nema točaka minimuma i maksimuma funkcije. Ako razmatramo funkciju na bilo kojem specifičnom segmentu, tada će funkcija poprimiti minimalne i maksimalne vrijednosti na krajevima ovog intervala.

8. Funkcija nije parna ni neparna. Eksponencijalna funkcija je funkcija općeg oblika. To se vidi iz grafova, niti jedan nije simetričan ni u odnosu na os Oy ni u odnosu na ishodište koordinata.

Logaritam

Logaritmi su se uvijek razmatrali složena tema V školski tečaj matematika. Ima ih mnogo različite definicije logaritam, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženije i najneuspješnije od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Da bismo to učinili, napravimo tablicu:

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Definicija

Logaritam bazirati a od argumenta x je snaga na koju se broj mora podići a da dobijem broj x.

Oznaka

log a x = b
gdje je a baza, x je argument, b - zapravo, čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom, zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva selogaritam . Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Izbjeći mučni nesporazumi, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtite: logaritam je potencija , u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da Iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.

Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se zovu raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja broja b (logaritamska vrijednost) se ne preklapa. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati VA logaritma. Sva su ograničenja već uzeta u obzir od strane autora problema. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednadžbe uđu u igru, DL zahtjevi postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmislite o općem shema za računanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

Navedite razlog a i argument x u obliku potencije s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;

Rješavanje s obzirom na varijablu b jednadžba: x = a b ;

Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je važan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto s decimale: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će mnogo manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema dalje funkcionira konkretni primjeri:

Izračunajte logaritam: log 5 25

Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dobili smo odgovor: 2.

Izračunajte logaritam:

Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja tri: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:

Dobili smo odgovor: −4.

−4

Izračunajte logaritam: log 4 64

Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Dobili smo odgovor: 3.

Izračunajte logaritam: log 16 1

Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Dobili smo odgovor: 0.

Izračunajte logaritam: log 7 14

Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;

Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;

Odgovor je bez promjene: log 7 14.

zapisnik 7 14

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako ekspanzija ima najmanje dva različiti množitelj, broj nije točna snaga.

Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

8, 81 - točan stupanj; 48, 35, 14 - br.

Napomenimo i to da mi sami primarni brojevi uvijek su sami sebi točni stupnjevi.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

Definicija

Decimalni logaritam iz argumenta x je logaritam na bazi 10, tj. stepen na koji treba podići broj 10 da bi se dobio broj x.

Oznaka

lg x

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Definicija

Prirodni logaritam iz argumenta x je logaritam baze e , tj. snaga na koju se broj mora podići e da dobijem broj x.

Oznaka

u x

Mnogi će se pitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da e - baza prirodnog logaritma:
ul x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, oni imaju svoja pravila, koja se nazivaju osnovnim svojstvima.

Ova pravila svakako trebate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan problem. logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a y . Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x + log a y =log a ( x · g );

log a x − trupac a y =log a ( x : g ).

Tako, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je ista osnova. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne broje (vidi lekciju “ "). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pronađite vrijednost izraza: log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici testni radovi. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Zatim eksponent ovog stupnja može se izuzeti iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno Sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Teorema

Neka je zadan log logaritma a x . Zatim za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1, vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u konvencionalnim numerički izrazi. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo odlukom logaritamske jednadžbe i nejednakosti.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalni logaritam, preseljenje u novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje pokazatelj stupnja stajališta u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Ovako se zove:osnovni logaritamski identitet.

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak

Pronađite značenje izraza:

Riješenje

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

200

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

log a a = 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam prema bilo kojoj bazi a iz ove same baze jednako je jedan.

log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi!