Problem 10 (OGE - 2015)

Na kružnici sa središtem O označene su točke A i B tako da je ∠ AOB = 18°. Duljina manjeg luka AB je 5. Odredi duljinu većeg luka kružnice.

Riješenje

∠ AOB = 18°. Cijeli krug je 360°. Stoga je ∠ AOB 18/360 = 1/20 kruga.

To znači da je manji luk AB 1/20 cijele kružnice, pa je veći luk ostatak, tj. 19/20 opseg.

1/20 kruga odgovara duljini luka od 5. Tada je duljina većeg luka 5 * 19 = 95.

Problem 10 (OGE - 2015)

Na kružnici sa središtem O označene su točke A i B tako da je ∠ AOB = 40°. Duljina manjeg luka AB je 50. Odredi duljinu većeg luka kružnice.

Riješenje

∠ AOB = 40°. Cijeli krug je 360°. Stoga je ∠ AOB 40/360 = 1/9 kruga.

To znači da je manji luk AB 1/9 cijele kružnice, pa je veći luk ostatak, tj. 8/9 krug.

1/9 kruga odgovara duljini luka od 50. Tada je duljina većeg luka 50*8 = 400.

Odgovor: 400.

10. zadatak (GIA - 2014.)

Duljina tetive kružnice je 72, a udaljenost od središta kružnice do te tetive je 27. Odredite promjer kružnice.

Riješenje

Prema Pitagorinom teoremu iz pravokutni trokut AOB dobivamo:

AO 2 = OB 2 + AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Tada je promjer 2R = 2*45 = 90.

10. zadatak (GIA - 2014.)

Točka O je središte kružnice na kojoj leže točke A, B i C. Poznato je da je ∠ABC = 134° i ∠OAB = 75°. Nađi kut BCO. Odgovorite u stupnjevima.

Krug, njegovi dijelovi, njihove veličine i odnosi stvari su s kojima se draguljar neprestano susreće. Prstenje, narukvice, kaste, cijevi, kuglice, spirale - treba napraviti puno okruglih stvari. Kako sve to izračunati, pogotovo ako ste imali sreću da preskočite satove geometrije u školi?..

Pogledajmo najprije koje dijelove ima krug i kako se oni zovu.

• Kružnica je linija koja zatvara kružnicu.
• Luk je dio kruga.
• Radijus je segment koji povezuje središte kruga s bilo kojom točkom na krugu.
• Tetiva je isječak koji povezuje dvije točke na kružnici.
• Isječak je dio kružnice omeđen tetivom i lukom.
• Sektor je dio kruga omeđen dvama polumjerima i lukom.

Količine koje nas zanimaju i njihove oznake:

Pogledajmo sada koje probleme vezane uz dijelove kruga treba riješiti.

• Nađi duljinu razvijenosti bilo kojeg dijela prstena (narukvice). S obzirom na promjer i tetivu (opcija: promjer i središnji kut), pronađite duljinu luka.
• Postoji crtež na ravnini, morate saznati njegovu veličinu u projekciji nakon što ga savijete u luk. S obzirom na duljinu i promjer luka, pronađite duljinu tetive.
• Saznajte visinu dijela dobivenog savijanjem ravnog obratka u luk. Mogućnosti izvornih podataka: duljina i promjer luka, duljina luka i tetive; pronaći visinu segmenta.

Život će vam dati druge primjere, ali ja sam ih dao samo da pokažem potrebu za postavljanjem neka dva parametra da bismo pronašli sve ostale. To je ono što ćemo učiniti. Naime, uzet ćemo pet parametara segmenta: D, L, X, φ i H. Zatim ćemo ih, birajući sve moguće parove iz njih, smatrati početnim podacima, a sve ostale pronaći ćemo brainstormingom.

Da ne opterećujem čitatelja uzalud, detaljna rješenja Neću ih dati, već ću dati samo rezultate u obliku formula (one slučajeve gdje nema formalnog rješenja, raspravit ću usput).

I još jedna napomena: o mjernim jedinicama. Sve veličine, osim središnjeg kuta, mjere se u istim apstraktnim jedinicama. To znači da ako, na primjer, navedete jednu vrijednost u milimetrima, onda drugu ne morate navesti u centimetrima, a dobivene vrijednosti će se mjeriti u istim milimetrima (i površine u kvadratnim milimetrima). Isto se može reći za inče, stope i nautičke milje.

I samo se središnji kut u svim slučajevima mjeri u stupnjevima i ništa drugo. Jer, kao pravilo, ljudi koji dizajniraju nešto okruglo nemaju tendenciju mjeriti kutove u radijanima. Fraza "kut pi sa četiri" mnoge zbunjuje, dok je "kut četrdeset pet stupnjeva" svima razumljiv, jer je samo pet stupnjeva viši od normalnog. Međutim, u svim formulama bit će prisutan još jedan kut - α - kao međuvrijednost. U značenju, ovo je polovica središnjeg kuta, mjereno u radijanima, ali možete sigurno ne ulaziti u ovo značenje.

1. Zadani promjer D i duljina luka L

; dužina tetive ;
visina segmenta ; središnji kut .

2. Zadani promjer D i duljina tetive X

; dužina luka ;
visina segmenta ; središnji kut .

Budući da tetiva dijeli krug na dva segmenta, ovaj problem nema jedno, već dva rješenja. Da biste dobili drugi, trebate zamijeniti kut α u gornjim formulama s kutom .

3. Zadani promjer D i središnji kut φ

; dužina luka ;
dužina tetive ; visina segmenta .

4. Zadani su promjer D i visina segmenta H

; dužina luka ;
dužina tetive ; središnji kut .

6. Zadana je duljina luka L i središnji kut φ

; promjer ;
dužina tetive ; visina segmenta .

8. Zadana je duljina tetive X i središnji kut φ

; dužina luka ;
promjer ; visina segmenta .

9. Zadana je duljina tetive X i visina segmenta H

; dužina luka ;
promjer ; središnji kut .

10. Zadani su središnji kut φ i visina odsječka H

; promjer ;
dužina luka ; dužina tetive .

Pažljivi čitatelj nije mogao a da ne primijeti da sam propustio dvije opcije:

5. Zadana duljina luka L i duljina tetive X

7. Zadana je duljina luka L i visina segmenta H

To su samo ona dva neugodna slučaja kada problem nema rješenje koje bi se moglo napisati u obliku formule. A zadatak nije tako rijedak. Na primjer, imate ravni komad duljine L i želite ga saviti tako da njegova duljina postane X (ili njegova visina postane H). Koji promjer trebam uzeti trn (prečku)?

Ovaj problem se svodi na rješavanje jednadžbi:
; - u opciji 5
; - u opciji 7
i iako se ne mogu riješiti analitički, lako se mogu riješiti programski. A znam čak i gdje se može nabaviti takav program: na ovom mjestu, pod imenom . Ona radi sve što vam ovdje nadugo govorim u mikrosekundama.

Da bismo dovršili sliku, dodajmo rezultatima naših izračuna opseg i tri vrijednosti površine - krug, sektor i segment. (Površine će nam puno pomoći pri izračunavanju mase svih okruglih i polukružnih dijelova, ali o tome više u posebnom članku.) Sve ove količine izračunavaju se po istim formulama:

opseg ;
područje kruga ;
područje sektora ;
područje segmenta ;

I na kraju, dopustite mi da vas još jednom podsjetim na postojanje apsolutno besplatan program, koji izvodi sve gore navedene izračune, oslobađajući vas potrebe da se prisjećate što je arktangens i gdje ga tražiti.

Dio figure koji tvori kružnicu čije su točke jednako udaljene naziva se luk. Ako povučemo zrake od središta kružnice do točaka koje se podudaraju s krajevima luka, formirat će se njegov središnji kut.

Određivanje duljine luka

Proizvedeno prema sljedećoj formuli:

gdje je L željena duljina luka, π = 3,14, r je polumjer kružnice, α je središnji kut.

L

3,14 x 10 x 85

14,82

Odgovor:

Duljina kružnog luka je 14,82 centimetra.

U elementarnoj geometriji, luk se shvaća kao podskup kruga koji se nalazi između dvije točke koje se nalaze na njemu. U praksi rješavati probleme u definicija nju duljina inženjeri i arhitekti to moraju činiti prilično često, budući da je ovaj geometrijski element široko rasprostranjen u velikom broju dizajna.

Možda su prvi koji su se suočili s ovim zadatkom bili drevni arhitekti, koji su na ovaj ili onaj način morali odrediti ovaj parametar za konstrukciju svodova, naširoko korištenih za pokrivanje praznina između nosača u okruglim, poligonalnim ili eliptičnim zgradama. Ako pomno pogledate remek-djela starogrčke, starorimske i posebno arapske arhitekture koja su preživjela do danas, primijetit ćete da su lukovi i svodovi vrlo česti u njihovim nacrtima. Kreacije modernih arhitekata nisu toliko bogate njima, ali ovi geometrijski elementi su, naravno, prisutni u njima.

Duljina razne luk moraju se izračunati pri konstruiranju automobila i željeznice, kao i autodroma, a u mnogim slučajevima sigurnost prometa uvelike ovisi o ispravnosti i točnosti proračuna. Činjenica je da su mnoga zavoja autocesta, s geometrijskog gledišta, upravo lukovi, a dok se kreću duž njih, na vozila djeluju različite fizičke sile. Parametri njihove rezultante uvelike su određeni duljinom luka, kao i njegovim središnjim kutom i polumjerom.

Dizajneri strojeva i mehanizama moraju izračunati duljine različitih lukova za ispravan i točan raspored komponente razne jedinice. U ovom slučaju, pogreške u izračunima prepune su činjenice da će važni i kritični dijelovi međusobno neispravno komunicirati i mehanizam jednostavno neće moći funkcionirati kako njegovi kreatori planiraju. Primjeri struktura koje su prepune geometrijskih elemenata kao što su lukovi uključuju motore s unutarnjim izgaranjem, mjenjače, opremu za obradu drva i metala, dijelove karoserije automobila i kamiona itd.

lukovi Vrlo su česti u medicini, posebice u stomatologiji. Na primjer, koriste se za ispravljanje malokluzija. Korektivni elementi koji se nazivaju bravice (ili sustavi bravica) odgovarajućeg su oblika izrađeni od posebnih legura, a ugrađuju se tako da mijenjaju položaj zuba. Razumije se, da bi liječenje bilo uspješno, ovi lukovi moraju biti vrlo precizno izračunati. Osim toga, lukovi se vrlo široko koriste u traumatologiji, a možda i najviše svijetli primjer Riječ je o čuvenom aparatu Ilizarova, koji je izumio ruski liječnik 1951. godine i koji se izuzetno uspješno koristi do danas. Njegov sastavni dio su metalni lukovi, opremljeni rupama kroz koje se provlače posebne igle za pletenje, a koji su glavni nosači cijele konstrukcije.

Formula za pronalaženje duljine luka kruga prilično je jednostavna, a vrlo često na važnim ispitima kao što je Jedinstveni državni ispit postoje problemi koji se ne mogu riješiti bez njegove upotrebe. Također ga je potrebno znati za polaganje međunarodnih standardiziranih testova, poput SAT-a i drugih.

Kolika je duljina kružnog luka?

Formula izgleda ovako:

l = πrα / 180°

Što je svaki element formule:

• π - broj Pi ( konstantno, jednako ≈ 3,14);
• r je polumjer zadane kružnice;
• α je veličina kuta pod kojim se nalazi luk (središnji, nije upisan).

Kao što vidite, da bi se riješio problem, r i α moraju biti prisutni u uvjetu. Bez ove dvije veličine nemoguće je pronaći duljinu luka.

Kako je ova formula izvedena i zašto izgleda ovako?

Sve je izuzetno jednostavno. Bit će vam puno jasnije ako u nazivnik stavite 360°, a u brojnik ispred dodate dvojku. Također možete α nemojte ga ostaviti u razlomku, izvadite ga i napišite znakom množenja. To je sasvim moguće, jer je ovaj element u brojniku. Zatim opći oblik postat će ovako:

l = (2πr / 360°) × α

Samo radi praktičnosti skratili smo 2 i 360°. A sada, ako bolje pogledate, možete vidjeti vrlo poznatu formulu za duljinu cijelog kruga, naime - 2πr. Cijeli krug se sastoji od 360°, pa dobivenu mjeru podijelimo na 360 dijelova. Zatim množimo s brojem α, odnosno za broj “komada kolača” koji nam je potreban. Ali svi sigurno znaju da se broj (to jest, duljina cijelog kruga) ne može podijeliti stupnjem. Što učiniti u ovom slučaju? Obično se u pravilu stupanj skuplja sa stupnjem središnjeg kuta, odnosno s α. Poslije ostaju samo brojke, a na kraju se dobije konačan odgovor.

To može objasniti zašto se duljina kružnog luka nalazi na ovaj način i ima ovaj oblik.

Primjer problema srednje složenosti pomoću ove formule

Uvjet: Postoji kružnica polumjera 10 centimetara. Stupanjska mjera središnjeg kuta je 90°. Odredite duljinu kružnog luka koji tvori taj kut.

Rješenje: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Odgovor: l = 5π

Također je moguće da umjesto stupnjeve bude dana radijanska mjera kuta. Ni pod kojim okolnostima ne treba se bojati, jer je ovaj put zadatak postao puno lakši. Da biste radijansku mjeru pretvorili u stupanj, potrebno vam je dati broj pomnožite sa 180° / π. To znači da sada možemo zamijeniti α sljedeća kombinacija: m × 180° / π. Gdje je m radijanska vrijednost. A onda 180 i broj π reduciraju se i dobiva se potpuno pojednostavljena formula koja izgleda ovako:

• m - radijanska mjera kuta;
• r je polumjer zadane kružnice.

Koliko se dobro sjećate svih imena povezanih s krugom? Za svaki slučaj, podsjetimo - pogledajte slike - obnovite znanje.

prvo - Središte kruga je točka od koje su udaljenosti od svih točaka kruga iste.

drugo - radius - isječak koji spaja središte i točku na kružnici.

Radijusa ima puno (koliko je točaka na kružnici), ali Svi radijusi imaju istu duljinu.

Ponekad nakratko radius zovu to točno duljina segmenta"centar je točka na krugu", a ne sam segment.

I evo što se događa ako spojite dvije točke na kružnicu? Također segment?

Dakle, ovaj segment se zove "akord".

Baš kao u slučaju radijusa, promjer je često duljina segmenta koji povezuje dvije točke na krugu i prolazi kroz središte. Usput, kako su povezani promjer i polumjer? Gledaj pažljivo. Naravno, polumjer je jednak polovici promjera.

Osim akorda tu su i sekante.

Sjećate se najjednostavnije stvari?

Središnji kut je kut između dva polumjera.

A sada - upisani kut

Upisani kut – kut između dviju tetiva koje se sijeku u nekoj točki kružnice.

U tom slučaju kažu da se upisani kut oslanja na luk (ili na tetivu).

Pogledaj sliku:

Mjerenja lukova i kutova.

Opseg. Lukovi i kutovi mjere se u stupnjevima i radijanima. Prvo, o stupnjevima. Za kutove nema problema - morate naučiti mjeriti luk u stupnjevima.

Mjera stupnja (veličina luka) je vrijednost (u stupnjevima) odgovarajućeg središnjeg kuta

Što ovdje znači riječ "prikladno"? Pogledajmo pažljivo:

Vidite li dva luka i dva središnja kuta? Pa, veći luk odgovara većem kutu (i u redu je da je veći), a manji luk odgovara manjem kutu.

Dakle, složili smo se: luk ima isti broj stupnjeva kao i odgovarajući središnji kut.

A sada o onom strašnom – o radijanima!

Kakva je zvijer ovaj "radian"?

Zamislite ovo: Radijani su način mjerenja kutova... u polumjerima!

Radijanski kut je središnji kut čija je duljina luka jednaka polumjeru kružnice.

Tada se postavlja pitanje - koliko radijana ima u ravnom kutu?

Drugim riječima: koliko radijusa "stane" u pola kruga? Ili na drugi način: koliko je puta duljina polovice kruga veća od polumjera?

Znanstvenici su ovo pitanje postavili još u staroj Grčkoj.

I tako, nakon duge potrage, otkrili su da se omjer opsega i radijusa ne želi izraziti "ljudskim" brojevima, kao što su itd.

A ovaj stav nije moguće iskazati ni kroz korijenje. Odnosno, ispada da je nemoguće reći da je pola kruga puta ili puta veće od polumjera! Možete li zamisliti kako je ljudima bilo nevjerojatno otkriti ovo po prvi put?! Za omjer duljine pola kruga i polumjera "normalni" brojevi nisu bili dovoljni. Morao sam unijeti slovo.

Dakle, - ovo je broj koji izražava omjer duljine polukruga i polumjera.

Sada možemo odgovoriti na pitanje: koliko radijana ima u ravnom kutu? Sadrži radijane. Upravo zato što je polovica kruga puta veća od polumjera.

Drevni (i ne tako drevni) ljudi kroz stoljeća (!) pokušao točnije izračunati tajanstveni broj, bolje ga je (bar približno) izraziti kroz “obične” brojeve. A sada smo nevjerojatno lijeni - dovoljna su nam dva znaka nakon napornog dana, navikli smo

Razmislite, to znači, na primjer, da je duljina kruga polumjera jedan približno jednaka, ali tu je točnu duljinu jednostavno nemoguće zapisati "ljudskim" brojem - potrebno vam je slovo. I tada će ovaj opseg biti jednak. I naravno, opseg polumjera je jednak.

Vratimo se radijanima.

Već smo otkrili da ravni kut sadrži radijane.

Što imamo:

To znači da mi je drago, odnosno drago mi je. Na isti način dobiva se ploča s najpopularnijim kutovima.

Odnos između vrijednosti upisanog i središnjeg kuta.

Postoji nevjerojatna činjenica:

Upisani kut je pola veličine odgovarajućeg središnjeg kuta.

Pogledajte kako ova izjava izgleda na slici. “Odgovarajući” središnji kut je onaj čiji se krajevi poklapaju s krajevima upisanog kuta, a vrh je u središtu. I u isto vrijeme, "odgovarajući" središnji kut mora "gledati" na istu tetivu () kao i upisani kut.

Zašto je to tako? Pogledajmo najprije jednostavan slučaj. Neka jedan od akorda prolazi kroz središte. To se ponekad događa, zar ne?

Što se ovdje događa? Razmotrimo. Jednakokračan je - uostalom i - polumjera. Dakle, (označio ih).

Sada pogledajmo. Ovo je vanjski kut za! Zapamtite da vanjski kut jednaka zbrojevima dva unutarnja, koja nisu uz njega, i napišite:

To je! Neočekivani učinak. Ali postoji i središnji kut za upisano.

To znači da su za ovaj slučaj dokazali da je središnji kut dvostruko veći od upisanog kuta. Ali previše boli poseban slučaj: Nije li istina da akord ne ide uvijek ravno kroz središte? Ali u redu je, sada će nam ovaj konkretan slučaj puno pomoći. Pogledajte: drugi slučaj: neka središte leži unutra.

Učinimo ovo: nacrtaj promjer. I onda... vidimo dvije slike koje su već analizirane u prvom slučaju. Stoga to već imamo

To znači (na crtežu, a)

Pa, ostaje posljednji slučaj: centar je izvan ugla.

Radimo isto: nacrtamo promjer kroz točku. Sve je isto, ali umjesto zbroja postoji razlika.

To je sve!

Oblikujmo sada dvije glavne i vrlo važne posljedice iz tvrdnje da je upisani kut polovica središnjeg kuta.

Korolar 1

Svi upisani kutovi koji se temelje na jednom luku međusobno su jednaki.

Mi ilustriramo:

Postoji bezbroj upisanih kutova koji se temelje na istom luku (imamo ovaj luk), mogu izgledati potpuno različito, ali svi imaju isti središnji kut (), što znači da su svi ti upisani kutovi međusobno jednaki.

Korolar 2

Kut obuhvaćen promjerom je pravi kut.

Pogledajte: koji kut je središnji?

Sigurno, . Ali on je jednak! Pa, dakle (kao i mnogo više upisanih kutova koji se oslanjaju na) i je jednak.

Kut između dviju tetiva i sekanti

Ali što ako kut koji nas zanima NIJE upisan i NIJE središnji, već, na primjer, ovako:

ili ovako?

Je li to moguće nekako izraziti kroz neke središnje kutove? Ispostavilo se da je to moguće. Pogledajte: zainteresirani smo.

a) (kao vanjski kut za). Ali - upisano, počiva na luku -. - upisano, počiva na luku - .

Za ljepotu kažu:

Kut između tetiva jednak je polovici zbroja kutnih vrijednosti lukova zatvorenih u ovom kutu.

Ovo pišu radi sažetosti, ali naravno, kada koristite ovu formulu morate imati na umu središnje kutove

b) A sada - "vani"! Kako biti? Da, gotovo isto! Tek sada (opet primjenjujemo svojstvo vanjskog kuta za). To je sada.

A to znači... Unesite ljepotu i sažetost u bilješke i formulacije:

Kut između sekanti jednak je polovici razlike u kutnim vrijednostima lukova zatvorenih u ovom kutu.

Pa, sada ste naoružani svim osnovnim znanjem o kutovima koji se odnose na krug. Samo naprijed, prihvati izazove!

KRUG I INSINALIRAN KUT. PROSJEČNA RAZINA

Čak i petogodišnje dijete zna što je krug, zar ne? Matematičari, kao i uvijek, imaju nejasnu definiciju o ovoj temi, ali mi je nećemo dati (vidjeti), nego se radije prisjetimo kako se zovu točke, linije i kutovi povezani s kružnicom.

Važni uvjeti

Prvo:

centar kruga- točka od koje su sve točke kružnice jednako udaljene.

Drugo:

Postoji još jedan prihvaćeni izraz: "tetiva skuplja luk." Ovdje na slici, na primjer, tetiva pokriva luk. A ako akord iznenada prođe kroz središte, onda ima poseban naziv: "promjer".

Usput, kako su povezani promjer i polumjer? Gledaj pažljivo. Naravno,

A sada - nazivi za uglove.

Prirodno, zar ne? Stranice kuta izlaze iz središta - što znači da je kut središnji.

Tu ponekad nastaju poteškoće. Obrati pozornost - NIJEDAN kut unutar kruga nije upisan, ali samo onaj čiji vrh “sjedi” na samoj kružnici.

Pogledajmo razliku na slikama:

Drugi način kako kažu:

Ovdje postoji jedna nezgodna točka. Što je "odgovarajući" ili "vlastiti" središnji kut? Samo kut s vrhom u središtu kruga i krajevima na krajevima luka? Ne sigurno na taj način. Pogledajte crtež.

Jedan od njih, međutim, ne izgleda čak ni kao ugao - veći je. Ali trokut ne može imati više kutova, ali krug može! Dakle: manji luk AB odgovara manjem kutu (narančasto), a veći luk odgovara većem. Samo tako, zar ne?

Odnos veličina upisanog i središnjeg kuta

Zapamtite ovu vrlo važnu izjavu:

U udžbenicima tu istu činjenicu vole pisati ovako:

Nije li istina da je formulacija jednostavnija sa središnjim kutom?

Ali ipak, pronađimo korespondenciju između dviju formulacija, a istovremeno naučimo pronaći u crtežima "odgovarajući" središnji kut i luk na kojem "počiva" upisani kut.

Pogledajte: ovdje je krug i upisani kut:

Gdje je njegov "odgovarajući" središnji kut?

Pogledajmo ponovno:

Što je pravilo?

Ali! U ovom slučaju, važno je da upisani i središnji kut "gledaju" na luk s jedne strane. Na primjer:

Čudno, plavo! Jer luk je dug, duži od pola kruga! Stoga se nikada nemojte zbuniti!

Koja se posljedica može zaključiti iz "polovice" upisanog kuta?

Ali, na primjer:

Kut obuhvaćen promjerom

Jeste li već primijetili da matematičari vole govoriti o istoj stvari različitim riječima? Zašto im ovo treba? Vidite, jezik matematike, iako je formalan, živ je i stoga, kao i u običnom jeziku, svaki put kada želite reći na način koji vam je zgodniji. Pa, već smo vidjeli što znači "kut počiva na luku". I zamislite, ista slika se zove "kut počiva na tetivi". Na što? Da, naravno, onom koji steže ovaj luk!

Kada je prikladnije osloniti se na tetivu nego na luk?

Pa, posebno, kada je ova tetiva promjer.

Za takvu situaciju postoji iznenađujuće jednostavna, lijepa i korisna izjava!

Pogledajte: evo kruga, promjera i kuta koji na njemu leži.

KRUG I INSINALIRAN KUT. UKRATKO O GLAVNOM

1. Osnovni pojmovi.

3. Mjerenja lukova i kutova.

Radijanski kut je središnji kut čija je duljina luka jednaka polumjeru kružnice.

Ovo je broj koji izražava omjer duljine polukruga i njegovog polumjera.

Opseg polumjera jednak je.

4. Odnos između vrijednosti upisanog i središnjeg kuta.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na budžet na budžet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što je pred njima puno više otvorenog više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!