Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristiti oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, paritet, periodičnost i druga.
Pogledajte pobliže svojstvo pariteta.
Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:
2. Vrijednost funkcije u točki x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. To jest, za bilo koju točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = f(-x).
Graf parne funkcijeAko nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na os Oy.
Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.
Uzmimo proizvoljno x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome f(x) = f(-x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon funkcije y=x^2.
Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na os Oy.
Graf neparne funkcijeFunkcija y=f(x) se naziva neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:
1. Područje definicije zadane funkcije mora biti simetrično u odnosu na točku O. To jest, ako neka točka a pripada području definiranja funkcije, tada i odgovarajuća točka -a mora pripadati području definiranja zadane funkcije.
2. Za svaku točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = -f(x).
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na točku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.
Uzmimo proizvoljno x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Prema tome f(x) = -f(x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon funkcije y=x^3.
Slika to jasno pokazuje neparna funkcija y=x^3 je simetričan u odnosu na ishodište.
Funkcija se naziva parna (neparna) ako za bilo koju i jednakost 
.
Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os 
.
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Primjer 6.2. Ispitajte je li funkcija parna ili neparna
1)
;
2)
;
3)
.
Riješenje.
1) Funkcija je definirana kada 
. Naći ćemo 
.
Oni. 
. To znači da je ova funkcija parna.
2) Funkcija je definirana kada 
Oni. 
. Dakle, ova funkcija je neparna.
3) funkcija je definirana za , tj. Za
,
. Stoga funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to funkcijom općeg oblika.
Funkcija 
naziva se rastuća (opadajuća) na određenom intervalu ako u tom intervalu svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.
Funkcije koje rastu (padaju) u određenom intervalu nazivaju se monotonima.
Ako funkcija 
diferencijabilan na intervalu 
a ima pozitivnu (negativnu) derivaciju 
, zatim funkcija 
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.
Primjer 6.3. Odredite intervale monotonosti funkcija
1)
;
3)
.
Riješenje.
1) Ova je funkcija definirana na cijelom brojevnom pravcu. Nađimo izvod.
Derivacija je jednaka nuli ako 
I 
. Domena definicije je brojčana os, podijeljena točkama 
,
u intervalima. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.
U intervalu 
derivacija je negativna, funkcija opada na tom intervalu.
U intervalu 
izvod je pozitivan, stoga funkcija raste u tom intervalu.
2) Ova funkcija je definirana ako 
ili
.
U svakom intervalu određujemo predznak kvadratnog trinoma.
Dakle, domena definiranja funkcije
Nađimo izvod 
,
, Ako 
, tj. 
, Ali 
. Odredimo predznak derivacije u intervalima 
.
U intervalu 
derivacija je negativna, dakle funkcija opada na intervalu 
. U intervalu 
derivacija je pozitivna, funkcija raste u intervalu 
.
Točka 
naziva se točka maksimuma (minimuma) funkcije 
, ako postoji takva okolina točke 
to je za sve 
iz ove okoline vrijedi nejednakost 
.
Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema.
Ako funkcija 
u točki 
ima ekstrem, tada je derivacija funkcije u ovoj točki jednaka nuli ili ne postoji (nužan uvjet za postojanje ekstrema).
Točke u kojima je derivacija nula ili ne postoji nazivaju se kritičnim.
5. Dovoljni uvjeti postojanje ekstrema.Pravilo 1. Ako pri prijelazu (slijeva na desno) kroz kritičnu točku 
izvedenica 
mijenja predznak s “+” na “–”, zatim na točku 
funkcija 
ima maksimum; ako je od "–" do "+", tada minimum; Ako 
ne mijenja predznak, tada nema ekstrema.
Pravilo 2. Neka u točki 
prvi izvod funkcije 
jednaka nuli 
, a druga derivacija postoji i različita je od nule. Ako 
, To 
– maksimalni bod, ako 
, To 
– minimalna točka funkcije.
Primjer 6.4. Istražite maksimalne i minimalne funkcije:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Riješenje.
1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu 
.
Nađimo izvod 
i riješite jednadžbu 
, tj. 
.Odavde 
– kritične točke.
Odredimo predznak derivacije u intervalima , 
.
Pri prolasku kroz točke 
I 
izvod mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle prema pravilu 1 
– minimalni broj bodova.
Pri prolasku kroz točku 
izvod mijenja predznak iz “+” u “–”, pa 
– maksimalni bod.
,
.
2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu 
. Nađimo izvod 
.
Riješivši jednadžbu 
, naći ćemo 
I 
– kritične točke. Ako nazivnik 
, tj. 
, onda izvod ne postoji. Tako, 
– treća kritična točka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.
Dakle, funkcija ima minimum u točki 
, najviše u bodovima 
I 
.
3) Funkcija je definirana i neprekidna ako 
, tj. na 
.
Nađimo izvod 
.
Pronađimo kritične točke: 
Okolice točaka 
ne pripadaju domeni definicije, stoga nisu ekstremi. Dakle, ispitajmo kritične točke 
I 
.
4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu 
. Iskoristimo pravilo 2. Nađi izvod 
.
Pronađimo kritične točke:
Nađimo drugu derivaciju 
i odrediti njegov predznak u točkama 
U točkama 
funkcija ima minimum.
U točkama 
funkcija ima maksimum.
U srpnju 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Svemirska letjelicaće na Mars dostaviti elektronički medij s imenima svih prijavljenih sudionika ekspedicije.
Prijave sudionika su otvorene. Nabavite svoju kartu za Mars koristeći ovaj link.
Ako je ovaj post riješio vaš problem ili vam se samo svidio, podijelite link do njega sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.
Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.
Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za ugradnju matematičke formule na web-stranice vaše web-lokacije.
Još jedan doček Nove godine... mraz i snježne pahulje na prozorskom staklu... Sve me to ponukalo da ponovno pišem o... fraktalima i onome što Wolfram Alpha zna o njima. Ovom prilikom postoji zanimljiv članak, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati više složeni primjeri trodimenzionalni fraktali.
Fraktal se može vizualno prikazati (opisati) kao geometrijski lik ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju, skup točaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sam originalni lik. To jest, ovo je samoslična struktura, proučavajući pojedinosti koje kada se povećaju, vidjet ćemo isti oblik kao i bez povećanja. Dok je kod običnih geometrijski lik(nije fraktal), kad ga zumiramo vidjet ćemo detalje kojih ima više jednostavna forma nego sama izvorna figura. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao isječak ravne linije. To se ne događa s fraktalima: s bilo kakvim njihovim povećanjem, ponovno ćemo vidjeti isti složeni oblik, koji će se ponavljati uvijek iznova sa svakim povećanjem.
Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost u ime znanosti: “Fraktali su geometrijski oblici, koji su podjednako složeni u detaljima kao iu općem obliku. Odnosno, ako se dio fraktala poveća na veličinu cjeline, pojavit će se kao cjelina, bilo točno, bilo možda s malom deformacijom."
Sakrij Prikaži
Metode za specificiranje funkcijeNeka je funkcija dana formulom: y=2x^(2)-3. Dodjeljivanjem bilo koje vrijednosti neovisnoj varijabli x, pomoću ove formule možete izračunati odgovarajuće vrijednosti ovisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0,5, tada pomoću formule nalazimo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Uzimajući bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, možete izračunati samo jednu vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može prikazati kao tablica:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| g | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Koristeći ovu tablicu, možete vidjeti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, itd. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.
Više funkcija može se specificirati pomoću grafova. Pomoću grafa utvrđuje se koja vrijednost funkcije korelira s određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.
Parna i neparna funkcijaFunkcija je parna funkcija kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na os Oy.
Funkcija je neparna funkcija kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na ishodište O (0;0) .
Funkcija nije ni parna ni neparna i naziva se funkcija opći pogled, kada nema simetriju oko osi ili ishodišta.
Ispitajmo sljedeću funkciju pariteta:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnom domenom definicije u odnosu na ishodište. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .
To znači da je funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) neparna.
Periodična funkcijaFunkcija y=f(x) , u čijoj domeni za bilo koji x vrijedi jednakost f(x+T)=f(x-T)=f(x), naziva se periodična funkcija s periodom T \neq 0 .
Ponavljanje grafa funkcije na bilo kojem segmentu x-osi koji ima duljinu T.
Intervali u kojima je funkcija pozitivna, tj. f(x) > 0, su segmenti apscisne osi koji odgovaraju točkama grafa funkcije koje leže iznad apscisne osi.
f(x) > 0 na (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Intervali u kojima je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Funkcija y=f(x), x \in X obično se naziva ograničenom odozdo kada postoji broj A za koji vrijedi nejednakost f(x) \geq A za bilo koji x \in X .
Primjer funkcije ograničene odozdo: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x .
Funkcija y=f(x), x \in X naziva se gornjom ograničenom ako postoji broj B za koji nejednakost f(x) \neq B vrijedi za bilo koji x \in X .
Primjer funkcije ograničene odozdo: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \ u [-1;1] .
Funkcija y=f(x), x \in X obično se naziva ograničenom kada postoji broj K > 0 za koji vrijedi nejednakost \left | f(x)\desno | \neq K za bilo koji x \u X .
Primjer ograničene funkcije: y=\sin x je ograničena na cijelom brojevnom pravcu, jer \left | \sin x \desno | \neq 1 .
Rastuća i opadajuća funkcijaO funkciji koja raste u promatranom intervalu uobičajeno je govoriti kao o rastućoj funkciji kada većoj vrijednosti x odgovara veća vrijednost funkcije y=f(x) . Slijedi da uzimanje dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) iz intervala koji se razmatra, s x_(1) > x_(2) , rezultat će biti y(x_(1)) > y(x_(2)).
Funkcija koja opada na promatranom intervalu naziva se opadajućom funkcijom kada manja vrijednost funkcije y(x) odgovara većoj vrijednosti x. Slijedi da, uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , rezultat će biti y(x_(1))< y(x_{2}) .
Korijenima funkcije obično se nazivaju točke u kojima funkcija F=y(x) siječe apscisnu os (dobiju se rješavanjem jednadžbe y(x)=0).
a) Ako za x > 0 parna funkcija raste, onda za x opada< 0
b) Kada parna funkcija opada pri x > 0, tada raste pri x< 0
.png)
c) Kad neparna funkcija raste pri x > 0, tada raste i pri x< 0
d) Kada neparna funkcija opada za x > 0, tada će također opadati za x< 0
.png)
Točkom minimuma funkcije y=f(x) obično se naziva točka x=x_(0) u čijem će susjedstvu biti druge točke (osim točke x=x_(0)), a za njih tada vrijedi nejednakost f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u točki min.
Točkom maksimuma funkcije y=f(x) obično se naziva točka x=x_(0) u čijem će susjedstvu biti druge točke (osim točke x=x_(0)), a za njih tada vrijedi nejednakost f( x )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
PreduvjetPrema Fermatovom teoremu: f"(x)=0 kada će funkcija f(x) koja je diferencijabilna u točki x_(0) imati ekstrem u ovoj točki.
Dovoljno stanjeKoraci izračuna:
Koji su vam bili poznati u ovoj ili onoj mjeri. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. U ovom odjeljku bit će riječi o dva nova svojstva.
Definicija 1.
Funkcija y = f(x), x ê X, poziva se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).
Definicija 2.
Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).
Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.
Riješenje. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.
Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.
Dokažite da je y = x 3 ~ neparna funkcija.
Riješenje. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.
Slično se može dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.
Vi i ja smo se već više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i s parnim i s neparnim funkcijama. Vidi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučavati te funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako n nije Parni broj, tada je funkcija y = x" neparna; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn parna.
Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je npr. funkcija y = 2x + 3. Doista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).
Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.
Proučavajući pitanje da li dana funkcija parni ili neparni se obično naziva proučavanje funkcije za paritet.
U definicijama 1 i 2 govorimo o o vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u točki x i u točki -x. To znači da točka -x pripada domeni definicije funkcije istovremeno s točkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok )
