Logaritam - svojstva, formule, graf. Logaritam - svojstva, formule, graf Povezanost s inverznim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

Eksponencijalna funkcija realne varijable (s pozitivnom bazom) određuje se u nekoliko koraka. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao proizvod jednakih faktora. Definicija se zatim proširuje na negativne cijele brojeve i vrijednosti različite od nule prema pravilima. Zatim ćemo razmotriti frakcijske eksponente u kojima je vrijednost eksponencijalne funkcije određena pomoću korijena: . Za iracionalne vrijednosti definicija je već povezana s osnovnim konceptom matematičke analize - s prijelazom do granice, iz razloga kontinuiteta. Sva ova razmatranja ni na koji način nisu primjenjiva na pokušaje proširenja eksponencijalne funkcije na složene vrijednosti indikatora, a što je, na primjer, potpuno je nejasno.

Prvi put je potenciju s kompleksnim eksponentom s prirodnom bazom uveo Euler na temelju analize niza konstrukcija integralnog računa. Ponekad vrlo slični algebarski izrazi, kada se integriraju, daju potpuno različite odgovore:

U isto vrijeme, ovdje je drugi integral formalno dobiven iz prvog kada se zamijeni s

Iz ovoga možemo zaključiti da su pravilnom definicijom eksponencijalne funkcije s kompleksnim eksponentom inverzne trigonometrijske funkcije povezane s logaritmima, a time i eksponencijalna funkcija s trigonometrijskim.

Euler je imao hrabrosti i mašte dati razumnu definiciju eksponencijalne funkcije s bazom, naime,

Ovo je definicija, pa se ova formula ne može dokazati, već se mogu samo tražiti argumenti u prilog razumnosti i svrsishodnosti takve definicije. Matematička analiza daje mnoge argumente ove vrste. Ograničit ćemo se na samo jedno.

Poznato je da za realno postoji granična relacija: . Na desnoj strani nalazi se polinom koji također ima smisla za složene vrijednosti za . Granica niza kompleksnih brojeva određena je prirodno. Niz se smatra konvergentnim ako nizovi realnih i imaginarnih dijelova konvergiraju i prihvaća se

Pronađimo ga. Da bismo to učinili, okrenimo se trigonometrijskom obliku i za argument ćemo odabrati vrijednosti iz intervala. Kod ovog izbora jasno je da za . Unaprijediti,

Da biste došli do ograničenja, morate provjeriti postojanje ograničenja za i pronaći te granice. Jasno je da

Dakle, u izrazu

stvarni dio teži , imaginarni dio teži tome

Ovaj jednostavan argument daje jedan od argumenata u korist Eulerove definicije eksponencijalne funkcije.

Ustanovimo sada da se pri množenju vrijednosti eksponencijalne funkcije eksponenti zbrajaju. Stvarno:

2. Eulerove formule.

Stavimo u definiciju eksponencijalne funkcije. Dobivamo:

Zamjenom b sa -b, dobivamo

Zbrajanjem i oduzimanjem ovih jednakosti član po član, nalazimo formule

nazvane Eulerove formule. Uspostavljaju vezu između trigonometrijskih funkcija i eksponencijalnih funkcija s imaginarnim eksponentima.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj zadan u trigonometrijskom obliku može se napisati u obliku. Ovaj oblik zapisa kompleksnog broja naziva se eksponencijalni. Zadržava sva dobra svojstva trigonometrijske forme, ali je još sažetija. Nadalje, prirodno je pretpostaviti da je realni dio logaritma kompleksnog broja logaritam njegovog modula, a imaginarni dio njegov argument. Ovo donekle objašnjava "logaritamsko" svojstvo argumenta - argument umnoška jednak je zbroju argumenata faktora.

Dokaz formule .

= =

budući da sinus i kosinus ne ovise o zbrajanju kuta koji je višekratnik

A ova jednakost je već očita, budući da je ovo trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Dakle, logaritam postoji za sve točke u ravnini osim za nulu. Za realan pozitivan broj, argument je 0, tako da ovaj beskonačni skup točaka ima oblik , odnosno jedna od vrijednosti, naime, pri , padat će na realnu os. Ako izračunamo logaritam negativnog broja, dobivamo , odnosno skup točaka je pomaknut prema gore i nijedna od njih ne pada na realnu os.

Iz formule je jasno da samo kada je argument izvornog broja nula, jedna od vrijednosti logaritma pada na pravu os. A to odgovara desnoj poluosi, i zato su se u školskom tečaju matematike razmatrali samo logaritmi pozitivnih brojeva. Logaritmi negativnih i imaginarnih brojeva također postoje, ali nemaju jednu vrijednost na realnoj osi.

Sljedeći crtež pokazuje gdje se sve vrijednosti logaritma pozitivnog broja nalaze u ravnini. Jedan od njih je na realnoj osi, ostali su iznad i ispod na , , i tako dalje. Za negativan ili kompleksan broj, argument je različit od nule, pa je ovaj niz točaka pomaknut okomito, što rezultira bez točaka na realnoj osi.

Primjer. Izračunati.

Riješenje. Definirajmo modul broja (jednak 2) i argumenta 180 0 tj. Zatim = .

Dodatak 1. Pitanja za dokaz (za ulaznice).

Predavanje br.1

1. Dokažite formulu za integraciju po dijelovima.

Predavanje br.2

1. Dokažite da zamjena , gdje je r = LCM (r 1 ,...,r k) svodi integral na integral racionalnog razlomka.

2. Dokažite da zamjena reducira integral oblika integralu racionalnog razlomka.

3. Izvedite formule za preračunavanje sinusa i kosinusa

Za univerzalnu trigonometrijsku zamjenu.

4. Dokažite da u slučaju kada je funkcija neparna u odnosu na kosinus, zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

5. Dokaži da je u slučaju kada

supstitucija: svodi integral na racionalni razlomak.

6. Dokažite da je za integral oblika

7. Dokažite formulu

8. Dokažite da je za integral oblika zamjena daje integral u racionalni razlomak.

9. Dokažite da je za integral oblika zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

Predavanje br.3

1. Dokaži da funkcija je antiderivacija funkcije .

2. Dokažite Newton-Leibnizovu formulu: .

3. Dokažite formulu za duljinu eksplicitno zadane krivulje:

4. Dokažite formulu za duljinu krivulje zadane u polarnim koordinatama

Predavanje br.4

Dokažite teorem: konvergira, konvergira.

Predavanje br.5

1. Izvedite (dokažite) formulu za površinu eksplicitno zadane površine .

2. Izvođenje formula za prijelaz na polarne koordinate.

3. Derivacija Jakobijeve determinante polarnih koordinata.

4. Izvođenje formula za prijelaz na cilindrične koordinate.

5. Derivacija Jacobijeve determinante cilindričnih koordinata.

6. Izvođenje formula za prijelaz na sferne koordinate:

Predavanje br.6

1. Dokažite da supstitucija svodi homogenu jednadžbu na jednadžbu sa separabilnim varijablama.

2. Izvedite opći oblik rješenja linearne homogene jednadžbe.

3. Lagrangeovom metodom izvesti opći oblik rješenja linearne nehomogene jednadžbe.

4. Dokažite da supstitucija svodi Bernoullijevu jednadžbu na linearnu jednadžbu.

Predavanje br.7.

1. Dokažite da zamjena smanjuje red jednadžbe za k.

2. Dokažite da zamjena smanjuje red jednadžbe za jedan .

3. Dokažite teorem: Funkcija je rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe i ima karakteristični korijen.

4. Dokažite teorem da linearna kombinacija rješenja linearne homogene dif. jednadžba je ujedno i njezino rješenje.

5. Dokažite teorem o nametanju rješenja: Ako je rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe s desnom stranom, a rješenje iste diferencijalne jednadžbe, ali s desnom stranom, tada je zbroj rješenje jednadžbe s desnom stranom.

Predavanje br.8.

1. Dokažite teorem da je sustav funkcija linearno ovisan.

2. Dokažite teorem da postoji n linearno neovisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n.

3. Dokažite da ako je 0 korijen višestrukosti , tada sustav rješenja koji odgovara tom korijenu ima oblik .

Predavanje br.9.

1. Dokažite koristeći eksponencijalni oblik da se kod množenja kompleksnih brojeva moduli množe i argumenti zbrajaju.

2. Dokažite Moivreovu formulu za stupanj n

3. Dokažite formulu za korijen kompleksnog broja reda n

4. Dokažite to I

su generalizacije sinusa i kosinusa, tj. za realne brojeve, ove formule će dati sinus (kosinus).

5. Dokažite formulu za logaritam kompleksnog broja:

Dodatak 2.

Dodatna i usmena pitanja o poznavanju teorije (za kolokvije).

Predavanje br.1

1. Što je antiderivacija i neodređeni integral, po čemu se razlikuju?

2. Objasni zašto je i antiderivat.

3. Napiši formulu za integraciju po dijelovima.

4. Koja je zamjena potrebna u obliku integrala i kako ona eliminira korijene?

5. Napiši vrstu dekompozicije integranda racionalnog razlomka na najjednostavnije u slučaju kada su svi korijeni različiti i realni.

6. Zapišite vrstu dekompozicije integranda racionalnog razlomka na najjednostavnije u slučaju kada su svi korijeni realni i postoji jedan višestruki korijen množine k.

Predavanje br.2.

1. Napiši što je rastavljanje racionalnog razlomka na najjednostavnije u slučaju kada nazivnik ima faktor 2 stupnja s negativnom diskriminantom.

2. Kojom se zamjenom integral svodi na racionalni razlomak?

3. Što su univerzalne trigonometrijske supstitucije?

4. Koje se zamjene rade u slučajevima kada je funkcija pod predznakom integrala neparna u odnosu na sinus (kosinus)?

5. Koje se zamjene izvode ako integrand sadrži izraze , , ili .

Predavanje br.3.

1. Definicija određenog integrala.

2. Nabrojite neka od osnovnih svojstava određenog integrala.

3. Napišite Newton-Leibnizovu formulu.

4. Napiši formulu za volumen tijela rotacije.

5. Napišite formulu za duljinu eksplicitno zadane krivulje.

6. Napišite formulu za duljinu parametarski definirane krivulje.

Predavanje br.4.

1. Definicija nepravog integrala (pomoću granice).

2. Koja je razlika između nepravih integrala 1. i 2. vrste.

3. Navedite jednostavne primjere konvergentnih integrala 1. i 2. vrste.

4. Na kojim vrijednostima konvergiraju integrali (T1)?

5. Kako je konvergencija povezana s konačnom granicom antiderivacije (T2)

6. Koji je nužan kriterij konvergencije, njegova formulacija.

7. Usporedni test u konačnom obliku

8. Znak usporedbe u ekstremnom obliku.

9. Definicija višestrukog integrala.

Predavanje br.5.

1. Mijenjanje redoslijeda integracije, pokazati na jednostavnom primjeru.

2. Napiši formulu za površinu.

3. Što su polarne koordinate, napišite formule prijelaza.

4. Što je jakobijan polarnog koordinatnog sustava?

5. Što su cilindrične i sferne koordinate, koja je njihova razlika.

6. Što je Jacobian cilindričnih (sfernih) koordinata?

Predavanje br.6.

1. Što je diferencijalna jednadžba 1. reda (opći pogled).

2. Što je diferencijalna jednadžba 1. reda riješena s obzirom na derivaciju. Navedite neki primjer.

3. Što je jednadžba sa separabilnim varijablama.

4. Što je opće, partikularno rješenje, Cauchyjevi uvjeti.

5. Što je homogena jednadžba, koja je opća metoda za njezino rješavanje.

6. Što je linearna jednadžba, koji je algoritam za njeno rješavanje, što je Lagrangeova metoda.

7. Što je Bernoullijeva jednadžba, algoritam za njeno rješavanje.

Predavanje br.7.

1. Koja je zamjena potrebna za jednadžbu oblika .

2. Koja je zamjena potrebna za jednadžbu oblika .

3. Pokažite na primjerima kako se može izraziti u obliku .

4. Što je linearna diferencijalna jednadžba reda n.

5. Što je karakteristični polinom, karakteristična jednadžba.

6. Formulirajte teorem o tome pri kojem r je funkcija rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe.

7. Formulirajte teorem da je linearna kombinacija rješenja linearne homogene jednadžbe ujedno i njezino rješenje.

8. Formulirajte teorem o nametanju rješenja i njegove posljedice.

9. Što su linearno ovisni i linearno nezavisni sustavi funkcija, navedite primjere.

10. Što je determinanta Wronskog sustava od n funkcija, navedite primjer determinante Wronskog za LZS i LNS sustave.

Predavanje br.8.

1. Koje svojstvo ima determinanta Wronskog ako je funkcija sustava linearno ovisna.

2. Koliko linearno neovisnih rješenja postoji za linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu reda n.

3. Određivanje FSR-a (fundamentalnog sustava rješenja) linearne homogene jednadžbe reda n.

4. Koliko funkcija sadrži FSR?

5. Zapišite oblik sustava jednadžbi za pronalaženje Lagrangeovom metodom za n=2.

6. Napiši vrstu pojedinog rješenja u slučaju kada

7. Što je linearni sustav diferencijalnih jednadžbi, napišite neki primjer.

8. Što je autonomni sustav diferencijalnih jednadžbi.

9. Fizikalno značenje sustava diferencijalnih jednadžbi.

10. Zapišite od kojih se funkcija sastoji FSR sustava jednadžbi, ako su poznate svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori glavne matrice ovog sustava.

Predavanje br.9.

1. Što je imaginarna jedinica.

2. Što je konjugirani broj i što se događa kada ga pomnožite s izvornim brojem.

3. Što je trigonometrijski, eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

4. Napiši Eulerovu formulu.

5. Što je modul, argument kompleksnog broja.

6. što se događa s modulima i argumentima tijekom množenja (dijeljenja).

7. Napišite Moivreovu formulu za stupanj n.

8. Napiši formulu za korijen reda n.

9. Napišite generalizirane formule za sinus i kosinus za složeni argument.

10. Napiši formulu za logaritam kompleksnog broja.

Prilog 3. Zadaci s predavanja.

Predavanje br.1

Primjer. . Primjer. .

Primjer. Primjer. .

Primjer. . Primjer. .

Predavanje br.2

Primjer. . Primjer. .

Primjer. . Primjer.. , gdje, broj .

Primjer. Podijeli eksponencijalno.

Primjer. Pronađite pomoću Moivreove formule.

Primjer. Pronađite sve vrijednosti korijena.

Plan:

1 Realni logaritam
- 1.1 Svojstva
- 1.2 Logaritamska funkcija
- 1.3 Prirodni logaritmi
- 1.4 Decimalni logaritmi
2 Složeni logaritam
- 2.1 Definicija i svojstva
- 2.2 Primjeri
- 2.3 Analitički nastavak
- 2.4 Riemannova površina
3 Povijesna crtica
- 3.1 Realni logaritam
- 3.2 Složeni logaritam
4 Logaritamske tablice
5 Prijave

Uvod

Riža. 1. Grafovi logaritamskih funkcija

Logaritam broja b na temelju a (s grčkog λόγος - “riječ”, “stav” i ἀριθμός - “broj”) je definiran kao pokazatelj snage na koju se baza mora podići a da dobijem broj b. Oznaka: . Iz definicije proizlazi da su zapisi i ekvivalentni.

Na primjer, jer.

1. Realni logaritam

Logaritam logaritma realnog broja a b ima smisla kada . Kao što je poznato, eksponencijalna funkcija g = a x je monoton i svaka vrijednost uzima samo jednom, a raspon njegovih vrijednosti sadrži sve pozitivne realne brojeve. Iz toga slijedi da vrijednost realnog logaritma pozitivnog broja uvijek postoji i da je jednoznačno određena.

Najčešće korištene vrste logaritama su:

1.1. Svojstva

Dokaz

Dokažimo to.

(jer po uvjetu bc > 0). ■

Dokaz

Dokažimo to

(budući da prema uvjetu ■

Dokaz

Koristimo identitet da to dokažemo. Logaritmirajmo obje strane identiteta na bazu c. Dobivamo:

Dokaz

Dokažimo to.

(jer b str> 0 prema uvjetu). ■

Dokaz

Dokažimo to

Dokaz

Logaritmirajte lijevu i desnu stranu na bazu c :

Lijeva strana: Desna strana:

Jednakost izraza je očita. Kako su logaritmi jednaki, onda su zbog monotonosti logaritamske funkcije i sami izrazi jednaki. ■

1.2. Logaritamska funkcija

Ako logaritamski broj smatramo varijablom, dobivamo logaritamska funkcija g=log a x (vidi sliku 1). Definirano je na . Raspon vrijednosti: .

Funkcija se strogo povećava na a> 1 i striktno pada na 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ravno x= 0 je lijeva vertikalna asimptota, budući da je at a> 1 i na 0< a < 1 .

Derivacija logaritamske funkcije jednaka je:

Dokaz

I. Dokažimo to

Zapišimo identitet e ul x = x te razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

To dobivamo, iz čega slijedi da

II. Dokažimo to

Logaritamska funkcija izvodi izomorfizam između multiplikativne skupine pozitivnih realnih brojeva i aditivne skupine svih realnih brojeva.

1.3. Prirodni logaritmi

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Kao što je gore navedeno, derivat prirodnog logaritma ima jednostavnu formulu:

Zbog toga se prirodni logaritmi pretežno koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi, proučavanju statističkih ovisnosti (na primjer, distribucija prostih brojeva) itd.

Neodređeni integral prirodnog logaritma može se lako pronaći integracijom po dijelovima:

Proširenje Taylorovog niza može se predstaviti na sljedeći način:
kada je jednakost istinita

(1)

Posebno,

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

1.4. Decimalni logaritmi

Riža. 2a. Logaritamska ljestvica

Riža. 2b. Logaritamska skala sa simbolima

Logaritmi s bazom 10 (simbol: lg a) prije izuma kalkulatora naširoko su se koristili za izračune. Neujednačena ljestvica decimalnih logaritama obično se primjenjuje na kliznu liniju. Slična se ljestvica koristi u mnogim područjima znanosti, na primjer:

Fizika - intenzitet zvuka (decibeli).
Astronomija - skala sjaja zvijezda.
Kemija - aktivnost vodikovih iona (pH).
Seizmologija - Richterova ljestvica.
Teorija glazbe - notna ljestvica, u odnosu na frekvencije glazbenih nota.
Povijest je logaritamska vremenska skala.

Logaritamska ljestvica također se široko koristi za identifikaciju eksponenata u odnosima snaga i koeficijenta u eksponentu. U ovom slučaju, grafikon konstruiran na logaritamskoj skali duž jedne ili dvije osi ima oblik ravne linije, što je lakše proučavati.

2. Složeni logaritam

2.1. Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve, logaritam je definiran na isti način kao i realni. U praksi se koristi gotovo isključivo prirodni kompleksni logaritam, koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w . Kompleksni logaritam postoji za svaki , a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni dio ima beskonačno mnogo vrijednosti. Zbog toga se naziva funkcija s više vrijednosti. Ako zamislite w u demonstrativnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k- proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobivena kada k= 0, zove se glavna važnost složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzeti vrijednost argumenta u njemu u intervalu (− π,π]. Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija naziva se glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad također označavaju vrijednost logaritma koja nije na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Budući da su složene trigonometrijske funkcije povezane s eksponentom (Eulerova formula), kompleksni logaritam, kao inverzna funkcija eksponencijala, povezan je s inverznim trigonometrijskim funkcijama. Primjer takve veze:

2.2. Primjeri

Navedimo glavnu vrijednost logaritma za neke argumente:

Trebate biti oprezni kada pretvarate složene logaritme, uzimajući u obzir da su oni višeznačni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne implicira jednakost tih izraza. Primjer pogrešnog obrazloženja:

jaπ = ln(− 1) = ln((− ja) 2) = 2ln(− ja) = 2(− jaπ / 2) = − jaπ - čisti apsurd.

Imajte na umu da je s lijeve strane glavna vrijednost logaritma, a s desne je vrijednost iz temeljne grane ( k= − 1 ). Uzrok pogreške je neoprezno korištenje svojstva koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačni skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

2.3. Analitički nastavak

Riža. 3. Kompleksni logaritam (imaginarni dio)

Logaritam kompleksnog broja također se može definirati kao analitičko proširenje realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravninu. Neka krivulja Γ počinje na jedinici, ne prolazi kroz nulu i ne siječe negativni dio realne osi. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj točki w krivulja Γ može se odrediti formulom:

Ako je Γ jednostavna krivulja (bez samosjecišta), tada se za brojeve koji leže na njoj mogu bez bojazni primijeniti logaritamske identičnosti, npr.

Ako se dopusti da krivulja Γ siječe negativni dio realne osi, tada prvo takvo sjecište prenosi rezultat s grane glavne vrijednosti na susjednu granu, a svako sljedeće sjecište uzrokuje sličan pomak duž grana logaritamske funkcije ( vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da na bilo kojoj grani logaritma

Za bilo koji krug S, pokrivajući točku 0:

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (suprotno od kazaljke na satu). Ovaj identitet je temelj teorije ostataka.

Također možete definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma pomoću gornjeg niza (1), generaliziranog na slučaj složenog argumenta. Međutim, iz vrste proširenja slijedi da je na jedinici jednak nuli, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu višeznačne funkcije kompleksnog logaritma.

2.4. Riemannova površina

Složena logaritamska funkcija je primjer Riemannove plohe; njegov zamišljeni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih u obliku spirale. Ova površina je jednostavno povezana; njegova jedina nula (prvog reda) se dobiva na z= 1, singularne točke: z= 0 i (točke grananja beskonačnog reda).

Riemannova ploha logaritma je univerzalno pokrivanje za kompleksnu ravninu bez točke 0.

3. Povijesna crtica

3.1. Realni logaritam

Potreba za složenim izračunima naglo je rasla u 16. stoljeću, a velik dio poteškoća bio je povezan s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva i vađenjem korijena. Krajem stoljeća nekoliko se matematičara, gotovo istodobno, dosjetilo: zamijeniti mukotrpno množenje jednostavnim zbrajanjem, koristeći posebne tablice za usporedbu geometrijskih i aritmetičkih progresija, pri čemu bi geometrijska bila izvorna. Tada se dijeljenje automatski zamjenjuje nemjerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem, te vađenjem korijena stupnja n svodi se na dijeljenje logaritma radikalnog izraza sa n. On je tu ideju prvi objavio u svojoj knjizi “ Integralna aritmetika“Michael Stiefel, koji se, međutim, nije ozbiljnije zalagao za realizaciju svoje ideje.

Godine 1614. škotski matematičar John Napier objavio je esej na latinskom pod naslovom " Opis nevjerojatne tablice logaritama“ (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Sadržavao je kratak opis logaritama i njihovih svojstava, kao i 8-znamenkaste tablice logaritama sinusa, kosinusa i tangensa, s korakom od 1". Pojam logaritam, koju je predložio Napier, etablirao se u znanosti. Napier je iznio teoriju logaritama u svojoj drugoj knjizi " Izrada nevjerojatne logaritamske tablice“ (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), koju je posthumno 1619. objavio njegov sin.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je definirao logaritam kinematički, uspoređujući ravnomjerno i logaritamski usporeno kretanje; na primjer, definirao je logaritam sinusa na sljedeći način:

Logaritam danog sinusa je broj koji je uvijek rastao aritmetički istom brzinom kojom se ukupni sinus počeo geometrijski smanjivati.

U modernoj notaciji, Napierov kinematički model može se prikazati diferencijalnom jednadžbom: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor ljestvice uveden kako bi se osiguralo da vrijednost ispadne cijeli broj s potrebnim brojem znamenki (decimalni razlomci još nisu bili naširoko korišteni). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tabelirao pogrešnu funkciju, koja se sada naziva logaritam. Ako njegovu funkciju označimo LogNap(x), ona je povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očito je LogNap(M) = 0, odnosno logaritam “punog sinusa” je nula - to je Napier postigao svojom definicijom. .

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako veličine tvore geometrijsku progresiju, tada njihovi logaritmi tvore aritmetičku progresiju. Međutim, pravila logaritma za neperovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tablici sadržavale su računsku pogrešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračunavanja da dobije široku popularnost, a mnogi europski matematičari, uključujući Keplera, počeli su sastavljati logaritamske tablice. Samo 5 godina kasnije, 1619., londonski učitelj matematike John Spidell ( John Speidell) ponovno je izdao Napierove tablice, transformirane tako da su postale tablice prirodnih logaritama (iako je Spidell zadržao skaliranje na cijele brojeve). Pojam "prirodni logaritam" predložio je talijanski matematičar Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) sredinom 16. stoljeća.

U 1620-ima, Edmund Wingate i William Oughtred izumili su prvi klizač, prije pojave džepnih kalkulatora - nezamjenjivog inženjerskog alata.

Blisko modernom razumijevanju logaritmiranja - kao obratne operacije dizanja na potenciju - prvi put se pojavilo kod Wallisa i Johanna Bernoullija, a konačno ga je ozakonio Euler u 18. stoljeću. U knjizi “Uvod u analizu beskonačnosti” (1748.) Euler je dao suvremene definicije i eksponencijalne i logaritamske funkcije, proširio ih u redove potencija, a posebno je istaknuo ulogu prirodnog logaritma.

Euler je također zaslužan za proširenje logaritamske funkcije na kompleksnu domenu.

3.2. Složeni logaritam

Prve pokušaje proširenja logaritma na kompleksne brojeve učinili su na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće Leibniz i Johann Bernoulli, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju, prvenstveno zato što sam pojam logaritma još nije bio jasno definiran. Rasprava o ovom pitanju vodila se prvo između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. stoljeća - između d'Alemberta i Eulera. Bernoulli i d'Alembert smatrali su da treba odrediti log(-x) = log(x). Potpunu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747.-1751. i ona se u biti ne razlikuje od moderne.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji iu drugim djelima), Eulerovo gledište brzo je steklo univerzalno priznanje.

4. Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto mukotrpnog množenja višeznamenkastih brojeva dovoljno pronaći (iz tablica) i zbrajati njihove logaritme, a zatim pomoću istih tablica izvršiti potenciranje, odnosno pronaći vrijednost rezultata iz njegovog logaritma. Dijeljenje se razlikuje samo po tome što se oduzimaju logaritmi. Laplace je rekao da je izum logaritama "produžio život astronomima" tako što je uvelike ubrzao proces izračunavanja.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n znamenki, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja mijenja se u n. Na primjer, log8314.63 = log8.31463 + 3. Iz toga slijedi da je dovoljno sastaviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier (1614.), a sadržavale su samo logaritme trigonometrijskih funkcija i to s pogreškama. Neovisno o njemu, Joost Burgi, Keplerov prijatelj, objavio je njegove tablice (1620.). Godine 1617. oxfordski profesor matematike Henry Briggs objavio je tablice koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, s 8 (kasnije 14) znamenki. No bilo je i grešaka u Briggsovim tablicama. Prvo izdanje bez grešaka na temelju Veginih tablica (1783.) pojavilo se tek 1857. u Berlinu (Bremiwerove tablice).

U Rusiji su prve tablice logaritama objavljene 1703. uz sudjelovanje L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki logaritamskih tablica.

Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice. 44. izdanje, M., 1973.

Bradisove tablice (1921.) korištene su u obrazovnim ustanovama iu inženjerskim proračunima koji nisu zahtijevali veliku točnost. Sadržale su mantise decimalnih logaritama brojeva i trigonometrijskih funkcija, prirodne logaritme i neke druge korisne alate za izračunavanje.

Vega G. Tablice sedmeroznamenkastih logaritama, 4. izdanje, M., 1971.

Profesionalna zbirka za precizne izračune.

Petoznamenkaste tablice prirodnih vrijednosti trigonometrijskih veličina, njihovih logaritama i logaritama brojeva, 6. izdanje, M.: Nauka, 1972.
Tablice prirodnih logaritama, 2. izdanje, u 2 sveska, M.: Nauka, 1971.

U današnje vrijeme, širenjem kalkulatora, nestala je potreba za korištenjem tablica logaritama.

M, Značajka (kompleksna analiza).

Prirodni logaritmi

Za derivaciju prirodnog logaritma vrijedi jednostavna formula:

Zbog toga se prirodni logaritmi pretežno koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi jednadžbe, proučavanje statističkih ovisnosti (na primjer, distribucije jednostavnih brojevi) itd.

Kada je jednakost istinita

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Decimalni logaritmi

Riža. 2. Logaritamska ljestvica

Logaritmi s bazom 10 (simbol: lg a) prije izuma kalkulatori naširoko koristi za računalstvo. Neujednačena ljestvica Decimalni logaritmi se obično ucrtavaju slajd pravila. Slična se ljestvica široko koristi u raznim područjima znanosti, na primjer:

Fizika- intenzitet zvuka ( decibela).

Astronomija- mjerilo sjaj zvijezda.

Kemija- aktivnost vodik ioni (pH).

Seizmologija - Richterova ljestvica.

Teorija glazbe- notna ljestvica, u odnosu na frekvencije notnih zvukova.

Priča - logaritamska vremenska skala.

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = log a x, definirano na

Istraživanje logaritamske funkcije

Domena:

Opseg:

Graf bilo koje logaritamske funkcije prolazi točkom (1;0)

Derivacija logaritamske funkcije jednaka je:

Dokaz [pokazati]

I. Dokažimo to

Zapišimo identitet e ul x = x te razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

Shvaćamo to , iz čega proizlazi da

II. Dokažimo to

Funkcija se strogo povećava na a> 1 i striktno pada na 0 a

Ravno x= 0 je lijevo vertikalna asimptota, jer na a> 1 i na 0 a

Složeni logaritam

Višeznačna funkcija

Za kompleksni brojevi Logaritam se definira na isti način kao i realni. Počnimo s prirodnim logaritmom, koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w. Kompleksni logaritam postoji za svaki , a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni dio ima beskonačno mnogo vrijednosti. Zbog toga se naziva funkcija s više vrijednosti. Ako zamislite w u demonstrativnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k- proizvoljno cijeli broj. Vrijednost dobivena kada k= 0, zove se glavna važnost složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzimati vrijednost argumenta u intervalu (− π,π]. Odgovarajuća (već jednostruka) funkcija naziva se glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad također označavaju vrijednost logaritma koja nije na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Primjeri (dana je glavna vrijednost logaritma):

Slično se postupa sa složenim logaritmima s različitom bazom. Međutim, treba biti oprezan pri pretvaranju složenih logaritama, uzimajući u obzir da su oni višeznačni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne implicira jednakost tih izraza. Primjer pogrešnog obrazloženja:

jaπ = ln(− 1) = ln((− ja) 2) = 2ln(− ja) = 2(− jaπ / 2) = − jaπ je očiti apsurd.

Imajte na umu da je s lijeve strane glavna vrijednost logaritma, a s desne je vrijednost iz temeljne grane ( k= − 1). Uzrok pogreške je neoprezno korištenje svojstva koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačni skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Riemannova površina

Složena logaritamska funkcija - primjer Riemannova površina; njegov zamišljeni dio (sl. 3) sastoji se od beskonačnog broja grana, spiralno uvijenih. Ova površina jednostavno povezani; njegova jedina nula (prvog reda) se dobiva na z= 1, singularne točke: z= 0 i (točke grananja beskonačnog reda).

Riemannova ploha logaritma je univerzalno pokrivanje za kompleksnu ravninu bez točke 0.

Povijesna crtica

Realni logaritam

Potreba za složenim proračunima u XVI stoljeće brzo je rastao, a velik dio poteškoća bio je povezan s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva. Krajem stoljeća nekoliko je matematičara gotovo istodobno došlo na ideju: zamijeniti naporno množenje jednostavnim zbrajanjem, uspoređujući pomoću posebnih tablica. geometrijski I aritmetika progresija, dok će geometrijska biti izvorna. Tada se dijeljenje automatski zamjenjuje nemjerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem. On je tu ideju prvi objavio u svojoj knjizi “ Integralna aritmetika» Michael Stiefel, koji se, međutim, nije ozbiljnije potrudio da svoju ideju provede.

U 1614Škotski matematičar amater John Napier objavio je esej na latinskom pod naslovom “ Opis nevjerojatne tablice logaritama" Sadržavao je kratak opis logaritama i njihovih svojstava, kao i 8-znamenkaste tablice logaritama sinusa, kosinusima I tangente, u koracima od 1". Termin logaritam, koju je predložio Napier, etablirao se u znanosti.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je definirao logaritam kinematički, uspoređujući ravnomjerno i logaritamski usporeno kretanje. U modernoj notaciji, Napierov model može se prikazati diferencijalnom jednadžbom: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor ljestvice uveden kako bi se osiguralo da vrijednost ispadne cijeli broj s potrebnim brojem znamenki (decimalni razlomci još nisu bili naširoko korišteni). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tabelirao pogrešnu funkciju, koja se sada naziva logaritam. Ako njegovu funkciju označimo LogNap(x), ona je povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očito je LogNap(M) = 0, odnosno logaritam “punog sinusa” je nula - to je Napier postigao svojom definicijom. LogNap(0) = ∞.

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako veličine tvore geometrijska progresija, tada njihovi logaritmi čine progresiju aritmetika. Međutim, pravila logaritma za neperovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tablici sadržavale su računsku pogrešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračuna da stekne široku popularnost, uključujući i mnoge europske matematičare Kepler.

1620-ih Edmund Wingate i William Oughtred izumio prvi šiber, prije pojave džepnih kalkulatora, neizostavan inženjerski alat.

Blizu suvremenom shvaćanju logaritma – kao inverzne operacije potenciranje- prvi put se pojavio u Wallis I Johann Bernoulli, te je konačno legalizirana Euler V XVIII stoljeće. U knjizi "Uvod u analizu beskonačnog" ( 1748 ) Euler je dao moderne definicije kao indikativan, i logaritamskih funkcija, donio je njihovo širenje u potencijske redove, a posebno je istaknuo ulogu prirodnog logaritma.

Euler je također zaslužan za proširenje logaritamske funkcije na kompleksnu domenu.

Složeni logaritam

Prvi pokušaji da se logaritmi prošire na kompleksne brojeve učinjeni su na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće Leibniz I Johann Bernoulli, međutim, nisu uspjeli stvoriti cjelovitu teoriju - prvenstveno iz razloga što sam pojam logaritma još nije bio jasno definiran. Rasprava o ovom pitanju vodila se prvo između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. stoljeća - između d'Alemberta i Euler. Bernoulli i d'Alembert smatrali su da treba odrediti log(-x) = log(x). Potpunu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747.-1751. i ona se u biti ne razlikuje od moderne.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji iu drugim djelima), Eulerovo gledište brzo je steklo univerzalno priznanje.

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto mukotrpnog množenja višeznamenkastih brojeva dovoljno pronaći (iz tablica) i zbrojiti njihove logaritme, a zatim pomoću istih tablica izvesti potenciranje, odnosno pronađite vrijednost rezultata njegovim logaritmom. Dijeljenje se razlikuje samo po tome što se oduzimaju logaritmi. Laplace rekao je da je izum logaritama "produžio život astronomima", višestruko ubrzavši proces izračuna.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n znamenki, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja mijenja se u n. Na primjer, log8314.63 = log8.31463 + 3. Slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier ( 1614 ), a sadržavali su samo logaritme trigonometrijskih funkcija i to s pogreškama. Neovisno o njemu, Joost Bürgi, prijatelj, objavio je njegove tablice Kepler (1620 ). U 1617 Oxford profesor matematike Henry Briggs objavio tablice koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, s 8 (kasnije 14) znamenki. No bilo je i grešaka u Briggsovim tablicama. Prvo izdanje bez grešaka na temelju Vega tablica ( 1783 ) pojavio se tek u 1857. godine u Berlinu (Bremiwerove tablice).

U Rusiji su prve tablice logaritama objavljene godine 1703 glumeći L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki logaritamskih tablica.

Bradis V. M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. 44. izdanje, M., 1973.

Bradis stolovi ( 1921 ) korišteni su u obrazovnim ustanovama iu inženjerskim proračunima koji ne zahtijevaju veliku točnost. Sadržali su kazaljka decimalni logaritmi brojeva i trigonometrijske funkcije, prirodni logaritmi i neki drugi korisni računalni alati.

Književnost

Uspenski Ya. V. Esej o povijesti logaritama. Petrograd, 1923. −78 str.

Vygodsky M. Ya. Priručnik za elementarnu matematiku. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Povijest matematike, ur A. P. Juškevič u tri sveska, M.: Nauka.

Svezak 1 Od antičkih vremena do početka modernog doba. (1970) psihologija kao samostalna znanost (2) Sažetak >> Psihologija

Glavni ciljevi predmeta priče psihologija 1. Analiza nastanak i daljnji razvoj... osjeti su proporcionalni logaritam intenzitet podražaja: za... izvršiti radnju, uvjet nastanak potreba za rješavanjem problema; - meta...

Priča psihologija (10)
Sažetak >> Psihologija
Postao izvorište psihofizike. Stol logaritmi pokazalo se primjenjivim na mentalne fenomene... do kojih sežu korijeni instinkata povijesti vrste, bez njih, živi... slomljeni”, koji odgovara bilo kojoj bolnoj pojavi. Pojava novi pravci u psihologiji, sociologiji...
Priča psihologija kao samostalna znanost (1)
Varalica >> Psihologija
Aktivnosti: Glavni ciljevi predmeta priče psihologija 1. Dijaliza nastanak i daljnji razvoj znanstvenih spoznaja.. je da je intenzitet osjeta proporcionalan logaritam intenzitet podražaja: kako bi...
Priča socijalna psihologija (2)
Varalica >> Psihologija
Da je veličina osjeta proporcionalna logaritam intenzitet trenutnog podražaja (... XX. stoljeća prvi put u priče psiholozi su pokušali eksperimentalno istražiti.. identificirajući uzroke i specifične uvjete nastanak neuroze, odvajanje u poseban...

Daju se osnovna svojstva logaritma, graf logaritma, domena definiranja, skup vrijednosti, osnovne formule, povećanje i smanjenje. Razmatra se nalaženje izvoda logaritma. Kao i integral, ekspanzija u potencijski niz i reprezentacija pomoću kompleksnih brojeva.

Sadržaj

Domena, skup vrijednosti, rastuće, opadajuće

Logaritam je monotona funkcija, pa nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tablici.


Domena	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Raspon vrijednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotonija	monotono raste	monotono opada
Nule, y = 0	x = 1	x = 1
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	Ne	Ne
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Logaritam s bazom 10 naziva se decimalni logaritam i označava se na sljedeći način:

Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kod logaritmiranja umnošci faktora pretvaraju se u zbroje članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Tijekom potenciranja, dana baza se podiže na stupanj ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi članova pretvaraju u umnoške faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane uz logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Zatim
.
Primijenimo svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu zamjene baze.
;
.
Uz pretpostavku c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Inverz logaritma s bazom a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako tada

Derivacija logaritma

Derivacija logaritma modula x:
.
Derivacija n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Da bismo pronašli izvod logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Sastavni

Integral logaritma izračunava se integriranjem po dijelovima: .
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Tada, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili

Međutim, argument φ nije jedinstveno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.