Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kad čovjek čuje za piramidu, zamišlja ogromne građevine u Egiptu. Ovako izgledaju oni najjednostavniji. Ali događaju se različiti tipovi i oblici, što znači da će formula za izračun geometrijskih oblika biti drugačija.

piramida – geometrijski lik , označavajući i predstavljajući nekoliko lica. U biti, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama su trokuti koji se spajaju u jednoj točki - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:

• ispravan;
• krnji.

U prvom slučaju baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure ugodit će oku perfekcionista.

U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, krnja piramida je poliedar s presjekom formiranim paralelno s bazom.

Termini i simboli

Ključni pojmovi:

• Pravilni (jednakostranični) trokut- lik s tri jednaka kuta i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi kutovi su 60 stupnjeva. Figura je najjednostavniji pravilni poliedar. Ako ta figura leži na bazi, tada će se takav poliedar nazvati pravilnim trokutastim. Ako je baza kvadrat, piramida će se zvati pravilna četverokutna piramida.
• Vertex– najviša točka gdje se spajaju rubovi. Visinu vrha oblikuje ravna linija koja se proteže od vrha do baze piramide.
• Rub– jedna od ravnina poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnja piramida.
• Odjeljak- ravna figura nastala kao rezultat disekcije. Ne treba ga brkati s odjeljkom, budući da odjeljak također pokazuje što se nalazi iza odjeljka.
• Apotema- segment nacrtan od vrha piramide do njezine baze. To je ujedno i visina lica na kojoj se nalazi druga visinska točka. Ova definicija vrijedi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije krnja piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta postat će apotem.

Formule za površine

Nađite površinu bočne površine piramide bilo koja vrsta može se izvesti na nekoliko načina. Ako lik nije simetričan i mnogokut je sa različite strane, onda je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, trebate izračunati površinu svakog lica i zbrojiti ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračun kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima također će imati razlike.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je puno lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će u nastavku biti dane odgovarajuće formule. Inače biste morali sve ispisivati ​​na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunjivalo i zbunjivalo.

Osnovna formula za izračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:

S=½ Pa (P je opseg baze i apotem)

Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima bazu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5, a svi su jednaki 10 cm. Neka je apotem jednak 5 cm. Prvo treba pronaći opseg. Budući da je svih pet lica baze isto, možete ga pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.

Bočna površina je ispravna trokutasta piramida najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotem, b lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Zadan je lik s apotemom 5 cm i osnovnim rubom 8 cm. Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, a apotem. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četverokutni lik dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.

Ovdje prvo morate pronaći opsege baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje zamijeniti vrijednosti u glavnu formulu i dobivamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ove izračune s ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako to još trebate učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.

Video

Ovaj video će vam pomoći da konsolidirate informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Učenici se susreću s konceptom piramide puno prije proučavanja geometrije. Kriva su poznata velika egipatska svjetska čuda. Stoga, kada započnu proučavati ovaj prekrasni poliedar, većina učenika to već jasno zamišlja. Sve gore navedene atrakcije imaju pravilan oblik. Što se dogodilo pravilna piramida, i koja svojstva ima, raspravljat ćemo dalje.

U kontaktu s

Definicija

Postoji dosta definicija piramide. Od davnina je bio vrlo popularan.

Na primjer, Euklid ju je definirao kao tjelesnu figuru koja se sastoji od ravnina koje se, polazeći od jedne, skupljaju u određenoj točki.

Heron je dao precizniju formulaciju. Inzistirao je da je to brojka koja ima bazu i ravnine unutra u obliku trokuta, skupljajući se u jednoj točki.

Na temelju moderne interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-kuta i k ravnih trokutastih likova, koji imaju jednu zajedničku točku.

Pogledajmo to detaljnije, od kojih elemenata se sastoji:

• K-kut se smatra osnovom figure;
• Kao rubovi bočnog dijela strše 3-kutni oblici;
• gornji dio iz kojeg potječu bočni elementi naziva se vrh;
• svi segmenti koji spajaju vrh nazivaju se bridovi;
• ako se ravna crta spusti od vrha do ravnine figure pod kutom od 90 stupnjeva, tada je njezin dio sadržan u unutarnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu može se povući okomica, koja se naziva apotem, na stranu našeg poliedra.

Broj bridova izračunava se pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-kuta. Koliko stranica ima poliedar kao što je piramida može se odrediti pomoću izraza k+1.

Važno! Piramida pravilnog oblika je stereometrijski lik čija je osnovna ravnina k-kut s jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava, koji su samo njoj svojstveni. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Bridovi piramide koji ograničavaju bočne elemente imaju jednake brojčane vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokračni trokuti.
4. Osnovica visine lika pada u središte mnogokuta, a istovremeno je središnja točka upisanog i opisanog.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
6. Sve bočne površine imaju isti kut nagiba u odnosu na bazu.

Hvala svima navedena svojstva, izvođenje proračuna elemenata puno je lakše. Na temelju navedenih svojstava obraćamo pozornost na dva znaka:

1. U slučaju kada poligon stane u krug, bočne strane će imati jednake kutove s bazom.
2. Kada se opisuje krug oko poligona, svi rubovi piramide koji izlaze iz vrha imat će jednake dužine a s osnovicom jednaki kutovi.

Osnova je kvadrat

Pravilna četverokutna piramida - poliedar čija je baza kvadrat.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Kvadrat je prikazan na ravnini, ali se temelji na svim svojstvima pravilnog četverokuta.

Na primjer, ako trebate spojiti stranicu kvadrata s njegovom dijagonalom, upotrijebite sljedeću formulu: Dijagonala je jednaka umnošku stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Temelji se na pravilnom trokutu

Pravilna trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.

Ako je baza pravilan trokut, a bočni bridovi su jednaki bridovima baze, tada je takav lik nazvan tetraedar.

Sva lica tetraedra su jednakostranični trokuti. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračuna:

• kut nagiba rebara na bilo koju bazu je 60 stupnjeva;
• veličina svih unutarnjih lica također je 60 stupnjeva;
• bilo koje lice može djelovati kao baza;
• , nacrtani unutar figure, to su jednaki elementi.

Odsjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta odjeljaka ravan. Često u školski tečaj geometrije rade s dva:

• aksijalni;
• paralelno s osnovom.

Osni presjek dobiva se presjekom poliedra s ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne bridove i os. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Ravnina rezanja ograničena je linijama sjecišta sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilna piramida osni presjek je jednakokračni trokut.

Ako je rezna ravnina paralelna s bazom, rezultat je druga opcija. U ovom slučaju imamo lik presjeka sličan bazi.

Na primjer, ako je na bazi kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manjih dimenzija.

Pri rješavanju zadataka pod ovim uvjetom koriste znakove i svojstva sličnosti figura, na temelju Thalesovog teorema. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako je ravnina povučena paralelno s osnovicom i ona odsijeca gornji dio poliedra, tada se u donjem dijelu dobiva pravilna krnja piramida. Tada se za baze krnjeg poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokračni trapezi. Osni presjek je također jednakokračan.

Da bi se odredila visina krnjeg poliedra, potrebno je ucrtati visinu aksijalni presjek, odnosno u trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju riješiti u školskom tečaju geometrije su pronalaženje površine i obujma piramide.

Postoje dvije vrste vrijednosti površine:

• područje bočnih elemenata;
• površina cijele površine.

Već iz samog naziva jasno je o čemu govorimo. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate zbrojiti površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnog trokuta. Pokušajmo izvesti formulu za područje bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog trokuta je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotem.
2. Broj bočnih ravnina ovisi o vrsti k-kuta na bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravnine. Dakle, potrebno je zbrojiti površine četiri figure Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a = Rosn, gdje je Rosn opseg baze. A izraz 1/2*Rosn je njegov poluopseg.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka proizvodu polu-perimetra baze i apoteme: Sside = Rosn * L.

Kvadrat puna površina piramida se sastoji od zbroja površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = S stranica + Sbas.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednak umnošku površine osnovne ravnine i visine podijeljene s tri: V=1/3*Sbas*H, gdje je H visina poliedra.

Što je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četverokutne piramide

Tipično geometrijski problemi u avionu i unutra trodimenzionalni prostor su problemi određivanja površina različitih figura. U ovom članku predstavljamo formulu za bočnu površinu pravilne četverokutne piramide.

Što je piramida?

Dajmo striktno geometrijska definicija piramide. Pretpostavimo da imamo mnogokut s n stranica i n kutova. Izaberimo proizvoljnu točku u prostoru koja neće biti u ravnini navedenog n-kuta i spojimo je sa svakim vrhom poligona. Dobit ćemo lik određenog volumena, koji se naziva n-kutna piramida. Na primjer, pokažimo na donjoj slici kako izgleda peterokutna piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena baza (n-kut) i njen vrh. Ti su elementi međusobno povezani s n trokuta koji u opći slučaj nisu međusobno jednaki. Okomica koja se s vrha spušta na bazu naziva se visina lika. Ako siječe bazu u geometrijskom središtu (poklapa se sa središtem mase mnogokuta), tada se takva piramida naziva ravnom crtom. Ako je uz ovaj uvjet baza pravilan mnogokut, tada se cijela piramida naziva pravilnom. Slika ispod pokazuje kako izgledaju pravilne piramide s trokutastim, četverokutnim, peterokutnim i šesterokutnim bazama.

Površina piramide

Prije nego što prijeđemo na pitanje bočne površine pravilne četverokutne piramide, trebali bismo se detaljnije zadržati na konceptu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaku piramidu čini skup lica ili stranica. Jedna stranica je baza, a n stranica su trokuti. Površina cijelog lika je zbroj površina svake njegove stranice.

Prikladno je proučavati površinu pomoću primjera razvoja figure. Razvoj pravilne četverokutne piramide prikazan je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.

Ukupna površina svih trokuta koji tvore stranice figure obično se naziva bočna površina. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četverokutnu piramidu.

Bočna površina četverokutne pravilne piramide

Da bismo izračunali bočnu površinu navedene figure, ponovno se okrećemo gore navedenom razvoju. Pretpostavimo da znamo stranicu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Vidi se da svaki od četiri jednaka trokuta ima osnovicu duljine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz tečaja geometrije znamo da je površina S t trokuta jednaka umnošku osnovice i visine koju treba podijeliti na pola. To je:

Gdje je h b - visina jednakokračan trokut, nacrtana na bazu a. Za piramidu, ova visina je apotem. Sada preostaje pomnožiti dobiveni izraz s 4 da bi se dobila površina S b bočne plohe dotične piramide:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranicu baze. Ako je potonji poznat u većini uvjeta problema, tada se prvi mora izračunati uz poznavanje drugih veličina. Ovdje su formule za izračunavanje apoteme h b za dva slučaja:

• kada je poznata duljina bočnog rebra;
• kada je poznata visina piramide.

Ako duljinu bočnog brida (stranice jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada se apotem h b određuje formulom:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorinog poučka na trokut bočne površine.

Ako je poznata visina h piramide, tada se apotem h b može izračunati na sljedeći način:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Također nije teško dobiti ovaj izraz ako pogledamo unutar piramide pravokutni trokut, koju tvore katete h i a/2 i hipotenuza h b.

Pokažimo kako primijeniti ove formule rješavajući dva zanimljiva problema.

Problem s poznatom površinom

Poznato je da je površina bočne površine četverokuta 108 cm 2. Potrebno je izračunati duljinu njezina apotema h b ako je visina piramide 7 cm.

Napišimo formulu za površinu S b bočne plohe u smislu visine. Imamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b. Kvadriramo obje strane jednadžbe:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

Da bismo pronašli vrijednost a, mijenjamo varijable:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Zamijenimo sada poznate vrijednosti i odlučiti kvadratna jednadžba:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Zapisali smo samo pozitivni korijen ove jednadžbe. Tada će stranice baze piramide biti jednake:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Da biste dobili duljinu apoteme, samo upotrijebite formulu:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Bočna površina Keopsove piramide

Odredimo vrijednost bočne površine najvećeg Egipatska piramida. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa stranicom duljine 230,363 metra. Visina strukture izvorno je bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b, dobivamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Pronađena vrijednost nešto je veća od površine 17 nogometnih igrališta.

Površina piramide. U ovom ćemo članku razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Dopustite mi da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je baza pravilan poligon, vrh piramide je projiciran u središte tog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokračni trokut.Visina ovog trokuta izvučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotem, SF - apotem:

U dolje prikazanoj vrsti problema morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Blog je već raspravljao o nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo o pronalaženju elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub).

U Zadaci Jedinstvenog državnog ispita U pravilu se razmatraju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakvih problema s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:

Razmotrimo zadatke:

Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Možemo izračunati površinu strane piramide koristeći:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočni rubovi su jednaki 61. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađimo površinu trokuta pomoću Heronove formule:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36 jer je to kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):

*Površina trokuta jednaka je polovici umnoška baze i visine povučene na tu bazu.

Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen žutom bojom):

Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

To znači da je površina bočne površine piramide:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite bočnu površinu ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:

P- osnovni opseg, l- apotem piramide

*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se te formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: