Enciklopedija matematike. Enciklopedija matematike Matematika i stvarni svijet

Matematička enciklopedija

Matematička enciklopedija- Sovjetska enciklopedijska publikacija u pet svezaka posvećena matematičkim temama. Objavila 1985. izdavačka kuća "Sovjetska enciklopedija". Glavni urednik: Akademik I.M. Vinogradov.

Ovo je temeljna ilustrirana publikacija o svim glavnim granama matematike. Knjiga predstavlja opsežan materijal o ovoj temi, biografije poznatih matematičara, crteže, grafikone, karte i dijagrame.

Ukupni obim: oko 3000 stranica. Distribucija članaka prema volumenu:

Svezak 1: Abakus - Huygensov princip, 576 str.
Svezak 2: Operater D'Alembert - Co-op igra, 552 str.
Svezak 3: Koordinate - Monom, 592 str.
Svezak 4: Oko teorema - Složena funkcija, 608 str.
Svezak 5: Slučajna vrijednost- Ćelija, 623 str.
Dodatak svesku 5: predmetni indeks, popis uočenih tipfelera.

Linkovi

Opći i posebni priručnici i matematičke enciklopedije na portalu “Svijet matematičkih jednadžbi”, gdje možete preuzeti enciklopediju u elektroničkom obliku.

Kategorije:

Knjige po abecednom redu
Matematička literatura
Enciklopedije
Knjige izdavačke kuće "Sovjetska enciklopedija"
Enciklopedije SSSR-a

Zaklada Wikimedia. 2010.

Matematička kemija
Matematičke osnove kvantne mehanike

Pogledajte što je "Matematička enciklopedija" u drugim rječnicima:

Matematička logika - (teorijska logika, simbolička logika) je grana matematike koja proučava dokaze i pitanja temelja matematike. “Predmet moderne matematičke logike je raznolik.” Prema definiciji P. S. Poretskog, “matematička ... ... Wikipedia

Enciklopedija- (nova latinska enciklopedija (ne ranije od 16. st.) od dr.grč. ἐγκύκλιος παιδεία “učenje u punom krugu”, κύκλος krug i παιδεία učenje/paideia) unesena u sustav oko ... Wikipedia

ENCIKLOPEDIJA- (od grčkog enkyklios paideia obuka u cijelom rasponu znanja), znanstveni. ili znanstvenog popularna referentna publikacija koja sadrži sistematizirane informacije. tijelo znanja. Građa u E. nalazi se u abecedni red ili sustavno princip (prema granama znanja).... ... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

MATEMATIČKA LOGIKA- jedno od imena moderne logike koje je došlo u drugom. kat. 19 početak 20. stoljeće zamijeniti tradicionalnu logiku. Kao drugo ime moderna pozornica U razvoju znanosti o logici koristi se i termin simbolička logika. Definicija…… Filozofska enciklopedija

MATEMATIČKA BESKONAČNOST- zajednički naziv za dekompoziciju. implementacije ideje beskonačnosti u matematici. Iako između značenja pojma M. b. i drugim značenjima u kojima se koristi pojam beskonačnost, nema čvrste granice (budući da svi ovi pojmovi u konačnici odražavaju vrlo ... ... Filozofska enciklopedija

MATEMATIČKA INDUKCIJA- potpuna matematička indukcija (u matematici se često naziva jednostavno potpuna indukcija; u ovom slučaju ovaj pojam treba razlikovati od pojma potpune indukcije koji se razmatra u nematematičkoj formalnoj logici), - metoda dokazivanja opći prijedlozi V…… Filozofska enciklopedija

MATEMATIČKA HIPOTEZA- pretpostavljena promjena u obliku, vrsti, karakteru jednadžbe koja izražava zakonitost proučavanog područja pojava, s ciljem da se kao inherentna zakonitost proširi na novo, još neistraženo područje. M. g. naširoko se koristi u moderno doba. teoretski...... Filozofska enciklopedija

MATEMATIČKA ŠKOLA U POLITIČKOJ EKONOMIJI- Engleski matematička škola u političkoj ekonomiji; njemački mathematische Schule in der politischen Okonomie. Smjer u politici, gospodarstvu, koji je nastao u drugoj polovici 19. stoljeća, dali su predstavnici (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons i dr.) ... ... Enciklopedija sociologije

MATEMATIČKA ŠKOLA U SOCIOLOGIJI- Engleski matematička škola u sociologiji; njemački mathematische Schule in der Soziologie. Pravac u sociologiji nastao u prvoj polovici 20. stoljeća, utemeljitelji sociologije (A. Zipf, E. Dodd i dr.) smatrali su da teorije sociologa dosežu razinu... ... Enciklopedija sociologije

Matematički model zgrada i građevina- Matematički (računalni) model zgrada i građevina - prikaz zgrada i građevina u obliku dijagrama konačnih elemenata za izvođenje numeričkih proračuna pri rješavanju skupa problema koji nastaju tijekom projektiranja, izgradnje i... ... Enciklopedija pojmova, definicija i objašnjenja građevinskih materijala

knjige

Matematička enciklopedija (komplet od 5 knjiga), . Matematička enciklopedija - prikladna referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija se temelji na člancima posvećenim najvažnija područja matematika. Princip lokacije...

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija se temelji na preglednim člancima posvećenim najvažnijim područjima matematike. Glavni zahtjev za članke ove vrste je moguća cjelovitost pregleda postojećeg stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi su članci općenito dostupni studentima završnih godina studija matematike, studentima diplomskih studija i stručnjacima srodnih područja matematike, au određenim slučajevima i stručnjacima drugih područja znanja koji se u svom radu koriste matematičkim metodama, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, artikli prosječne veličine dostupni su za pojedince specifične probleme i metode matematike; Ovi su članci namijenjeni užem krugu čitatelja i stoga mogu biti manje dostupni. Na kraju, još jedna vrsta članka - kratka informacija-definicije. Na kraju posljednjeg sveska Enciklopedije bit će predmetno kazalo, koje će uključivati ne samo naslove svih članaka, već i mnoge pojmove čije će definicije biti dane unutar članaka prve dvije vrste, kao i kao najvažnije rezultate spomenute u člancima. Većina članaka u Enciklopediji popraćena je bibliografijom s serijski brojevi svako ime, što omogućuje citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već bio objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim antičkih) znanstvenika koja se spominju u člancima popraćena su latinicom (ako nema poveznice na popis literature).

Preuzmite i pročitajte Matematičku enciklopediju, svezak 3, Vinogradov I.M., 1982.

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija se temelji na preglednim člancima posvećenim najvažnijim područjima matematike. Glavni zahtjev za članke ove vrste je moguća cjelovitost pregleda postojećeg stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi su članci općenito dostupni studentima završnih godina studija matematike, studentima diplomskih studija i stručnjacima srodnih područja matematike, au određenim slučajevima i stručnjacima drugih područja znanja koji se u svom radu koriste matematičkim metodama, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, dani su članci srednje veličine o pojedinim specifičnim problemima i metodama matematike; Ovi su članci namijenjeni užem krugu čitatelja i stoga mogu biti manje dostupni. Konačno, još jedna vrsta članka su kratke reference i definicije. Na kraju posljednjeg sveska Enciklopedije bit će predmetno kazalo, koje će uključivati ne samo naslove svih članaka, već i mnoge pojmove čije će definicije biti dane unutar članaka prve dvije vrste, kao i kao najvažnije rezultate spomenute u člancima. Većina članaka Enciklopedije popraćena je bibliografijom s rednim brojevima za svaki naslov, što omogućuje njihovo citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već bio objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim antičkih) znanstvenika koja se spominju u člancima popraćena su latinicom (ako nema poveznice na popis literature).

Preuzmite i pročitajte Matematičku enciklopediju, svezak 2, Vinogradov I.M., 1979.

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija se temelji na preglednim člancima posvećenim najvažnijim područjima matematike. Glavni zahtjev za članke ove vrste je moguća cjelovitost pregleda postojećeg stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi su članci općenito dostupni studentima završnih godina studija matematike, studentima diplomskih studija i stručnjacima srodnih područja matematike, au određenim slučajevima i stručnjacima drugih područja znanja koji se u svom radu koriste matematičkim metodama, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, dani su članci srednje veličine o pojedinim specifičnim problemima i metodama matematike; Ovi su članci namijenjeni užem krugu čitatelja i stoga mogu biti manje dostupni. Konačno, još jedna vrsta članka su kratke reference i definicije. Na kraju posljednjeg sveska Enciklopedije bit će predmetno kazalo, koje će uključivati ne samo naslove svih članaka, već i mnoge pojmove čije će definicije biti dane unutar članaka prve dvije vrste, kao i kao najvažnije rezultate spomenute u člancima. Većina članaka Enciklopedije popraćena je bibliografijom s rednim brojevima za svaki naslov, što omogućuje njihovo citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već bio objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim antičkih) znanstvenika koja se spominju u člancima popraćena su latinicom (ako nema poveznice na popis literature).

Preuzmite i čitajte Matematičku enciklopediju, svezak 1, Vinogradov I.M., 1977.

Algebra je izvorno bila grana matematike koja se bavila rješavanjem jednadžbi. Za razliku od geometrije, aksiomatska konstrukcija algebra nije postojala sve do sredine 19. stoljeća, kada je temeljno Novi izgled o predmetu i prirodi algebre. Istraživanja su se počela sve više usmjeravati na proučavanje takozvanih algebarskih struktura. To je imalo dvije prednosti. S jedne strane, razjašnjena su područja za koja pojedini teoremi vrijede; s druge strane, postalo je moguće koristiti iste dokaze u potpunosti različitim područjima. Ovakva podjela algebre trajala je do sredine 20. stoljeća i odrazila se u pojavi dva naziva: “klasična algebra” i “moderna algebra”. Potonji je bolje karakteriziran drugim nazivom: "apstraktna algebra". Činjenica je da je ovaj odjeljak - prvi put u matematici - karakterizirala potpuna apstrakcija.

Preuzmite i čitajte Malu matematičku enciklopediju, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976.

“Vjerojatnost i matematička statistika” - referentna publikacija o teoriji vjerojatnosti, matematičkoj statistici i njihovoj primjeni u razna područja Znanost i tehnologija. Enciklopedija ima dva dijela: glavni sadrži pregledne članke, članke posvećene pojedinim specifičnim problemima i metodama, kratke reference koje daju definicije osnovnih pojmova, najvažnije teoreme i formule. Značajan prostor posvećen je primijenjenim temama - teoriji informacija, teoriji čekanja u redu, teoriji pouzdanosti, planiranju pokusa i srodnim područjima - fizici, geofizici, genetici, demografiji i pojedinim granama tehnike. Većina članaka popraćena je bibliografijom najvažnijih radova o ovoj problematici. Naslovi članaka također su prevedeni na Engleski jezik. Drugi dio - “Zbornik iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike” sadrži članke pisane za domaće enciklopedije iz prošlosti, kao i enciklopedijsku građu prethodno objavljenu u drugim djelima. Enciklopedija je popraćena opsežnim popisom časopisa, periodike i tekućih publikacija koje pokrivaju pitanja teorije vjerojatnosti i matematička statistika.
Građa uvrštena u Enciklopediju potrebna je studentima dodiplomskih, diplomskih studija i istraživačima iz područja matematike i drugih znanosti koji se u svom istraživačkom i praktičnom radu koriste probabilističkim metodama.

Matematička enciklopedija - referentna publikacija o svim granama matematike. Enciklopedija se temelji na preglednim člancima posvećenim najvažnijim područjima matematike. Glavni zahtjev za članke ove vrste je moguća cjelovitost pregleda postojećeg stanja teorije uz maksimalnu dostupnost izlaganja; Ovi su članci općenito dostupni studentima završnih godina studija matematike, studentima diplomskih studija i stručnjacima srodnih područja matematike, au određenim slučajevima i stručnjacima drugih područja znanja koji se u svom radu koriste matematičkim metodama, inženjerima i nastavnicima matematike. Nadalje, dani su članci srednje veličine o pojedinim specifičnim problemima i metodama matematike; Ovi su članci namijenjeni užem krugu čitatelja i stoga mogu biti manje dostupni. Konačno, još jedna vrsta članka su kratke reference i definicije. Neke definicije dane su unutar prve dvije vrste članaka. Većina članaka Enciklopedije popraćena je bibliografijom s rednim brojevima za svaki naslov, što omogućuje njihovo citiranje u tekstovima članaka. Na kraju članaka (u pravilu) navodi se autor ili izvor ako je članak već bio objavljen (uglavnom su to članci u Velikoj sovjetskoj enciklopediji). Imena stranih (osim antičkih) znanstvenika koja se spominju u člancima popraćena su latinicom (ako nema poveznice na popis literature).

Načelo rasporeda članaka u Enciklopediji je abecedno. Ako je naslov članka pojam koji ima sinonim, onda se potonji navodi iza glavnog. U mnogim slučajevima naslovi članaka sastoje se od dvije ili više riječi. U tim se slučajevima pojmovi navode ili u svom najčešćem obliku ili se na prvom mjestu daje riječ s najvažnijim značenjem. Ako naslov članka uključuje dati ime, stavlja se na prvo mjesto (popis literature za takve članke u pravilu sadrži primarni izvor koji objašnjava naziv pojma). Naslovi članaka daju se prvenstveno u jednini.

Enciklopedija široko koristi sustav poveznica na druge članke, gdje će čitatelj pronaći dodatne informacije o temi koja se razmatra. Definicija ne daje referencu na pojam koji se pojavljuje u naslovu članka.

Radi uštede prostora u člancima se koriste uobičajene kratice pojedinih riječi za enciklopedije.

Radio na svesku 1

Matematičko uredništvo Izdavačke kuće "Sovjetska enciklopedija" - V. I. BITYUTSKOV (glava uredništva), M. I. VOITSEKHOVSKY (znanstveni urednik), Yu. A. GORBKOV (znanstveni urednik), A. B. IVANOV (viši znanstveni urednik), O A. IVANOVA (viši znanstveni urednik), T. Y. POPOVA (znanstveni urednik), S. A. RUKOVA (viši znanstveni urednik), E. G. SOBOLEVSKAYA (urednik), L. V. SOKOLOVA (mlađi urednik), L. R. HABIB (mlađi urednik).

Djelatnici izdavačke kuće: E. P. RYABOVA (književni urednici). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografija). A. F. DALKOVSKAYA (transkripcija). N. A. FEDOROVA (odjel nabave). 3. A. SUKHOVA (izdanje ilustracija). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (urednik rječnika). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (lektor). G. V. SMIRNOVA (tehničko izdanje).

Naslovnica umjetnika R.I. MALANICHEVA.

Dodatne informacije o svesku 1

Izdavačka kuća "Sovjetska enciklopedija"

Enciklopedije, rječnici, priručnici

Znanstveni i urednički savjet nakladničke kuće

A. M. PROKHOROV (predsjedavajući), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P. BAZHAN, Y. Y. BARABASH, N. V. BARANOV, N. N. BOGOLY UBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUŠKO, V. M. GLUŠKOV, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (zamjenik predsjednika), V. P. ELUTIN, V. S. EMELY ANOV, E. M. ZHUKOV , A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M A. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. KIRILLIN, I. L KNUNYANTS, S. M. KOVALEV (prvi zamjenik predsjednika), F V. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVTSEV , M. I. KUZNETSOV (zamjenik predsjednika), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, Y. E. MAKSAREV, P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVICH, Y. Y. MATULIS, G. I. NAAN, G. D. OBICHKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVJEV (zamjenik predsjednika), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STUCALIN, A. A. SURKOV, M. L. TERENTJEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, Y. E. SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. Tajnik Vijeća L.V. KIRILLOVA.

Moskva 1977

Matematička enciklopedija. Svezak 1 (A - D)

Glavni urednik I. M. VINOGRADOV

Uredništvo

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (zamjenik glavnog urednika), A. V. BITSADZE, L. N. BOLJŠEV, A. A. GONČAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. A. KARATSUBA, L. D. KUDRYAVTSEV, B. M. LEVITAN, K. K. MARZHANISHVILI, E. F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK , Y. V. PROKHOROV (zamjenik glavnog urednika), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematička enciklopedija. ur. odbor: I. M. Vinogradov (glavni urednik) [i drugi] T. 1 - M., “ Sovjetska enciklopedija“, 1977

(Enciklopedije. Rječnici. Priručnici), svezak 1. A - G. 1977. 1152 stb. od illus.

Predano za slaganje 9. lipnja 1976. Potpisano za tisak 18. veljače 1977. Tisak teksta s matrica izrađenih u Prvoj oglednoj tiskari nazvan. A. A. Ždanova. Orden Crvene zastave rada izdavačke kuće "Sovjetska enciklopedija". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Naklada 150 000 primjeraka. Narudžba br. 418. Papir za tisak br. 1. Format papira 84xl08 1/14. Svezak 36 fizički. p.l. ; 60, 48 konvencionalni p.l. tekst. 101, 82 akademik. - ur. l. Cijena knjige je 7 rubalja. 10 k.

Orden Crvene zastave rada Moskovska tiskara br. 1 "Soyuzpoligrafproma" pri Državnom komitetu Vijeća ministara SSSR-a za izdavaštvo, tisak i knjižarstvo, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Red br. 865.

20200 - 004 pretplata © Izdavačka kuća "Sovjetska enciklopedija", 1977. 007(01) - 77

Sadržaj članka

MATEMATIKA. Matematika se obično definira navođenjem naziva nekih njezinih tradicionalnih grana. Prije svega, to je aritmetika, koja se bavi proučavanjem brojeva, odnosa među njima i pravila za rad s brojevima. Činjenice aritmetike podložne su raznim specifičnim tumačenjima; na primjer, relacija 2 + 3 = 4 + 1 odgovara tvrdnji da dvije i tri knjige čine onoliko knjiga koliko četiri i jedna. Bilo koja relacija poput 2 + 3 = 4 + 1, tj. odnos između čisto matematičkih objekata bez pozivanja na bilo kakvu interpretaciju iz fizičkog svijeta naziva se apstraktnim. Apstraktna priroda matematike omogućuje da se koristi za rješavanje širokog spektra problema. Na primjer, algebra, koja se bavi operacijama s brojevima, može riješiti probleme koji nadilaze aritmetiku. Specifičnija grana matematike je geometrija, čija je glavna zadaća proučavanje veličina i oblika predmeta. Kombinacija algebarskih metoda s geometrijskim dovodi, s jedne strane, do trigonometrije (izvorno posvećene proučavanju geometrijski trokuti, a sada pokriva mnogo širi krug pitanja), a s druge strane - na analitičku geometriju, u kojoj se geometrijska tijela i likovi proučavaju algebarskim metodama. Postoji nekoliko grana više algebre i geometrije koje imaju više visok stupanj apstrakcije i nisu uključeni u proučavanje običnih brojeva i običnih geometrijski oblici; najapstraktnija geometrijska disciplina naziva se topologija.

Matematička analiza bavi se proučavanjem veličina koje se mijenjaju u prostoru ili vremenu, a temelji se na dva osnovna pojma - funkciji i granici, koji se ne nalaze u elementarnijim granama matematike. U početku se matematička analiza sastojala od diferencijalnog i integralnog računa, ali sada uključuje i druge dijelove.

Postoje dvije glavne grane matematike - čista matematika, koja naglašava deduktivno zaključivanje, i primijenjena matematika. Pojam "primijenjena matematika" ponekad se odnosi na one grane matematike koje su stvorene posebno da zadovolje potrebe i zahtjeve znanosti, a ponekad na one dijelove raznih znanosti (fizika, ekonomija, itd.) koji koriste matematiku kao sredstvo za rješavanje njihove zadatke. Mnoge uobičajene zablude o matematici proizlaze iz brkanja ova dva tumačenja "primijenjene matematike". Aritmetika može biti primjer primijenjene matematike u prvom smislu, a računovodstvo u drugom.

Suprotno uvriježenom mišljenju, matematika i dalje brzo napreduje. Časopis Mathematical Review objavljuje cca. 8000 kratkih sažetaka članaka koji sadrže najnovije rezultate - nove matematičke činjenice, nove dokaze starih činjenica, pa čak i informacije o potpuno novim područjima matematike. Trenutačni trend u matematičkom obrazovanju je upoznavanje učenika sa suvremenijim, apstraktnijim matematičkim idejama u ranoj nastavi matematike. vidi također POVIJEST MATEMATIKE. Matematika je jedan od kamena temeljaca civilizacije, ali vrlo malo ljudi ima predodžbu o trenutnom stanju stvari u ovoj znanosti.

Matematika je u proteklih stotinu godina doživjela goleme promjene, kako u predmetu tako iu istraživačkim metodama. U ovom ćemo članku pokušati dati Generalna ideja o glavnim fazama evolucije moderne matematike, čiji se glavni rezultati mogu smatrati, s jedne strane, povećanjem jaza između čiste i primijenjene matematike, as druge strane, potpunim preispitivanjem tradicionalnih područja matematike .

RAZVOJ MATEMATIČKE METODE

Rođenje matematike.

Oko 2000. pr uočeno je da u trokutu sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica duljine jedan od kutova iznosi 90° (ovo zapažanje je olakšalo konstruiranje pravog kuta za praktične potrebe). Jeste li tada uočili omjer 5 2 = 3 2 + 4 2? O tome nemamo nikakvih informacija. Otkriveno je nekoliko stoljeća kasnije opće pravilo: u bilo kojem trokutu ABC s pravim kutom na vrhu A i stranke b = AC I c = AB, između kojih je ovaj kut zatvoren, i suprotnu stranu a = prije Krista omjer vrijedi a 2 = b 2 + c 2. Možemo reći da znanost počinje kada se masa pojedinačnih opažanja objasni jednim općim zakonom; stoga se otkriće "Pitagorinog teorema" može smatrati jednim od prvih poznatih primjera istinskog znanstvenog postignuća.

Ali još više važno Ono što je važno za znanost općenito, a posebno za matematiku jest da se uz formuliranje općeg zakona pojavljuju i pokušaji njegova dokazivanja, tj. pokazati da ono nužno slijedi iz drugih geometrijskih svojstava. Jedan od istočnjačkih “dokaza” posebno je jasan u svojoj jednostavnosti: četiri trokuta jednaka ovome upisana su u kvadrat. BCDE kao što je prikazano na crtežu. Kvadratna površina a 2 je podijeljeno sa četiri jednakog trokuta ukupna površina 2 prije Krista i četvrtasti AFGH područje ( b – c) 2 . Tako, a 2 = (b – c) 2 + 2prije Krista = (b 2 + c 2 – 2prije Krista) + 2prije Krista = b 2 + c 2. Poučno je otići korak dalje i preciznije saznati koja bi se “prethodna” svojstva trebala znati. Najočitija je činjenica da budući da trokuti BAC I BEF točno, bez razmaka ili preklapanja, "postavljeno" duž strana B.A. I B.F., to znači da su dva vršna kuta B I S u trokutu ABC zajedno tvore kut od 90° i stoga je zbroj sva tri njegova kuta jednak 90° + 90° = 180°. Gornji "dokaz" također koristi formulu ( prije Krista/2) za površinu trokuta ABC s kutom od 90° na vrhu A. Naime, korištene su i druge pretpostavke, ali ono što je rečeno dovoljno je da jasno vidimo suštinski mehanizam matematičkog dokaza - deduktivno zaključivanje, koji omogućuje, korištenjem čisto logičkih argumenata (temeljenih na pravilno pripremljenom materijalu, u našem primjeru - podjeli kvadrata), izvođenje novih svojstava iz poznatih rezultata, koji, u pravilu, ne slijede izravno iz dostupnih podataka.

Aksiomi i metode dokazivanja.

Jedna od temeljnih značajki matematičke metode je proces stvaranja, pomoću pažljivo izgrađenih čisto logičkih argumenata, lanca izjava u kojima je svaka sljedeća karika povezana s prethodnima. Prvo prilično očito razmatranje je da u svakom lancu mora postojati prva karika. Ova je okolnost postala očigledna Grcima kada su u 7. stoljeću počeli sistematizirati skup matematičkih argumenata. PRIJE KRISTA. Za provedbu ovog plana Grcima je trebalo cca. Prije 200 godina, a sačuvani dokumenti daju samo grubu sliku o tome kako su točno djelovali. Točne informacije imamo samo o konačnom rezultatu istraživanja – poznatom Počeci Euklid (oko 300. pr. Kr.). Euklid počinje nabrajanjem početnih pozicija, iz kojih se sve ostale izvode čisto logički. Te se odredbe nazivaju aksiomi ili postulati (izrazi su praktički međusobno zamjenjivi); izražavaju ili vrlo općenita i donekle nejasna svojstva objekata bilo koje vrste, na primjer, "cjelina je veća od dijela", ili neka specifična matematička svojstva, na primjer, da za bilo koje dvije točke postoji jedinstvena ravna linija koja ih povezuje . Nemamo informacija o tome jesu li Grci "istini" aksioma pridavali neko dublje značenje ili značaj, iako postoje neki nagovještaji da su Grci o njima raspravljali neko vrijeme prije nego što su prihvatili određene aksiome. Kod Euklida i njegovih sljedbenika aksiomi su predstavljeni samo kao polazišta za konstrukciju matematike, bez ikakvih komentara o njihovoj prirodi.

Što se tiče metoda dokazivanja, one su se u pravilu svodile na izravnu upotrebu prethodno dokazanih teorema. Ponekad se ipak pokazalo da je logika zaključivanja složenija. Ovdje ćemo spomenuti omiljenu Euklidovu metodu, koja je postala dio svakodnevne matematičke prakse - neizravni dokaz, odnosno dokaz kontradikcijom. Kao elementarni primjer dokaza kontradikcijom, pokazat ćemo da se šahovska ploča iz koje su izrezana dva kutna polja, smještena na suprotnim krajevima dijagonale, ne može prekriti dominama od kojih je svako jednako dvama poljima. (Pretpostavlja se da svako polje šahovske ploče treba biti pokriveno samo jednom.) Pretpostavimo da je suprotna ("suprotna") tvrdnja istinita, tj. da se ploča može prekriti dominama. Svaka pločica pokriva jedan crni i jedan bijeli kvadrat, tako da bez obzira kako su domine raspoređene, pokrivaju jednak broj crnih i bijelih kvadrata. Međutim, budući da su dva kutna polja uklonjena, šahovska ploča (koja je izvorno imala isto toliko crnih polja koliko i bijelih) ima dva više polja jedne boje nego polja druge boje. To znači da naša početna pretpostavka ne može biti istinita, jer dovodi do kontradikcije. A budući da propozicije koje proturječe jedna drugoj ne mogu biti lažne u isto vrijeme (ako je jedna od njih lažna, onda je suprotna istinita), naša početna pretpostavka mora biti istinita, jer je pretpostavka koja joj proturječi lažna; dakle, šahovska ploča s dva dijagonalno izrezana kutna polja ne može se pokriti dominom. Dakle, da bismo dokazali određenu tvrdnju, možemo pretpostaviti da je netočna, te iz te pretpostavke izvesti kontradikciju s nekom drugom tvrdnjom, čija je istinitost poznata.

Izvrstan primjer dokaza kontradikcijom, koji je postao jedna od prekretnica u razvoju starogrčke matematike, jest dokaz da nije racionalan broj, tj. nije moguće predstaviti kao razlomak str/q, Gdje str I q- cijeli brojevi. Ako je , tada je 2 = str 2 /q 2, odakle str 2 = 2q 2. Pretpostavimo da postoje dva cijela broja str I q, za koji str 2 = 2q 2. Drugim riječima, pretpostavljamo da postoji cijeli broj čiji je kvadrat dvostruko veći od kvadrata drugog cijelog broja. Ako neki cijeli brojevi zadovoljavaju ovaj uvjet, onda jedan od njih mora biti manji od svih ostalih. Usredotočimo se na najmanji od ovih brojeva. Neka to bude broj str. Od 2 q 2 – Parni broj I str 2 = 2q 2, zatim broj str 2 mora biti paran. Budući da su kvadrati svih neparnih brojeva neparni, a trg str 2 je paran, što znači sam broj str mora biti ravnomjerno. Drugim riječima, broj str dvostruko veći od nekog cijelog broja r. Jer str = 2r I str 2 = 2q 2 imamo: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 i q 2 = 2r 2. Posljednja jednakost ima isti oblik kao jednakost str 2 = 2q 2, i možemo, ponavljajući isto razmišljanje, pokazati da je broj q je paran i da postoji takav cijeli broj s, Što q = 2s. Ali onda q 2 = (2s) 2 = 4s 2, i od tada q 2 = 2r 2, zaključujemo da je 4 s 2 = 2r 2 ili r 2 = 2s 2. To nam daje drugi cijeli broj koji zadovoljava uvjet da je njegov kvadrat dvostruko veći od kvadrata drugog cijelog broja. Ali onda str ne može biti najmanji takav broj (jer r = str/2), iako smo u početku pretpostavili da je to najmanji od takvih brojeva. Stoga je naša početna pretpostavka pogrešna, jer dovodi do kontradikcije, pa stoga ne postoje takvi cijeli brojevi str I q, za koji str 2 = 2q 2 (tj. takav da ). To znači da broj ne može biti racionalan.

Od Euklida do početka 19. stoljeća.

Tijekom tog razdoblja matematika se značajno promijenila kao rezultat triju inovacija.

(1) U procesu razvoja algebre izumljena je metoda simboličkog zapisa koja je omogućila da se u skraćenom obliku prikažu sve složeniji odnosi između veličina. Kao primjer neugodnosti koje bi nastale da nema takvog "kurzivnog pisanja", pokušajmo riječima dočarati odnos ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: “Površina kvadrata sa stranicom jednaka iznosu stranice dva zadana kvadrata jednaka je zbroju njihovih površina zajedno s dvostrukom površinom pravokutnika čije su stranice jednake stranicama zadanih kvadrata.”

(2) Stvaranje u prvoj polovici 17. stoljeća. analitička geometrija, koja je omogućila svođenje bilo kojeg problema klasične geometrije na neki algebarski problem.

(3) Stvaranje i razvoj u razdoblju od 1600. do 1800. godine infinitezimalnog računa, koji je omogućio jednostavno i sustavno rješavanje stotina problema povezanih s konceptima limita i kontinuiteta, od kojih je samo nekoliko riješeno uz velike poteškoće. starogrčkih matematičara. O ovim granama matematike detaljnije se govori u člancima ALGEBRA; ANALITIČKA GEOMETRIJA ; MATEMATIČKA ANALIZA ; PREGLED GEOMETRIJE.

Od 17. stoljeća. Pitanje koje je do sada ostalo neriješivo postupno postaje jasnije. Što je matematika? Prije 1800. odgovor je bio vrlo jednostavan. U to vrijeme nije bilo jasnih granica između različitih znanosti; matematika je bila dio "prirodne filozofije" - sustavnog proučavanja prirode korištenjem metoda koje su predložili veliki reformatori renesanse i ranog 17. stoljeća. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) i R. Descartes (1596–1650). Vjerovalo se da matematičari imaju svoje područje proučavanja - brojeve i geometrijske objekte i da matematičari ne koriste eksperimentalna metoda. Međutim, Newton i njegovi sljedbenici proučavali su mehaniku i astronomiju koristeći aksiomatsku metodu, slično kao što je geometriju predstavio Euklid. Općenitije rečeno, prepoznato je da svaka znanost u kojoj se rezultati eksperimenta mogu prikazati pomoću brojeva ili brojčanih sustava postaje polje primjene matematike (u fizici je ta ideja utemeljena tek u 19. stoljeću).

Područja eksperimentalne znanosti koja su prošla matematičku obradu često se nazivaju "primijenjena matematika"; Ovo je vrlo nesretan naziv, budući da, ni prema klasičnim ni prema modernim standardima, u ovim primjenama nema (u strogom smislu) istinski matematičkih argumenata, budući da su predmet proučavanja u njima nematematički objekti. Nakon što se eksperimentalni podaci prevedu na jezik brojeva ili jednadžbi (takav "prijevod" često zahtijeva veliku snalažljivost od strane "primijenjenog" matematičara), postaje moguće široko primjenjivati matematički teoremi; rezultat se potom prevodi natrag i uspoređuje s opažanjima. Činjenica da se termin "matematika" primjenjuje na proces ove vrste jedan je od izvora beskrajnih nesporazuma. U “klasičnim” vremenima o kojima sada govorimo govorimo o, takav nesporazum nije postojao, jer su isti ljudi bili i “primijenjeni” i “čisti” matematičari, koji su istovremeno radili na problemima matematičke analize ili teorije brojeva, te problemima dinamike ili optike. Međutim, povećana specijalizacija i tendencija razdvajanja "čiste" i "primijenjene" matematike značajno je oslabila dotadašnju tradiciju univerzalnosti, a znanstvenici koji su, poput J. von Neumanna (1903. - 1957.), bili u mogućnosti voditi aktivnu znanstvena djelatnost kako u primijenjenoj tako iu čistoj matematici, postali su iznimka, a ne pravilo.

Kakva je priroda matematičkih objekata - brojeva, točaka, linija, kutova, površina itd., čije postojanje uzimamo zdravo za gotovo? Što znači pojam "istina" u odnosu na takve objekte? Na ta su pitanja u klasičnom razdoblju dani sasvim određeni odgovori. Naravno, znanstvenici tog doba jasno su razumjeli da u svijetu naših osjeta ne postoje stvari kao što su "beskonačno produžena ravna crta" ili "bezdimenzionalna točka" Euklida, kao što ne postoje "čisti metali", "monokromatski svjetlo”, “toplinski izolirani sustavi” itd. .d., kojima eksperimentatori operiraju u svojim razmišljanjima. Svi ovi pojmovi su “platonske ideje”, tj. svojevrsni generativni modeli empirijskih pojmova, iako radikalno različite prirode. Usprkos tome, prešutno se pretpostavljalo da fizičke "slike" ideja mogu biti onoliko koliko se želi bliske samim idejama. U onoj mjeri u kojoj se uopće može išta reći o blizini objekata idejama, za "ideje" se kaže da su, da tako kažemo, "granični slučajevi" fizičkih objekata. S ove točke gledišta, Euklidovi aksiomi i teoremi izvedeni iz njih izražavaju svojstva “idealnih” objekata kojima moraju odgovarati predvidljive eksperimentalne činjenice. Na primjer, mjerenje kutova trokuta koje čine tri točke u prostoru optičkim metodama, u “idealnom slučaju” trebalo bi dati zbroj jednak 180°. Drugim riječima, aksiomi se stavljaju na istu razinu kao i fizikalni zakoni, pa se stoga njihova "istina" percipira na isti način kao istina fizikalnih zakona; oni. logičke posljedice aksioma podliježu provjeri usporedbom s eksperimentalnim podacima. Naravno, slaganje se može postići samo unutar granica pogreške povezane s "nesavršenim" karakterom instrument za mjerenje, i "nesavršenu prirodu" mjerenog objekta. Međutim, uvijek se pretpostavlja da ako su zakoni "istiniti", tada poboljšanja u mjernim procesima mogu u načelu učiniti pogrešku mjerenja onoliko malom koliko se želi.

Kroz cijelo 18.st. bilo je sve više i više dokaza da su sve posljedice dobivene iz osnovnih aksioma, osobito u astronomiji i mehanici, u skladu s eksperimentalnim podacima. A budući da su te konzekvence dobivene korištenjem matematičkog aparata koji je tada postojao, postignuti uspjesi pridonijeli su jačanju mišljenja o istinitosti Euklidovih aksioma koji je, kako je rekao Platon, "svima jasan" i nije predmet rasprave.

Sumnje i nove nade.

Neeuklidska geometrija.

Među postulatima koje je dao Euklid, jedan je bio toliko neočit da su ga čak i prvi učenici velikog matematičara smatrali slabom točkom u sustavu. Počeo. Dotični aksiom kaže da se kroz točku koja leži izvan dane crte može povući samo jedna linija paralelna s danom linijom. Većina geometara vjerovala je da se paralelni aksiom može dokazati drugim aksiomima i da je Euklid formulirao paralelnu izjavu kao postulat jednostavno zato što nije mogao doći do takvog dokaza. No, iako su najbolji matematičari pokušavali riješiti problem paralela, nitko od njih nije uspio nadmašiti Euklida. Konačno, u drugoj polovici 18.st. Euklidov postulat o paralelama pokušavalo se dokazati kontradikcijom. Predloženo je da je paralelni aksiom netočan. A priori, Euklidov postulat mogao bi se pokazati netočnim u dva slučaja: ako je nemoguće nacrtati jednu paralelnu liniju kroz točku izvan dane linije; ili ako se kroz njega može povući nekoliko paralelnih. Pokazalo se da je prva apriorna mogućnost isključena drugim aksiomima. Usvojivši novi aksiom umjesto tradicionalnog aksioma o paralelama (da se kroz točku izvan zadane crte može povući nekoliko pravaca paralelnih s zadanom), matematičari su pokušali iz njega izvesti izjavu koja je proturječna drugim aksiomima, ali nisu uspjeli: ne koliko god pokušavali izvući konzekvence iz novog "antieuklidskog" ili "neeuklidskog" aksioma, kontradikcija se nikada nije pojavila. Naposljetku, neovisno jedan o drugome, N. I. Lobačevski (1793–1856) i J. Bolyai (1802–1860) shvatili su da je Euklidov postulat o paralelama nedokaziv, odnosno, drugim riječima, proturječje se neće pojaviti u „neeuklidskoj geometriji. ”

Pojavom neeuklidske geometrije odmah se pojavilo nekoliko filozofskih problema. Budući da je tvrdnja o apriornoj nužnosti aksioma nestala, jedini preostali način da se provjeri njihova "istinitost" bio je eksperimentalni. Ali, kako je kasnije primijetio A. Poincaré (1854. – 1912.), u opisu bilo kojeg fenomena postoji toliko skrivenih fizikalnih pretpostavki da niti jedan eksperiment ne može pružiti uvjerljiv dokaz o istinitosti ili lažnosti matematičkog aksioma. Štoviše, čak i ako pretpostavimo da je naš svijet "neeuklidski", slijedi li to da je sva euklidska geometrija lažna? Koliko je poznato, niti jedan matematičar nikada nije ozbiljno razmatrao takvu hipotezu. Intuicija je sugerirala da su i euklidska i neeuklidska geometrija primjeri potpune matematike.

Matematička "čudovišta".

Neočekivano, do istih zaključaka došlo se iz sasvim drugog smjera - otkriveni su objekti koji su šokirali matematičare 19. stoljeća. šokirani i prozvani "matematičkim čudovištima". Ovo otkriće izravno je povezano s vrlo suptilnim pitanjima matematičke analize koja su se pojavila tek sredinom 19. stoljeća. Poteškoće su se pojavile kada se pokušavalo pronaći točan matematički analog eksperimentalnom konceptu krivulje. Ono što je bila bit koncepta "kontinuiranog kretanja" (na primjer, vrh olovke za crtanje koji se kreće po listu papira) bilo je podložno preciznom matematička definicija, a taj cilj je postignut kada je koncept kontinuiteta dobio striktno matematičko značenje ( cm. Također ZAVOJ). Intuitivno se činilo da "krivulja" u svakoj svojoj točki ima smjer, tj. V opći slučaj U blizini svake svoje točke krivulja se ponaša gotovo isto kao ravna linija. (S druge strane, nije teško zamisliti da krivulja ima konačni broj kutne točke, “kinks”, poput poligona.) Ovaj zahtjev se mogao formulirati matematički, naime, pretpostavljalo se postojanje tangente na krivulju, a sve do sredine 19.st. vjerovalo se da "krivulja" ima tangentu u gotovo svim svojim točkama, možda s izuzetkom nekih "posebnih" točaka. Stoga je otkriće “krivulja” koje ni u jednoj točki nisu imale tangentu izazvalo pravi skandal ( cm. Također TEORIJA FUNKCIJA). (Čitatelj koji je upoznat s trigonometrijom i analitičkom geometrijom može lako provjeriti da je krivulja dana jednadžbom g = x grijeh(1/ x), nema tangentu u ishodištu, ali definiranje krivulje koja nema tangentu ni u jednoj od svojih točaka mnogo je teže.)

Nešto kasnije dobiven je mnogo “patološkiji” rezultat: bilo je moguće konstruirati primjer krivulje koja u potpunosti ispunjava kvadrat. Od tada su izmišljene stotine takvih "čudovišta", proturječnih " zdrav razum" Treba naglasiti da postojanje ovakvih neobičnih matematičkih objekata proizlazi iz temeljnih aksioma koji su strogo i logički besprijekorni kao i postojanje trokuta ili elipse. Budući da matematička "čudovišta" ne mogu odgovarati nijednom eksperimentalnom objektu, a jedini mogući zaključak je da je svijet matematičkih "ideja" mnogo bogatiji i neobičniji nego što bi se moglo očekivati, a vrlo malo njih ima korespondencije u našem svijetu. senzacije. Ali ako matematička "čudovišta" logično slijede iz aksioma, mogu li se aksiomi i dalje smatrati istinitima?

Novi objekti.

Navedeni rezultati potvrđeni su s još jedne strane: u matematici, uglavnom u algebri, jedan za drugim počeli su se pojavljivati novi matematički objekti koji su bili generalizacije pojma broja. Obični cijeli brojevi su prilično “intuitivni” i nije nimalo teško doći do eksperimentalnog koncepta razlomka (iako se mora priznati da operacija dijeljenja jedinice na nekoliko jednake dijelove a odabir nekoliko njih razlikuje se po prirodi od procesa brojanja). Nakon što je otkriveno da se broj ne može prikazati kao razlomak, Grci su bili prisiljeni razmotriti iracionalne brojeve, koji se mogu ispravno odrediti beskonačnim nizom aproksimacija racionalni brojevi pripada najvišim dostignućima ljudskog uma, ali teško da odgovara bilo čemu stvarnom u našem fizičkom svijetu (gdje je svako mjerenje uvijek povezano s pogreškama). Ipak, uvođenje iracionalnih brojeva dogodilo se više-manje u duhu “idealizacije” fizikalnih pojmova. Što reći o negativnim brojevima, koji su polako, nailazeći na velike otpore, počeli ulaziti u znanstvenu upotrebu u vezi s razvojem algebre? Sasvim se sigurno može tvrditi da nije bilo gotovih fizičkih objekata iz kojih bi se procesom izravne apstrakcije mogao razviti pojam negativnog broja, au nastavi osnovni tečaj algebre, treba uvesti mnoge pomoćne i prilično složeni primjeri(orijentirani segmenti, temperature, dugovi itd.) objasniti što negativni brojevi. Ova je situacija vrlo daleko od pojma "jasnog svima", kao što je Platon zahtijevao od ideja na kojima se temelji matematika, a često se susreću maturanti za koje je vladavina znakova još uvijek misterija (– a)(–b) = ab. vidi također BROJ .

Situacija je još gora sa “imaginarnim” ili “kompleksnim” brojevima, jer oni uključuju “broj” ja, tako da ja 2 = –1, što je jasno kršenje pravila predznaka. Ipak, matematičari s kraja XVI.st. nemojte se ustručavati izvoditi izračune s kompleksnim brojevima kao da "imaju smisla", iako prije 200 godina nisu mogli definirati te "objekte" niti ih protumačiti pomoću bilo kakve pomoćne konstrukcije, kao što su se, na primjer, tumačili pomoću usmjerenih segmenata negativni brojevi . (Nakon 1800. predloženo je nekoliko tumačenja kompleksni brojevi, najpoznatiji je korištenje vektora na ravnini.)

Moderna aksiomatika.

Revolucija se dogodila u drugoj polovici 19. stoljeća. I premda to nije bilo popraćeno donošenjem službenih izjava, u stvarnosti se radilo o proglašenju svojevrsne “deklaracije o neovisnosti”. Konkretnije, o de facto proglašenju neovisnosti matematike o vanjskom svijetu.

S ove točke gledišta, matematički “objekti”, ako uopće ima smisla govoriti o njihovom “postojanju”, čiste su tvorevine uma, a imaju li ikakvih “podudarnosti” i dopuštaju li ikakvu “interpretaciju” u fizičkom svijetu? , za matematiku je nevažno (iako je ovo pitanje samo po sebi zanimljivo).

"Istinite" izjave o takvim "objektima" iste su logičke posljedice aksioma. Ali sada se aksiome treba smatrati potpuno proizvoljnim, i stoga nema potrebe da budu "očiti" ili da se mogu izvesti iz svakodnevnog iskustva kroz "idealizaciju". U praksi je potpuna sloboda ograničena raznim razlozima. Naravno, "klasični" objekti i njihovi aksiomi ostaju nepromijenjeni, ali sada se ne mogu smatrati jedinim objektima i aksiomima matematike, a navika izbacivanja ili mijenjanja aksioma tako da ih je moguće koristiti postala je dio svakodnevne prakse različiti putevi, kao što je učinjeno tijekom prijelaza s euklidske na neeuklidsku geometriju. (Na taj su način dobivene brojne varijante "neeuklidskih" geometrija, različite od Euklidske geometrije i od Lobačevski-Boljaijeve geometrije; npr. postoje neeuklidske geometrije u kojima nema paralelnih pravaca.)

Posebno bih istaknuo jednu okolnost koja proizlazi iz novog pristupa matematičkim “objektima”: svi dokazi moraju se temeljiti isključivo na aksiomima. Ako se prisjetimo definicije matematičkog dokaza, onda se takva izjava može činiti ponavljajućom. Međutim, ovo se pravilo rijetko slijedilo u klasičnoj matematici zbog "intuitivne" prirode njezinih objekata ili aksioma. Čak i u Počeci Euklid, uza svu njihovu prividnu "strogost", mnogi aksiomi nisu eksplicitno navedeni, a mnoga svojstva su ili prešutno pretpostavljena ili uvedena bez dovoljnog opravdanja. Da bi se euklidska geometrija postavila na čvrstu osnovu, bila je potrebna kritička revizija samih njezinih principa. Malo je reći da je pedantna kontrola nad najsitnijim detaljima dokaza posljedica pojave “čudovišta” koja su moderne matematičare naučila oprezu u zaključcima. Najbezazlenija i "samorazumljiva" izjava o klasičnim objektima, na primjer, izjava da krivulja koja povezuje točke koje se nalaze na suprotnim stranama linije nužno siječe tu liniju, zahtijeva strogi formalni dokaz u modernoj matematici.

Može se činiti paradoksalnim reći da moderna matematika upravo zbog svoje privrženosti aksiomima služi kao jasan primjer onoga što bi svaka znanost trebala biti. Međutim, ovaj pristup ilustrira karakteristična značajka jedan od najtemeljnijih procesa znanstvenog mišljenja – dobivanje točne informacije u situaciji nepotpuno znanje. Znanstveno istraživanje Određene klase predmeta pretpostavlja da se značajke koje omogućuju razlikovanje jednog predmeta od drugoga namjerno prepuštaju zaboravu, a čuvaju se samo opće značajke predmeta o kojima je riječ. Po čemu se matematika ističe? opća serija znanosti, sastoji se u strogom držanju ovoga programa u svim njegovim točkama. Kaže se da su matematički objekti potpuno određeni aksiomima koji se koriste u teoriji tih objekata; ili, Poincaréovim riječima, aksiomi služe kao “prerušene definicije” objekata na koje se odnose.

SUVREMENA MATEMATIKA

Iako je postojanje bilo kojeg aksioma teoretski moguće, do sada je predložen i proučavan samo mali broj aksioma. Obično se tijekom razvoja jedne ili više teorija primjećuje da se određeni obrasci dokaza ponavljaju pod više ili manje sličnim uvjetima. Nakon što se otkriju svojstva korištena u općim shemama dokaza, ona se formuliraju kao aksiomi, a njihove se posljedice ugrađuju u opću teoriju koja nema izravnu vezu sa specifičnim kontekstima iz kojih su aksiomi apstrahirani. Opći teoremi dobiveni na ovaj način primjenjivi su na bilo koju matematičku situaciju u kojoj postoje sustavi objekata koji zadovoljavaju odgovarajuće aksiome. Ponavljanje istih shema dokaza u različitim matematičkim situacijama ukazuje na to da imamo posla s različitim specifikacijama istog opća teorija. To znači da nakon odgovarajućeg tumačenja aksiomi ove teorije postaju teoremi u svakoj situaciji. Svako svojstvo izvedeno iz aksioma bit će valjano u svim tim situacijama, ali nema potrebe za posebnim dokazom za svaki slučaj. U takvim slučajevima se kaže da matematičke situacije dijele istu matematičku "strukturu".

Koristimo ideju strukture na svakom koraku u našem Svakidašnjica. Ako termometar pokazuje 10°C, a prognostičar predviđa porast temperature od 5°C, mi bez ikakve kalkulacije očekujemo temperaturu od 15°C.Ako se otvori knjiga na 10. stranici i traži se da pogledamo 5 stranica dalje , ne libimo se otvoriti na 15. stranici, ne računajući međustranice. U oba slučaja, vjerujemo da zbrajanje brojeva daje točan rezultat, bez obzira na njihovu interpretaciju - kao temperaturu ili brojeve stranica. Ne trebamo učiti jednu aritmetiku za termometre, a drugu za brojeve stranica (iako koristimo posebnu aritmetiku kada imamo posla sa satovima, u kojoj je 8 + 5 = 1, budući da satovi imaju drugačiju strukturu od stranica knjige). Strukture koje zanimaju matematičare su nešto složenije, što je lako vidjeti iz primjera o kojima se govori u sljedeća dva odjeljka ovog članka. Jedan od njih će govoriti o teoriji grupa i matematički pojmovi strukture i izomorfizama.

Teorija grupa.

Kako bismo bolje razumjeli gore opisani proces, uzmimo slobodu pogledati u laboratorij modernog matematičara i pobliže pogledati jedno od njegovih glavnih oruđa - teoriju grupa ( cm. Također APSTRAKTNA ALGEBRA). Grupa je skup (ili "skup") objekata G, na kojem je definirana operacija koja odgovara bilo koja dva objekta ili elementa a, b iz G, uzeti navedenim redoslijedom (prvi je element a, drugi je element b), treći element c iz G prema strogo definiranom pravilu. Radi sažetosti, označavamo ovaj element a*b; Zvjezdica (*) označava operaciju sastavljanja dva elementa. Ova operacija, koju ćemo nazvati grupno množenje, mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

(1) za bilo koja tri elementa a, b, c iz G svojstvo asocijativnosti vrijedi: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) u G postoji takav element e, koji za bilo koji element a iz G postoji odnos e*a = a*e = a; ovaj element e naziva se pojedinačnim ili neutralnim elementom grupe;

(3) za bilo koji element a iz G postoji takav element aŭ, koji se naziva obrnutim ili simetričnim do elementa a, Što a*aў = aў* a = e.

Ako se ta svojstva uzmu kao aksiomi, tada njihove logičke posljedice (neovisno o bilo kojim drugim aksiomima ili teoremima) zajedno tvore ono što se obično naziva teorija grupa. Izvođenje ovih posljedica jednom zauvijek pokazalo se vrlo korisnim, budući da se grupe široko koriste u svim granama matematike. Od tisuća mogućih primjera grupa, odabrat ćemo samo nekoliko najjednostavnijih.

(a) Razlomci str/q, Gdje str I q– proizvoljni cijeli brojevi i1 (sa q= 1 dobivamo obične cijele brojeve). Razlomci str/q formirati grupu pod grupnim množenjem ( str/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Svojstva (1), (2), (3) slijede iz aksioma aritmetike. Stvarno, [( str/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (str/q)*[(r/s)*(t/u)]. Jedinični element je broj 1 = 1/1, budući da je (1/1)*( str/q) = (1H str)/(1H q) = str/q. Konačno, element inverzan razlomku str/q, je razlomak q/str, jer ( str/q)*(q/str) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Smatrajte kao G skup od četiri cijela broja 0, 1, 2, 3 i as a*b- ostatak dijeljenja a + b na 4. Rezultati ovako uvedenog zahvata prikazani su u tablici. 1 (element a*b stoji na sjecištu linije a i stupac b). Lako je provjeriti da su svojstva (1)–(3) zadovoljena, a element identiteta je broj 0.

(c) Izaberimo kao G skup brojeva 1, 2, 3, 4 i as a*b- ostatak dijeljenja ab(običan proizvod) za 5. Kao rezultat, dobivamo tablicu. 2. Lako je provjeriti da su svojstva (1)–(3) zadovoljena, a element identiteta 1.

(d) Četiri predmeta, kao što su četiri broja 1, 2, 3, 4, mogu se poredati u nizu na 24 načina. Svaki se raspored može vizualno prikazati kao transformacija koja transformira “prirodni” raspored u zadani; na primjer, raspored 4, 1, 2, 3 proizlazi iz transformacije

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

koji se može napisati u zgodnijem obliku

Za bilo koje dvije takve transformacije S, T odredit ćemo S*T kao transformacija koja proizlazi iz sekvencijalnog izvođenja T, i onda S. Na primjer, ako je , tada . S ovom definicijom, sve 24 moguće transformacije čine skupinu; njegov jedinični element je , a element inverzan S, dobiven zamjenom strelica u definiciji S na suprotno; na primjer, ako , tada .

Lako je to vidjeti u prva tri primjera a*b = b*a; u takvim slučajevima kaže se da je grupa ili grupno množenje komutativno. S druge strane, u posljednjem primjeru, i stoga T*S razlikuje se od S*T.

Skupina iz primjera (d) poseban je slučaj tzv. simetrična grupa, u čiji djelokrug, između ostalog, spadaju i metode rješavanja algebarske jednadžbe te ponašanje linija u spektrima atoma. Skupine u primjerima (b) i (c) igraju važnu ulogu u teoriji brojeva; u primjeru (b) broj 4 može se zamijeniti bilo kojim cijelim brojem n, a brojevi od 0 do 3 – brojevi od 0 do n– 1 (sa n= 12 dobivamo sustav brojeva koji se nalaze na brojčanicima sata, kao što smo gore spomenuli); u primjeru (c) broj 5 može se zamijeniti bilo kojim glavni broj R, a brojevi od 1 do 4 - brojevi od 1 do str – 1.

Strukture i izomorfizam.

Prethodni primjeri pokazuju koliko različita može biti priroda objekata koji čine grupu. No zapravo se u svakom slučaju sve svodi na isti scenarij: od svojstava skupa objekata razmatramo samo ona koja taj skup pretvaraju u skupinu (evo primjera nepotpunog znanja!). U takvim slučajevima kaže se da razmatramo strukturu grupe danu množenjem grupe koje smo odabrali.

Drugi primjer strukture je tzv. struktura naloga. Gomila E obdaren strukturom reda, ili uređen između elemenata a è b, pripada E, dana je određena relacija koju označavamo R (a,b). (Ova relacija mora imati smisla za bilo koji par elemenata iz E, ali općenito je lažna za neke parove, a istinita za druge, na primjer, relacija 7

(1) R (a,a) vrijedi za sve A, u vlasništvu E;

(2) od R (a,b) I R (b,a) slijedi to a = b;

(3) od R (a,b) I R (b,c) treba R (a,c).

Navedimo nekoliko primjera iz ogromnog broja raznolikih uređenih skupova.

(A) E sastoji se od svih cijelih brojeva R (a,b) – odnos “ A manje ili jednako b».

(b) E sastoji se od svih cijelih brojeva >1, R (a,b) – odnos “ A dijeli b ili jednaki b».

Kao posljednji primjer strukture, spomenimo strukturu metričkog prostora; takva je struktura definirana na skupu E, ako svaki par elemenata a I b pripada E, možete uskladiti broj d (a,b) i 0, koji zadovoljava sljedeća svojstva:

(1) d (a,b) = 0 ako i samo ako a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) za bilo koja tri dana elementa a, b, c iz E.

Navedimo primjere metričkih prostora:

(a) obični "trodimenzionalni" prostor, gdje d (a,b) – obična (ili “euklidska”) udaljenost;

(b) površina sfere, gdje d (a,b) – duljina najmanjeg kružnog luka koji spaja dvije točke a I b na sferi;

Precizna definicija pojma strukture prilično je teška. Ne ulazeći u detalje, to možemo reći na mnogima E određena je struktura određenog tipa ako se između elemenata skupa E(a ponekad i drugi objekti, na primjer, brojevi koji igraju pomoćnu ulogu) određuju se odnosi koji zadovoljavaju određeni fiksni skup aksioma koji karakteriziraju strukturu tipa koji se razmatra. Gore smo predstavili aksiome tri vrste struktura. Naravno, postoje mnoge druge vrste struktura čije su teorije u potpunosti razvijene.

Mnogi apstraktni pojmovi usko su povezani s pojmom strukture; Navedimo samo jedan od najvažnijih – pojam izomorfizma. Prisjetite se primjera skupina (b) i (c) danih u prethodnom odjeljku. To je lako provjeriti iz tablice. 1 na stol 2 može se kretati pomoću podudaranja

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

U tom slučaju kažemo da su te grupe izomorfne. Općenito, dvije skupine G I Gŭ su izomorfne ako između elemenata grupe G i elementi grupe Gŭ moguće je uspostaviti takvu korespondenciju jedan na jedan a « a u, što ako c = a*b, To cў = aў* bŭ za odgovarajuće elemente Gŭ. Svaka tvrdnja iz teorije grupa koja vrijedi za grupu G, ostaje na snazi za grupu G u, i obrnuto. Algebarske grupe G I G u nerazlučivo.

Čitatelj može lako vidjeti da se na potpuno isti način mogu definirati dva izomorfna uređena skupa ili dva izomorfna metrička prostora. Može se pokazati da se koncept izomorfizma proteže na strukture bilo kojeg tipa.

KLASIFIKACIJA

Stare i nove klasifikacije matematike.

Koncept strukture i drugi srodni koncepti zauzeli su središnje mjesto u modernoj matematici, kako s čisto "tehničkog" tako i s filozofskog i metodološkog gledišta. Opći teoremi glavnih tipova struktura služe kao iznimno moćni alati matematičke "tehnike". Kad god matematičar uspije pokazati da objekti koje proučava zadovoljavaju aksiome određene vrste strukture, on time dokazuje da se svi teoremi teorije strukture ove vrste primjenjuju na specifične objekte koje proučava (bez ovih općih teorema on vrlo vjerojatno bi propustio izgubio bi iz vida svoje specifične mogućnosti ili bi bio prisiljen opteretiti svoje razmišljanje nepotrebnim pretpostavkama). Slično, ako se dokaže da su dvije strukture izomorfne, tada se broj teorema odmah udvostručuje: svaki teorem dokazan za jednu od struktura odmah daje odgovarajući teorem za drugu. Stoga ne čudi što postoje vrlo složene i teške teorije, primjerice “teorija klasnog polja” u teoriji brojeva, čiji je glavni cilj dokazati izomorfizam struktura.

S filozofskog stajališta, raširena uporaba struktura i izomorfizama pokazuje glavnu značajku moderne matematike - činjenicu da "priroda" matematičkih "objekata" nije mnogo bitna, samo su odnosi između objekata značajni (neka vrsta princip nepotpunog znanja).

Na kraju, ne može se ne spomenuti da je koncept strukture omogućio klasificiranje grana matematike na nov način. Sve do sredine 19.st. varirale su prema predmetu proučavanja. Aritmetika (ili teorija brojeva) bavila se cijelim brojevima, geometrija ravnim linijama, kutovima, poligonima, krugovima, površinama itd. Algebra se bavila gotovo isključivo metodama rješenja numeričke jednadžbe ili sustava jednadžbi, analitička geometrija je razvila metode za transformaciju geometrijski problemi u ekvivalentne algebarske probleme. Raspon interesa druge važne grane matematike, nazvane "matematička analiza", uključivao je uglavnom diferencijalni i integralni račun i njihove različite primjene u geometriji, algebri, pa čak i teoriji brojeva. Broj ovih primjena se povećavao, a povećavao se i njihov značaj, što je dovelo do fragmentacije matematičke analize na pododjeljke: teorija funkcija, diferencijalne jednadžbe (obične i parcijalne derivacije), diferencijalna geometrija, varijacijski račun itd.

Za mnoge suvremene matematičare ovaj pristup podsjeća na povijest ranih prirodoslovnih klasifikacija životinja: nekoć davno, i morska kornjača i tuna smatrane su ribama jer su živjele u vodi i imale slične osobine. Suvremeni pristup naučio nas je vidjeti ne samo ono što leži na površini, već i gledati dublje i pokušati prepoznati temeljne strukture koje leže iza varljivog izgleda matematičkih objekata. S ove točke gledišta važno je proučiti najvažnije vrste građevina. Malo je vjerojatno da imamo na raspolaganju potpun i konačan popis ovih tipova; neki od njih otkriveni su u posljednjih 20 godina, au budućnosti se s razlogom mogu očekivati nova otkrića. Međutim, već imamo razumijevanje mnogih osnovnih "apstraktnih" tipova struktura. (Oni su “apstraktni” u usporedbi s “klasičnim” objektima matematike, iako se i oni teško mogu nazvati “konkretnima”, više je stvar u stupnju apstrakcije.)

Poznate strukture mogu se klasificirati prema odnosima koje sadrže ili prema njihovoj složenosti. S jedne strane, postoji opsežan blok "algebarskih" struktura, čiji je poseban slučaj, na primjer, grupna struktura; Od ostalih algebarskih struktura nazivamo prstenove i polja ( cm. Također APSTRAKTNA ALGEBRA). Grana matematike koja se bavi proučavanjem algebarskih struktura naziva se "moderna algebra" ili "apstraktna algebra", za razliku od obične ili klasične algebre. Značajan dio euklidske geometrije, neeuklidske geometrije i analitičke geometrije također je uključen u novu algebru.

Na istoj su razini općenitosti još dva bloka struktura. Jedna od njih, nazvana opća topologija, uključuje teorije tipova struktura, čiji je poseban slučaj struktura metričkog prostora ( cm. TOPOLOGIJA ; APSTRAKTNI PROSTORI). Treći blok čine teorije struktura reda i njihova proširenja. “Proširenje” strukture sastoji se od dodavanja novih aksioma postojećim. Na primjer, ako aksiomima grupe dodamo svojstvo komutativnosti kao četvrti aksiom a*b = b*a, tada dobivamo strukturu komutativne (ili Abelove) grupe.

Od ova tri bloka, posljednja dva su donedavno bila u relativno stabilnom stanju, a blok "moderne algebre" brzo je rastao, ponekad u neočekivanim smjerovima (na primjer, razvila se cijela grana pod nazivom "homološka algebra"). Izvan tzv "čiste" vrste struktura nalaze se na drugoj razini - "mješovite" strukture, na primjer algebarske i topološke, zajedno s novim aksiomima koji ih povezuju. Mnoge takve kombinacije su proučavane, od kojih većina spada u dva široka bloka - "topološka algebra" i "algebarska topologija".

Uzeti zajedno, ovi blokovi čine vrlo značajno "apstraktno" polje znanosti. Mnogi se matematičari nadaju da će koristiti nove alate za bolje razumijevanje klasičnih teorija i rješavanje teških problema. Doista, uz odgovarajuću razinu apstrakcije i generalizacije, problemi starih mogu se prikazati u novom svjetlu, što će omogućiti pronalaženje njihovih rješenja. Golemi komadi klasičnog materijala došli su pod utjecaj nove matematike te su transformirani ili spojeni s drugim teorijama. Ostaju ogromna područja u kojima modernim metodama nije sišao tako duboko. Primjeri uključuju teoriju diferencijalne jednadžbe a značajan dio teorije brojeva. Vrlo je vjerojatno da će se značajan napredak u tim područjima postići kada se otkriju i temeljito prouče novi tipovi struktura.

FILOZOFSKE TEŠKOĆE

Čak su i stari Grci jasno shvatili da matematička teorija treba biti oslobođena proturječja. To znači da je nemoguće izvesti tvrdnju kao logičnu posljedicu iz aksioma R a njegovo poricanje nije P. Međutim, budući da se vjerovalo da matematički objekti imaju korespondencije u stvarnom svijetu, a aksiomi su bili "idealizacije" zakona prirode, nitko nije sumnjao u dosljednost matematike. Tijekom prijelaza iz klasične matematike u modernu matematiku problem konzistentnosti dobio je drugačije značenje. Sloboda izbora aksioma bilo koje matematičke teorije mora biti očito ograničena uvjetom konzistentnosti, no može li se biti siguran da će taj uvjet biti ispunjen?

Već smo spomenuli pojam skupa. Taj se koncept oduvijek više ili manje eksplicitno koristio u matematici i logici. U drugoj polovici 19.st. djelomično su usustavljena elementarna pravila za baratanje pojmom skupa, uz to su dobiveni neki važni rezultati koji su činili sadržaj tzv. teorija skupova ( cm. Također TEORIJA SKUPOVA), koja je postala, takoreći, supstrat svih ostalih matematičkih teorija. Od antike do 19. stoljeća. bilo je zabrinutosti oko beskonačni skupovi, primjerice, ogleda se u poznatim paradoksima Zenona iz Eleje (5. st. pr. Kr.). Ti su problemi bili djelomično metafizičke prirode, a djelomično uzrokovani poteškoćama povezanim s konceptom mjerenja veličina (na primjer, duljine ili vremena). Te teškoće bilo je moguće otkloniti tek nakon 19. stoljeća. osnovni pojmovi matematičke analize bili su strogo definirani. Do 1895. svi su strahovi bili raspršeni i činilo se da matematika počiva na nepokolebljivim temeljima teorije skupova. Ali u sljedećem desetljeću pojavili su se novi argumenti koji su, čini se, pokazali unutarnju nedosljednost teorije skupova (i ostatka matematike).

Novi paradoksi bili su vrlo jednostavni. Prvi od njih, Russellov paradoks, može se razmotriti u jednostavnoj verziji poznatoj kao brijačev paradoks. U nekom gradu brijač brije sve stanovnike koji se sami ne briju. Tko brije samog brijača? Ako se brijač sam brije, onda brije ne samo one stanovnike koji se sami ne briju, nego i jednog stanovnika koji se sam brije; ako se on sam ne brije, onda ne brije ni sve stanovnike grada koji se sami ne briju. Paradoks ovog tipa javlja se kad god se razmatra koncept “skupa svih skupova”. Iako se ovaj matematički objekt čini vrlo prirodnim, razmišljanje o njemu brzo dovodi do proturječja.

Berryjev paradoks još je znakovitiji. Razmotrite skup svih ruskih izraza koji ne sadrže više od sedamnaest riječi; Broj riječi u ruskom jeziku je konačan, pa je i broj takvih fraza konačan. Odaberimo među njima one koji jednoznačno definiraju neki cijeli broj, na primjer: “Najveći neparni broj manji od deset.” Broj takvih fraza također je konačan; stoga je njima određen skup cijelih brojeva konačan. Označimo konačni skup ovih brojeva sa D. Iz aksioma aritmetike slijedi da postoje cijeli brojevi koji ne pripadaju D, te da među tim brojevima postoji najmanji broj n. Ovaj broj n je jedinstveno definiran frazom: "Najmanji cijeli broj koji se ne može definirati frazom koja se sastoji od najviše sedamnaest ruskih riječi." Ali ovaj izraz sadrži točno sedamnaest riječi. Stoga određuje broj n, koji bi trebao pripadati D, i dolazimo do paradoksalne kontradikcije.

Intuicionisti i formalisti.

Šok izazvan paradoksima teorije skupova izazvao je različite reakcije. Neki matematičari bili su prilično odlučni i iznijeli su mišljenje da se matematika od samog početka razvijala u pogrešnom smjeru i da bi trebala biti utemeljena na sasvim drugim temeljima. Nije moguće s bilo kakvom točnošću opisati gledište takvih "intuicionista" (kako su sami sebe počeli nazivati), budući da su odbijali svesti svoje poglede na čisto logičku shemu. Sa stajališta intuicionista, pogrešno je primjenjivati logičke procese na intuitivno neprikazive objekte. Jedini intuitivno jasni objekti su prirodni brojevi 1, 2, 3,... i konačni skupovi prirodni brojevi, “građen” prema točno određenim pravilima. Ali čak ni na takve objekte intuicionisti nisu dopustili da se primijene sve dedukcije klasične logike. To, primjerice, nijednoj izjavi nisu priznali R istina bilo R, ili ne R. S tako ograničenim sredstvima lako su izbjegli “paradokse”, ali su u isto vrijeme bacili u more ne samo svu modernu matematiku, nego i značajan dio rezultata klasične matematike, a za one koji su ostali bilo je potrebno pronaći nove , složeniji dokazi.

Velika većina modernih matematičara nije se slagala s argumentima intuicionista. Matematičari koji nisu intuicionisti primijetili su da se argumenti korišteni u paradoksima značajno razlikuju od onih koji se koriste u običnom matematičkom radu s teorijom skupova, te stoga takve argumente treba isključiti kao nezakonite bez ugrožavanja postojećih matematičkih teorija. Drugo zapažanje bilo je da u "naivnoj" teoriji skupova, koja je postojala prije pojave "paradoksa", značenje pojmova "skup", "svojstvo", "odnos" nije dovedeno u pitanje - baš kao što je u klasičnoj geometriji "intuitivno" nije bila dovedena u pitanje.priroda uobičajenog geometrijski pojmovi. Stoga se može postupiti na isti način kao što je to bilo u geometriji, naime odbaciti sve pokušaje pozivanja na “intuiciju” i uzeti sustav precizno formuliranih aksioma kao polazište teorije skupova. Međutim, nije očito kako riječi kao što su "vlasništvo" ili "odnos" mogu biti lišene svog uobičajenog značenja; no to se mora učiniti ako želimo isključiti takve argumente kao što je Berryjev paradoks. Metoda se sastoji u suzdržavanju od korištenja običnog jezika u formuliranju aksioma ili teorema; samo su propozicije konstruirane u skladu s eksplicitnim sustavom krutih pravila dopuštene kao "svojstva" ili "relacije" u matematici i ulaze u formulaciju aksioma. Ovaj proces se naziva "formalizacija" matematički jezik(da biste izbjegli nesporazume koji proizlaze iz dvosmislenosti običnog jezika, preporuča se učiniti još jedan korak i zamijeniti same riječi posebnim simbolima u formaliziranim rečenicama, na primjer, zamijeniti veznik “i” sa simbolom &, veznik “ili ” sa simbolom ʺ̱, „postoji” sa simbolom $ itd.). Matematičari koji su odbacili metode koje su predložili intuicionisti počeli su nazivati "formalistima".

Međutim, na izvorno pitanje nikada nije odgovoreno. Je li "aksiomatska teorija skupova" oslobođena proturječja? Nove pokušaje da se dokaže konzistentnost "formaliziranih" teorija učinili su 1920-ih D. Hilbert (1862-1943) i njegova škola i nazvani su "metamatematika". U biti, metamatematika je grana “primijenjene matematike”, gdje su objekti na koje se primjenjuje matematičko zaključivanje prijedlozi formalizirane teorije i njihov raspored unutar dokaza. Ove rečenice treba promatrati samo kao materijalne kombinacije simbola proizvedenih u skladu s određenim utvrđenim pravilima, bez ikakvog pozivanja na moguće "značenje" tih simbola (ako ga ima). Dobra analogija je igra šaha: simboli odgovaraju figurama, rečenice odgovaraju različitim položajima na ploči, a logični zaključci odgovaraju pravilima pomicanja figura. Da bi se utvrdila dosljednost formalizirane teorije, dovoljno je pokazati da u ovoj teoriji niti jedan dokaz ne završava s izjavom 0 Ne. 0. Međutim, može se prigovoriti korištenju matematičkih argumenata u "metamatematičkom" dokazu konzistentnosti matematičke teorije; kad bi matematika bila nedosljedna, tada bi matematički argumenti izgubili svu snagu, a mi bismo se našli u situaciji začaranog kruga. Kako bi odgovorio na ove prigovore, Hilbert je dopustio vrlo ograničeno matematičko razmišljanje tipa koje intuicionisti smatraju prihvatljivim za upotrebu u metamatematici. Međutim, K. Gödel je ubrzo pokazao (1931.) da se dosljednost aritmetike ne može dokazati tako ograničenim sredstvima ako je doista dosljedna (opseg ovog članka ne dopušta nam da ocrtamo genijalnu metodu kojom je dobiven ovaj izvanredan rezultat, i kasnije povijesti metamatematike).

Sažimajući s formalističkog gledišta prevladavajuće problematična situacija, moramo priznati da je daleko od dovršenog. Upotreba koncepta skupa bila je ograničena rezervama koje su posebno uvedene kako bi se izbjegli poznati paradoksi, i nema jamstva da se novi paradoksi neće pojaviti u aksiomatiziranoj teoriji skupova. Unatoč tome, ograničenja aksiomatske teorije skupova nisu spriječila rađanje novih održivih teorija.

MATEMATIKA I STVARNI SVIJET

Unatoč tvrdnjama o neovisnosti matematike, nitko neće poreći da su matematika i fizički svijet međusobno povezani. Naravno, matematički pristup rješavanju problema klasične fizike ostaje na snazi. Također je istina da je u vrlo važnom području matematike, naime u teoriji diferencijalnih jednadžbi, običnih i parcijalnih derivacija, proces uzajamnog obogaćivanja fizike i matematike prilično plodan.

Matematika je korisna u tumačenju fenomena mikrosvijeta. Međutim, nove “prijave” matematike bitno se razlikuju od klasičnih. Jedan od najvažnijih alata fizike postala je teorija vjerojatnosti, koja se prije koristila uglavnom u teoriji. Kockanje i poslovi osiguranja. Matematički objekti koje fizičari povezuju s "atomskim stanjima" ili "prijelazima" vrlo su apstraktne prirode i uveli su ih i proučavali matematičari mnogo prije pojave kvantna mehanika. Treba dodati da su nakon prvih uspjeha nastupile ozbiljne poteškoće. To se dogodilo u vrijeme kada su fizičari pokušavali primijeniti matematičke ideje na suptilnije aspekte kvantna teorija; Ipak, mnogi fizičari još uvijek s nadom gledaju na nove matematičke teorije, vjerujući da će im one pomoći u rješavanju novih problema.

Je li matematika znanost ili umjetnost?

Čak i ako u “čistu” matematiku uključimo teoriju vjerojatnosti ili matematičku logiku, ispada da manje od 50% poznatih matematičkih rezultata trenutno koriste druge znanosti. Što da mislimo o preostaloj polovici? Drugim riječima, koji su motivi iza onih područja matematike koja nisu vezana uz rješavanje fizikalnih problema?

Već smo spomenuli iracionalnost broja kao tipičnog predstavnika te vrste teorema. Drugi primjer je teorem koji je dokazao J.-L. Lagrange (1736. – 1813.). Gotovo da nema matematičara koji to ne bi nazvao "važnim" ili "lijepim". Lagrangeov teorem kaže da svaki cijeli broj veći od ili jednako jedan, može se predstaviti kao zbroj kvadrata ne više od četiri broja; na primjer, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. U sadašnjem stanju stvari, nezamislivo je da bi ovaj rezultat mogao biti koristan u rješavanju bilo kojeg eksperimentalnog problema. Istina je da se fizičari danas mnogo češće bave cijelim brojevima nego u prošlosti, ali cijeli brojevi s kojima operiraju uvijek su ograničeni (rijetko prelaze nekoliko stotina); stoga, teorem kao što je Lagrangeov može biti "koristan" samo ako se primjenjuje na cijele brojeve unutar neke granice. Ali čim ograničimo formulaciju Lagrangeovog teorema, on odmah prestaje biti zanimljiv za matematičara, jer sva privlačna snaga ovog teorema leži u njegovoj primjenjivosti na sve cijele brojeve. (Postoji jako puno izjava o cijelim brojevima koje se mogu provjeriti računalima do vrlo veliki brojevi; ali budući da nije pronađen opći dokaz, oni ostaju hipotetski i nisu od interesa za profesionalne matematičare.)

Fokusiranje na teme koje su daleko od neposredne primjene nije neobično za znanstvenike koji rade u bilo kojem području, bilo da je riječ o astronomiji ili biologiji. Međutim, dok se eksperimentalni rezultat može doraditi i poboljšati, matematički dokaz je uvijek konačan. Zato je teško odoljeti iskušenju da se matematika, ili barem onaj njezin dio koji nema veze sa “stvarnošću”, smatra umjetnošću. Matematički problemi nisu nametnuti izvana i, gledano sa suvremenog gledišta, potpuno smo slobodni u izboru materijala. Pri ocjenjivanju nekih matematičkih radova matematičari nemaju “objektivne” kriterije i prisiljeni su se oslanjati na vlastiti “ukus”. Ukusi se jako razlikuju ovisno o vremenu, zemlji, tradiciji i pojedincima. U modernoj matematici postoje moda i “škole”. Trenutno postoje tri takve "škole", koje ćemo zbog praktičnosti nazvati "klasicizam", "modernizam" i "apstrakcionizam". Kako bismo bolje razumjeli razlike među njima, analizirajmo različite kriterije koje matematičari koriste kada procjenjuju teorem ili grupu teorema.

(1) Prema općem mišljenju, “lijep” matematički rezultat trebao bi biti netrivijalan, tj. ne smije biti očita posljedica aksioma ili prethodno dokazanih teorema; dokaz mora koristiti neku vrstu nova ideja ili se pametno primjenjuju stare ideje. Drugim riječima, za matematičara nije bitan sam rezultat, već proces prevladavanja teškoća na koje je naišao pri njegovom dobivanju.

(2) Svaki matematički problem ima svoju vlastitu povijest, "rodovnicu", da tako kažemo, koja slijedi isti opći obrazac prema kojem se razvija povijest bilo koje znanosti: nakon prvih uspjeha može proći određeno vrijeme prije odgovora na postavljeno pitanje nalazi se. Kada se dobije rješenje, priča tu ne završava, jer počinju dobro poznati procesi širenja i generalizacije. Na primjer, gore spomenuti Lagrangeov teorem dovodi do pitanja predstavljanja bilo kojeg cijelog broja kao zbroja kubova, četvrte, pete potencije itd. Tako nastaje “Waring problem” koji još nije dobio konačno rješenje. Osim toga, ako budemo imali sreće, problem koji riješimo bit će povezan s jednim ili više njih temeljne strukture, a to će zauzvrat dovesti do novih problema povezanih s tim strukturama. Čak i ako izvorna teorija na kraju umre, obično za sobom ostavlja brojne žive izdanke. Moderni matematičari suočeni su s tako širokim nizom problema da čak i ako sva komunikacija sa eksperimentalna znanost, za njihovo bi rješenje trebalo još nekoliko stoljeća.

(3) Svaki će se matematičar složiti da je, kada se pred njim pojavi novi problem, njegova dužnost riješiti ga na bilo koji mogući način. Kada se problem odnosi na klasične matematičke objekte (klasičari se rijetko bave drugim vrstama objekata), klasičari ga pokušavaju riješiti koristeći se samo klasičnim sredstvima, dok drugi matematičari uvode više "apstraktnih" struktura kako bi koristili opće teoreme relevantne za zadatak. Ova razlika u pristupu nije nova. Od 19. stoljeća. matematičari se dijele na "taktičare" koji nastoje pronaći čisto silovito rješenje problema i "stratege" koji su skloni zaobilaznim manevrima koji omogućuju slamanje neprijatelja malim snagama.

(4) Bitan element "ljepote" teorema je njegova jednostavnost. Naravno, potraga za jednostavnošću svojstvena je cijeloj znanstvenoj misli. Ali eksperimentatori su spremni podnijeti "ružna rješenja" samo ako se problem riješi. Isto tako, u matematici, klasičari i apstrakcionisti nisu previše zabrinuti zbog pojave "patoloških" rezultata. S druge strane, modernisti idu toliko daleko da u pojavi “patologija” teorije vide simptom koji ukazuje na nesavršenost temeljnih pojmova.

Preuzmite knjigu Matematička enciklopedija u 5 svezaka potpuno besplatno.

Kako biste besplatno preuzeli knjigu sa servisa za hosting datoteka, kliknite na poveznice odmah iza opisa besplatne knjige.

Dragi čitatelji, ako vam nije uspjelo

download Matematička enciklopedija u 5 svezaka

napišite o tome u komentarima i sigurno ćemo vam pomoći.

Nadamo se da vam se knjiga svidjela i da ste uživali čitajući je. Kao zahvalu, možete ostaviti link na našu web stranicu na forumu ili blogu :) E-knjiga Matematička enciklopedija u 5 svezaka služi isključivo za recenziju prije kupnje papirnate knjige i nije konkurencija tiskanim izdanjima.