Imaju iste stupnjeve, ali eksponenti stupnjeva nisu isti, 2² * 2³, tada će rezultat biti baza stupnja s istom identičnom bazom članova umnoška stupnjeva, podignutih na eksponent jednak na zbroj eksponenata svih umnoženih stupnjeva.
2² * 2³ = 2²⁺³ = 25 = 32
Ako članovi produkta potencija imaju različite baze potencija, a eksponenti su isti, na primjer, 2³ * 5³, tada će rezultat biti umnožak baza tih potencija podignutih na eksponent jednak tom istom eksponentu .
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Ako su potencije koje se množe međusobno jednake, na primjer, 5³ * 5³, tada će rezultat biti potencija s bazom jednakom ovim identičnim bazama potencija, podignuta na eksponent jednak eksponentu potencija, pomnožen s broj tih istovjetnih snaga.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Ili još jedan primjer s istim rezultatom:
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Izvori:
- Što je stupanj s prirodnim eksponentom?
- proizvod snaga
Matematičke operacije s potencijama mogu se izvoditi samo kada su baze eksponenata iste i kada između njih postoje predznaci množenja ili dijeljenja. Baza eksponenta je broj koji je podignut na potenciju.
upute
Ako su brojevi djeljivi jedan s drugim (cm 1), tada se y (u ovom primjeru to je broj 3) pojavljuje kao potencija koja nastaje oduzimanjem eksponenata. Štoviše, ova se radnja provodi izravno: drugi se oduzima od prvog pokazatelja. Primjer 1. Uvedimo: (a)b, gdje je u zagradama – a baza, izvan zagrada – u – eksponent. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Ako odgovor daje broj na negativnu potenciju, tada se takav broj pretvara u obični razlomak, u čijem je brojniku jedinica, a u nazivniku baza s eksponentom dobivenim iz razlike, samo u pozitivnom obliku (s predznakom plus). Primjer 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Podjela potencija može se napisati i u drugom obliku, kroz znak razlomka, a ne kao što je naznačeno u ovom koraku kroz znak “:”. Time se ne mijenja princip rješenja, sve se radi potpuno isto, samo će umjesto dvotočke biti upisano horizontalnim (ili kosim) znakom razlomka Primjer 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Kod množenja istih baza koje imaju stupnjeve, stupnjevi se zbrajaju. Primjer 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Ako eksponenti imaju različite znakove, tada se njihovo zbrajanje provodi prema matematičkim zakonima Primjer 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼ .
Ako se baze eksponenata razlikuju, onda se najvjerojatnije mogu dovesti u isti oblik matematičkom transformacijom. Primjer 6. Pretpostavimo da trebamo pronaći vrijednost izraza: (4)2: (2)3. Znajući da se broj četiri može prikazati kao dva na kvadrat, ovaj se primjer rješava na sljedeći način: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Dalje, pri podizanju broja na potenciju. Ako već imate diplomu, indeksi diploma se množe jedan s drugim: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .
Zapamtite, ako se određena baza čini različitom od druge baze, potražite matematičko rješenje. Različiti brojevi nisu samo dati. Osim ako je slovopisac napravio grešku u udžbeniku.
Format stepena za pisanje broja je skraćeni oblik za pisanje operacije množenja baze sa samom sobom. S brojem predstavljenim u ovom obliku možete izvoditi iste operacije kao i s bilo kojim drugim brojevima, uključujući njihovo podizanje na potenciju. Na primjer, možete podići kvadrat broja na proizvoljnu snagu i dobivanje rezultata na trenutnoj razini tehnološkog razvoja neće predstavljati nikakvu poteškoću.
Trebat će vam
- Pristup internetu ili Windows kalkulator.
upute
Da biste podigli kvadrat na potenciju, upotrijebite opće pravilo uzdizanje do moći koju već ima eksponent snage. Ovom operacijom indikatori se množe, ali baza ostaje ista. Ako je baza označena kao x, a izvorni i dodatni indikatori označeni su kao a i b, zapišite ovo pravilo u opći pogled možete učiniti ovo: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
Kako umnožiti moći? Koje se moći mogu umnožiti, a koje ne? Kako pomnožiti broj s potencijom?
U algebri možete pronaći produkt potencija u dva slučaja:
1) ako stupnjevi imaju iste baze;
2) ako stupnjevi imaju iste pokazatelje.
Kada se potencije množe s istim bazama, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:
Kada se stupnjevi množe s istim pokazateljima, ukupni se pokazatelj može izvaditi iz zagrada:
Pogledajmo kako množiti potencije na konkretnim primjerima.
Jedinica nije zapisana u eksponentu, ali pri množenju potencije uzimaju u obzir:
Pri množenju može postojati bilo koji broj potencija. Treba imati na umu da ne morate pisati znak množenja ispred slova:
U izrazima se prvo vrši potenciranje.
Ako treba pomnožiti broj s potencijom, prvo treba izvesti potenciranje, a tek onda množenje:
www.algebraclass.ru
Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija
Zbrajanje i oduzimanje potencija
Očito je da se brojevi s potencijama mogu zbrajati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa svojim predznacima.
Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Izgledi jednake potencije identičnih varijabli može se zbrajati ili oduzimati.
Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.
Također je očito da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.
Ali stupnjevi razne varijable I razne diplome identične varijable, moraju se sastaviti njihovim zbrajanjem s njihovim predznacima.
Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + 3.
Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, nego dvostrukom kubu od a.
Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.
Oduzimanje potencije se izvode na isti način kao i zbrajanje, osim što se predznaci subtrahenda moraju sukladno tome promijeniti.
Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Moći množenja
Brojeve s potencijama možemo množiti, kao i druge veličine, tako da ih ispisujemo jedan iza drugog, sa ili bez znaka množenja između njih.
Dakle, rezultat množenja a 3 s b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.
Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.
Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, tada je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakom iznos stupnjevi pojmova.
Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ovdje je 5 potencija rezultata množenja, koja je jednaka 2 + 3, zbroju potencija članova.
Dakle, a n .a m = a m+n .
Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je potencija od n;
A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;
Zato, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata potencija.
Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.
1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj
Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak zbroju ili razlika njihovih kvadrata.
Ako pomnožite zbroj i razliku dvaju brojeva podignutih na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupnjeva.
Dakle, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Podjela stupnjeva
Brojevi s potencijama mogu se dijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u obliku razlomka.
Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 jednako je a 3.
Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2 . U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.
Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti..
Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Odnosno, $\frac = y$.
I a n+1:a = a n+1-1 = a n. Odnosno, $\frac = a^n$.
Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Pravilo vrijedi i za brojeve s negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da su takve operacije vrlo široko korištene u algebri.
Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama
1. Smanji eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.
2. Smanji eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ili 2x.
3. Smanjite eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i dovedite do zajednički nazivnik.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je a -1 , zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 reducirajte i dovedite na zajednički nazivnik.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.
6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.
Svojstva stupnja
Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima i nulom. O potencijama s racionalnim eksponentima i njihovim svojstvima govorit ćemo u nastavi za 8. razred.
Diploma s prirodnim pokazateljem ima nekoliko važna svojstva, koji vam omogućuju pojednostavljenje izračuna u primjerima s ovlastima.
Svojstvo br. 1
Proizvod moći
Kod množenja potencija s istim bazama baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.
a m · a n = a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji cijeli brojevi.
Ovo svojstvo potencija također se odnosi na umnožak tri ili više potencija.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Imajte na umu da u navedeno svojstvo govorili smo samo o potencijama množenja s istim bazama. Ne odnosi se na njihov dodatak.
Zbroj (3 3 + 3 2) ne možete zamijeniti s 3 5. To je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, i 3 5 = 243
Svojstvo br. 2
Djelomični stupnjevi
Kod dijeljenja potencija s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednadžbu. Koristimo svojstvo kvocijentnih potencija.
3 8: t = 3 4
Odgovor: t = 3 4 = 81
Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, možete jednostavno pojednostaviti izraze i izvesti izračune.
- Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Primjer. Pronađite vrijednost izraza pomoću svojstava eksponenata.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Imajte na umu da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli potencija s istim osnovama.
Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) s 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Nekretnina br. 3
Dizanje stupnja na potenciju
Kod podizanja stupnja na potenciju baza stupnja ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.
(a n) m = a n · m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.
Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.
(a n · b n)= (a · b) n
To jest, za množenje potencija s istim eksponentima, možete množiti baze, ali ostaviti eksponent nepromijenjen.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvesti na potencijama s različitim bazama i različite pokazatelje. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.
Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Primjer podizanja decimale na potenciju.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Svojstva 5
Snaga kvocijenta (razlomak)
Da biste podigli kvocijent na potenciju, možete zasebno podići dividendu i djelitelj na tu potenciju i podijeliti prvi rezultat s drugim.
(a: b) n = a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n - bilo koji prirodni broj.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Podsjećamo vas da se kvocijent može prikazati kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na potenciju.
Moći i korijeni
Operacije s ovlastima i korijenima. Stupanj s negativnim ,
nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju značenja.
Operacije sa stupnjevima.
1. Pri množenju potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi eksponenti:
a m · a n = a m + n.
2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi eksponenti oduzimaju se .
3. Stupanj umnoška dvaju ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva tih faktora.
4. Stupanj omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva djelitelja (brojnika) i djelitelja (nazivnika):
(a/b) n = a n / b n.
5. Pri dizanju potencije na potenciju njihovi se eksponenti množe:
Sve gore navedene formule se čitaju i izvode u oba smjera slijeva na desno i obrnuto.
PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operacije s korijenima. U svim dolje navedenim formulama simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).
1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:
2. Korijen stava jednaka omjeru korijeni dividende i djelitelja:
3. Kod podizanja korijena na potenciju, dovoljno je dići na ovu potenciju radikalni broj:
4. Ako povećate stupanj korijena za m puta i istovremeno podignete radikalni broj na m-tu snagu, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
5. Ako smanjite stupanj korijena za m puta i istovremeno izvučete m-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
Proširivanje pojma stupnja. Do sada smo razmatrali stupnjeve samo s prirodnim eksponentima; ali operacije s ovlastima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I frakcijski indikatori. Svi ti eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.
Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:
Sada formula a m : a n = a m - n može se koristiti ne samo za m, više od n, ali i sa m, manje od n .
PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bilo pošteno kada m = n, trebamo definiciju nultog stupnja.
Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je 1.
PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stupanj s razlomačkim eksponentom. Da biste podigli realni broj a na potenciju m / n, morate izvući n-ti korijen iz m-te potencije ovog broja a:
O izrazima koji nemaju značenja. Postoji nekoliko takvih izraza.
Gdje a ≠ 0 , ne postoji.
Zapravo ako pretpostavimo da x je određeni broj, tada u skladu s definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti s uvjetom: a ≠ 0
— bilo koji broj.
Zapravo, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ta jednakost nastaje kada bilo koji broj x, što je i trebalo dokazati.
0 0 — bilo koji broj.
Rješenje. Razmotrimo tri glavna slučaja:
1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu
2) kada x> 0 dobivamo: x/x= 1, tj. 1 = 1, što znači
Što x– bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da u
u našem slučaju x> 0, odgovor je x > 0 ;
Pravila množenja potencija s različitim bazama
STUPNJA S RACIONALNIM POKAZATELJEM,
FUNKCIJA MOĆI IV
§ 69. Množenje i dijeljenje potencija s istim bazama
Teorem 1. Za množenje potencija s istim bazama dovoljno je zbrojiti eksponente, a bazu ostaviti istom, tj.
Dokaz. Po definiciji stupnja
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Promatrali smo umnožak dviju snaga. Zapravo, dokazano svojstvo vrijedi za bilo koji broj potencija s istim bazama.
Teorem 2. Za dijeljenje potencija s istim bazama, kada je indeks djelitelja veći od indeksa djelitelja, dovoljno je od indeksa djelitelja oduzeti indeks djelitelja, a osnovicu ostaviti istom, tj. na t > str
(a =/= 0)
Dokaz. Podsjetimo se da je kvocijent dijeljenja jednog broja s drugim broj koji, kada se pomnoži djeliteljem, daje dividendu. Stoga dokažite formulu gdje je a =/= 0, to je isto kao dokazivanje formule
Ako t > str , zatim broj t - str bit će prirodno; dakle, prema teoremu 1
Teorem 2 je dokazan.
Treba napomenuti da formula
to smo dokazali samo pod pretpostavkom da t > str . Stoga iz onoga što je dokazano još nije moguće izvući, primjerice, sljedeće zaključke:
Osim toga, još nismo razmatrali stupnjeve s negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo se značenje može dati izrazu 3 - 2 .
Teorem 3. Da bi se stupanj podigao na potenciju, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu stupnja istom, to je
Dokaz. Koristeći definiciju stupnja i teorem 1 ovog odjeljka, dobivamo:
Q.E.D.
Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (usmeno) Odredi x iz jednadžbi:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Set br.) Pojednostavite:
520. (Set br.) Pojednostavite:
521. Predstavi ove izraze u obliku stupnjeva s istim bazama:
1) 32. i 64.; 3) 8 5 i 16 3; 5) 4 100 i 32 50;
2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.
Osnovna svojstva stupnjeva
"Svojstva stupnjeva" je prilično popularan upit u tražilicama, koji pokazuje veliki interes za svojstva diplome. Za vas smo prikupili sva svojstva stupnja (svojstva stupnja s prirodnim eksponentom, svojstva stupnja s racionalni pokazatelj, svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom) na jednom mjestu. Možete preuzeti kratku verziju varalice "Svojstva stupnjeva" u .pdf formatu tako da ih se po potrebi možete lako sjetiti ili upoznati s njima svojstva stupnjeva izravno na mjestu. U detalje svojstva potencija s primjerima razmotreno u nastavku.
Preuzmite varalicu "Svojstva stupnjeva" (format.pdf)
Svojstva stupnjeva (ukratko)
a 0=1 ako a≠0
a 1=a
(−a)n=an, Ako n- čak
(−a)n=−an, Ako n- neparan
(a⋅b)n=an⋅bn
(ab)n=anbn
a−n=1an
(ab)−n=(ba)n
an⋅am=an+m
anam=an−m
(an)m=an⋅m
Svojstva potencija (s primjerima)
Vlasništvo 1. stupnja Svaki broj osim nule na nultu potenciju jednak je jedan. a 0=1 ako a≠0 Na primjer: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
Vlasništvo 2. stupnja Svaki broj na prvu potenciju jednak je samom broju. a 1=a Na primjer: 231=23, (−9,3)1=−9,3
Vlasništvo 3. stupnja Svaki broj na parnu potenciju je pozitivan. an=an, Ako n- paran (djeljiv sa 2) cijeli broj (− a)n=an, Ako n- paran (djeljiv sa 2) cijeli broj Na primjer: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
Vlasništvo 4. stupnja Svaki broj na neparnu potenciju zadržava svoj predznak. an=an, Ako n- neparan (nedjeljiv sa 2) cijeli broj (− a)n=−an, Ako n- neparan (nedjeljiv sa 2) cijeli broj Na primjer: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
Vlasništvo 5. stupnja Umnožak podignutih brojeva Oh na potenciju, može se predstaviti kao umnožak podignutih brojeva s V ovaj stupanj (i obrnuto). ( a⋅b)n=an⋅bn, pri čemu a, b, n Na primjer: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
Vlasništvo 6. stupnja Kvocijent (dijeljenje) podignutih brojeva Oh na potenciju, može se predstaviti kao kvocijent podignutih brojeva s V ovaj stupanj (i obrnuto). ( ab)n=anbn, pri čemu a, b, n- sve valjane (ne nužno cijele) brojeve Na primjer: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
Vlasništvo 7. stupnja Svaki broj na negativnu potenciju jednak je svom recipročnom broju na tu potenciju. (Recipročna vrijednost je broj s kojim treba pomnožiti dati broj da bi se dobio jedan.) a−n=1an, pri čemu a I n- sve valjane (ne nužno cijele) brojeve Na primjer: 7−2=172=149
Vlasništvo 8. stupnja Bilo koji razlomak na negativnu potenciju jednak je recipročnom razlomku te potencije. ( ab)−n=(ba)n, pri čemu a, b, n- sve valjane (ne nužno cijele) brojeve Na primjer: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
Vlasništvo 9. stupnja Kod množenja potencija s istom bazom, eksponenti se zbrajaju, ali baza ostaje ista. an⋅am=an+m, pri čemu a, n, m- sve valjane (ne nužno cijele) brojeve Na primjer: 23⋅25=23+5=28, imajte na umu da je ovo svojstvo stupnja sačuvano za negativne vrijednosti stupnjeva 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
Vlasništvo 10. stupnja Kod dijeljenja potencija s istom bazom, eksponenti se oduzimaju, ali baza ostaje ista. anam=an−m, pri čemu a, n, m- sve valjane (ne nužno cijele) brojeve Na primjer:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, primijetite kako se ovo svojstvo potencije odnosi na negativne potencije3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410
Vlasništvo 11. stupnja Pri dizanju potence na potenciju, potencije se umnožavaju. ( an)m=an⋅m Na primjer: (23)2=23⋅2=26=64
Tablica potencija do 10
Malo tko uspijeva zapamtiti cijelu tablicu stupnjeva, a i kome to treba kad ju je tako lako pronaći? Naša tablica snaga uključuje i popularne tablice kvadrata i kocki (od 1 do 10), kao i tablice drugih snaga koje su manje uobičajene. Stupci tablice potencija označavaju baze stupnja (broj koji treba potencirati), reci pokazuju eksponente (potencija na koju treba potencirati broj), a na sjecištu željeni stupac i željeni red rezultat su dizanja željenog broja na zadanu potenciju. Postoji nekoliko vrsta problema koji se mogu riješiti pomoću tablica napajanja. Neposredni zadatak je izračunati n potenciju broja. Obrnuti problem, koji se također može riješiti korištenjem tablice potencija, može zvučati ovako: „Na koju potenciju treba podići broj? a da dobijem broj b ?" ili "Koji broj na potenciju n daje broj b ?".
Tablica potencija do 10
|
1 n |
2 n |
3 n |
4 n |
5 n |
6 n |
7 n |
8 n |
9 n |
10 n |
|
Kako koristiti tablicu stupnjeva
Pogledajmo nekoliko primjera korištenja tablice napajanja.
Primjer 1. Koji broj nastaje povećanjem broja 6 na 8. potenciju? U tablici stupnjeva tražimo stupac 6 n, budući da je prema uvjetima zadatka broj 6 podignut na potenciju. Zatim u tablici potencija tražimo redak 8, budući da zadani broj treba podići na potenciju 8. Na raskrižju gledamo odgovor: 1679616.
Primjer 2. Na koju potenciju treba podići broj 9 da bi se dobilo 729? U tablici stupnjeva tražimo stupac 9 n i spuštamo ga do broja 729 (treći redak naše tablice stupnjeva). Broj retka je tražena diploma, odnosno odgovor: 3.
Primjer 3. Koji broj treba podići na potenciju 7 da bi se dobilo 2187? U tablici stupnjeva tražimo redak 7, zatim se po njemu pomičemo udesno do broja 2187. Od pronađenog broja idemo gore i saznajemo da je naslov ovog stupca 3 n, što znači da je odgovor: 3.
Primjer 4. Na koju potenciju treba podići broj 2 da bi se dobilo 63? U tablici stupnjeva nalazimo stupac 2 n i idemo niz njega dok ne sretnemo 63... Ali to se neće dogoditi. Nikada nećemo vidjeti broj 63 u ovom stupcu niti u bilo kojem drugom stupcu tablice potencija, što znači da nijedan cijeli broj od 1 do 10 ne daje broj 63 kada se podigne na cjelobrojnu potenciju od 1 do 10. Dakle, ne postoji odgovor .
Zašto su potrebne diplome?
Gdje će vam trebati?
Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?
Kako biste saznali SVE O DIPLOMAMA, pročitajte ovaj članak.
I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju jedinstvenog državnog ispita.
I do upisa na sveučilište iz snova!
Idemo... (Idemo!)
PRVI RAZINA
Potenciranje je matematička operacija kao i zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.
Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom na vrlo jednostavni primjeri. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.
Počnimo s dodavanjem.
Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svatko ima dvije boce kole. Koliko cole ima? Tako je - 16 boca.
Sada množenje.
Isti primjer s colom može se napisati i drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uočavaju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.
Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete sporije, teže i s greškama! Ali…
Evo tablice množenja. Ponoviti.
I još jedna, ljepša:
Koje su još pametne trikove s računanjem smislili lijeni matematičari? desno - dizanje broja na potenciju.
Dizanje broja na potenciju
Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju... I takve probleme rješavaju u svojim glavama – brže, lakše i bez greške.
Sve što trebate učiniti je zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam uvelike olakšati život.
Usput, zašto se zove drugi stupanj? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.
Primjer iz stvarnog života #1
Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.
Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar sa metar. Bazen je u vašoj kući. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena morate obložiti pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to utvrdili, morate znati površinu dna bazena.
Možete jednostavno izračunati upiranjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice veličine metar sa metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerojatnije biti cm po cm. A onda ćete biti mučeni "brojenjem prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Pomnožite s i dobit ćete pločice ().
Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sa samim sobom? Što to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku "potencijaliranja". (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dignuti na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda ih je dizanje na potenciju puno lakše, a ima i manje grešaka u izračunima Za Jedinstveni državni ispit ovo je vrlo važno).
Dakle, trideset na drugu potenciju bit će (). Ili možemo reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.
Primjer iz stvarnog života #2
Evo zadatka za vas: izbrojte koliko ima polja na šahovskoj ploči pomoću kvadrata broja... S jedne i s druge strane ćelija. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam ili... ako primijetite da je šahovnica kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobit ćete ćelije. () Pa?
Primjer iz stvarnog života #3
Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine mjere se u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte izbrojati koliko će kockica dimenzija metar sa metar stane u vaš bazen.
Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset i dva, dvadeset i tri...Koliko si ih dobio? Niste izgubljeni? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama... Lakše, zar ne?
Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako su i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Uočili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Što to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri kubna je jednako. Napisano je ovako: .
Sve što ostaje je zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.
Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili odustatelji i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.
Primjer iz stvarnog života #4
Imate milijun rubalja. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki milijun koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i... glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnoženo s dva... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine... Stop! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate natjecanje i da će onaj tko najbrže broji dobiti te milijune... Vrijedno je prisjetiti se moći brojeva, zar ne?
Primjer iz stvarnog života #5
Imaš milijun. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednom... To je već dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa sobom puta. Dakle, na četvrtu potenciju to je jednako milijunu. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.
Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.
Termini i pojmovi.. da ne bude zabune
Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" potencije broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje...
Pa, u isto vrijeme, što takvu diplomsku osnovu? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u podnožju.
Evo crteža za dobru mjeru.
Pa, općenito, radi generaliziranja i boljeg pamćenja... Stupanj s osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “na stupanj” i piše se na sljedeći način:
Potencija broja s prirodnim eksponentom
Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste pri brojanju pri nabrajanju predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Također ne kažemo: “jedna trećina”, ili “nula zarez pet”. Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovo brojevi?
Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno kako bi ukazali na dugove: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.
Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?
Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačno decimal. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.
Sažetak:
Definirajmo koncept stupnja čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).
- Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
- Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
- Kubirati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:
Definicija. Podizanje broja na prirodni potenciju znači množenje broja samim sobom puta:
.
Svojstva stupnjeva
Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.
Da vidimo: što je I ?
A-prior:
Koliko je ukupno množitelja?
Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.
Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest: , što je i trebalo dokazati.
Primjer: Pojednostavite izraz.
Riješenje:
Primjer: Pojednostavite izraz.
Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:
samo za proizvod snaga!
Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.
2. to je to potenciju broja
Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:
Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:
U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:
Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati?
Ali to ipak nije istina.
Snaga s negativnom bazom
Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.
Ali što bi trebala biti osnova?
U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni.
Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?
Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.
Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, funkcionira.
Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Jeste li uspjeli?
Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.
U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.
Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).
Primjer 6) više nije tako jednostavan!
6 primjera za vježbanje
Analiza rješenja 6 primjera
Cijeli prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom) nazivamo i brojem.
pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.
Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.
Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:
Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?
Razmotrimo neki stupanj s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:
Dakle, pomnožili smo broj s, i dobili smo isto što je i bilo - . S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.
Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:
Ponovimo pravilo:
Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.
Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).
S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množio sam sa sobom, svejedno ćeš dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultu potenciju, mora biti jednak. Dakle, koliko je od ovoga istina? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.
Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativna potencija, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativnu potenciju:
Odavde je lako izraziti ono što tražite:
Proširimo sada dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:
Dakle, formulirajmo pravilo:
Broj s negativnom potencijom recipročna je vrijednost istog broja s pozitivnom potencijom. Ali u isto vrijeme Baza ne može biti nula:(jer ne možete dijeliti po).
Ukratko:
Zadaci za samostalno rješavanje:
Pa, kao i obično, primjeri za neovisna rješenja:
Analiza problema za samostalno rješavanje:
Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!
Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.
Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?
Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, i.
Da shvatim što je to "frakcijski stupanj", razmotrite razlomak:
Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:
Prisjetimo se sada pravila o "stupanj u stupanj":
Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?
Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.
Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.
To jest, korijen th potencije je inverzna operacija dizanja na potenciju: .
Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se proširiti: .
Sada dodajemo brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage na snagu:
Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, ne može se izvući korijen iz svih brojeva.
nijedan!
Zapamtite pravilo: bilo koji broj podignut na čak stupanj- broj je pozitivan. Odnosno, nemoguće je izvući parne korijene iz negativnih brojeva!
To znači da se takve brojke ne mogu podići frakcijska snaga s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.
Što je s izrazom?
Ali tu nastaje problem.
Broj se može prikazati u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.
I ispada da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.
Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali ako indikator zapišemo drugačije, opet ćemo upasti u nevolju: (to jest, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).
Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.
Pa ako:
- - prirodni broj;
- - cijeli broj;
Primjeri:
Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:
5 primjera za vježbanje
Analiza 5 primjera za obuku
E, sad dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stupanj s iracionalnim eksponentom.
Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom
Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu prikazati kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima.
Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;
...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;
...negativan cijeli broj stupanj- kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.
Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj.
Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.
GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))
Na primjer:
Odlučite sami:
Analiza rješenja:
1. Počnimo s uobičajenim pravilom za dizanje potencije na potenciju:
NAPREDNA RAZINA
Određivanje stupnja
Diploma je izraz u obliku: , gdje je:
- — baza stupnja;
- - eksponent.
Stupanj s prirodnim pokazateljem (n = 1, 2, 3,...)
Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:
Stupanj s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)
Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:
Izgradnja na nulti stupanj:
Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.
Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:
(jer ne možete dijeliti po).
Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.
Primjeri:
Potencija s racionalnim eksponentom
- - prirodni broj;
- - cijeli broj;
Primjeri:
Svojstva stupnjeva
Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.
Pogledajmo: što je i?
A-prior:
Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobivamo sljedeći proizvod:
Ali po definiciji to je potencija broja s eksponentom, to jest:
Q.E.D.
Primjer : Pojednostavite izraz.
Riješenje : .
Primjer : Pojednostavite izraz.
Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:
Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za produkt potencija!
Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.
Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:
Pregrupirajmo ovaj posao ovako:
Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:
U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !
Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.
Snaga s negativnom bazom.
Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi trebao biti indeks stupnjeva. Ali što bi trebala biti osnova? U ovlastima prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .
Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?
Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ?
S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.
Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo - .
I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulirati sljedeće jednostavna pravila:
- čak stupanj, - broj pozitivan.
- Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
- Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.
Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Jeste li uspjeli? Evo odgovora:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.
U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).
Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.
I opet koristimo definiciju stupnja:
Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan s drugim, podijelimo ih u parove i dobijemo:
Prije nego pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.
Izračunajte izraze:
Rješenja :
Vratimo se na primjer:
I opet formula:
Sada zadnje pravilo:
Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo koncept diplome i pojednostavnimo ga:
E, sad otvorimo zagrade. Koliko je ukupno slova? puta množiteljima - na što vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa više od definicije operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. Odnosno, ovo je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:
Primjer:
Stupanj s iracionalnim eksponentom
Uz informacije o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo stvorili određenu "sliku", "analogiju" ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stupanj s prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultu potenciju je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazan broj“, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.
Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je više čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili da prošire koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.
Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent čak nije ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.
Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)
Na primjer:
Odlučite sami:
| 1) | 2) | 3) |
odgovori:
SAŽETAK ODSJEKA I OSNOVNE FORMULE
Stupanj zove se izraz oblika: , gdje je:
Stupanj s cjelobrojnim eksponentom
stupanj čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).
Potencija s racionalnim eksponentom
stupanj, čiji su eksponenti negativni i razlomački brojevi.
Stupanj s iracionalnim eksponentom
stupanj čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.
Svojstva stupnjeva
Značajke stupnjeva.
- Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
- Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
- Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
- Svaki broj na nultu potenciju je jednak.
SADA IMATE RIJEČ...
Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se svidjelo ili ne.
Recite nam nešto o svom iskustvu s korištenjem svojstava stupnja.
Možda imate pitanja. Ili prijedloge.
Pišite u komentarima.
I sretno na ispitima!
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada ono najvažnije.
Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.
Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što je pred njima puno više otvorenog više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?
USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.
Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.
Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Nakon što se utvrdi snaga broja, logično je govoriti o svojstva stupnja. U ovom ćemo članku dati osnovna svojstva potencije broja, dotičući se svih mogućih eksponenata. Ovdje ćemo dati dokaze svih svojstava stupnjeva, a također ćemo pokazati kako se ta svojstva koriste pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentima
Prema definiciji potencije s prirodnim eksponentom, potencija a n je umnožak n faktora od kojih je svaki jednak a. Na temelju ove definicije, a također i pomoću svojstva množenja realnih brojeva, možemo dobiti i opravdati sljedeće svojstva stupnja s prirodnim eksponentom:
- glavno svojstvo stupnja a m ·a n =a m+n, njegova generalizacija;
- svojstvo kvocijentnih potencija s identičnim bazama a m:a n =a m−n ;
- svojstvo snage proizvoda (a·b) n =a n ·b n , njegovo proširenje;
- svojstvo kvocijenta prirodnog stupnja (a:b) n =a n:b n ;
- dizanje stupnja na potenciju (a m) n =a m·n, njegova generalizacija (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- usporedba stupnja s nulom:
- ako je a>0, tada je a n>0 za bilo koji prirodni broj n;
- ako je a=0, tada je a n =0;
- ako a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ako je a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ako su a i b pozitivni brojevi i a
- ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0
- ako su m i n prirodni brojevi takvi da je m>n, tada je 0
Odmah napomenimo da su sve napisane jednakosti identičan prema navedenim uvjetima, desni i lijevi dio mogu se zamijeniti. Na primjer, glavno svojstvo razlomka a m ·a n =a m+n sa pojednostavljivanje izrazačesto se koristi u obliku a m+n =a m ·a n .
Sada pogledajmo svaki od njih u detalje.
Pođimo od svojstva umnoška dviju potencija s istim bazama, koje se zove glavno svojstvo stupnja: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n vrijedi jednakost a m ·a n =a m+n.
Dokažimo glavno svojstvo stupnja. Po definiciji potencije s prirodnim eksponentom, umnožak potencija s istim bazama oblika a m ·a n može se napisati kao umnožak. Zbog svojstava množenja, dobiveni izraz može se napisati kao 
, a taj umnožak je potencija broja a s prirodnim eksponentom m+n, odnosno a m+n. Ovo dovršava dokaz.
Navedimo primjer koji potvrđuje glavno svojstvo stupnja. Uzmimo stupnjeve s istim bazama 2 i prirodnim potencijama 2 i 3, koristeći osnovno svojstvo stupnjeva možemo napisati jednakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Provjerimo njegovu valjanost izračunavanjem vrijednosti izraza 2 2 · 2 3 i 2 5 . Izvođenjem potenciranja imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, budući da su dobivene jednake vrijednosti, onda je jednakost 2 2 ·2 3 =2 5 točna i potvrđuje glavno svojstvo stupnja.
Osnovno svojstvo stupnja, temeljeno na svojstvima množenja, može se generalizirati na umnožak tri ili više potencija s istim bazama i prirodnim eksponentima. Dakle, za bilo koji broj k prirodnih brojeva n 1, n 2, …, n k vrijedi jednakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Na primjer, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Možemo prijeći na sljedeće svojstvo potencija s prirodnim eksponentom – svojstvo kvocijentskih potencija s istim bazama: za bilo koji realni broj a različit od nule i proizvoljne prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju uvjet m>n, vrijedi jednakost a m:a n =a m−n.
Prije iznošenja dokaza ovog svojstva, raspravimo značenje dodatnih uvjeta u formulaciji. Uvjet a≠0 je potreban da bi se izbjeglo dijeljenje s nulom jer je 0 n =0, a kada smo se upoznali s dijeljenjem složili smo se da ne možemo dijeliti s nulom. Uvjet m>n je uveden kako ne bismo išli dalje od prirodnih eksponenata. Doista, za m>n eksponent a m−n je prirodan broj, inače će biti ili nula (što se događa za m−n) ili negativan broj (što se događa za m Dokaz. Glavno svojstvo razlomka omogućuje nam da zapišemo jednakost a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobivene jednakosti a m−n ·a n =a m i slijedi da je a m−n kvocijent potencija a m i a n . Time je dokazano svojstvo kvocijentskih potencija s identičnim bazama. Navedimo primjer. Uzmimo dva stupnja s istim bazama π i prirodnim eksponentima 5 i 2, jednakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odgovara razmatranom svojstvu stupnja. Sada razmotrimo svojstvo snage proizvoda: prirodna potencija n umnoška bilo koja dva realna broja a i b jednaka je umnošku potencija a n i b n , odnosno (a·b) n =a n ·b n . Doista, po definiciji stupnja s prirodnim eksponentom imamo Evo primjera: Ovo se svojstvo proteže na snagu umnoška tri ili više faktora. To jest, svojstvo prirodnog stupnja n umnoška k faktora zapisano je kao (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Radi jasnoće, pokazat ćemo ovo svojstvo primjerom. Za umnožak tri faktora na potenciju broja 7 imamo . Sljedeće svojstvo je svojstvo kvocijenta u naravi: kvocijent realnih brojeva a i b, b≠0 na prirodnu potenciju n jednak je kvocijentu potencija a n i b n, odnosno (a:b) n =a n:b n. Dokaz se može izvesti korištenjem prethodnog svojstva. Tako (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a iz jednakosti (a:b) n ·b n =a n slijedi da je (a:b) n kvocijent a n podijeljen s b n . Zapišimo ovo svojstvo koristeći određene brojeve kao primjer: Sada to izgovorimo svojstvo podizanja potencije na potenciju: za bilo koji realni broj a i bilo koje prirodne brojeve m i n potencija a m na potenciju n jednaka je potenci broja a s eksponentom m·n, odnosno (a m) n =a m·n. Na primjer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Dokaz svojstva potencije na stupanj je sljedeći lanac jednakosti: Svojstvo koje se razmatra može se proširiti na stupanj na stupanj na stupanj, itd. Na primjer, za bilo koje prirodne brojeve p, q, r i s vrijedi jednakost Ostaje se zadržati na svojstvima uspoređivanja stupnjeva s prirodnim eksponentom. Počnimo s dokazivanjem svojstva usporedbe nule i potencije s prirodnim eksponentom. Prvo, dokažimo da je a n >0 za bilo koje a>0. Umnožak dva pozitivna broja je pozitivan broj, kao što proizlazi iz definicije množenja. Ova činjenica i svojstva množenja sugeriraju da će rezultat množenja bilo kojeg broja pozitivnih brojeva također biti pozitivan broj. A potencija broja a s prirodnim eksponentom n, po definiciji, umnožak je n faktora od kojih je svaki jednak a. Ovi nam argumenti omogućuju da ustvrdimo da je za bilo koju pozitivnu bazu a stupanj a n pozitivan broj. Zbog dokazanog svojstva 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 i Sasvim je očito da je za svaki prirodni broj n s a=0 stupanj a n jednak nuli. Doista, 0 n =0·0·…·0=0 . Na primjer, 0 3 =0 i 0 762 =0. Prijeđimo na negativne baze stupnja. Počnimo sa slučajem kada je eksponent paran broj, označimo ga kao 2·m, gdje je m prirodan broj. Zatim Konačno, kada je baza a negativan broj, a eksponent neparan broj 2 m−1, tada Prijeđimo na svojstvo usporedbe potencija s istim prirodnim eksponentima koje ima sljedeću formulaciju: od dviju potencija s istim prirodnim eksponentima n je manji od onog čija je baza manja, a veći je onaj čija je baza veća . Dokažimo to. Nejednakost a n svojstva nejednakosti istinita je i dokaziva nejednakost oblika a n (2.2) 7 i Ostaje još dokazati posljednje od navedenih svojstava potencija s prirodnim eksponentima. Idemo to formulirati. Od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim pozitivnim bazama manjim od jedan, veći je onaj čiji je eksponent manji; a od dviju potencija s prirodnim eksponentima i jednakim bazama većim od jedan veći je onaj čiji je eksponent veći. Prijeđimo na dokaz ovog svojstva. Dokažimo to za m>n i 0 Ostalo je dokazati drugi dio imovine. Dokažimo da za m>n i a>1 a m >a n vrijedi. Razlika a m −a n nakon iznošenja n iz zagrade poprima oblik a n ·(a m−n −1) . Ovaj umnožak je pozitivan, budući da je za a>1 stupanj a n pozitivan broj, a razlika a m−n −1 je pozitivan broj, budući da je m−n>0 zbog početnog uvjeta, a za a>1 stupanj a m−n je veće od jedan. Prema tome, a m −a n >0 i a m >a n , što je i trebalo dokazati. Ovo svojstvo ilustrira nejednakost 3 7 >3 2.
. Na temelju svojstava množenja, posljednji proizvod može se prepisati kao 
, koji je jednak a n · b n .
.
.
.
. Radi veće jasnoće, ovdje je primjer s određenim brojevima: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Jer svaki od umnožaka oblika a·a je jednak umnošku modula brojeva a i a, što znači da je pozitivan broj. Stoga će proizvod također biti pozitivan 
a stupanj a 2·m. Navedimo primjere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
. Svi umnošci a·a su pozitivni brojevi, umnožak tih pozitivnih brojeva također je pozitivan, a njegov množenje s ostatkom negativan broj a rezultira negativnim brojem. Zbog ovog svojstva (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima
Budući da su prirodni brojevi prirodni brojevi, onda se sva svojstva potencija s cijelim pozitivnim eksponentom u potpunosti podudaraju sa svojstvima potencija s prirodnim eksponentima navedenim i dokazanim u prethodnom odlomku.
Stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom, kao i stupanj s nultim eksponentom, definirali smo na način da sva svojstva stupnjeva s prirodnim eksponentom, izražena jednakostima, ostanu važeća. Dakle, sva ova svojstva vrijede i za nulte eksponente i za negativne eksponente, dok su, naravno, baze potencija različite od nule.
Dakle, za sve realne brojeve a i b različite od nule, kao i za sve cijele brojeve m i n, vrijedi sljedeće: svojstva potencija s cjelobrojnim eksponentima:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- ako je n pozitivan cijeli broj, a i b su pozitivni brojevi i a b−n ;
- ako su m i n cijeli brojevi i m>n, tada je 0
Kada je a=0, potencije a m i a n imaju smisla samo kada su i m i n pozitivni cijeli brojevi, odnosno prirodni brojevi. Dakle, upravo napisana svojstva vrijede i za slučajeve kada je a=0 i kada su brojevi m i n prirodni brojevi.
Dokazivanje svakog od ovih svojstava nije teško, za to je dovoljno koristiti definicije stupnjeva s prirodnim i cjelobrojnim eksponentima, kao i svojstva operacija s realnim brojevima. Kao primjer, dokažimo da svojstvo stepena na stepen vrijedi i za pozitivne cijele brojeve i za nepozitivne cijele brojeve. Da biste to učinili, morate pokazati da ako je p nula ili prirodan broj i q je nula ili prirodan broj, tada vrijede jednakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Učinimo to.
Za pozitivne p i q jednakost (a p) q =a p·q dokazana je u prethodnom paragrafu. Ako je p=0, tada imamo (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, odakle (a 0) q =a 0·q. Slično, ako je q=0, tada je (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, odakle je (a p) 0 =a p·0. Ako su i p=0 i q=0, tada je (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0·0 =a 0 =1, odakle je (a 0) 0 =a 0·0.
Sada dokazujemo da je (a −p) q =a (−p)·q . Prema definiciji potencije s negativnim cijelim eksponentom, dakle 
. Po svojstvu kvocijenata na potencije imamo 
. Kako je 1 p =1·1·…·1=1 i , tada je . Posljednji izraz, po definiciji, je potencija oblika a −(p·q), koja se, zbog pravila množenja, može napisati kao (−p)·q.
Također 
.
I 
.
Koristeći isti princip, možete dokazati sva druga svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom, napisanim u obliku jednakosti.
U pretposljednjem od zapisanih svojstava vrijedi se zadržati na dokazu nejednakosti a −n >b −n koja vrijedi za bilo koji negativni cijeli broj −n i sve pozitivne a i b za koje je zadovoljen uvjet a . Budući da prema uvjetu a 0 . Umnožak a n · b n također je pozitivan kao umnožak pozitivnih brojeva a n i b n . Tada je dobiveni razlomak pozitivan kao kvocijent pozitivnih brojeva b n −a n i a n ·b n . Dakle, odakle a −n >b −n , što je i trebalo dokazati.
Posljednje svojstvo potencija s cjelobrojnim eksponentima dokazuje se na isti način kao slično svojstvo potencija s prirodnim eksponentima.
Svojstva potencija s racionalnim eksponentima
Definirali smo stupanj s razlomačkim eksponentom proširivanjem svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom na njega. Drugim riječima, potencije s razlomačkim eksponentima imaju ista svojstva kao i potencije s cjelobrojnim eksponentima. Naime:
Dokaz svojstava stupnjeva s razlomljenim eksponentom temelji se na definiciji stupnja s razlomljenim eksponentom, te na svojstvima stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Pružimo dokaze.
Prema definiciji potencije s razlomačkim eksponentom i , tada 
. Svojstva aritmetičkog korijena omogućuju nam da napišemo sljedeće jednakosti. Nadalje, koristeći svojstvo stupnja s cjelobrojnim eksponentom, dobivamo , iz čega, po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom, imamo 
, a pokazatelj stečenog stupnja može se transformirati na sljedeći način: . Ovo dovršava dokaz.
Drugo svojstvo potencija s razlomačkim eksponentima dokazuje se na potpuno sličan način: 
Preostale jednakosti se dokazuju koristeći slične principe: 
Prijeđimo na dokaz sljedećeg svojstva. Dokažimo da za bilo koje pozitivne a i b, a b p . Zapišimo racionalni broj p kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Uvjeti str<0 и p>0 u ovom slučaju uvjeti m<0 и m>0 prema tome. Za m>0 i a
Slično, za m<0 имеем a m >b m , odakle, odnosno i a p >b p .
Ostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava. Dokažimo da za racionalne brojeve p i q vrijedi p>q na 0 
I 
. A definicija stupnja s racionalnim eksponentom omogućuje nam da prijeđemo na nejednakosti i, prema tome. Odavde izvlačimo konačni zaključak: za p>q i 0
Svojstva potencija s iracionalnim eksponentima
Iz načina definiranja stupnja s iracionalnim eksponentom možemo zaključiti da on ima sva svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. Dakle, za bilo koje a>0, b>0 i iracionalne brojeve p i q vrijedi sljedeće svojstva potencija s iracionalnim eksponentima:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p·q ;
- za bilo koje pozitivne brojeve a i b, a 0 nejednadzbi a p b p ;
- za iracionalne brojeve p i q, p>q na 0
Iz ovoga možemo zaključiti da potencije s bilo kojim realnim eksponentom p i q za a>0 imaju ista svojstva.
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).
