Pravac u prostoru uvijek se može definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina. Ako je jednadžba jedne ravnine jednadžba druge ravnine, onda je jednadžba pravca dana kao

Ovdje nekolinearni
. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno u prostoru.

Kanonske jednadžbe pravca

Svaki vektor različit od nule koji leži na određenom pravcu ili je paralelan s njim naziva se vektor smjera tog pravca.

Ako je poanta poznata
pravac i njegov vektor smjera
, tada kanonske jednadžbe pravca imaju oblik:

. (9)

Parametarske jednadžbe pravca

Neka su zadane kanoničke jednadžbe pravca

.

Odavde dobivamo parametarske jednadžbe pravca:

(10)

Ove jednadžbe su korisne za pronalaženje sjecišta pravca i ravnine.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke
I
ima oblik:

.

Kut između ravnih linija

Kut između ravnih linija

I

jednak kutu između njihovih vektora smjera. Stoga se može izračunati pomoću formule (4):

Uvjet za paralelne pravce:

.

Uvjeti da su ravnine okomite:

Udaljenost točke od pravca

P recimo da je poenta dana
i ravno

.

Iz kanonskih jednadžbi pravca znamo točku
, koji pripada pravoj i njegov vektor smjera
. Zatim udaljenost točke
od pravca jednaka je visini paralelograma izgrađenog na vektorima I
. Stoga,

.

Uvjet za sjecište linija

Dva neparalelna pravca

,

sijeku ako i samo ako

.

Uzajamni položaj pravca i ravnine.

Neka je dana pravac
i avion. Kutak između njih može se pronaći formulom

.

Zadatak 73. Napiši kanonske jednadžbe pravca

(11)

Riješenje. Da bi se zapisale kanonske jednadžbe pravca (9), potrebno je poznavati bilo koju točku koja pripada pravcu i vektor smjera pravca.

Nađimo vektor , paralelno s ovom linijom. Budući da mora biti okomit na normalne vektore tih ravnina, tj.

,
, To

.

Iz općih jednadžbi pravca imamo da
,
. Zatim

.

Od točke
bilo koje točke na liniji, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbe pravca, a jedna od njih može biti navedena, na primjer,
, nalazimo druge dvije koordinate iz sustava (11):

Odavde,
.

Dakle, kanonske jednadžbe tražene linije imaju oblik:

ili
.

Problem 74.

I
.

Riješenje. Iz kanonskih jednadžbi prvog pravca poznate su koordinate točke
koji pripadaju pravoj, te koordinate vektora pravca
. Iz kanonskih jednadžbi drugog pravca poznate su i koordinate točke
i koordinate vektora pravca
.

Udaljenost između paralelnih pravaca jednaka je udaljenosti točke
od druge ravne linije. Ova udaljenost izračunava se formulom

.

Nađimo koordinate vektora
.

Izračunajmo vektorski produkt
:

.

Zadatak 75. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno

.

Riješenje. Napišimo jednadžbu ravnine koja je okomita na zadani pravac i prolazi točkom . Kao njegov normalni vektor možete uzeti vektor usmjeravanja ravne linije. Zatim
. Stoga,

Nađimo točku
točka presjeka ovog pravca i ravnine P. Da bismo to učinili, zapišemo parametarske jednadžbe pravca pomoću jednadžbi (10), dobivamo

Stoga,
.

Neka
točka simetrična točki
u odnosu na ovu liniju. Zatim točka
središnja točka
. Za pronalaženje koordinata točke Koristimo formule za koordinate sredine segmenta:

,
,
.

Tako,
.

Zadatak 76. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem
I

a) kroz točku
;

b) okomito na ravninu.

Riješenje. Zapišimo opće jednadžbe ovog pravca. Da biste to učinili, razmotrite dvije jednakosti:

To znači da tražena ravnina pripada skupu ravnina s generatorima i njena se jednadžba može napisati u obliku (8):

a) Pronađimo
I iz uvjeta da ravnina prolazi točkom
, stoga njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine. Zamijenimo koordinate točke
u jednadžbu gomile ravnina:

Pronađena vrijednost
Zamijenimo ga u jednadžbu (12). dobivamo jednadžbu željene ravnine:

b) Pronađimo
I iz uvjeta da je željena ravnina okomita na ravninu. Normalni vektor zadane ravnine
, vektor normale željene ravnine (vidi jednadžbu skupine ravnina (12).

Dva su vektora okomita ako i samo ako je njihov točkasti produkt nula. Stoga,

Zamijenimo pronađenu vrijednost
u jednadžbu hrpe ravnina (12). Dobivamo jednadžbu željene ravnine:

Problemi koje treba samostalno riješiti

Zadatak 77. Dovedite jednadžbu pravaca u kanonski oblik:

1)
2)

Zadatak 78. Napiši parametarske jednadžbe pravca
, ako:

1)
,
; 2)
,
.

Problem 79. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom
okomito na ravnu liniju

Zadatak 80. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom
okomito na ravninu.

Zadatak 81. Odredite kut između pravaca:

1)
I
;

2)
I

Zadatak 82. Dokažite paralelnost pravaca:

I
.

Zadatak 83. Dokažite okomitost pravaca:

I

Zadatak 84. Izračunajte udaljenost točke
iz ravne linije:

1)
; 2)
.

Zadatak 85. Izračunaj udaljenost između paralelnih pravaca:

I
.

Problem 86. U jednadžbama pravca
definirati parametar tako da se taj pravac siječe s pravcem i nađi točku njihova sjecišta.

Problem 87. Pokažite da je ravna
paralelno s ravninom
, i ravna linija
leži u ovoj ravnini.

Problem 88. Pronađite točku simetrična točka u odnosu na ravninu
, ako:

1)
, ;

2)
, ;.

Zadatak 89. Napišite jednadžbu okomice spuštene iz točke
direktno
.

Problem 90. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno
.

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da sam sebi čita rečenicu =) Ipak, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajući pribor. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Uzajamni položaj dviju ravnih linija

To je slučaj kada publika zborski pjeva. Dvije ravne linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : Zapamtite matematički znak raskrižja, pojavit će se vrlo često. Oznaka znači da se pravac siječe s pravcem u točki .

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji broj "lambda" takav da vrijede jednakosti

Razmotrimo ravne linije i izradimo tri jednadžbe iz odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s –1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjiti za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj, kada su linije paralelne:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: , ali .

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, sasvim je očito da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dvije se linije sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti za varijable NISU proporcionalni, to jest, NE POSTOJI takva "lambda" vrijednost koju jednakosti vrijede

Dakle, za ravne linije stvorit ćemo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi , a iz druge jednadžbe: , što znači da je sustav nekonzistentan (nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo govorili. Usput, vrlo podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora, o čemu smo govorili u lekciji Koncept linearne (ne) ovisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civiliziranije pakiranje:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Rješenje se temelji na proučavanju vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, što znači da vektori nisu kolinearni i da se pravci sijeku.

Za svaki slučaj postavit ću kamen sa znakovima na raskršću:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili se podudaraju. Ovdje ne treba računati determinantu.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni i .

Utvrdimo je li jednakost istinita:

Tako,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (općenito je zadovoljava bilo koji broj).

Dakle, linije se podudaraju.

odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste čak već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim smisla nuditi ništa za neovisno rješenje; bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako konstruirati pravac paralelan zadanom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka, Slavuj Razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom. Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: Označimo nepoznati pravac slovom . Što stanje govori o njoj? Pravac prolazi točkom. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera ravne linije "tse" također prikladan za konstruiranje ravne linije "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

odgovor:

Primjer geometrije izgleda jednostavno:

Analitičko ispitivanje sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

U većini slučajeva, analitička ispitivanja mogu se jednostavno izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo odrediti paralelnost pravaca bez ikakvog crteža.

Primjeri za neovisna rješenja danas će biti kreativni. Jer i dalje ćete se morati natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne toliko racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustava linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Evo geometrijskog značenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice - to su dvije (najčešće) dvije crte na ravnini koje se sijeku.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafička metoda je jednostavno crtanje zadanih linija i pronalaženje sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava. U biti, gledali smo na grafički način rješavanja sustava linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke ravne linije nije lako konstruirati, a sama točka sjecišta može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku sjecišta svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate sjecišta moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednadžbu pravca.
2) Zapišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj akcijskog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Čak ni par cipela nije bio izlizan prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između ravnih linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu s ovom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako konstruirati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom. Napišite jednadžbu okomitu na pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: Po uvjetu je poznato da . Bilo bi lijepo pronaći smjerni vektor pravca. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Sastavimo jednadžbu ravne linije koristeći točku i vektor smjera:

odgovor:

Proširimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Iz jednadžbi izvadimo vektore smjera a pomoću skalarnog produkta vektora dolazimo do zaključka da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Test je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Postoji nekoliko radnji u problemu, pa je prikladno formulirati rješenje točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalniji put će biti kretanje po okomici. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od točke “em” do pravca “de”.

Udaljenost od točke do linije izražen formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

odgovor:

Napravimo crtež:

Pronađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak na temelju istog crteža:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na ravnu crtu . Predlažem da sami izvedete korake, ali ja ću prikazati algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Koordinate sredine i jednog od krajeva znamo. Koristeći formule za koordinate sredine segmenta, nalazimo .

Bilo bi dobro provjeriti je li i udaljenost 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, omogućujući vam izračunavanje običnih razlomaka. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer za koji sami odlučujete. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se to riješi. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami pogoditi, mislim da je vaša genijalnost dobro razvijena.

Kut između dviju ravnih linija

Svaki kutak je zastoj:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran kutak "malina".

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut "pomiče" je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da se možemo snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da formule pomoću kojih ćemo pronaći kutove vrlo lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativni kut, strijelicom (u smjeru kazaljke na satu) označite njegovu orijentaciju.

Kako pronaći kut između dviju ravnih linija? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Rješenje i prva metoda

Razmotrimo dvije ravne linije definirane jednadžbama u općem obliku:

Ako linije nisu okomite, onda orijentiran Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je upravo skalarni produkt vektora smjera pravaca:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva o neokomitosti ravnih linija u formulaciji.

Na temelju gore navedenog, prikladno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni produkt vektora smjera pravaca:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Pronađite kut između ravnih linija pomoću formule:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

odgovor:

U vašem odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u tvrdnji problema prvi broj ravna crta i upravo je s njom počelo “odvrtanje” kuta.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

U srpnju 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letjelica će na Mars dostaviti elektronički medij s imenima svih prijavljenih sudionika ekspedicije.

Ako je ovaj post riješio vaš problem ili vam se samo svidio, podijelite link do njega sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Još jedan doček Nove godine... mraz i snježne pahulje na prozorskom staklu... Sve me to ponukalo da ponovno pišem o... fraktalima i onome što Wolfram Alpha zna o njima. Postoji zanimljiv članak na tu temu, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati složenije primjere trodimenzionalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno prikazati (opisati) kao geometrijski lik ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju, skup točaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sam originalni lik. To jest, ovo je samoslična struktura, proučavajući pojedinosti koje kada se povećaju, vidjet ćemo isti oblik kao i bez povećanja. Dok ćemo u slučaju običnog geometrijskog lika (ne fraktala) pri povećanju vidjeti detalje koji imaju jednostavniji oblik od samog izvornog lika. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao isječak ravne linije. To se ne događa s fraktalima: s bilo kakvim njihovim povećanjem, ponovno ćemo vidjeti isti složeni oblik, koji će se ponavljati uvijek iznova sa svakim povećanjem.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost u ime znanosti: "Fraktali su geometrijski oblici koji su jednako složeni u svojim detaljima kao iu svom ukupnom obliku. To jest, ako je dio fraktala će se povećati do veličine cjeline, izgledat će kao cjelina, bilo točno, bilo možda s malom deformacijom."