Puni diferencijal. Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala. Tangentna ravnina i normala na površinu. Ukupni prirast i ukupni diferencijal Primjeri rješavanja zadataka

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI.

Osnovni pojmovi i definicije.

Kada razmatramo funkcije nekoliko varijabli, ograničit ćemo se na Detaljan opis funkcije dviju varijabli, jer svi dobiveni rezultati vrijedit će za funkcije proizvoljnog broja varijabli.

Ako je svakom paru brojeva (x, y) neovisnih jedan o drugom iz određenog skupa, prema nekom pravilu, pridružena jedna ili više vrijednosti varijable z, tada se varijabla z zove funkcija dviju varijabli.

Ako par brojeva (x, y) odgovara jednoj vrijednosti z, tada se funkcija poziva nedvosmislen, a ako ih je više od jednog, tada – polisemantičan.

Domena definicije funkcija z je skup parova (x, y) za koje postoji funkcija z.

Okolica točke M 0 (x 0, y 0) radijusa r je skup svih točaka (x, y) koje zadovoljavaju uvjet.

Broj A se zove ograničiti funkcija f(x, y) dok točka M(x, y) teži točki M 0 (x 0, y 0), ako za svaki broj e > 0 postoji broj r > 0 takav da za bilo koju točku M (x, y), za koje je uvjet istinit

uvjet je također istinit .

Zapiši:

Neka točka M 0 (x 0, y 0) pripada domeni definiranosti funkcije f(x, y). Tada se poziva funkcija z = f(x, y). stalan u točki M 0 (x 0, y 0), ako

(1)

a točka M(x, y) teži točki M 0 (x 0, y 0) na proizvoljan način.

Ako u bilo kojoj točki uvjet (1) nije zadovoljen, tada se ta točka poziva prijelomna točka funkcije f(x, y). To može biti u sljedećim slučajevima:

1) Funkcija z = f(x, y) nije definirana u točki M 0 (x 0, y 0).

2) Nema ograničenja.

3) Ova granica postoji, ali nije jednaka f(x 0 , y 0).

Svojstva funkcija više varijabli vezana uz njihovu neprekidnost.

Vlasništvo. Ako je funkcija f(x, y, ...) definirana i kontinuirana u zatvorenoj i ograničenoj domeni D, tada postoji barem jedna točka u ovoj domeni

N(x 0 , y 0 , …), tako da za preostale točke nejednakost vrijedi

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

kao i točka N 1 (x 01, y 01, ...), tako da za sve ostale točke nejednakost vrijedi

f(x 01, y 01, …) £ f(x, y, …)

tada je f(x 0 , y 0 , …) = M – najveća vrijednost funkcije i f(x 01 , y 01 , ...) = m – najmanja vrijednost funkcije f(x, y, …) u domeni D.

Kontinuirana funkcija u zatvorenoj i ograničenoj domeni D doseže barem jednom najveća vrijednost a jednom najmanji.

Vlasništvo. Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenoj ograničenoj domeni D, a M i m su najveća i najmanja vrijednost funkcije u ovoj domeni, tada za bilo koju točku m O postoji točka

N 0 (x 0 , y 0 , …) tako da je f(x 0 , y 0 , …) = m.

Jednostavno rečeno, kontinuirana funkcija uzima sve u domeni D srednje vrijednosti između M i m. Posljedica ovog svojstva može biti zaključak da ako su brojevi M i m različitih predznaka, tada u domeni D funkcija bar jednom nestaje.

Vlasništvo. Funkcija f(x, y, …), kontinuirana u zatvorenoj ograničenoj domeni D, ograničeno u ovom području, ako postoji broj K takav da za sve točke u području nejednakost vrijedi .

Vlasništvo. Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenoj ograničenoj domeni D, tada je jednoliko kontinuirano na ovom području, tj. za bilo koji pozitivan broj e postoji broj D > 0 takav da za bilo koje dvije točke (x 1, y 1) i (x 2, y 2) regije koje se nalaze na udaljenosti manjoj od D, vrijedi nejednakost

2. Parcijalne derivacije. Parcijalne derivacije viših redova.

Neka je funkcija z = f(x, y) dana u nekoj domeni. Uzmimo proizvoljnu točku M(x, y) i postavimo inkrement Dx na varijablu x. Tada se veličina D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) naziva djelomični prirast funkcije u x.

Možete zapisati

Onda se zove djelomična derivacija funkcije z = f(x, y) u x.

Oznaka:

Slično se određuje parcijalna derivacija funkcije u odnosu na y.

Geometrijski smisao parcijalna derivacija (recimo) je tangens kuta nagiba tangente povučene u točki N 0 (x 0, y 0, z 0) na presjek plohe ravninom y = y 0.

Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekoj domeni D, tada će i njezine parcijalne derivacije biti definirane u istoj domeni ili njenom dijelu.

Ove izvedenice ćemo nazvati parcijalne derivacije prvog reda.

Izvodnice ovih funkcija bit će parcijalne derivacije drugog reda.

Nastavljajući diferencirati dobivene jednakosti, dobivamo parcijalne derivacije viših redova.

Parcijalne izvedenice oblika itd. se zovu mješovite izvedenice.

Teorema. Ako su funkcija f(x, y) i njezine parcijalne derivacije definirane i kontinuirane u točki M(x, y) i njezinoj okolici, tada vrijedi sljedeća relacija:

Oni. parcijalne derivacije viših redova ne ovise o redu diferenciranja.

Diferencijali višeg reda definiraju se na sličan način.

…………………

Ovdje je n simbolička snaga izvedenice, koja se zamjenjuje stvarnom snagom nakon podizanja izraza u zagradama na nju.

Puni diferencijal. Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala. Tangentna ravnina i normala na površinu.

Izraz se zove puni prirast funkcije f(x, y) u nekoj točki (x, y), gdje su a 1 i a 2 infinitezimalne funkcije za Dh ® 0 odnosno Du ® 0.

Puni diferencijal funkcija z = f(x, y) naziva se glavni linearni dio u odnosu na Dx i Du prirasta funkcije Dz u točki (x, y).

Za funkciju proizvoljnog broja varijabli:

Primjer 3.1. Pronađite potpuni diferencijal funkcije.

Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f(x, y) u točki (x 0, y 0) je prirast aplikate (z koordinate) tangentne ravnine na površinu kada se kreće od točke (x 0, y 0) do točke (x 0 + Dh, u 0 +Du).

Parcijalne derivacije viših redova. : Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekoj domeni D, tada će i njezine parcijalne derivacije biti definirane u istoj domeni ili njenom dijelu. Te ćemo derivacije zvati parcijalne derivacije prvog reda.

Derivacije ovih funkcija bit će parcijalne derivacije drugog reda.

Nastavljajući diferencirati dobivene jednakosti, dobivamo parcijalne derivacije viših redova. Definicija. Parcijalne izvedenice oblika itd. nazivaju se mješoviti derivati. Schwartzov teorem:

Ako su parcijalne derivacije viših redova f.m.p. su kontinuirane, tada se mješovite derivacije istog reda razlikuju samo po redu diferenciranja = jedna od druge.

Ovdje je n simbolička snaga izvedenice, koja se zamjenjuje stvarnom snagom nakon podizanja izraza u zagradama na nju.

14. Jednadžba tangentne ravnine i normale površine!

Neka su N i N 0 točke ove plohe. Nacrtajmo ravnu liniju NN 0. Ravnina koja prolazi točkom N 0 naziva se tangentna ravnina na površinu ako kut između sekante NN 0 i te ravnine teži nuli, kada udaljenost NN 0 teži nuli.

Definicija. Normalan na površinu u točki N 0 je pravac koji prolazi točkom N 0 okomito na ravninu tangente na tu površinu.

U bilo kojoj točki površina ima ili samo jednu tangentnu ravninu ili je uopće nema.

Ako je površina dana jednadžbom z = f(x, y), gdje je f(x, y) funkcija diferencijabilna u točki M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u točki N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) postoji i ima jednadžbu:

Jednadžba normale na površinu u ovoj točki:

Geometrijski smisao ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli f(x, y) u točki (x 0, y 0) je priraštaj aplikate (z koordinate) tangentne ravnine na površinu kada se kreće od točke (x 0 , y 0) do točke (x 0 + Dx, y 0 +Du).

Kao što se vidi, geometrijsko značenje Ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

16. Skalarno polje i njegove karakteristike.Linije razine, derivacije po smjeru, gradijent skalarnog polja.

Ako je svakoj točki u prostoru pridružena skalarna veličina, tada nastaje skalarno polje (na primjer, temperaturno polje, polje električni potencijal). Ako se unese Kartezijeve koordinate, tada također označavamo ili Polje može biti ravno ako je središnje (kuglasti) ako cilindrični ako

Ravne površine i linije: Svojstva skalarnih polja mogu se vizualno proučavati pomoću ravnih površina. To su površine u prostoru na kojima zauzima konstantna vrijednost. Njihova jednadžba je: . U ravnom skalarnom polju, linije razine su krivulje na kojima polje ima konstantnu vrijednost: U nekim slučajevima linije razine mogu degenerirati u točke, a površine razine u točke i krivulje.

Derivacija smjera i gradijent skalarnog polja:

Neka je jedinični vektor s koordinatama skalarno polje. Derivacija smjera karakterizira promjenu polja u određenom smjeru i izračunava se pomoću formule Derivacija smjera je skalarni umnožak vektora i vektora s koordinatama , koji se naziva gradijent funkcije i označava . Budući da , gdje je kut između i , tada vektor označava smjer najbržeg porasta polja i njegov je modul jednak derivaciji u tom smjeru. Budući da su komponente gradijenta parcijalne derivacije, nije teško dobiti sljedeća svojstva gradijenta:

17. Ekstremumi f.m.p. Lokalni ekstrem f.m.p., nužni i dovoljni uvjeti za njegovo postojanje. Najveća i najmanja vrijednost f.m.p. u ograničenom zatvoreno područje.

Neka je funkcija z = ƒ(x;y) definirana u nekoj domeni D, točka N(x0;y0)

Točka (x0;y0) se zove maksimalna točka funkcije z=ƒ(x;y) ako postoji d-okolica točke (x0;y0) takva da za svaku točku (x;y) različitu od (xo;yo), iz ove okoline vrijedi nejednakost ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(x0;y0). Vrijednost funkcije u točki maksimuma (minimuma) naziva se maksimum (minimum) funkcije. Maksimum i minimum funkcije nazivamo njezinim ekstremima. Primijetite da, po definiciji, točka ekstrema funkcije leži unutar domene definicije funkcije; maksimum i minimum imaju lokalni (lokalni) karakter: vrijednost funkcije u točki (x0; y0) uspoređuje se s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu (x0; y0). U području D funkcija može imati nekoliko ekstrema ili niti jedan.

Potrebni(1) i dovoljni(2) uvjeti za postojanje:

(1) Ako u točki N(x0;y0) diferencijabilna funkcija z=ƒ(x;y) ima ekstrem, tada su njene parcijalne derivacije u toj točki jednake nuli: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0. Komentar. Funkcija može imati ekstrem u točkama u kojima ne postoji barem jedna od parcijalnih derivacija. Točka u kojoj su parcijalne derivacije prvog reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) jednake nuli, tj. f"x=0, f"y=0, naziva se stacionarna točka funkcije z.

Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji barem jedna parcijalna derivacija nazivamo kritičnim točkama

(2) Neka funkcija ƒ(x;y) u stacionarnoj točki (xo; y) i neka njezina okolina imaju kontinuirane parcijalne derivacije do uključivo drugog reda. Izračunajmo u točki (x0;y0) vrijednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označimo Zatim:

1. ako je Δ > 0, tada funkcija ƒ(x;y) u točki (x0;y0) ima ekstrem: maksimum ako je A< 0; минимум, если А > 0;

2. ako je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. U slučaju Δ = 0, može, ali i ne mora postojati ekstrem u točki (x0;y0). Potrebno je više istraživanja.

Tangentna ravnina i normala na površinu.

tangentna ravnina

Definicija. Normalan na površinu u točki N 0 je pravac koji prolazi točkom N 0 okomito na ravninu tangente na tu površinu.

U bilo kojoj točki površina ima ili samo jednu tangentnu ravninu ili je uopće nema.

Ako je površina dana jednadžbom z = f(x, y), gdje je f(x, y) funkcija diferencijabilna u točki M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u točki N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednadžbu:

Jednadžba normale na površinu u ovoj točki je:

Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer. Nađite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu

u točki M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravnine:

Normalna jednadžba:

20.4. Približni izračuni korištenjem ukupnih razlika.

Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u točki (x, y). Nađimo ukupni prirast ove funkcije:

Ako u ovu formulu zamijenimo izraz

tada dobivamo približnu formulu:

Primjer. Izračunajte približno vrijednost na temelju vrijednosti funkcije pri x = 1, y = 2, z = 1.

Iz zadanog izraza određujemo x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Nađimo vrijednost funkcije u(x, y, z) =

Nalaženje parcijalnih derivacija:

Ukupni diferencijal funkcije u jednak je:

Točna vrijednost ovog izraza je 1,049275225687319176.

20.5. Parcijalne derivacije viših redova.

Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekoj domeni D, tada će i njezine parcijalne derivacije biti definirane u istoj domeni ili njenom dijelu.

Ove izvedenice ćemo nazvati parcijalne derivacije prvog reda.

Izvodnice ovih funkcija bit će parcijalne derivacije drugog reda.

Nastavljajući diferencirati dobivene jednakosti, dobivamo parcijalne derivacije viših redova.

Definicija. Parcijalne izvedenice oblika itd. se zovu mješovite izvedenice.

Teorema. Ako su funkcija f(x, y) i njezine parcijalne derivacije definirane i kontinuirane u točki M(x, y) i njezinoj okolici, tada vrijedi sljedeća relacija:

Oni. parcijalne derivacije viših redova ne ovise o redu diferenciranja.

Diferencijali višeg reda definiraju se na sličan način.

…………………

Ovdje je n simbolička snaga izvedenice, koja se zamjenjuje stvarnom snagom nakon podizanja izraza u zagradama na nju.

Za funkciju jedne varijable g = f(x) u točki x 0 geometrijsko značenje diferencijala označava priraštaj ordinate tangente povučene na graf funkcije u točki s apscisom x 0 kada se kreće do točke x 0 +  x. A diferencijal funkcije dviju varijabli u tom smislu je inkrement prstima tangens avion nacrtana na površinu zadanu jednadžbom z = f(x, g) , u točki M 0 (x 0 , g 0 ) kada se kreće do točke M(x 0 +  x, g 0 +  g). Definirajmo tangentnu ravninu na neku površinu:

Df . Ravnina koja prolazi kroz točku R 0 površine S, nazvao tangentna ravnina u danoj točki, ako je kut između te ravnine i sekante koja prolazi kroz dvije točke R 0 I R(bilo koja točka na površini S) , teži nuli kada je točka R teži duž ove površine do točke R 0 .

Neka površina S zadan jednadžbom z = f(x, g). Tada se može pokazati da ova površina ima u točki P 0 (x 0 , g 0 , z 0 ) tangentna ravnina ako i samo ako funkcija z = f(x, g) je diferencijabilan u ovoj točki. U ovom slučaju, tangentna ravnina dana je jednadžbom:

z – z 0 = +
(6).

§5. Derivacija smjera, gradijent funkcije.

Parcijalne derivacije funkcija g= f(x 1 , x 2 .. x n ) po varijablama x 1 , x 2 . . . x n izraziti brzinu promjene funkcije u smjeru koordinatnih osi. Na primjer, je brzina promjene funkcije za x 1 – tj. pretpostavlja se da se točka koja pripada domeni definiranosti funkcije giba samo paralelno s osi OH 1 , a sve ostale koordinate ostaju nepromijenjene. No, može se pretpostaviti da se funkcija može promijeniti i u nekom drugom smjeru koji se ne podudara sa smjerom niti jedne od osi.

Razmotrimo funkciju tri varijable: u= f(x, g, z).

Popravimo poantu M 0 (x 0 , g 0 , z 0 ) i neka usmjerena pravac (os) l, prolazeći kroz ovu točku. Neka M(x, g, z) - proizvoljna točka ovog pravca i M 0 M- udaljenost od M 0 prije M.

u = f (x, g, z) – f(x 0 , g 0 , z 0 ) – prirast funkcije u točki M 0 .

Nađimo omjer prirasta funkcije i duljine vektora
:

Df . Derivacija funkcije u = f (x, g, z) prema l u točki M 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije i duljine vektora M 0 Mkako potonji teži 0 (ili, što je isto, kao M Do M 0 ):

(1)

Ova derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u točki M 0 u pravcu l.

Neka os l (vektor M 0 M) forme sa sjekirama VOL, OY, OZ kutovi
odnosno.

Označimo x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Zatim vektor M 0 M = (x - x 0 , g - g 0 , z - z 0 )=
i njegove kosinuse smjera:

;

(4).

(4) – formula za izračun derivacije smjera.

Promotrimo vektor čije su koordinate parcijalne derivacije funkcije u= f(x, g, z) u točki M 0 :

dipl u - funkcijski gradijent u= f(x, g, z) u točki M(x, g, z)

Svojstva gradijenta:

Zaključak: duljina gradijenta funkcije u= f(x, g, z) – najveća je moguća vrijednost u ovom trenutku M(x, g, z) , i smjer vektora dipl u poklapa se sa smjerom vektora koji napušta točku M, po kojoj se funkcija najbrže mijenja. Odnosno, smjer gradijenta funkcije dipl u - je smjer najbržeg porasta funkcije.

$E \podskup \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni maksimum u točki $x_(0) \in E$, ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da za sve $x \in U$ vrijedi nejednakost $f\left(x\right ) \leqslant f je zadovoljen \left(x_(0)\right)$.

Lokalni maksimum naziva se strog , ako se susjedstvo $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\lijevo(x\desno)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni minimum u točki $x_(0) \in E$, ako postoji okolina $U$ točke $x_(0)$ takva da nejednakost $f\left(x\right) \geqslant f vrijedi za sve $ x \u U$ \lijevo(x_(0)\desno)$.

Lokalni minimum naziva se strogim ako se susjedstvo $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstrem kombinira koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorem ( nužan uvjet ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u točki $x_(0) \in E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u ovoj točki, tada je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Jednak nuli diferencijal je ekvivalentan činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je – . Označimo $\phi \lijevo(t\desno) = f \lijevo(x_(0)+th\desno)$, gdje je $h$ proizvoljni vektor. Funkcija $\phi$ definirana je za vrijednosti $t$ koje su dovoljno male u apsolutnoj vrijednosti. Osim toga, diferencijabilan je u odnosu na , i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum u točki x $0$. To znači da funkcija $\phi$ pri $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \lijevo(x_(0)\desno) = 0$, tj. funkcija $f$ u točki $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Točke u kojima je razlika nula, tj. oni kod kojih su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarni. Kritične točke funkcije $f$ su one točke u kojima $f$ nije diferencijabilan ili je jednak nuli. Ako je točka stacionarna, onda iz ovoga ne slijedi da funkcija ima ekstrem u ovoj točki.

Primjer 1.
Neka $f \lijevo(x,y\desno)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tako da je $\left(0,0\right)$ stacionarna točka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj točki. Doista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini točke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2.
Funkcija $f \lijevo(x,y\desno) = x^(2) − y^(2)$ ima stacionarnu točku u svom ishodištu, ali je jasno da u toj točki nema ekstrema.

Teorem ( dovoljan uvjet ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencijabilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka $x_(0) \in E$ bude stacionarna točka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \lijevo(x_(0)\desno)h^(i)h^(j).$ $ Onda

ako je $Q_(x_(0))$ – , tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen, a maksimum ako je oblik negativno određen;
ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ nedefiniran, tada funkcija $f$ u točki $x_(0)$ nema ekstrem.

Poslužimo se proširenjem prema Taylorovoj formuli (12,7 str. 292). Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u točki $x_(0)$ jednake nuli, dobivamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \lijevo(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, tada će desna strana biti pozitivna za bilo koji vektor $h$ dovoljno male duljine.
Dakle, došli smo do zaključka da u određenoj okolini točke $x_(0)$ vrijedi nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ako samo $ x \neq x_ (0)$ (stavljamo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u točki $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum, čime je prvi dio našeg teorema dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \lijevo(h_(1)\desno)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \lijevo(h_(2)\desno)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Tada dobivamo $$f \lijevo(x_(0)+th_(1)\desno)−f \lijevo(x_(0)\desno) = \frac(1)(2) \lijevo[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \lijevo(th_(1)\desno) \desno] = \frac(1)(2) t^(2) \ lijevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno male $t>0$, desna ruka strana je pozitivna. To znači da u bilo kojem susjedstvu točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, nalazimo da u bilo kojem susjedstvu točke $x_(0)$ funkcija $f$ poprima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno s prethodnim, znači da u točki $x_(0)$ funkcija $f$ nema ekstrem.

Razmotrimo poseban slučaj ovog teorema za funkciju $f \left(x,y\right)$ dviju varijabli definiranih u određenom susjedstvu točke $\left(x_(0),y_(0)\right)$ i koja ima kontinuirani parcijalni izvedenice prvog u ovom susjedstvu i drugog reda. Pretpostavimo da je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna točka i označimo $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \lijevo(x_(0) ,y_(0)\desno), a_(12)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično x \djelomično y) \lijevo(x_( 0 ), y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\djelomično^(2) f)(\djelomično y^(2)) \lijevo(x_(0), y_(0)\desno ) .$$ Tada prethodni teorem ima sljedeći oblik.

Teorema
Neka $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Zatim:

ako je $\Delta>0$, tada funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $\left(x_(0),y_(0)\right)$, odnosno minimum ako je $a_(11)> 0$ , a maksimalno ako je $a_(11)<0$;
ako $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

Pronalaženje stacionarnih točaka;
Pronađite diferencijal 2. reda u svim stacionarnim točkama
Koristeći dovoljan uvjet za ekstrem funkcije mnogih varijabli, razmatramo diferencijal 2. reda u svakoj stacionarnoj točki

Istražite funkciju za ekstrem $f \lijevo(x,y\desno) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Riješenje
Nađimo parcijalne derivacije 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavimo i riješimo sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Iz 2. jednadžbe izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ - zamijenimo to u 1. jednadžbu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobivene su 2 stacionarne točke:
1) $y=0 \Desna strelica x = 0, M_(1) = \lijevo(0, 0\desno)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lijevo(\frac(1)(2), 1\desno)$
Provjerimo da li je zadovoljen dovoljan uvjet za ekstremum:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Za točku $M_(1)= \lijevo(0,0\desno)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(0,0\desno)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Za točku $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(1,\frac(1)(2)\desno)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, što znači da u točki $M_(2)$ postoji ekstrem, a budući da je $A_(2)> 0$, onda je ovo minimum.
Odgovor: Točka $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna točka funkcije $f$.
Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Riješenje
Pronađimo stacionarne točke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Sastavimo i riješimo sustav: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \lijevo(-1, 2\desno)$ je stacionarna točka.
Provjerimo je li dovoljan uvjet za ekstrem ispunjen: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \lijevo(-1,2\desno)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odgovor: nema krajnosti.