Video lekcija "Funkcija y = sinx, ee svojstva i graf" predstavlja vizualni materijal o ovoj temi, kao i komentare na nju. Tijekom demonstracije se razmatra vrsta funkcije, njezina svojstva, ponašanje na različitim segmentima koordinatne ravnine, detaljno se opisuju značajke grafa, opisuje se primjer grafičko rješenje trigonometrijske jednadžbe koji sadrži sinus. Uz pomoć video lekcije, učitelju je lakše formulirati učenikovo razumijevanje ove funkcije i naučiti ih grafički rješavati probleme.
Video lekcija koristi alate za olakšavanje pamćenja i razumijevanja obrazovne informacije. U prikazu grafova i opisivanju rješenja problema koriste se animacijski efekti koji pomažu u razumijevanju ponašanja funkcije i sekvencijalnom prikazu napredovanja rješenja. Također, izgovaranje gradiva nadopunjuje ga važnim komentarima koji zamjenjuju učiteljevo objašnjenje. Tako, ovaj materijal Može se koristiti i kao vizualna pomoć. I kao samostalan dio sata umjesto učiteljevog objašnjenja nove teme.
Demonstracija počinje uvođenjem teme lekcije. Prikazana je sinusna funkcija čiji je opis označen u okviru za pamćenje - s=sint, u kojem argument t može biti bilo koji realni broj. Opis svojstava ove funkcije počinje s domenom definiranja. Napominje se da je domena definiranja funkcije cijela numerička os realnih brojeva, odnosno D(f)=(- ∞;+∞). Drugo svojstvo je neparnost funkcije sinusa. Učenici se podsjećaju da je ovo svojstvo proučavano u 9. razredu, kada je zabilježeno da je za neparna funkcija vrijedi jednakost f(-x)=-f(x). Za sinus, potvrda neparnosti funkcije prikazana je u jedinični krug, podijeljen na četvrtine. Znajući koji predznak funkcija uzima u različitim četvrtinama koordinatne ravnine, primjećuje se da je za argumente sa suprotnim predznakom, koristeći primjer točaka L(t) i N(-t), uvjet neparnosti zadovoljen za sinus. Stoga je s=sint neparna funkcija. To znači da je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište.
Treće svojstvo sinusa pokazuje intervale između rastućih i opadajućih funkcija. Primjećuje da ova funkcija raste na segmentu, a opada na segmentu [π/2;π]. Svojstvo je prikazano na slici koja prikazuje jediničnu kružnicu i pri kretanju iz točke A u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ordinata raste, odnosno vrijednost funkcije raste na π/2. Pri pomicanju iz točke B u C, odnosno pri promjeni kuta od π/2 do π, vrijednost ordinate se smanjuje. U trećoj četvrtini kružnice, pri kretanju od točke C do točke D, ordinata se smanjuje od 0 do -1, odnosno smanjuje se vrijednost sinusa. U posljednjoj četvrtini, kada se kreće od točke D do točke A, vrijednost ordinate raste od -1 do 0. Dakle, možemo izvući opći zaključak o ponašanju funkcije. Zaslon prikazuje izlaz koji sint raste na segmentu [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], opada na intervalu [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] za bilo koji cijeli broj k.
Četvrto svojstvo sinusa odnosi se na ograničenost funkcije. Primijećeno je da je funkcija sint ograničena i gore i dolje. Učenici se podsjećaju na informacije iz algebre 9. razreda kada su se upoznali s pojmom ograničenosti funkcije. Na ekranu se prikazuje uvjet funkcije odozgo ograničene za koju postoji određeni broj za koji u bilo kojoj točki funkcije vrijedi nejednakost f(x)>=M. Također se prisjećamo uvjeta funkcije ograničene odozdo, za koju postoji broj m manji od svake točke funkcije. Za sint je zadovoljen uvjet -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Peto svojstvo razmatra najmanju i najveću vrijednost funkcije. Bilježi se postizanje najmanje vrijednosti -1 u svakoj točki t=-(π/2)+2πk, a najveće u točkama t=(π/2)+2πk.
Na temelju razmatranih svojstava na segmentu se konstruira graf funkcije sint. Za konstrukciju funkcije koriste se tablične vrijednosti sinusa u odgovarajućim točkama. Na koordinatnoj ravnini označene su koordinate točaka π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Označavanjem tabličnih vrijednosti funkcije u tim točkama i njihovim povezivanjem glatkom linijom gradimo grafikon.
Za crtanje grafa funkcije sint na segmentu [-π;π] koristi se svojstvo simetrije funkcije u odnosu na ishodište koordinata. Slika pokazuje kako se linija dobivena kao rezultat konstrukcije glatko prenosi simetrično u odnosu na ishodište koordinata na segment [-π;0].
Koristeći svojstvo funkcije sint, izraženo redukcijskom formulom sin(x+2π) = sin x, primjećuje se da se svakih 2π sinusni graf ponavlja. Dakle, na intervalu [π; 3π] graf će biti isti kao na [-π;π]. Dakle, graf ove funkcije predstavlja ponavljajuće fragmente [-π;π] kroz cijelu domenu definicije. Posebno se napominje da se takav graf funkcije naziva sinusoida. Također se uvodi koncept sinusnog vala - fragment grafa izgrađen na segmentu [-π;π], i luk sinusoide izgrađen na segmentu . Ti se fragmenti ponovno prikazuju za pamćenje.
Napominje se da je funkcija sint kontinuirana funkcija u cijeloj domeni definicije, a također da raspon vrijednosti funkcije leži u skupu vrijednosti segmenta [-1;1].
Na kraju video lekcije razmatra se grafičko rješenje jednadžbe sin x=x+π. Očito je da će grafičko rješenje jednadžbe biti presjek grafa funkcije zadane izrazom s lijeve strane i funkcije zadane izrazom s desne strane. Za rješavanje zadatka konstruira se koordinatna ravnina na kojoj se ocrtava odgovarajuća sinusoida y=sin x, te se konstruira pravac koji odgovara grafu funkcije y=x+π. Konstruirani grafovi sijeku se u jednoj točki B(-π;0). Stoga će x=-π biti rješenje jednadžbe.
Video lekcija "Funkcija y = sinx, ee svojstva i graf" pomoći će povećati učinkovitost tradicionalne lekcije matematike u školi. Pri izvođenju učenja na daljinu možete koristiti i vizualni materijal. Priručnik može pomoći u svladavanju teme učenicima kojima je potrebna dodatna nastava za dublje razumijevanje gradiva.
DEKODIRANJE TEKSTA:
Tema naše lekcije je "Funkcija y = sin x, njezina svojstva i graf."
Prethodno smo se već upoznali s funkcijom s = sin t, gdje je tϵR (es je jednak sinus te, gdje te pripada skupu realnih brojeva). Proučimo svojstva ove funkcije:
SVOJSTVA 1. Područje definiranja je skup realnih brojeva R (er), odnosno D(f) = (- ; +) (de od ef predstavlja interval od minus beskonačno do plus beskonačno).
SVOJSTVO 2. Funkcija s = sin t je neparna.
U lekcijama 9. razreda naučili smo da se funkcija y = f (x), x ϵX (y je jednak ef od x, gdje x pripada skupu x je velik) naziva neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost
f (- x) = - f (x) (eff od minus x jednako je minus ef od x).
A kako su ordinate točaka L i N koje su simetrične u odnosu na apscisnu os suprotne, tada je sin(- t) = -sint.
Odnosno, s = sin t je neparna funkcija i graf funkcije s = sin t je simetričan u odnosu na ishodište u pravokutnom koordinatnom sustavu tOs(te o es).
Razmotrimo SVOJSTVO 3. Na intervalu [ 0; ] (od nule do pi za dva) funkcija s = sin t raste i opada na segmentu [; ](od pi za dva do pi).
To se jasno vidi iz slika: kada se točka kreće duž brojčani krug od nule do pi za dva (od točke A do B), ordinata se postupno povećava od 0 do 1, a kada se kreće od pi za dva do pi (od točke B do C), ordinata se postupno smanjuje od 1 do 0.
Kada se točka pomiče duž treće četvrtine (od točke C do točke D), ordinata pomične točke opada od nule do minus jedan, a kada se kreće duž četvrte četvrtine, ordinata raste od minus jedan do nule. Stoga možemo izvesti opći zaključak: funkcija s = sin t raste na intervalu
(od minus pi za dva plus dva pi ka do pi za dva plus dva pi ka), i smanjuje se na segmentu [; (od pi sa dva plus dva pi ka do tri pi sa dva plus dva pi ka), gdje
(ka pripada skupu cijelih brojeva).
SVOJSTVO 4. Funkcija s = sint je omeđena odozgo i odozdo.
Iz tečaja 9. razreda prisjetite se definicije ograničenosti: funkcija y = f (x) naziva se ograničenom odozdo ako sve vrijednosti funkcije nisu manje od određenog broja m m tako da za bilo koju vrijednost x iz domene definiranosti funkcije vrijedi nejednakost f (x) ≥ m(ef od x je veći ili jednak em). Kaže se da je funkcija y = f (x) ograničena odozgo ako sve vrijednosti funkcije nisu veće od određenog broja M, to znači da postoji broj M tako da za bilo koju vrijednost x iz domene definiranosti funkcije vrijedi nejednakost f (x) ≤ M(eff od x je manji ili jednak em).Funkcija se naziva ograničenom ako je ograničena i odozdo i odozgo.
Vratimo se našoj funkciji: ograničenost slijedi iz činjenice da je za svaki te nejednakost točna - 1 ≤ sint≤ 1. (sinus od te je veći ili jednak minus jedan, ali manji ili jednak jedan).
SVOJSTVO 5. Najmanja vrijednost funkcije jednaka je minus jedan i funkcija postiže tu vrijednost u bilo kojoj točki oblika t = (te je jednako minus pi za dva plus dva vrha, a najveća vrijednost funkcije je jednaka na jedan i postiže se funkcijom u bilo kojoj točki oblika t = (te je jednako pi puta dva plus dva pi ka).
Najveća i najmanja vrijednost funkcije s = sin t označava s most. i s max. .
Koristeći dobivena svojstva, konstruirat ćemo graf funkcije y = sin x (y je jednak sinusu x), jer smo navikli pisati y = f (x) nego s = f (t).
Za početak odaberimo mjerilo: na osi ordinata uzmimo dvije ćelije kao jedinični segment, a na osi apscise dvije ćelije su pi puta tri (jer je ≈ 1). Najprije izgradimo graf funkcije y = sin x na segmentu. Trebamo tablicu vrijednosti funkcije na ovom segmentu; da bismo je konstruirali, koristit ćemo tablicu vrijednosti za odgovarajuće kosinusne i sinusne kutove:
Stoga, da biste izgradili tablicu vrijednosti argumenata i funkcija, morate to zapamtiti x(x) ovaj broj je odgovarajuće jednak kutu u intervalu od nula do pi, i na(grč.) vrijednost sinusa ovog kuta.
Označimo te točke na koordinatnoj ravnini. Prema SVOJSTVO 3 na segmentu
[ 0; ] (od nule do pi za dva) funkcija y = sin x raste i opada na segmentu [; ](od pi za dva do pi) i spajanjem rezultirajućih točaka glatkom linijom, dobivamo dio grafikona. (Sl. 1)
Koristeći simetriju grafa neparne funkcije u odnosu na ishodište, dobivamo graf funkcije y = sin x već na segmentu
[-π; π ] (od minus pi do pi). (Sl. 2)
Prisjetimo se da je sin(x + 2π)= sinx
(sinus od x plus dva pi jednako je sinusu od x). To znači da u točki x + 2π funkcija y = sin x poprima istu vrijednost kao u točki x. A budući da je (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus dva pi pripada segmentu od pi do tri pi), ako je xϵ[-π; π ], zatim na segment [π; 3π ] graf funkcije izgleda potpuno isto kao na segmentu [-π; π]. Slično, na segmentima , , [-3π; -π ] i tako dalje, graf funkcije y = sin x izgleda isto kao na segmentu
[-π; π].(Sl.3)
Pravac koji je graf funkcije y = sin x naziva se sinusni val. Dio sinusnog vala prikazan na slici 2 naziva se sinusni val, dok se na slici 1 naziva sinusni val ili poluval.
Koristeći konstruirani graf zapisujemo još nekoliko svojstava ove funkcije.
SVOJSTVO 6. Funkcija y = sin x je neprekidna funkcija. To znači da je graf funkcije kontinuiran, odnosno nema skokova i proboja.
SVOJSTVO 7. Raspon vrijednosti funkcije y = sin x je segment [-1; 1] (od minus jedan do jedan) ili se može napisati ovako: (e od ef jednako je segmentu od minus jedan do jedan).
Pogledajmo PRIMJER. Grafički riješite jednadžbu sin x = x + π (sinus x je jednako x plus pi).
Riješenje. Izgradimo grafove funkcija y = grijeh x I y = x + π.
Graf funkcije y = sin x je sinusoida.
y = x + π je linearna funkcija čiji je graf ravna linija koja prolazi kroz točke s koordinatama (0; π) i (- π ; 0).
Konstruirani grafovi imaju jednu sjecišnu točku - točku B(- π;0) (biti s koordinatama minus pi, nula). To znači da ova jednadžba ima samo jedan korijen - apscisu točke B - -π. Odgovor: x = - π.
Saznali smo da ponašanje trigonometrijskih funkcija, te funkcija y = sin x posebno, na cijeloj brojevnoj liniji (ili za sve vrijednosti argumenta x) potpuno je određen svojim ponašanjem u intervalu 0 < x < π / 2 .
Stoga ćemo prije svega nacrtati funkciju y = sin x upravo u ovom intervalu.
Napravimo sljedeću tablicu vrijednosti naše funkcije;
Označavanjem odgovarajućih točaka na koordinatnoj ravnini i njihovim spajanjem glatkom linijom dobivamo krivulju prikazanu na slici
Rezultirajuća krivulja također se može konstruirati geometrijski, bez sastavljanja tablice vrijednosti funkcije y = sin x .
1. Prvu četvrtinu kružnice polumjera 1 podijelimo na 8 jednakih dijelova.Ordinate razdjelnih točaka kružnice su sinusi odgovarajućih kutova.
2. Prva četvrtina kruga odgovara kutovima od 0 do π / 2 . Prema tome, na os x Uzmimo segment i podijelimo ga na 8 jednakih dijelova.
3. Nacrtajmo ravne linije paralelne s osi x, a od razdjelnih točaka konstruiramo okomice dok se ne sijeku s vodoravnim crtama.
4. Spojite točke raskrižja glatkom linijom.
Sada pogledajmo interval π /
2
<
x <
π
.
Svaka vrijednost argumenta x iz ovog intervala može se prikazati kao
x = π / 2 + φ
Gdje 0 < φ < π / 2 . Prema redukcijskim formulama
grijeh ( π / 2 + φ ) = cos φ = grijeh( π / 2 - φ ).
Točke osi x s apscisama π / 2 + φ I π / 2 - φ međusobno simetrične u odnosu na točku osi x s apscisom π / 2 , a sinusi u tim točkama su isti. To nam omogućuje da dobijemo graf funkcije y = sin x u intervalu [ π / 2 , π ] jednostavnim simetričnim prikazom grafa ove funkcije u intervalu u odnosu na ravnu liniju x = π / 2 .
Sada koristi nekretninu funkcija neparnog pariteta y = sin x,
grijeh(- x) = - grijeh x,
lako je nacrtati ovu funkciju u intervalu [- π , 0].
Funkcija y = sin x je periodična s periodom 2π ;. Stoga je za konstruiranje cijelog grafa ove funkcije dovoljno periodički nastaviti krivulju prikazanu na slici lijevo i desno s periodom 2π .
Dobivena krivulja naziva se sinusoida . Predstavlja graf funkcije y = sin x.
Slika dobro ilustrira sva svojstva funkcije y = sin x , što smo prethodno dokazali. Prisjetimo se ovih svojstava.
1) Funkcija y = sin x definiran za sve vrijednosti x , pa je njegova domena skup svih realnih brojeva.
2) Funkcija y = sin x ograničeno. Sve vrijednosti koje prihvaća su između -1 i 1, uključujući ova dva broja. Prema tome, raspon varijacije ove funkcije određen je nejednakošću -1 < na < 1. Kada x = π / 2 + 2k π funkcija uzima najveće vrijednosti jednake 1, a za x = - π / 2 + 2k π - najmanje vrijednosti jednake - 1.
3) Funkcija y = sin x je neparan (sinusoida je simetrična oko ishodišta).
4) Funkcija y = sin x periodički s periodom 2 π .
5) U 2n intervalima π < x < π + 2n π (n je bilo koji cijeli broj) pozitivan je iu intervalima π + 2k π < x < 2π + 2k π (k je bilo koji cijeli broj) negativan je. Na x = k π funkcija ide na nulu. Dakle, ove vrijednosti argumenta x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazivaju se funkcijskim nulama y = sin x
6) U intervalima - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkcija y = grijeh x raste monotono iu intervalima π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monotono se smanjuje.
Trebali biste obratiti posebnu pozornost na ponašanje funkcije y = sin x blizu točke x = 0 .
Na primjer, sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = sin π 2 / 180 = grijeh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
U isto vrijeme, treba napomenuti da za bilo koje vrijednosti x
| grijeh x| < | x | . (1)
Doista, neka polumjer kruga prikazanog na slici bude jednak 1,
a /
AOB = x.
Onda grijeh x= AC. Ali AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Duljina ovog luka je očito jednaka x, budući da je polumjer kruga 1. Dakle, na 0< x < π / 2
grijeh x< х.
Dakle, zbog neparnosti funkcije y = sin x lako je pokazati da kada - π / 2 < x < 0
| grijeh x| < | x | .
Konačno, kada x = 0
| grijeh x | = | x |.
Dakle, za | x | < π / 2 nejednakost (1) je dokazana. Zapravo, ova nejednakost vrijedi i za | x | > π / 2 zbog činjenice da | grijeh x | < 1, a π / 2 > 1
Vježbe
1.Prema grafu funkcije y = sin x odredi: a) grijeh 2; b) grijeh 4; c) grijeh (-3).
2.Prema grafu funkcije y = sin x
odrediti koji broj iz intervala
[ - π /
2 ,
π /
2
] ima sinus jednak: a) 0,6; b) -0,8.
3. Prema grafu funkcije y = sin x
odrediti koji brojevi imaju sinus,
jednako 1/2.
4. Odredi približno (bez tablica): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije dat ćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t on koordinatni krug te razmotriti graf funkcije na kružnici i pravcu. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih zadataka pomoću grafa funkcije i njezinih svojstava.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf
Kada razmatramo funkciju, važno je svaku vrijednost argumenta povezati s jednom vrijednošću funkcije. Ovaj zakon dopisivanja a naziva se funkcija.
Definirajmo zakon korespondencije za .
Svaki realni broj odgovara jednoj točki na jediničnoj kružnici. Točka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinus broja (slika 1).
Svaka vrijednost argumenta povezana je s jednom vrijednošću funkcije.
Očita svojstva slijede iz definicije sinusa.
Slika to pokazuje 
jer je ordinata točke na jediničnoj kružnici.
Razmotrite graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je središnji kut, mjeren u radijanima. Uzduž osi nacrtat ćemo realne brojeve ili kutove u radijanima, uzduž osi odgovarajuće vrijednosti funkcije.
Na primjer, kut na jediničnoj kružnici odgovara točki na grafikonu (slika 2)
Dobili smo graf funkcije u području, no znajući period sinusa možemo prikazati graf funkcije u cijeloj domeni definicije (slika 3).
Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu i zatim nastaviti kroz cijelu domenu definicije.
Razmotrite svojstva funkcije:
1) Opseg definicije:
2) Raspon vrijednosti: 
3) Neparna funkcija:
4) Najmanje pozitivno razdoblje:
5) Koordinate točaka presjeka grafa s osi apscisa: 
6) Koordinate točke presjeka grafa s osi ordinata:
7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:
8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:
9) Povećanje intervala:
10) Smanjenje intervala:
11) Minimalni broj bodova: 
12) Minimalne funkcije:
13) Maksimalni broj bodova: 
14) Maksimalne funkcije:
Pogledali smo svojstva funkcije i njezin graf. Svojstva će se više puta koristiti pri rješavanju problema.
Bibliografija
1. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Udžbenik za obrazovne ustanove(razina profila) izd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (razina profila), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematika za 10. razred ( tutorial za učenike škola i razreda s produbljenim proučavanjem matematike).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljna studija algebra i matematička analiza.-M .: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka problema iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (uredio M. I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi algebre i načela analize (priručnik za učenike 10-11 razreda općeobrazovnih ustanova). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i načela analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. s dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Domaća zadaća
Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (razina profila), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
Centrirano u točki A.
α
- kut izražen u radijanima.
Definicija
Sinus (sin α)- Ovo trigonometrijska funkcija, ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljina suprotne stranice |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.
Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.
Prihvaćene oznake
;
;
.
;
;
.
Graf funkcije sinusa, y = sin x
Graf kosinusne funkcije, y = cos x
Svojstva sinusa i kosinusa
Periodičnost
Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodic s periodom 2π.
Paritet
Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.
Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad
Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).
| y = grijeh x | y = cos x | |
| Opseg i kontinuitet | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Raspon vrijednosti | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Povećavajući se | ||
| Silazni | ||
| Maksimalno, y = 1 | ||
| Minimalni, y = - 1 | ||
| Nule, y = 0 | ||
| Točke presjeka s osi ordinata, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Osnovne formule
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa
Formule za sinus i kosinus iz zbroja i razlike
;
;
Formule za umnožak sinusa i kosinusa
Formule zbroja i razlike
Izražavanje sinusa kroz kosinus
;
;
;
.
Izražavanje kosinusa kroz sinus
;
;
;
.
Izražavanje kroz tangentu
; .
Kada, imamo:
;
.
u:
;
.
Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa
Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi kroz kompleksne varijable
;
Eulerova formula
Izrazi preko hiperboličkih funkcija
;
;
Derivati
; . Izvođenje formula >>>
Derivacije n-tog reda:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekans, kosekans
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus i arkosinus.
Arksinus, arcsin
Arkosinus, arkos
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
>>Matematika: Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
U ovom odjeljku raspravljat ćemo o nekim svojstvima funkcija y = grijeh x,y= cos x i izgraditi njihove grafove.
1. Funkcija y = sin X.
Gore, u § 20, formulirali smo pravilo koje dopušta da se svakom broju t pridruži cos t broj, tj. karakterizira funkciju y = sin t. Napomenimo neka njegova svojstva.
Svojstva funkcije u = sin t.
Područje definiranja je skup K realnih brojeva.
To slijedi iz činjenice da svaki broj 2 odgovara točki M(1) na brojevnoj kružnici, koja ima točno definiranu ordinatu; ova ordinata je cos t.
u = sin t je neparna funkcija.
To proizlazi iz činjenice da, kao što je dokazano u § 19, za svaki t vrijedi jednakost
To znači da je graf funkcije u = sin t, kao i graf svake neparne funkcije, simetričan u odnosu na ishodište u pravokutnom koordinatnom sustavu tOi.
Funkcija u = sin t raste na intervalu 
To proizlazi iz činjenice da kada se točka pomiče po prvoj četvrtini brojčane kružnice, ordinata se postupno povećava (od 0 do 1 - vidi sl. 115), a kada se točka pomiče po drugoj četvrtini brojčane kružnice, ordinata se postupno smanjuje (od 1 do 0 - vidi sl. 116).
Funkcija u = sint ograničena je i odozdo i odozgo. To slijedi iz činjenice da, kao što smo vidjeli u § 19, za bilo koje t vrijedi nejednakost
(funkcija postiže ovu vrijednost u bilo kojoj točki obrasca 
(funkcija postiže ovu vrijednost u bilo kojoj točki obrasca
Koristeći dobivena svojstva konstruirat ćemo graf funkcije koja nas zanima. Ali (pozor!) umjesto u - sin t pisat ćemo y = sin x (uostalom, više smo navikli pisati y = f(x), a ne u = f(t)). To znači da ćemo graf izgraditi u uobičajenom xOy koordinatnom sustavu (a ne tOy).
Napravimo tablicu vrijednosti funkcije y - sin x:
Komentar.
Navedimo jednu od verzija podrijetla pojma "sinus". Na latinskom sinus znači zavoj (tetiva luka).
Konstruirani graf donekle opravdava ovu terminologiju. 
Pravac koji služi kao graf funkcije y = sin x naziva se sinusni val. Onaj dio sinusoide koji je prikazan na sl. 118 ili 119 naziva se sinusni val, a onaj dio sinusnog vala koji je prikazan na Sl. 117, naziva se poluval ili luk sinusnog vala.
2. Funkcija y = cos x.
Proučavanje funkcije y = cos x može se provesti približno prema istoj shemi koja je korištena gore za funkciju y = sin x. Ali birat ćemo put koji brže vodi do cilja. Prvo ćemo dokazati dvije formule koje su same po sebi važne (to ćete vidjeti u srednjoj školi), ali za sada imaju samo pomoćno značenje za naše potrebe.
Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:
Dokaz. Neka broj t odgovara točki M brojčane kružnice n, a broj * + - točki P (slika 124; radi jednostavnosti uzeli smo točku M u prvoj četvrtini). Lukovi AM i BP su jednaki, a pravokutni trokuti OKM i OLBP su jednaki. To znači O K = Ob, MK = Pb. Iz ovih jednakosti i položaja trokuta OCM i OBP u koordinatnom sustavu izvlače se dva zaključka:
1) ordinata točke P podudara se u apsolutnoj vrijednosti i predznaku s apscisom točke M; to znači da
2) apscisa točke P jednaka je po apsolutnoj vrijednosti ordinati točke M, ali se od nje razlikuje predznakom; to znači da
Približno isto razmišljanje provodi se u slučajevima kada točka M ne pripada prvoj četvrtini.
Upotrijebimo formulu 
(ovo je gore dokazana formula, ali umjesto varijable t koristimo varijablu x). Što nam ova formula daje? To nam omogućuje da ustvrdimo da funkcije
su identični, što znači da im se grafovi podudaraju.
Nacrtajmo funkciju 
Da bismo to učinili, prijeđimo na pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki (na slici 125 nacrtana je točkasta linija). Povežimo funkciju y = sin x s novim koordinatnim sustavom - to će biti graf funkcije 
(Sl. 125), tj. graf funkcije y - cos x. On se, kao i graf funkcije y = sin x, naziva sinusni val (što je sasvim prirodno).
Svojstva funkcije y = cos x.
y = cos x je parna funkcija.
Faze izgradnje prikazane su na sl. 126:
1) izgraditi graf funkcije y = cos x (točnije, jedan poluval);
2) rastezanjem konstruiranog grafa od x-osi s faktorom 0,5 dobivamo jedan poluval traženog grafa;
3) koristeći dobiveni poluval, konstruiramo cijeli graf funkcije y = 0,5 cos x.
