Grafikon funkcije vizualni je prikaz ponašanja funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafikoni vam pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete izgraditi grafove mnogih funkcija, a svakoj od njih bit će dana određena formula. Graf bilo koje funkcije izgrađen je pomoću određenog algoritma (ako ste zaboravili točan postupak crtanja grafa određene funkcije).

Koraci

Grafičko crtanje linearne funkcije

Odredite je li funkcija linearna. Linearna funkcija dana je formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez ikakvih eksponenata, predznaka korijena ili slično. Ako je dana funkcija sličnog tipa, vrlo je jednostavno iscrtati graf takve funkcije. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu za označavanje točke na Y osi. Konstanta (b) je "y" koordinata točke u kojoj graf siječe os Y. To jest, to je točka čija je "x" koordinata jednaka 0. Dakle, ako se x = 0 zamijeni u formulu , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je jednaka 5, odnosno sjecišna točka s Y osi ima koordinate (0,5). Stavite ovu točku na koordinatna ravnina.

Pronaći nagib ravno. Jednak je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) uz varijablu “x” postoji faktor 2; stoga je koeficijent nagiba jednak 2. Koeficijent nagiba određuje kut nagiba pravca prema osi X, odnosno što je koeficijent nagiba veći, funkcija brže raste ili opada.

Zapišite nagib kao razlomak. Kutni koeficijent jednak je tangensu kuta nagiba, odnosno omjeru okomite udaljenosti (između dviju točaka na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je okomita udaljenost 2, a vodoravna udaljenost 1. Zapišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ako je nagib negativan, funkcija je opadajuća.

1. Od točke gdje ravna linija siječe Y os, iscrtajte drugu točku koristeći okomite i vodoravne udaljenosti. Raspored linearna funkcija može se konstruirati iz dvije točke. U našem primjeru, točka sjecišta s Y osi ima koordinate (0,5); Od ove točke, pomaknite se 2 mjesta prema gore, a zatim 1 mjesto udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.

   Pomoću ravnala nacrtajte ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva grafikon se može iscrtati pomoću dvije točke. Dakle, iscrtali ste linearnu funkciju.

   Ucrtavanje točaka na koordinatnu ravninu

   1. Definirajte funkciju. Funkcija se označava kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivamo domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivamo domenom funkcije. Na primjer, razmotrimo funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2.

      Nacrtajte dvije okomite crte koje se sijeku. Vodoravna linija je os X. Okomita linija je os Y.

      Označite koordinatne osi. Podijelite svaku os na jednake segmente i numerirajte ih. Sjecište osi je 0. Za X os: pozitivni brojevi se ucrtavaju desno (od 0), a negativni brojevi lijevo. Za Y os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.

      Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x". U našem primjeru je f(x) = x+2. Zamijenite određene x vrijednosti u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće y vrijednosti. Ako je dana složena funkcija, pojednostavite je izdvajanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Nacrtajte točke na koordinatnu ravninu. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na X osi i nacrtajte okomitu liniju (točkastu); pronađite odgovarajuću vrijednost na Y osi i nacrtajte vodoravnu liniju (isprekidana linija). Označite točku sjecišta dviju isprekidanih linija; dakle, iscrtali ste točku na grafikonu.

      Obrišite isprekidane linije. Učinite to nakon što sve točke na grafikonu iscrtate na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je pravac koji prolazi koordinatnim središtem [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .

   Grafički prikaz složene funkcije

   Pronađite nulte točke funkcije. Nule funkcije su vrijednosti varijable x gdje je y = 0, odnosno to su točke u kojima graf siječe os X. Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali one su prve korak u procesu crtanja bilo koje funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, izjednačite je s nulom. Na primjer:

   Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je linija kojoj se graf funkcije približava, ali je nikada ne siječe (to jest, u ovom području funkcija nije definirana, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu točkastom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), postavite nazivnik na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru povucite isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete dijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:

1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija – polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. S neograničenim povećanjem x apsolutna vrijednost funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju x-osi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osi i razvučene duž osi Oy.

Za izgradnju grafa bilo kojeg proizvoljnog frakcijska linearna funkcija Uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira ovu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riješenje.

Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.

Primjer 3.

Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Riješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.

Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую racionalni razlomak može se zamisliti, i štoviše jedini način, kao zbroj konačan broj elementarni razlomci, čiji se oblik određuje rastavljanjem nazivnika razlomka Q(x) na umnožak stvarnih faktora:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.

Primjer 4.

Nacrtajte graf funkcije y = 1/x 2 .

Riješenje.

Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku ​​“dijeljenja” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku ​​faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviše visoka točka desna polovica grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravi korijeni. To znači da je naša pretpostavka netočna. Da pronađe najviše veliki značaj funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveća vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate crtati graf funkcija?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Funkcija y=x^2 naziva se kvadratna funkcija. Raspored kvadratna funkcija je parabola. Opći obrazac Parabola je prikazana na slici ispod.

Kvadratna funkcija

Slika 1. Opći pogled na parabolu

Kao što se može vidjeti iz grafikona, simetričan je u odnosu na os Oy. Os Oy naziva se osi simetrije parabole. To znači da ako nacrtate ravnu liniju na grafikonu paralelnu s osi Ox iznad ove osi. Tada će presijecati parabolu u dvije točke. Udaljenost od tih točaka do osi Oy bit će ista.

Os simetrije dijeli graf parabole na dva dijela. Ti dijelovi se nazivaju grane parabole. A točka parabole koja leži na osi simetrije naziva se vrhom parabole. Odnosno, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Koordinate ove točke su (0;0).

Osnovna svojstva kvadratne funkcije

1. Na x =0, y=0 i y>0 na x0

2. Kvadratna funkcija postiže svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu. Ymin pri x=0; Također treba napomenuti da funkcija nema maksimalnu vrijednost.

3. Funkcija pada na intervalu (-∞;0] i raste na intervalu Rješavajući jednadžbu \(x"\lijevo(t \desno) = 0,\) određujemo stacionarne točke funkcije \(x\ lijevo(t \desno):\ ) \[ (x"\lijevo(t \desno) = 0,)\;\; (\Desna strelica 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Za \ (t = 1\) funkcija \ (x\lijevo(t \desno)\) doseže maksimum jednak \i u točki \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) ima minimum jednak \[ (x\lijevo(( \frac(1)(3)) \desno) ) = ((\lijevo((\frac(1)(3)) \desno)^3) + (\ lijevo((\frac(1)(3)) \desno)^2) - \lijevo((\frac(1)(3)) \desno) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Razmotrimo derivaciju \(y"\lijevo(t \desno):\) \ [ (y"\lijevo(t \desno) = ( \lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Pronađite stacionarne točke funkcije \(y \lijevo(t \desno):\) \[ (y"\lijevo(t \desno) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\desna strelica (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3).) \] Ovdje, slično, funkcija \(y\lijevo(t \desno)\) doseže maksimum u točki \(t = -2:\) \ i minimum u točki \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\lijevo((\frac(2)(3)) \desno) ) = ((\lijevo ((\frac(2)(3)) \desno)^3) + 2(\ lijevo((\frac(2)(3)) \desno)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3 ) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafikoni funkcija \(x\lijevo(t \desno)\), \(y\ lijevo(t \desno)\) shematski su prikazani na slici \(15a.\)

Slika 15a		Sl.15b

Slika 15c

Imajte na umu da budući da \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\lijevo(t \desno) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \desno) = \pm \infty ,) \] tada krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) nema ni vertikalu, nema horizontalnih asimptota. Štoviše, budući da \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\lijevo(t \desno)))((x\lijevo(t \desno))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \lijevo[ (y\lijevo(t \desno) - kx\lijevo(t \desno)) \desno] ) = (\lim\granice_(t \to \pm \infty ) \lijevo((\otkaži(\ boja (plava)(t^3)) + \boja(crvena)(2(t^2)) - \boja(zelena)(4t) - \otkaži(\boja(plava)(t^3)) - \ boja (crveno)(t^2) + \boja(zeleno)(t)) \desno) ) = (\lim\granice_(t \to \pm \infty ) \lijevo((\boja(crveno)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] tada krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) također nema kose asimptote.

Odredimo sjecišne točke grafa \(y\lijevo(x \desno)\) s koordinatnim osima. Sjecište s osi x događa se u sljedećim točkama: \[ (y\lijevo(t \desno) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\desna strelica t\lijevo(((t^2) + 2t - 4) \desno) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\desna strelica D = 4 - 4 \cdot \lijevo(( - 4) \desno) = 20,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \veliki\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalna veličina = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\ \[ (x\lijevo(((t_2)) \desno) = x\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ) = ((\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ^3) + (\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno)^2) - \lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \lijevo((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \desno) + \lijevo((1 + 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \približno 20,18;) \] \[ (x\lijevo(((t_3)) \desno) = x\lijevo(( - 1 + \ sqrt 5 ) \desno) ) = ((\lijevo(( - 1 + \sqrt 5 ) \desno)^3) + (\lijevo(( - 1 + \sqrt 5 ) \desno)^2) - \ lijevo( ( - 1 + \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \lijevo((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \desno) + \lijevo((1 - 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18. ) \] U na isti način nalazimo točke presjeka grafa s osi ordinata: \[ (x\lijevo(t \desno) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\;\; (\desna strelica t\lijevo(((t^2) + t - 1) \desno) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\desna strelica D = 1 - 4 \cdot \lijevo(( - 1) \desno) = 5,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \veliki\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalna veličina.) \)

\ \[ (y\lijevo(((t_2)) \desno) = y\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ((\lijevo((\ frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno)^3) + 2(\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno)^2) - 4\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ( - \frac(1)(8)\lijevo((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \desno) + \frac(1)(2)\lijevo((1 + 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 2\lijevo((1 + \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \približno 7,47 ;) \] \[ (y\lijevo(((t_3)) \desno) = y\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ((\lijevo (( \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno)^3) + 2(\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ^2 ) - 4\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ( - \frac(1)(8)\lijevo((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \desno) + \frac(1)(2)\lijevo((1 - 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 2\lijevo((1 - \sqrt 5 ) \desno ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \približno - 1,47 .) \] Podijelite os \(t\) na \(5\) intervala: \[ (\lijevo(( - \infty , - 2) \desno),)\;\; (\lijevo(( - 2, - 1) \desno),)\;\; (\lijevo(( - 1,\frac(1)(3)) \desno),)\;\; (\lijevo((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \desno),)\;\; (\lijevo((\frac(2)(3), + \infty ) \desno).) \] Na prvom intervalu \(\lijevo(( - \infty , - 2) \desno)\) vrijednosti \(x \) i \(y\) rastu od \(-\infty\) do \(x\lijevo(( - 2) \desno) = - 2\) i \(y\lijevo(( - 2) \desno) = 8.\) Ovo je shematski prikazano na slici \(15b.\)

Na drugom intervalu \(\lijevo(( - 2, - 1) \desno)\) varijabla \(x\) raste od \(x\lijevo(( - 2) \desno) = - 2\) do \ (x \lijevo(( - 1) \desno) = 1,\) i varijabla \(y\) se smanjuje od \(y\lijevo(( - 2) \desno) = 8\) na \(y\lijevo (( - 1) \desno) = 5.\) Ovdje imamo dio opadajuće krivulje \(y\lijevo(x \desno).\) Ona siječe ordinatnu os u točki \(\lijevo((0.3 + 2\sqrt 5 ) \desno).\)

U trećem intervalu \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) obje varijable se smanjuju. Vrijednost \(x\) mijenja se iz \(x\lijevo(( - 1) \desno) = 1\) u \(x\lijevo((\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Prema tome, vrijednost \(y\) smanjuje se od \(y\lijevo(( - 1) \desno) = 5\) na \(y\ lijevo((\veliki\frac(1)(3)\normalnaveličina) \desno) = - \veliki\frac(29)((27))\normalnaveličina.\) Krivulja \(y\lijevo(x \desno)\ ) siječe ishodište koordinata.

Na četvrtom intervalu \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) varijabla \(x\) raste od \( x\lijevo((\veliki\frac(1)(3)\normalnaveličina) \desno) = - \veliki\frac(5)((27))\normalnaveličina\) do \(x\lijevo((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) i varijabla \(y\) smanjuje se od \(y\left(( \veliki\ frac(1)(3)\normalna veličina) \desno) = - \veliki\frac(29)((27))\normalna veličina\) do \(y\lijevo((\veliki\frac(2)( 3)\ normalna veličina) \desno) = - \veliki\frac(40)((27))\normalna veličina.\) U ovom odjeljku, krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) siječe ordinatnu os na točka \(\lijevo( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \desno).\)

Konačno, na zadnjem intervalu \(\lijevo((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \desno)\) obje funkcije \(x\lijevo(t \desno)\), \ ( y\lijevo(t \desno)\) povećanje. Krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) siječe x-os u točki \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18.\)

Da pojasnimo oblik krivulje \(y\lijevo(x \desno)\), izračunajmo maksimalnu i minimalnu točku. Derivacija \(y"\lijevo(x \desno)\) izražava se kao \[ (y"\lijevo(x \desno) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno))^\prime )))((( ( \lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \desno))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\lijevo((t + 2) \desno)\lijevo((t - \frac(2)(3)) \ desno)))((\cancel(3)\lijevo((t + 1) \desno)\lijevo((t - \frac(1)(3)) \desno))) ) = (\frac(( \ lijevo((t + 2) \desno)\lijevo((t - \frac(2)(3)) \desno)))(\lijevo((t + 1) \desno)\lijevo((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Promjena predznaka derivacije \(y"\lijevo(x \desno)\) prikazana je na slici \(15c.\) Može vidi se da je u točki \(t = - 2,\) tj. na granici \(I\)-tog i \(II\)-tog intervala krivulja ima maksimum, a na \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (na granica \(IV\) th i \(V\)th intervala) postoji minimum. Kada prolazi kroz točku \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), izvod također mijenja predznak iz plusa u minus, ali u ovom području krivulja \(y\lijevo(x \desno) \) nije jedinstvena funkcija. Dakle, navedena točka nije ekstrem.

Također ispitujemo konveksnost ove krivulje. Druga derivacija\(y""\lijevo(x \desno)\) ima oblik: \[ y""\lijevo(x \desno) = (y""_(xx)) = \frac((((\lijevo( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \desno))^\prime )))((((\lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \ desno ))^\prime ))) = \frac((\lijevo((6t + 4) \desno)\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno) - \lijevo((3( t ^2) + 4t - 4) \desno)\lijevo((6t + 2) \desno)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \lijevo((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \desno)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(kesten) ( 4) - \otkaži(\boja(plava)(18(t^3))) - \boja(crvena)(30(t^2)) + \boja(zelena)(16t) + \boja(kesten) ( 8)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - \boja(crvena)(6(t^2) ) ) + \boja(zelena)(18t) + \boja(kesten)(4)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - 6\lijevo((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno)\lijevo((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \desno)))((((\lijevo((t + 1) \desno))^3)((\lijevo((3t - 1) \desno))^3))). \] Posljedično, druga derivacija mijenja predznak u suprotan kada prolazi kroz sljedeće točke (Sl.\(15s\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \desno ) = 1,)\;\; (y\lijevo(( - 1) \desno) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,24;)\;\; (y\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \približno 40,8.) \] Prema tome, naznačene točke predstavljaju točke infleksije krivulje \(y\left( x \desno).\)

Shematski grafikon krivulje \(y\lijevo(x \desno)\) prikazan je gore na slici \(15b.\)