Kvadratna jednadžba ili jednadžba drugog stupnja s jednom nepoznanicom je jednadžba koja se nakon transformacija može svesti na sljedeći oblik:

sjekira 2 + bx + c = 0 - kvadratna jednadžba

Gdje x- ovo je nepoznanica, ali a, b I c- koeficijenti jednadžbe. U kvadratnim jednadžbama a koji se zove prvi koeficijent ( a ≠ 0), b naziva se drugi koeficijent, i c naziva poznatim ili slobodnim članom.

Jednadžba:

sjekira 2 + bx + c = 0

nazvao potpuna kvadratna jednadžba. Ako jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, ili su oba ova koeficijenta jednaka nuli, tada se jednadžba prikazuje u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe.

Reducirana kvadratna jednadžba

Potpuna kvadratna jednadžba može se svesti na prikladniji oblik dijeljenjem svih njezinih članova s a, odnosno za prvi koeficijent:

Jednadžba x 2 + px + q= 0 zove se reducirana kvadratna jednadžba. Stoga se svaka kvadratna jednadžba u kojoj je prvi koeficijent jednak 1 može nazvati reduciranom.

Na primjer, jednadžba:

x 2 + 10x - 5 = 0

reducira se, a jednadžba:

3x 2 + 9x - 12 = 0

može se zamijeniti gornjom jednadžbom, dijeleći sve članove s -3:

x 2 - 3x + 4 = 0

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Da biste riješili kvadratnu jednadžbu, trebate je svesti na jedan od sljedećih oblika:

sjekira 2 + bx + c = 0

sjekira 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Za svaku vrstu jednadžbe postoji vlastita formula za pronalaženje korijena:

Obratite pozornost na jednadžbu:

sjekira 2 + 2kx + c = 0

ovo je transformirana jednadžba sjekira 2 + bx + c= 0, u kojoj je koeficijent b- čak, što vam omogućuje da ga zamijenite tipom 2 k. Stoga se formula za pronalaženje korijena ove jednadžbe može pojednostaviti zamjenom 2 u nju k umjesto b:

Primjer 1. Riješite jednadžbu:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Budući da u jednadžbi drugi koeficijent nije Parni broj, a prvi koeficijent nije jednako jedan, onda ćemo tražiti korijene pomoću prve formule, tzv opća formula pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Isprva

a = 3, b = 7, c = 2

Sada, da bismo pronašli korijene jednadžbe, jednostavno zamijenimo vrijednosti koeficijenata u formulu:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Odgovor: -	1	, -2.
	3

Primjer 2:

x 2 - 4x - 60 = 0

Odredimo koji su koeficijenti:

a = 1, b = -4, c = -60

Budući da je drugi koeficijent u jednadžbi paran broj, upotrijebit ćemo formulu za kvadratne jednadžbe s parnim drugim koeficijentom:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Odgovor: 10, -6.

Primjer 3.

g 2 + 11g = g - 25

Svedimo jednadžbu na Opća pojava:

g 2 + 11g = g - 25

g 2 + 11g - g + 25 = 0

g 2 + 10g + 25 = 0

Odredimo koji su koeficijenti:

a = 1, str = 10, q = 25

Budući da je prvi koeficijent jednak 1, korijene ćemo tražiti pomoću formule za gornje jednadžbe s parnim drugim koeficijentom:

Odgovor: -5.

Primjer 4.

x 2 - 7x + 6 = 0

Odredimo koji su koeficijenti:

a = 1, str = -7, q = 6

Budući da je prvi koeficijent jednak 1, korijene ćemo tražiti pomoću formule za gornje jednadžbe s neparnim drugim koeficijentom:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Postoji nekoliko klasa jednadžbi koje se mogu riješiti redukcijom na kvadratne jednadžbe. Jedna takva jednadžba su bikvadratne jednadžbe.

Bikvadratne jednadžbe

Bikvadratne jednadžbe su jednadžbe oblika a*x^4 + b*x^2 + c = 0, gdje a nije jednako 0.

Bikvadratne jednadžbe rješavaju se zamjenom x^2 =t. Nakon takve zamjene dobivamo kvadratnu jednadžbu za t. a*t^2+b*t+c=0. Rješavamo dobivenu jednadžbu, imamo opći slučaj t1 i t2. Ako se u ovoj fazi dobije negativan korijen, on se može isključiti iz rješenja, jer smo uzeli t=x^2, a kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj.

Vraćajući se na izvorne varijable, imamo x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Pogledajmo mali primjer:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Uvedimo zamjenu t=x^2. Tada će izvorna jednadžba imati sljedeći oblik:

9*t^2+5*t-4=0.

Rješavamo ovu kvadratnu jednadžbu bilo kojom od poznatih metoda i nalazimo:

t1=4/9, t2=-1.

Korijen -1 nije prikladan jer jednadžba x^2 = -1 nema smisla.

Drugi korijen 4/9 ostaje. Prelazeći na početne varijable, imamo sljedeću jednadžbu:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Ovo će biti rješenje jednadžbe.

Odgovor: x1=-2/3, x2=2/3.

Drugi tip jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe su frakcijske racionalne jednadžbe. Racionalne jednadžbe su jednadžbe čija su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda ovo racionalna jednadžba naziva se frakcijskim.

Shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe

Opća shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe.

1. Pronađite zajednički nazivnik sve razlomke koji ulaze u jednadžbu.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite one kojima zajednički nazivnik nestaje.

Pogledajmo primjer:

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držat ćemo se opće sheme. Najprije pronađimo zajednički nazivnik svih razlomaka.

Dobivamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite dobivenu cijelu jednadžbu.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu. dobivamo,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

dobio jednostavna reducirana kvadratna jednadžba. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobivamo korijene x=-2 i x=5. Sada provjeravamo dobivena rješenja. Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik.

Pri x=-2 zajednički nazivnik x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Pri x=5 zajednički nazivnik x*(x-5) postaje nula. Stoga ovaj broj nije korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, jer će doći do dijeljenja s nulom.

Odgovor: x=-2.

Opća teorija rješavanja problema pomoću jednadžbi

Prije nego što prijeđemo na određene vrste problema, prvo ćemo ih predstaviti opća teorija rješavati različite probleme pomoću jednadžbi. Prije svega, problemi u disciplinama kao što su ekonomija, geometrija, fizika i mnoge druge svode se na jednadžbe. Opći postupak rješavanja problema pomoću jednadžbi je sljedeći:

• Sve veličine koje tražimo iz uvjeta problema, kao i sve pomoćne, označene su varijablama koje nam odgovaraju. Najčešće su te varijable posljednja slova latinične abecede.
• Korištenje podataka u zadacima numeričke vrijednosti, kao i verbalnih odnosa, sastavlja se jedna ili više jednadžbi (ovisno o uvjetima problema).
• Rješavaju dobivenu jednadžbu ili svoj sustav i izbacuju “nelogična” rješenja. Na primjer, ako trebate pronaći područje, onda negativan broj, očito će biti strani korijen.
• Dobivamo konačan odgovor.

Primjer problema iz algebre

Ovdje ćemo dati primjer problema koji se svodi na kvadratnu jednadžbu bez oslanjanja na neko specifično područje.

Primjer 1

Nađite dva takva iracionalna broja, pri zbrajanju kvadrata rezultat će biti pet, a kad se zbroje na uobičajeni način, dobit će se tri.

Označimo te brojeve slovima $x$ i $y$. Prema uvjetima zadatka, prilično je lako napraviti dvije jednadžbe $x^2+y^2=5$ i $x+y=3$. Vidimo da je jedan od njih kvadrat. Da biste pronašli rješenje potrebno je riješiti sustav:

$\slučajevi(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$

Prvo izražavamo iz drugog $x$

Zamjena u prvi i izvođenje elementarnih transformacija

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

Prešli smo na rješavanje kvadratne jednadžbe. Učinimo to pomoću formula. Nađimo diskriminantu:

Prvi korijen

$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Drugi korijen

$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Pronađimo drugu varijablu.

Za prvi korijen:

$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Za drugi korijen:

$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Kako nam redoslijed brojeva nije bitan, dobivamo jedan par brojeva.

Odgovor: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ i $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.

Primjer problema iz fizike

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješenja kvadratne jednadžbe u fizici.

Primjer 2

Helikopter koji jednoliko leti po mirnom vremenu ima brzinu od $250$ km/h. Treba odletjeti iz svoje baze do mjesta požara koje se nalazi 70$ km i vratiti se natrag. U to vrijeme vjetar je puhao prema bazi, usporavajući kretanje helikoptera prema šumi. Zbog toga se vratio u bazu 1 sat ranije. Pronađite brzinu vjetra.

Označimo brzinu vjetra sa $v$. Tada dobivamo da će helikopter letjeti prema šumi stvarnom brzinom od $250-v$, a natrag će njegova stvarna brzina biti $250+v$. Izračunajmo vrijeme putovanja do tamo i povratka.

$t_1=\frac(70)(250-v)$

$t_2=\frac(70)(250+v)$

Budući da se helikopter vratio u bazu $1$ sat ranije, imat ćemo

$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$

Dovedimo lijevu stranu do zajedničkog nazivnika, primijenimo pravilo proporcije i izvršimo elementarne transformacije:

$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$

140$v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Dobili smo kvadratnu jednadžbu za rješavanje ovog problema. Idemo to riješiti.

Riješit ćemo ga pomoću diskriminante:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Jednadžba ima dva korijena:

$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ i $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$

Budući da smo tražili brzinu (koja ne može biti negativna), očito je da je prvi korijen suvišan.

Odgovor: 189,5 dolara

Primjer problema iz geometrije

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješenja kvadratne jednadžbe u geometriji.

Primjer 3

Pronađite područje pravokutni trokut, što zadovoljava sljedeće uvjete: njegova hipotenuza je jednaka $25$, a njegove katete su u omjeru $4$ prema $3$.

Da bismo pronašli traženu površinu moramo pronaći noge. Označimo jedan dio kraka kroz $x$. Zatim, izražavajući noge kroz ovu varijablu, nalazimo da su njihove duljine jednake $4x$ i $3x$. Dakle, iz Pitagorinog teorema možemo oblikovati sljedeću kvadratnu jednadžbu:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(korijen $x=-5$ se može zanemariti, budući da krak ne može biti negativan)

Otkrili smo da su noge jednake 20$ odnosno 15$, što znači površina

$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$

Postoji nekoliko klasa jednadžbi koje se mogu riješiti redukcijom na kvadratne jednadžbe. Jedna takva jednadžba su bikvadratne jednadžbe.

Bikvadratne jednadžbe

Bikvadratne jednadžbe su jednadžbe oblika a*x^4 + b*x^2 + c = 0, gdje a nije jednako 0.

Bikvadratne jednadžbe rješavaju se zamjenom x^2 =t. Nakon takve zamjene dobivamo kvadratnu jednadžbu za t. a*t^2+b*t+c=0. Rješavamo dobivenu jednadžbu, te u općem slučaju imamo t1 i t2. Ako se u ovoj fazi dobije negativan korijen, on se može isključiti iz rješenja, jer smo uzeli t=x^2, a kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj.

Vraćajući se na izvorne varijable, imamo x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Pogledajmo mali primjer:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Uvedimo zamjenu t=x^2. Tada će izvorna jednadžba imati sljedeći oblik:

Rješavamo ovu kvadratnu jednadžbu bilo kojom od poznatih metoda i nalazimo:

Korijen -1 nije prikladan jer jednadžba x^2 = -1 nema smisla.

Drugi korijen 4/9 ostaje. Prelazeći na početne varijable, imamo sljedeću jednadžbu:

x1=-2/3, x2=2/3.

Ovo će biti rješenje jednadžbe.

Odgovor: x1=-2/3, x2=2/3.

Drugi tip jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe su frakcijske racionalne jednadžbe. Racionalne jednadžbe su jednadžbe čija su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva frakcijskom.

Shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe

1. Nađite zajednički nazivnik svih razlomaka koji su uključeni u jednadžbu.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite one kojima zajednički nazivnik nestaje.

Pogledajmo primjer:

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držat ćemo se opće sheme. Najprije pronađimo zajednički nazivnik svih razlomaka.

Dobivamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite dobivenu cijelu jednadžbu.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu. dobivamo,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

dobio jednostavna reducirana kvadratna jednadžba. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobivamo korijene x=-2 i x=5. Sada provjeravamo dobivena rješenja. Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik.

Pri x=-2 zajednički nazivnik x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. To znači da će broj -2 biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

OPĆINSKA OBRAZOVNA USTANOVA TUMANOVSKAYA SREDNJA ŠKOLA MOSKALENSKOG GRADSKOG DISTRIKTA OMSK REGIONA

Tema lekcije: JEDNADŽBE SVODIVE NA KVADRAT

Razvio učitelj matematike i fizike u srednjoj školi Tumanovskaya BIRIKH TATYANA VIKTOROVNA

2008. godine

Svrha lekcije: 1) razmotriti načine rješavanja jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne; naučiti rješavati takve jednadžbe. 2) razvijati govor i mišljenje učenika, pažljivost i logičko mišljenje. 3) pobuditi interes za matematiku,

Vrsta lekcije: Lekcija učenja novog materijala

Plan učenja: 1. organizacijska faza
2. usmeni rad
3. praktičan rad
4. rezimiranje lekcije

TIJEKOM NASTAVE
Danas ćemo se u lekciji upoznati s temom “Jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne”. Svaki učenik mora znati pravilno i racionalno rješavati jednadžbe, naučiti ih primjenjivati razne načine pri rješavanju zadanih kvadratnih jednadžbi.
1. Usmeni rad 1. Koji su od brojeva: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 korijeni jednadžbe: a) x 3 – x = 0; b) y 3 – 9y = 0; c) y 3 + 4y = 0? - Koliko rješenja može imati jednadžba trećeg stupnja? - Koju metodu ste koristili za rješavanje ovih jednadžbi?2. Provjerite rješenje jednadžbe: x 3 - 3x 2 + 4x – 12 = 0 x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0(x - 3) (x 2 + 4) = 0 (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0 Odgovor: x = 3, x = -2, x = 2 Učenici objašnjavaju pogrešku koju su napravili. Sažimam usmeni rad. Dakle, uspjeli ste usmeno riješiti tri predložene jednadžbe i pronaći pogrešku pri rješavanju četvrte jednadžbe. Pri usmenom rješavanju jednadžbi korištene su dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora izvan znaka zagrade i rastavljanje na faktore. Pokušajmo sada primijeniti ove metode pri pisanom radu.
2. Praktičan rad 1. Jedan učenik rješava jednadžbu na ploči 25x 3 – 50x 2 – x + 2 = 0 Pri rješavanju posebnu pozornost obraća na promjenu predznaka u drugoj zagradi. Recitira cijelo rješenje i pronalazi korijene jednadžbe.2. Predlažem jačim učenicima da riješe jednadžbu x 3 – x 2 – 4(x - 1) 2 = 0. Prilikom provjere rješenja učenicima posebno skrećem pažnju na najvažnije.3. Rad na ploči. Riješite jednadžbu (x 2 + 2x) 2 – 2 (x 2 + 2x) – 3 = 0 Prilikom rješavanja ove jednadžbe učenici otkrivaju da je potrebno koristiti “novu” metodu - uvođenje nove varijable.Označimo s varijablu y = x 2 + 2x i zamijenimo je u ovu jednadžbu. y 2 – 2y – 3 = 0. Riješimo kvadratnu jednadžbu za varijablu y. Zatim nalazimo vrijednost varijable x.4 . Razmotrimo jednadžbu (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65. Odgovorimo na pitanja:- koji je stupanj ove jednadžbe?- koju metodu rješavanja je najracionalnije koristiti za njegovo rješavanje?- koju novu varijablu treba uvesti? (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65 Označimo y = x 2 – x (y + 1) (y – 7) = 65Zatim razred samostalno rješava jednadžbu. Rješenja jednadžbe provjeravamo na ploči.5. Za snažne učenike predlažem rješavanje jednadžbe x 6 – 3x 4 – x 2 – 3 = 0 Odgovor: -1, 1 6. Jednadžba (2x 2 + 7x - 8) (2x 2 + 7x - 3) – 6 = 0 razred predlaže rješavanje na sljedeći način: najjači učenici - rješavaju samostalno; za ostalo odlučuje jedan od učenika na ploči.Riješite: 2x 2 + 7x = y(y - 8) (y - 3) – 6 = 0 Nalazimo: y1 = 2, y2 = 9 Zamijenimo u našu jednadžbu i pronađimo vrijednosti x, za to rješavamo jednadžbe:2x 2 + 7x = 2 2x 2 + 7x = 9Kao rezultat rješavanja dviju jednadžbi, nalazimo četiri vrijednosti x, koje su korijeni ove jednadžbe.7. Na kraju sata predlažem usmeno rješavanje jednadžbe x 6 – 1 = 0. Prilikom rješavanja potrebno je primijeniti formulu razlike kvadrata, korijene lako nalazimo.(x 3) 2 – 1 = 0 (x 3 - 1) (x 3 + 1) = 0 Odgovor: -1, 1.
3. Sažimanje lekcije Još jednom skrećem pozornost učenicima na metode kojima su se rješavale jednadžbe svedene na kvadratne jednadžbe. Ocjenjuje se rad učenika na nastavi, komentiram ocjene i ukazujem na učinjene pogreške. Zapisujemo zadaću. U pravilu, nastava se odvija brzo, a uspjeh učenika je visok. Hvala vam svima na dobrom radu.