IV. Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva. Aksiomatske teorije Općinska obrazovna ustanova

Pri aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije poštuju se određena pravila:

Neki koncepti teorije odabrani su kao glavni i prihvaćaju se bez definicije;

Svaki pojam teorije koji nije sadržan u popisu osnovnih dobiva definiciju, u njoj se uz pomoć osnovnih i prethodnih pojmova objašnjava njegovo značenje;

Formulirani su aksiomi- prijedlozi koji su prihvaćeni bez dokaza u ovoj teoriji; otkrivaju svojstva osnovnih pojmova;

Svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u popisu aksioma mora biti dokazana; takve tvrdnje nazivaju se teoremi i dokazuju se na temelju aksioma i teorema koji prethode onome koji se razmatra.

Ako se konstrukcija teorije provodi aksiomatskom metodom, tj. prema gore spomenutim pravilima, onda kažu da je teorija konstruirana deduktivno.

U aksiomatskoj konstrukciji teorije, u biti sve tvrdnje izvode se dokazom iz aksioma. Stoga se pred sustav aksioma postavljaju posebni zahtjevi. Prije svega mora biti dosljedan i neovisan.

Sustav aksioma naziva se dosljedan, ako se iz njega ne mogu logički izvesti dvije međusobno isključive rečenice.

Ako sustav aksioma nema ovo svojstvo, ne može biti prikladan za potkrepljivanje znanstvene teorije.

Konzistentan sustav aksioma naziva se neovisan, ako nijedan od aksioma ovog sustava nije posljedica drugih aksioma ovog sustava.

Kada se aksiomatski konstruira ista teorija, mogu se koristiti različiti sustavi aksioma. Ali oni moraju biti ekvivalentni. Osim toga, pri odabiru određenog sustava aksioma matematičari vode računa o tome koliko se jednostavno i jasno mogu dobiti dokazi teorema u budućnosti. Ali ako je izbor aksioma uvjetovan, onda sama znanost ili zasebna teorija ne ovise ni o kakvim uvjetima - oni su odraz stvarnog svijeta.

Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva provodi se prema formuliranim pravilima. Proučavajući ovaj materijal, moramo vidjeti kako se cjelokupna aritmetika prirodnih brojeva može izvesti iz osnovnih pojmova i aksioma. Naravno, njegov prikaz u našem kolegiju neće uvijek biti striktan - neke dokaze izostavljamo zbog njihove velike složenosti, ali ćemo svaki takav slučaj razmotriti.

Vježbajte

1. Što je bit aksiomatske metode izgradnje teorije?

2. Je li istina da je aksiom tvrdnja koja ne zahtijeva dokaz?

3. Navedite osnovne pojmove kolegija školske planimetrije. Zapamtite nekoliko aksioma iz ovog tečaja. Svojstva kojih pojmova su u njima opisana?

4. Definirajte pravokutnik, odabirući paralelogram kao generički pojam. Navedite tri pojma koji bi trebali prethoditi pojmu "paralelogram" u kolegiju geometrije.

5. Koje se rečenice nazivaju teoremima? Prisjetite se koja je logička struktura teorema i što znači dokazati teorem.

Osnovni pojmovi i aksiomi. Definicija prirodnog broja

Kao temeljni pojam u aksiomatskoj konstrukciji aritmetike prirodnih brojeva uzima se relacija “izravno slijede”, definirana na nepraznom skupu. N. Poznatim se također smatraju pojam skupa, elementa skupa i drugi skupovno-teorijski pojmovi, kao i pravila logike.

Element neposredno nakon elementa A, označiti A".

Bit stava "izravno slijedi" otkriva se u sljedećim aksiomima.

Aksiom 1. U skupu N postoji element koji ne slijedi neposredno iza bilo kojeg elementa tog skupa. Nazvat ćemo je jedinicom i označiti je simbolom 1.

Aksiom 2. Za svaki element i od N postoji samo jedan element a“, odmah nakon toga A.

Aksiom 3. Za svaki element A Postoji najviše jedan element u N iza kojeg neposredno slijedi A.

Aksiom 4. Svaki podskup M postavlja N poklapa se s N, ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 je sadržano u M; 2) iz činjenice da A sadržano u M, iz toga slijedi A" sadržano u M.

Formulirani aksiomi često se nazivaju Peanovi aksiomi.

Koristeći relaciju "odmah slijedi" i aksiome 1-4, možemo dati sljedeću definiciju prirodnog broja.

Definicija. Gomila N, za čije elemente se uspostavlja relacija "izravno slijedi", zadovoljavajući aksiome 1-4, naziva se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi- prirodni brojevi.

Ova definicija ne govori ništa o prirodi elemenata skupa N. Dakle, može biti bilo što. Odabir kao

skup N je neki specifični skup na kojem je određena specifična relacija "izravnog slijeđenja", zadovoljavajući aksiome 1-4, dobivamo model zadanog sustava aksioma. U matematici je dokazano da se među svim takvim modelima može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan, zadržavajući odnos "izravnog praćenja", a svi će se takvi modeli razlikovati samo po prirodi elemenata, njihovom nazivu i oznaci. Standardni model Peano sustava aksioma je niz brojeva koji su se pojavili u procesu povijesnog razvoja društva:

Svaki broj u ovoj seriji ima svoju oznaku i naziv koji ćemo smatrati poznatim.

Razmatrajući prirodni niz brojeva kao jedan od modela aksioma 1-4, treba napomenuti da oni opisuju proces formiranja ovog niza, a to se događa kada se svojstva relacije "izravno slijede" otkrivaju u aksiomima . Dakle, prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); nakon svakog prirodnog broja neposredno slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); svaki prirodni broj neposredno slijedi iza najviše jednog prirodnog broja (aksiom 3); počevši od broja 1 pa idući redom do prirodnih brojeva koji slijede jedan za drugim, dobivamo cijeli skup tih brojeva (aksiom 4). Imajte na umu da aksiom 4 formalno opisuje beskonačnost prirodnog niza i na njemu se temelji dokaz tvrdnji o prirodnim brojevima.

Općenito, model Peanovog aksiomskog sustava može biti bilo koji prebrojivi skup, na primjer:!..

Razmotrimo, na primjer, niz skupova u kojem je skup (oo) početni element, a svaki sljedeći skup dobiva se iz prethodnog dodavanjem još jednog kruga (slika 108, a). Zatim N postoji skup koji se sastoji od skupova opisanog oblika, a model je Peanovog aksiomskog sustava. Doista, u skupu N postoji element (oo) koji ne slijedi odmah ni jedan element tog skupa, tj.

postoji jedinstveni set koji se može nabaviti iz A dodavanjem jednog kruga tj. zadovoljen je aksiom 2. Za svaki skup A postoji najviše jedan skup iz kojeg se formira skup A dodavanjem jednog kruga, tj. Vrijedi aksiom 3. Ako MÌ N a poznato je da mnogi A sadržano u M, slijedi da skup u kojem postoji jedna kružnica više nego u skupu A, također sadržano u M, Da M = N(i prema tome, aksiom 4 je zadovoljen).

Imajte na umu da se u definiciji prirodnog broja nijedan od aksioma ne može izostaviti - za bilo koji od njih moguće je konstruirati skup u kojem su ostala tri aksioma zadovoljena, ali ovaj aksiom nije zadovoljen. Ovaj stav jasno potvrđuju primjeri dani na slikama 109 i 110. Slika 109a prikazuje skup u kojem su aksiomi 2 i 3 zadovoljeni, ali aksiom 1 nije zadovoljen (aksiom 4 neće imati smisla, budući da nema elementa u skup, izravno ne slijedeći nijedan drugi). Slika 109b prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 3 i 4 zadovoljeni, ali iza elementa A odmah slijede dva elementa, a ne jedan, kao što se zahtijeva u aksiomu 2. Slika 109c prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 2, 4 zadovoljeni, ali element S odmah slijedi kao element A, a iza elementa b. Slika 110 prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 2, 3 zadovoljeni, ali aksiom 4 nije zadovoljen - skup točaka koje leže na traci, sadrži broj koji slijedi odmah iza njega, ali se ne poklapa s cijelim skupom točke prikazane na slici.

Činjenica da aksiomatske teorije ne govore o "pravoj" prirodi pojmova koji se proučavaju čini ove teorije previše apstraktnim i formalnim na prvi pogled - ispada da su isti aksiomi zadovoljeni različitim skupovima objekata i različitim odnosima među njima. Međutim, ova prividna apstrakcija je snaga aksiomatske metode: svaka izjava izvedena logički iz ovih aksioma primjenjiva je na bilo koji skup objekata, sve dok su odnosi koji zadovoljavaju aksiome definirani u njima.

Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sustava prirodnih brojeva odabirom osnovne relacije "odmah slijedi" i aksioma koji opisuju njegova svojstva. Daljnja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. Moraju se otkriti u definicijama i teoremima, tj. izvode se čisto logički iz relacije "izravno slijede", a aksiomi 1-4.

Prvi koncept koji ćemo uvesti nakon definiranja prirodnog broja je relacija “neposredno prethodi”, koja se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnog broja.

Definicija. Ako prirodni broj b slijedi odmah iza prirodnog broja a, tada se kaže da broj a neposredno prethodi (ili prethodi) broju b.

Odnos "prethodi" ima niz svojstava. Formulirani su kao teoremi i dokazani pomoću aksioma 1 – 4.

Teorem 1. Jedinica nema prethodni prirodni broj.

Istinitost ove izjave neposredno slijedi iz aksioma 1.

Teorem 2. Svaki prirodni broj A, različit od 1, ima prethodni broj b, takav da b ¢ = a.

Dokaz. Označimo sa M skup prirodnih brojeva koji se sastoji od broja 1 i svih brojeva koji imaju prethodnika. Ako broj A sadržano u M, to je broj A" također dostupan u M, budući da prethodi za A" je broj A. To znači da mnogi M sadrži 1, a iz činjenice da broj A pripada skupu M, proizlazi da je broj A" pripada M. Zatim, prema aksiomu 4, skup M poklapa sa skupom svih prirodnih brojeva. To znači da svi prirodni brojevi osim 1 imaju prethodni broj.

Imajte na umu da prema aksiomu 3, brojevi koji nisu 1 imaju jedan prethodni broj.

Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u osnovnoj ni u srednjoj školi. Međutim, ona svojstva relacije "izravno slijede", koja se odražavaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u početnom tečaju matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, postaje jasno kako se svaki broj može dobiti. Koriste se pojmovi "slijedi" i "prethodi". Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici se uvjeravaju da iza svakog broja slijedi sljedeći, štoviše, samo jedno, da je prirodni niz brojeva beskonačan. I naravno, poznavanje aksiomatske teorije pomoći će učitelju da metodički i kompetentno organizira dječju asimilaciju značajki prirodnog niza brojeva.

Vježbe

1.Može li se aksiom 3 formulirati na sljedeći način: “Za svaki element A iz N postoji jedan element iza kojeg odmah slijedi "?

2. Odaberite uvjet i zaključak u aksiomu 4, napišite ih simbolima O, =>.

3.Nastavi definiciju prirodnog broja: „Prirodni broj je element skupa Î, Þ.

Dodatak

Prema pravilima za izgradnju aksiomatske teorije, definicija zbrajanja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju “neposredno slijedi”, te pojmove “prirodni broj” i “prethodni broj”.

Predstavimo definiciju zbrajanja sljedećim razmatranjima. Ako bilo kojem prirodnom broju A dodamo 1, dobivamo broj A", neposredno nakon a, tj. A + 1 = A", i, prema tome, dobivamo pravilo za dodavanje 1 bilo kojem prirodnom broju. Ali kako dodati broju A prirodni broj b, različito od 1? Iskoristimo sljedeću činjenicu: ako znamo da je 2 + 3 = 5, tada je zbroj 2 + 4 jednak broju 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbroju 2 + 4 drugi član broj odmah iza broja 3 Dakle, iznos A+ b" može se pronaći ako se zna iznos A+ b. Ove činjenice čine osnovu za definiciju zbrajanja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji. Osim toga, koristi koncept algebarske operacije.

Definicija. Zbrajanje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

1) ("A Î N ) a + 1=a",

2) (" A, b Î) a + b" = (a + b)".

Broj A+ b zove zbroj brojeva A I b, i sami brojevi A I b-Pojmovi.

Kao što je poznato, zbroj bilo koja dva prirodna broja također je prirodan broj, i to za bilo koje prirodne brojeve A I b iznos A+ b- jedini. Drugim riječima, zbroj prirodnih brojeva postoji i jedinstven je. Posebnost definicije je u tome što se unaprijed ne zna postoji li algebarska operacija koja ima navedena svojstva, a ako postoji, je li jedinstvena? Stoga se pri izgradnji aksiomatske teorije prirodnih brojeva dokazuju sljedeće tvrdnje:

Teorem 3. Zbrajanje prirodnih brojeva postoji i ono je jedinstveno.

Ovaj se teorem sastoji od dvije tvrdnje (dva teoreme):

1) postoji zbrajanje prirodnih brojeva;

2) zbrajanje prirodnih brojeva je jedinstveno.

Postojanje i jedinstvenost u pravilu su povezani, ali su najčešće neovisni jedno o drugom. Postojanje objekta ne implicira njegovu jedinstvenost. (Na primjer, ako kažete da imate olovku, to ne znači da postoji samo jedna.) Izjava o jedinstvenosti znači da ne mogu postojati dva objekta sa zadanim svojstvima. Jedinstvenost se često dokazuje kontradikcijom: pretpostavlja se da postoje dva objekta koji zadovoljavaju zadani uvjet, a zatim se gradi lanac deduktivnih zaključaka koji vode do kontradikcije.

Da bismo provjerili istinitost teorema 3, prvo dokazujemo da ako je u skupu N postoji operacija sa svojstvima 1 i 2, tada je ta operacija jedinstvena; tada ćemo dokazati da operacija zbrajanja sa svojstvima 1 i 2 postoji.

Dokaz jedinstvenosti sabiranja. Pretpostavimo da u skupu N Postoje dvije operacije zbrajanja koje imaju svojstva 1 i 2. Jednu od njih označavamo znakom +, a drugu znakom Å. Za ove operacije imamo:

1) a + 1 = A"; 1) AÅ =a"\

2) a + b" = (a + b)" 2) AÅ b" = (aÅ b)".

Dokažimo to

("a, bÎ N )a + b=aÅ b. (1)

Neka broj A odabran nasumično, i b M b, za koje vrijedi jednakost (1).

Lako je provjeriti da je 1 O M. Dapače, iz činjenice da A+ 1 = A"=AÅ 1 slijedi da a + 1 =aÅ 1.

Dokažimo sada da ako bÎ M, Da b" O M, oni. Ako a + b = aÅ b, Da A+ b" = aÅ b". Jer a + b - aÅ b, onda prema aksiomu 2 (a + b)" = (aÅ b)", i onda a + b" - (a + b)" = (aÅ b)" = aÅ b". Pošto su mnogi M sadrži 1 i zajedno sa svakim brojem b sadrži i broj b¢ zatim po aksiomu 4, skup M poklapa se s N, što znači jednakost (1) b. Budući da broj A izabrano proizvoljno, onda je jednakost (1) istinita za svaki prirodni A I b, oni. operacije + i Å na skupu N mogu se međusobno razlikovati samo u oznakama.

Dokaz postojanja sabiranja. Pokažimo da postoji algebarska operacija sa svojstvima 1 i 2 navedenim u definiciji zbrajanja.

Neka M - skup tih i samo tih brojeva A, za koje je moguće utvrditi a + b tako da su zadovoljeni uvjeti 1 i 2. Pokažimo da je 1 O M. Da biste to učinili, za bilo koji b stavimo

1+b=b¢.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - prema pravilu (2), tj. jednakost vrijedi a + 1 = A" na A= 1.

2)1 + b"= (b")¢b= (1 + b)" - prema pravilu (2), tj. jednakosti a + b"= (a + b)" na a = 1.

Dakle, 1 pripada skupu M.

Hajdemo to pretvarati A pripada M. Na temelju ove pretpostavke pokazat ćemo da A" sadržano u M, oni. taj se dodatak može definirati A" i bilo koji broj b tako da su zadovoljeni uvjeti 1 i 2. Da bismo to učinili, postavljamo:

A"+ b =(a + b)".(3)

Budući da po pretpostavci broj a + b definiran, tada je aksiomom 2 broj također određen na jedinstven način (A+ b)". Provjerimo da su uvjeti 1 i 2 ispunjeni:

1)a" + 1 = (a + 1)" = (A")". Tako, A"+ 1 = (a")".

2)a" + b" = (a+ b¢)"= ((a + b)")"= (a" + b)". Tako, a" + b" = = (a" + b)".

Dakle, pokazali smo da je skup M sadrži 1 i zajedno sa svakim brojem A sadrži broj A". Prema aksiomu 4 zaključujemo da skup M ima mnogo prirodnih brojeva. Dakle, postoji pravilo koje dopušta bilo koje prirodne brojeve A I b jedinstveno pronaći takav prirodni broj a + b, da su svojstva 1 i 2 formulirana u definiciji sabiranja zadovoljena.

Pokažimo kako se iz definicije zbrajanja i teorema 3 može izvesti dobro poznata tablica zbrajanja jednoznamenkastih brojeva.

Dogovorimo se o sljedećem zapisu: 1" = 2; 2" = 3; 3¢ =4; 4"=5, itd.

Tablicu sastavljamo sljedećim redoslijedom: bilo kojem jednoznamenkastom prirodnom broju prvo dodamo jedinicu, zatim broj dva, zatim tri itd.

1 + 1 = 1¢ na temelju svojstva 1 definicije zbrajanja. Ali dogovorili smo se da 1¢ označimo kao 2, dakle 1 + 1 = 2.

Slično 2+1=2" = 3; 3 + 1=3" = 4, itd.

Razmotrimo sada slučajeve koji uključuju dodavanje broja 2 bilo kojem prirodnom broju s jednom vrijednošću.

1+2 = 1 + 1¢ - koristili smo prihvaćeni zapis. Ali 1 + 1¢ = = (1 + 1)" prema svojstvu 2 iz definicije zbrajanja, 1 + 1 je 2, kao što je gore navedeno. Dakle,

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

Slično 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1¢= (3 + 1)" = = 4" = 5, itd.

Nastavimo li ovaj proces, dobivamo cijelu tablicu zbrajanja jednoznamenkastih brojeva.

Sljedeći korak u aksiomatskoj konstrukciji sustava prirodnih brojeva je dokaz svojstava zbrajanja, a prvo se razmatra svojstvo asocijativnosti, zatim komutativnosti itd.

Teorem 4.(" a,b,cO N )(a + b)+ S= A+ (b+ S).

Dokaz. Neka prirodni brojevi A I b izabran nasumično, i S poprima različita prirodna značenja. Označimo sa M skup svih onih i samo onih prirodnih brojeva c za koje vrijedi jednakost (a+b) +c = a+(b+c) pravo.

Dokažimo prvo da je 1 O M, oni. pobrinimo se da je jednakost poštena (A+ b)+ 1 = A+ (b+ 1) Doista, prema definiciji sabiranja, imamo (a + b)+ 1 = (A+ b)"= A+ b"= A+ (b+ 1).

Dokažimo sada da ako c O M, onda c" O M, oni. od jednakosti (A+ b)+ c = a+ (b + c) slijedi jednakost (A+ b)+ S"= A+ (b + c"). (A+ b)+ S"= ((A + b)+ S)". Zatim, na temelju jednakosti (A+ b) + c= a + (b + c) može se napisati: ((A+ b)+ c)" = (a+ (b+ S))". Odakle, po definiciji sabiranja, dobivamo: ( a + (b+ c))" = a + (b + c)" = a + (b + c") .

M sadrži 1, a iz činjenice da S sadržano u M, slijedi da S" sadržano u M. Stoga, prema aksiomu 4, M= N, oni. jednakost ( A + b)+ S= a + (b + c) vrijedi za svaki prirodni broj S, a budući da brojevi A I b izabrani proizvoljno, onda to vrijedi za sve prirodne brojeve A I b, Q.E.D.

Teorem 5.(" a, bÎ N) a+ b= b+ A.

Dokaz. Sastoji se od dva dijela: prvo dokazuju da (" a O N) A+1 = 1+a i što onda(" a, b O N ) a + b=b+ A.

1 .Dokažimo to (" A NA) a+ 1=1+a. Neka M - skup svih tih i samo tih brojeva A, za koju jednakost A+ 1 = 1 + A pravi.

Kako je 1+1=1 + 1 prava jednakost, tada 1 pripada skupu M.

Dokažimo sada da ako AÎ M, Da A"Î M, tj. iz jednakosti a + 1 = 1 + A slijedi jednakost a" + 1 = 1 + A". Stvarno, a" + 1 = (a + 1) + 1 po prvom svojstvu zbrajanja. Zatim se izraz (a + 1) + 1 može pretvoriti u izraz (1 + a) + 1, koristeći jednakost A+ 1 = 1 + A. Tada, na temelju zakona asocijativnosti, imamo: (1 + A)+ 1 = 1 + (A+ 1). I na kraju, po definiciji sabiranja, dobivamo: 1 +(a + 1) = 1 +a".

Time smo pokazali da skup M sadrži 1 i zajedno sa svakim brojem A sadrži i broj A". Prema tome, prema aksiomu A, M = I, oni. jednakost A+ 1 = 1 + A istina za svaki prirodni A.

2 . Dokažimo to (" a, bÎ N ) A+ b = b+ A. Neka A - proizvoljno odabran prirodni broj, i b poprima različita prirodna značenja. Označimo sa M skup svih tih i samo tih prirodnih brojeva b, za koju jednakost a + b =b+ A pravi.

Od kad b = 1 dobivamo jednakost A+ 1 = 1 + A,čija je istinitost dokazana u paragrafu 1, onda je 1 sadržano u M.

Dokažimo sada da ako b pripada M, zatim i b" također pripada M, oni. od jednakosti A+ b =b+ A slijedi jednakost A+ b"= b"+ A. Zaista, prema definiciji sabiranja, imamo: A+ b"= (A+ b)". Jer A+ b= b+ A, Da (A+ b)" =(b+ A)". Dakle, prema definiciji sabiranja: (b+ A)"= b+ A"= b+ (a+ 1). Na temelju činjenice da a + 1 = 1 + A, dobivamo: b+ (a + 1) = b+ (1 + A). Koristeći svojstvo asocijativnosti i definiciju zbrajanja, izvodimo transformacije: b + (1 + a) = (b+1) + a = b" + a.

Dakle, dokazali smo da je 1 sadržan u skupu M a uz svaki broj b gomila M sadrži i broj b¢, odmah nakon toga b¢. Po aksiomu 4 to dobivamo M= I, oni. jednakost a+ b= b+ A vrijedi za svaki prirodni broj b, kao i za svaki prirodni A, jer je njegov izbor bio proizvoljan.

Teorem 6.("a,bÎ N) a + b¹ b.

Dokaz. Neka A - slučajno odabran prirodni broj, i b poprima različita prirodna značenja. Označimo sa M skup tih i samo tih prirodnih brojeva b, za koje vrijedi teorem 6.

Dokažimo da je 1 O M. Doista, budući da A+ 1 = A"(po definiciji zbrajanja), a 1 ne slijedi nijedan broj (aksiom 1), tada A+ 1 ¹ 1.

Dokažimo sada da ako bÎ M, Da b"Î M, oni. iz čega a +bÎ b slijedi da a + b"¹ b". Doista, prema definiciji sabiranja, a + b" = (a + b)", ali zbog a +bÎ b, Da (a + b)"¹ b" i stoga, a +b¢=b¢.

Prema aksiomu postoje 4 skupa M I N podudaraju se, dakle, za sve prirodne brojeve a +bÎ b, Q.E.D.

Pristup zbrajanju, razmatran u aksiomatskoj konstrukciji sustava prirodnih brojeva, temelj je početnog matematičkog obrazovanja. Dobivanje brojeva zbrajanjem 1 usko je povezano s principom konstruiranja prirodnog niza, a drugo svojstvo zbrajanja koristi se u izračunima, na primjer, u sljedećim slučajevima: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1 = 9.

Sva dokazana svojstva proučavaju se u početnom tečaju matematike i koriste se za transformaciju izraza.

Vježbe

1. Je li točno da se svaki prirodni broj dobiva iz prethodnog zbrajanjem jedan?

2. Pomoću definicije zbrajanja pronađite značenje izraza:

a) 2 + 3; b) 3 + 3; c) 4 + 3.

3. Koje se transformacije izraza mogu izvesti koristeći svojstvo asocijativnosti zbrajanja?

4. Transformirajte izraz koristeći asocijativno svojstvo zbrajanja:

a) (12 + 3)+17; b) 24 + (6 + 19); c) 27+13+18.

5. Dokaži to (" a, bÎ N) a + b¹ A.

6. Doznajte kako je matematika formulirana u raznim udžbenicima za osnovnu školu:

a) svojstvo komutativnosti zbrajanja;

b) asocijativno svojstvo sabiranja.

7 .Jedan od udžbenika za osnovnu školu govori o pravilu zbrajanja broja zbroju na konkretnom primjeru (4 + 3) + 2 i predlaže sljedeće načine pronalaženja rezultata:

a) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

b) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

c) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Opravdati izvršene transformacije. Može li se reći da je pravilo zbrajanja broja zbroju posljedica asocijativnosti zbrajanja?

8 .Poznato je da a + b= 17. Što je jednako:

A) a + (b + 3); b) (A+ 6) + b; c) (13+ b)+a?

9 .Opisati moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza oblika a + b + c. Obrazložite te metode i ilustrirajte ih konkretnim primjerima.

Množenje

Prema pravilima za konstruiranje aksiomatske teorije, množenje prirodnih brojeva može se odrediti korištenjem relacije "izravno slijedi" i pojmova koji su ranije uvedeni.

Predstavimo definiciju množenja sljedećim razmatranjima. Ako bilo koji prirodni broj A pomnožite s 1, dobit ćete A, oni. postoji jednakost a× 1 = A te dobivamo pravilo za množenje bilo kojeg prirodnog broja s 1. Ali kako pomnožiti broj A na prirodni broj b, različito od 1? Iskoristimo sljedeću činjenicu: ako znamo da je 7×5 = 35, tada je za pronalaženje umnoška 7×6 dovoljno dodati 7 35, budući da je 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. Dakle, djelo a×b" može se pronaći ako je djelo poznato: a×b" = a×b+ A.

Navedene činjenice čine osnovu za definiciju množenja prirodnih brojeva. Osim toga, koristi koncept algebarske operacije.

Definicija. Množenje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

1) ("a Î N) a× 1= a;

2) ("a, Î N) a×b"= a×b+ A.

Broj a×b nazvao raditi brojevima A I b, i sami brojevi A I b-množitelji.

Osobitost ove definicije, kao i definicije zbrajanja prirodnih brojeva, je u tome što se unaprijed ne zna postoji li algebarska operacija koja ima navedena svojstva, a ako postoji, onda je li jedinstvena. S tim u vezi, nameće se potreba dokazivanja ove činjenice.

Teorem 7. Množenje prirodnih brojeva postoji i ono je jedinstveno.

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teoreme 3.

Koristeći definiciju množenja, teorem 7 i tablicu zbrajanja, možete izvesti tablicu množenja za jednoznamenkaste brojeve. To radimo sljedećim redoslijedom: prvo razmatramo množenje s 1, zatim s 2, itd.

Lako je vidjeti da se množenje s 1 izvodi po svojstvu 1 u definiciji množenja: 1×1 = 1; 2×1=2; 3×1=3, itd.

Razmotrimo sada slučajeve množenja s 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - izvršen je prijelaz s umnoška 1×2 na umnožak 1×1¢ prema prethodno prihvaćenom zapisu; prijelaz s izraza 1 × 1 na izraz 1 × 1 + 1 - na temelju drugog svojstva množenja umnožak 1 × 1 zamjenjuje se brojem 1 prema rezultatu koji je već dobiven u tablici, a na kraju se prema tablici zbrajanja nalazi vrijednost izraza 1+1.

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4;

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Nastavimo li ovaj postupak, dobit ćemo cijelu tablicu množenja za jednoznamenkaste brojeve.

Kao što je poznato, množenje prirodnih brojeva je komutativno, asocijativno i distributivno u odnosu na zbrajanje. Kada se teorija gradi aksiomatski, zgodno je dokazati ova svojstva, počevši od distributivnosti.

Ali zbog činjenice da će svojstvo komutativnosti biti dokazano kasnije, potrebno je razmotriti distributivnost na desno i na lijevo s obzirom na zbrajanje.

Teorem 8. ("a,b,cÎ N) (A+ b)×c =a×c+ b×s.

Dokaz. Neka prirodni brojevi a i b izabran nasumično, i S poprima različita prirodna značenja. Označimo sa M skup svih onih i samo onih prirodnih brojeva c za koje vrijedi jednakost (a + b)×c = a×c+ b×s.

Dokažimo da je 1 O M, oni. ta jednakost ( a + b) × 1 = A×1+ b× 1 pravi. Prema svojstvu 1 iz definicije množenja imamo: (a + b)× 1=a+b=a× 1+ b×1.

Dokažimo sada da ako SÎ M, Da S"Î M, oni. što iz jednakosti ( a + b)c = a×c+ b×s slijedi jednakost (A+ b)×c" = a×c"+ b×s". Po definiciji množenja imamo: ( a + b)×c"= (a + b)×s+ (a + b). Jer (a + b)×c=a×c + b×c, to ( a + b)×c+ (a+b)= (a×c + b×c) + (a+ b). Koristeći svojstvo asocijativnosti i komutativnosti zbrajanja, izvodimo transformacije: ( a× S+ b×s)+ (A+ b) =(a× S + b×s+ A)+ b =(a×c + a + b×c)+ b= = ((a×c+ a) + b×s)+ b = (a×c+ a) + (b×s+ b). I na kraju, po definiciji množenja, dobivamo: (a×c+ a) + (b×s+ b) =a×c"+ b×s".

Dakle, pokazali smo da skup M sadrži 1, a budući da sadrži c, slijedi da S" sadržano u M. Po aksiomu 4 to dobivamo M= N. To znači da je jednakost ( a + b)×c = a×c + b×c vrijedi za sve prirodne brojeve S, kao i za svaki prirodni a I b, budući da su odabrani slučajno.

Teorem 9. (" a, b, cÎ N) a×(b + c) =a×b + a×c.

Ovo je svojstvo lijeve distributivnosti s obzirom na zbrajanje. To se dokazuje na sličan način kao što je to učinjeno za pravu distributivnost.

Teorem 10.(" a,b,cÎ N)(a×b)×c=a×(b×c).

Ovo je asocijativno svojstvo množenja. Njegov se dokaz temelji na definiciji množenja i teoremima 4-9.

Teorem 11. ("a,b,Î N) a×b.

Dokaz ovog teorema po obliku je sličan dokazu komutativnosti zbrajanja.

Pristup množenju, razmatran u aksiomatskoj teoriji, temelj je nastave množenja u osnovnoj školi. Množenje s 1 općenito je definirano, a drugo svojstvo množenja koristi se u jednoznamenkastim tablicama množenja i izračunima.

U početnom tečaju proučavamo sva svojstva množenja koja smo razmatrali: komutativnost, asocijativnost i distributivnost.

Vježbe

1 . Pomoću definicije množenja pronađite značenja izraza:

a) 3×3; 6) 3x4; c) 4×3.

2. Zapiši lijevo svojstvo distribucije množenja s obzirom na zbrajanje i dokaži ga. Koje su transformacije izraza moguće na temelju njega? Zašto je postalo potrebno razmotriti lijevu i desnu distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje?

3. Dokažite svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva. Koje su transformacije izraza moguće na temelju njega? Uči li se ovo svojstvo u osnovnoj školi?

4. Dokažite svojstvo komutativnosti množenja. Navedite primjere njegove uporabe u osnovnom tečaju matematike.

5. Koja se svojstva množenja mogu koristiti pri pronalaženju vrijednosti izraza:

a) 5×(10 + 4); 6)125×15×6; c) (8×379)×125?

6. Poznato je da je 37 - 3 = 111. Koristeći ovu jednakost, izračunajte:

a) 37×18; b) 185×12.

Opravdajte sve izvršene transformacije.

7 . Odredite vrijednost izraza bez izvođenja pisanih izračuna. Obrazložite svoj odgovor:

a) 8962×8 + 8962×2; b) 63402×3 + 63402×97; c) 849+ 849×9.

8 . Koja će svojstva množenja učenici osnovne škole koristiti pri rješavanju sljedećih zadataka:

Može li se, bez računanja, reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:

a) 3×7 + 3×5; b) 7×(5 + 3); c) (7 + 5)×3?

Jesu li jednakosti istinite:

a) 18×5×2 = 18× (5×2); c) 5×6 + 5×7 = (6 + 7)×5;

b) (3×10)×17 = 3×10×17; d) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?

Je li moguće usporediti vrijednosti izraza bez izvođenja izračuna:

a) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;

b) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?

Polisemija

Polisemija, odnosno polisemija riječi, nastaje zbog činjenice da jezik predstavlja sustav koji je ograničen u usporedbi s beskonačnom raznolikošću stvarne stvarnosti, tako da je, prema riječima akademika Vinogradova, „jezik prisiljen raspodijeliti bezbrojna značenja pod jedno ili još jedna rubrika osnovnih pojmova.” (Vinogradov “Ruski jezik” 1947). Potrebno je razlikovati različite uporabe riječi u jednoj leksičko-semantičkoj varijanti i stvarnu različitost riječi. Tako npr. riječ (das)Ol može označavati više različitih ulja, osim kravljeg (za koje postoji riječ Maslac). Međutim, iz ovoga ne slijedi da će, označavajući različita ulja, riječ Ol svaki put imati različito značenje: u svim će slučajevima njezino značenje biti isto, naime ulje (sve osim kravljeg). Baš kao što je npr. značenje riječi Tisch tablica bez obzira na to koju vrstu tablice riječ označava u konkretnom slučaju. Drugačija je situacija kada riječ Ol označava ulje. Ovdje više ne dolazi do izražaja sličnost ulja po uljnosti s raznim vrstama ulja, već posebna kvaliteta ulja - zapaljivost. I u isto vrijeme, riječi koje označavaju različite vrste goriva bit će povezane s riječju Ol: Kohl, Holz itd. To nam daje priliku razlikovati dva značenja riječi Ol (ili, drugim riječima, dvije leksičko-semantičke mogućnosti): 1) ulje (ne životinja) 2) ulje.
Tipično, nova značenja nastaju prijenosom jedne od postojećih riječi na novi predmet ili pojavu. Tako nastaju figurativna značenja. Temelje se ili na sličnosti predmeta ili na povezanosti jednog predmeta s drugim. Poznato je nekoliko vrsta prijenosa imena. Najvažnije od njih su metafora ili metonimija.
U metafori, prijenos se temelji na sličnosti stvari u boji, obliku, prirodi kretanja i tako dalje. Uz sve metaforičke promjene, ostaje neki znak izvornog koncepta

Homonimija

Polisemija riječi toliko je velik i višestruk problem da je s njim na neki način povezan niz problema u leksikologiji. S tim se problemom u nekim aspektima posebno dodiruje problem homonimije.
Homonimi su riječi koje zvuče isto, ali imaju različita značenja. U nekim slučajevima homonimi nastaju iz polisemije koja je prošla proces destrukcije. Ali homonimi također mogu nastati kao rezultat slučajnih zvučnih podudarnosti. Ključ koji otvara vrata, i ključ - opruga ili kosa - frizura i kosa - poljoprivredni alat - ove riječi imaju različito značenje i različito podrijetlo, ali slučajno se podudaraju u svom zvuku.
Homonimi se razlikuju po leksičkom (odnose se na jedan dio govora, npr. ključ je za otvaranje brave, a ključ je opruga. izvor), morfološki (odnose se na različite dijelove govora, npr. tri je a broj, tri je glagol u zapovjednom načinu), leksičko-gramatičke, koje nastaju pretvorbom, kada određena riječ prelazi u drugi dio govora. primjerice na engleskom gledaj-gledaj i gledaj-gledaj. U engleskom jeziku ima posebno mnogo leksičkih i gramatičkih homonima.
Homofone i homografe treba razlikovati od homonima. Homofoni su različite riječi koje su, iako različite u pisanju, iste u izgovoru, na primjer: luk - livada, Seite - stranica i Saite - žica.
Homografi su tako različite riječi koje imaju isti pravopis, iako se različito izgovaraju (i u pogledu zvučnog sastava i mjesta naglaska u riječi), na primjer, Dvorac - dvorac.

Sinonimija

Sinonimi su riječi koje su bliske po značenju, ali zvuče drugačije, izražavajući nijanse jednog pojma.
Postoje tri vrste sinonima:
1. Konceptualni ili ideografski. Međusobno se razlikuju po leksičkom značenju. Ta se razlika očituje u različitim stupnjevima označenog atributa (mraz - hladan, snažan, moćan, moćan), u prirodi njegove oznake (podstavljena jakna - prošivena jakna - podstavljena jakna), u volumenu izraženog koncepta (banner - zastava, odvažan - hrabar), u stupnju koherentnosti leksičkih značenja (smeđa - lješnjak, crna - gavran).
2. Sinonimi su stilski ili funkcionalni. Međusobno se razlikuju u sferi upotrebe, na primjer, oči - oči, lice - lice, čelo - čelo. Sinonimi emocionalno – ocjenski. Ovi sinonimi otvoreno izražavaju govornikov odnos prema označenoj osobi, predmetu ili pojavi. Na primjer, dijete se može svečano nazvati djetešcem, odmiljato dječačić i dječačić, pogrdno dječak i naivčina, a također pojačano i pogrdno štene, naivčina, derište.
3. Antonimi - kombinacije riječi koje su suprotne u svom leksičkom značenju, na primjer: vrh - dno, bijelo - crno, pričati - tiho, glasno - tiho.

Antonimija

Postoje tri vrste antonima:
1. Antonimi postupne i koordinirane opozicije, na primjer, bijelo - crno, tiho - glasno, blizu - daleko, dobro - zlo, i tako dalje. Ovi antonimi imaju nešto zajedničko u značenju, što im omogućuje suprotstavljanje. Dakle, pojmovi crno i bijelo označavaju suprotne koncepte boja.
2. Antonimi komplementarnih i pretvorbenih suprotnosti: rat - mir, muž - žena, oženjen - neoženjen, moguće - nemoguće, zatvoreno - otvoreno.
3. Antonimi dihotomne diobe pojmova. Često su riječi istog korijena: narodno - protunarodno, legalno - protuzakonito, humano - nehumano.
Od interesa je tzv antonimija unutar riječi, kada se suprotstavljaju značenja riječi koje imaju istu materijalnu ljusku. Na primjer, u ruskom glagol posuditi nekome novac znači "posuditi", a posuditi novac od nekoga već znači posuditi novac od nekoga. Unutarriječna suprotnost značenja naziva se enantiozemija.

6. Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva. Aksiomatska metoda izgradnje matematičke teorije. Zahtjevi za sustav aksioma: dosljednost, neovisnost, cjelovitost. Peanova aksiomatika. Pojam prirodnog broja s aksiomatskih pozicija. Modeli Peanovog aksiomskog sustava. Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva s aksiomatskih pozicija. Urednost skupa prirodnih brojeva. Svojstva skupa prirodnih brojeva. Oduzimanje i dijeljenje skupa prirodnih brojeva s aksiomatskih pozicija. Metoda matematičke indukcije. Uvođenje nule i konstrukcija skupa cijelih nenegativnih brojeva. Teorem o dijeljenju s ostatkom.

Osnovni pojmovi i definicije

Broj - to je izraz određene količine.

Prirodni broj element neodređeno nastavnog niza.

Prirodni brojevi (prirodni brojevi) - brojevi koji prirodno nastaju pri prebrojavanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja).

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva - brojevi koji se koriste u:

navođenje (numeriranje) stavki (prva, druga, treća, ...);

oznaka broja predmeta (bez predmeta, jedan predmet, dva predmeta, ...).

Aksiom – to su osnovna polazišta (samorazumljiva načela) pojedine teorije, iz kojih se dedukcijom, odnosno čisto logičkim putem, izvlači ostatak sadržaja ove teorije.

Broj koji ima samo dva djelitelja (sam broj i jedinicu) naziva se - prosti broj.

Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.

§2. Aksiomatika prirodnih brojeva

Prirodni brojevi se dobivaju brojanjem predmeta i mjerenjem veličina. Ali ako se tijekom mjerenja pojave brojevi koji nisu prirodni, tada brojanje vodi samo prirodnim brojevima. Da biste brojali, potreban vam je niz brojeva koji počinje s jedan i koji vam omogućuje da prelazite s jednog broja na drugi onoliko puta koliko je potrebno. Drugim riječima, potreban nam je segment prirodnog niza. Stoga je pri rješavanju problema opravdanja sustava prirodnih brojeva prije svega bilo potrebno odgovoriti na pitanje što je broj kao element prirodnog niza. Odgovor na to dali su radovi dvojice matematičara – njemački Grassmann i talijanski Peano. Predložili su aksiomatiku u kojoj prirodni broj bio je opravdan kao element neodređeno nastavnog niza.

Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva provodi se prema formuliranim pravilima.

Pet aksioma može se smatrati aksiomatskom definicijom osnovnih pojmova:

1 je prirodan broj;

Sljedeći prirodni broj je prirodan broj;

1 ne slijedi nijedan prirodni broj;

Ako je prirodan broj A slijedi prirodni broj b i izvan prirodnog broja S, To b I S su identični;

Ako je neka tvrdnja dokazana za 1 i ako iz pretpostavke da je istinita za prirodni broj n, slijedi da vrijedi za sljedeće n prirodni broj, onda je ova rečenica istinita za sve prirodne brojeve.

Jedinica– ovo je prvi broj prirodnog niza , kao i jedna od znamenki u decimalnom brojevnom sustavu.

Vjeruje se da se oznaka jedinice bilo koje kategorije s istim znakom (prilično bliskom modernom) prvi put pojavila u starom Babilonu otprilike 2 tisuće godina prije Krista. e.

Stari Grci, koji su samo prirodne brojeve smatrali brojevima, smatrali su svaki od njih skupom jedinica. Samoj jedinici je dato posebno mjesto: ona se nije smatrala brojem.

I. Newton je napisao: "... pod brojem ne razumijemo toliko skup jedinica koliko apstraktni odnos jedne količine prema drugoj količini, koju mi konvencionalno prihvaćamo kao jedinicu." Tako je jedan već zauzeo svoje pravo mjesto među ostalim brojevima.

Aritmetičke operacije s brojevima imaju niz svojstava. Mogu se opisati riječima, na primjer: "Zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova." Možete ga napisati slovima: a+b = b+a. Može se izraziti posebnim izrazima.

Osnovne zakone aritmetike često primjenjujemo iz navike, a da toga nismo svjesni:

1) komutativni zakon (komutativnost), - svojstvo zbrajanja i množenja brojeva, izraženo identitetima:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) kombinacijski zakon (asocijativnost), - svojstvo zbrajanja i množenja brojeva, izraženo identitetima:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) zakon raspodjele (distributivnost), - svojstvo koje povezuje zbrajanje i množenje brojeva i izražava se identitetima:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Nakon dokaza komutativnih, kombinativnih i distributivnih (u odnosu na zbrajanje) zakona djelovanja množenja, daljnja izgradnja teorije aritmetičkih operacija nad prirodnim brojevima ne predstavlja temeljne poteškoće.

Trenutno u glavi ili na komadu papira radimo samo najjednostavnije izračune, sve više povjeravajući složenije računske poslove kalkulatorima i računalima. Međutim, rad svih računala – jednostavnih i složenih – temelji se na najjednostavnijoj operaciji – zbrajanju prirodnih brojeva. Ispostavilo se da se najsloženiji izračuni mogu svesti na zbrajanje, ali ova se operacija mora izvesti mnogo milijuna puta.

Aksiomatske metode u matematici

Jedan od glavnih razloga razvoja matematičke logike je raširena aksiomatska metoda u izgradnji raznih matematičkih teorija, prije svega geometrije, a zatim aritmetike, teorije grupa itd. Aksiomatska metoda može se definirati kao teorija koja je izgrađena na unaprijed odabranom sustavu nedefiniranih pojmova i odnosa među njima.

U aksiomatskoj konstrukciji matematičke teorije prethodno se odabire određeni sustav nedefiniranih pojmova i odnosa među njima. Ti pojmovi i odnosi nazivaju se osnovnim. Zatim, unesite aksiomi oni. glavne odredbe razmatrane teorije, prihvaćene bez dokaza. Sav daljnji sadržaj teorije logički se izvodi iz aksioma. Po prvi put, aksiomatsku konstrukciju matematičke teorije poduzeo je Euklid u konstrukciji geometrije.

GOUVPO

Državno pedagoško sveučilište Tula

Nazvan po L.N. Tolstoju

NUMERIČKI SUSTAVI

Tula 2008

Numerički sustavi

Priručnik je namijenjen studentima matematičkih specijalnosti pedagoškog sveučilišta i razvijen je u skladu s državnim standardom za kolegij "Numerički sustavi". Izlaže se teorijski materijal. Analiziraju se rješenja tipičnih zadataka. Predviđene su vježbe za rješavanje na praktičnoj nastavi.

Sastavio -

Kandidat fizičkih i matematičkih znanosti, izvanredni profesor Odsjeka za algebru i geometriju, TSPU nazvan. L. N. Tolstoj Yu. A. Ignatov

Recenzent -

Kandidat fizičkih i matematičkih znanosti, profesor Odsjeka za matematičku analizu, TSPU named. L. N. Tolstoj I. V. Denisov

Edukativno izdanje

Numerički sustavi

Sastavio

IGNATOV Jurij Aleksandrovič

NUMERIČKI SUSTAVI

Ovaj tečaj pokriva temelje matematike. Pruža strogu aksiomatsku konstrukciju osnovnih numeričkih sustava: prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, realnih, kompleksnih, kao i kvaterniona. Temelji se na teoriji formalnih aksiomatskih sustava, o kojima se govori u kolegiju matematičke logike.

U svakom paragrafu, teoremi su numerirani prvi. Ako je potrebno uputiti na teorem iz drugog odlomka, koristi se postupno numeriranje: broj odlomka stavlja se ispred broja teorema. Na primjer, teorem 1.2.3 je teorem 3 iz paragrafa 1.2.

Cijeli brojevi

Aksiomatska teorija prirodnih brojeva

Aksiomatsku teoriju definiraju sljedeći elementi:

Skup konstanti;

Skup funkcionalnih simbola za označavanje operacija;

Skup predikatnih simbola za predstavljanje odnosa;

Popis aksioma koji povezuju gore navedene elemente.

Za formalnu aksiomatsku teoriju naznačena su i pravila zaključivanja uz pomoć kojih se dokazuju teoremi. U ovom slučaju, svi iskazi su napisani u obliku formula, čije značenje nije važno, a transformacije se rade na tim formulama prema zadanim pravilima. U sadržajnoj aksiomatskoj teoriji pravila zaključivanja nisu navedena. Dokazi se provode na temelju uobičajenih logičkih konstrukcija koje uzimaju u obzir značenje tvrdnji koje se dokazuju.

Ovaj kolegij gradi smislene teorije osnovnih numeričkih sustava.

Najvažniji zahtjev za aksiomatsku teoriju je njezina dosljednost. Dokaz konzistentnosti provodi se konstruiranjem modela teorije u drugoj teoriji. Tada se konzistentnost teorije koja se razmatra svodi na konzistentnost teorije u kojoj je model konstruiran.

Za sustav cijelih brojeva model se gradi u okviru sustava prirodnih brojeva, za racionalne brojeve - unutar sustava cijelih brojeva itd. Rezultat je lanac aksiomatskih teorija, u kojem se svaka teorija temelji na prethodnoj. Ali za prvu teoriju u ovom lancu, naime teoriju prirodnih brojeva, nema gdje izgraditi model. Stoga je za sustav prirodnih brojeva potrebno konstruirati teoriju za koju je postojanje modela nesumnjivo, iako ga je nemoguće striktno dokazati.

Teorija bi trebala biti vrlo jednostavna. U tu svrhu sustav prirodnih brojeva smatramo samo alatom za brojanje predmeta. Operacije zbrajanja, množenja i odnosi reda moraju se odrediti nakon što je teorija u naznačenom obliku izgrađena.

Za potrebe brojanja sustav prirodnih brojeva mora biti niz u kojem je prvi element (jedinica) definiran, a za svaki element sljedeći. U skladu s tim dobivamo sljedeću teoriju.

Konstantno: 1 (jedinica).

Simbol funkcije: "¢". Označava unarnu operaciju "slijeđenja", tj A¢ – sljedeći broj A. U ovom slučaju broj A nazvao prethodni Za A¢.

Nema posebnih predikatnih znakova. Korištena je uobičajena relacija jednakosti i teoretičke relacije skupova. Aksiomi za njih neće biti naznačeni.

Označava se skup na kojem se temelji teorija N.

Aksiomi:

(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (jedan ne slijedi nijedan broj).

(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (svaki broj ima najviše jednog prethodnika).

(N3) M Í N, 1O M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(aksiom matematičke indukcije).

Navedenu aksiomatiku predložio je (uz manje izmjene) talijanski matematičar Peano krajem 19. stoljeća.

Iz aksioma nije teško izvesti neke teoreme.

Teorem 1. (Metoda matematičke indukcije). Neka R(n) – predikat definiran na skupu N. Neka bude istina R(1) i (" n)(P(n)® P(n¢)). Zatim R(n) je identično istinit predikat na N.

Dokaz. Neka M– skup prirodnih brojeva n, za koji R(n) je istina. Zatim 1O M prema uvjetima teoreme. Dalje, ako nÎ M, To P(n) istina po definiciji M, P(n¢) je istinit prema uvjetima teorema, i n¢Î M a-priorat M. Sve premise aksioma indukcije su zadovoljene, dakle, M = N. Prema definiciji M, to znači da R(n) vrijedi za sve brojeve iz N. Teorem je dokazan.

Teorem 2. Bilo koji broj A Broj 1 ima prethodnik, i to samo jedan.

Dokaz. Neka M– skup prirodnih brojeva koji sadrži 1 i sve brojeve koji imaju prethodnika. Zatim 1O M. Ako aÎ M, To a¢Î M, jer a¢ ima prethodnik (uvjet se ovdje čak i ne koristi aÎ M). Dakle, prema aksiomu indukcije M = N. Teorem je dokazan.

Teorem 3. Bilo koji broj razlikuje se od sljedećeg.

Vježbajte. Nakon što smo odredili prirodne brojeve 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, dokažite da je 2 ¹ 6.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Za zbrajanje prirodnih brojeva dana je sljedeća rekurzivna definicija.

Definicija. Zbrajanje prirodnih brojeva je binarna operacija koja se primjenjuje na prirodne brojeve A I b odgovara broju a+b, koji ima sljedeća svojstva:

(S1) A + 1 = A¢ za bilo koga A;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ za bilo koju A I b.

Potrebno je dokazati da je ova definicija točna, odnosno da postoji operacija koja zadovoljava zadana svojstva. Ovaj se zadatak čini vrlo jednostavnim: dovoljno je provesti indukciju na b, brojeći A fiksni. U ovom slučaju potrebno je odabrati set M vrijednosti b, za koje operacija a+b je definiran i zadovoljava uvjete (S1) i (S2). Pri izvođenju induktivnog prijelaza moramo pretpostaviti da za b operacija izvedena, i dokazati da je izvedena za b¢. Ali u svojstvu (S2), koje mora biti zadovoljeno za b, već postoji poveznica na a+b¢. To znači da ovo svojstvo automatski pretpostavlja postojanje operacije za a+b¢, a time i za sljedeće brojeve: uostalom, za a+b¢ svojstvo (S2) također mora biti zadovoljeno. Moglo bi se pomisliti da ovo samo olakšava problem jer induktivni korak čini trivijalnim: iskaz koji se dokazuje jednostavno ponavlja induktivnu hipotezu. Ali poteškoća je ovdje u dokazu za bazu indukcije. Za vrijednost b= 1, svojstva (S1) i (S2) također moraju biti zadovoljena. Ali svojstvo (S2), kao što je prikazano, pretpostavlja postojanje operacije za sve vrijednosti koje slijede 1. To znači da provjera baze indukcije pretpostavlja dokaz ne za jedan, već za sve brojeve, a indukcija gubi smisao: baza indukcije podudara se s tvrdnjom koja se dokazuje.

Gornje obrazloženje ne znači da su rekurzivne definicije netočne ili zahtijevaju pažljivo obrazloženje svaki put. Da biste ih opravdali, trebate koristiti svojstva prirodnih brojeva, koja se tek uspostavljaju u ovoj fazi. Jednom kada se one utvrde, može se dokazati valjanost rekurzivnih definicija. Dokažimo za sada postojanje zbrajanja indukcijom na A: u formulama (S1) i (S2) ne postoji veza između zbrajanja za A I A¢.

Teorem 1. Zbrajanje prirodnih brojeva je uvijek izvodljivo, i to jedinstveno.

Dokaz. a) Prvo dokazujemo jedinstvenost. Popravimo to A. Zatim rezultat operacije a+b postoji funkcija iz b. Pretpostavimo da postoje dvije takve funkcije f(b) I g(b), koji ima svojstva (S1) i (S2). Dokažimo da su jednaki.

Neka M– skup značenja b, za koji f(b) = g(b). Po svojstvu (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ i g(1) = A + 1 = A¢ znači f(1) = g(1) i 1O M.

Neka sada bÎ M, to je f(b) = g(b). Po svojstvu (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),

Sredstva, b¢Î M. Po aksiomu indukcije M = N. Jedinstvenost je dokazana.

b) Sada indukcijom na A dokažimo postojanje operacije a+b. Neka M– skup tih vrijednosti A, za koje operacija a+b sa svojstvima (S1) i (S2) je definiran za sve b.

Neka A= 1. Navedimo primjer takve operacije. Po definiciji pretpostavljamo 1 + b == b¢. Pokažimo da ova operacija zadovoljava svojstva (S1) i (S2). (S1) ima oblik 1 + 1 = 1¢, što odgovara definiciji. Provjera (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, a (S2) je zadovoljeno. Dakle, 1O M.

Neka sada AÎ M. Dokažimo to A¢Î M. Vjerujemo po definiciji
a¢ +b = (a+ b)¢. Zatim

a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,

a¢ +b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,

a svojstva (S1) i (S2) su zadovoljena.

Tako, M = N, a zbrajanje je definirano za sve prirodne brojeve. Teorem je dokazan.

Teorem 2. Zbrajanje prirodnih brojeva je asocijativno, tj

(a+b) + c = a + (b+c).

Dokaz. Popravimo to A I b i provesti indukciju na S. Neka M- skup tih brojeva S, za koje jednakost vrijedi. Na temelju svojstava (S1) i (S2) imamo:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a +(b+ 1) Þ 1O M.

Neka sada SÎ M. Zatim

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a +(b + c))¢ = a +(b + c)¢ = a +(b + c¢),

I c¢Î M. Prema aksiomu (N3) M = N. Teorem je dokazan.

Teorem 3. Zbrajanje prirodnih brojeva je komutativno, tj

a + b = b + a. (1)

Dokaz. Popravimo to A i provesti indukciju na b.

Neka b= 1, odnosno potrebno je dokazati jednakost

A + 1 = 1 + A. (2)

Ovu jednakost dokazujemo indukcijom na A.

Na A= 1 jednakost je trivijalna. Neka bude učinjeno za A, dokažimo to za A¢. Imamo

A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.

Induktivni prijelaz je završen. Po principu matematičke indukcije, jednakost (2) vrijedi za sve A. Ovo dokazuje tvrdnju baze indukcije na b.

Neka je sada formula (1) zadovoljena za b. Dokažimo to za b¢. Imamo

a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.

Primjenom principa matematičke indukcije teorem je dokazan.

Teorem 4.a + b ¹ b.

Dokaz je vježba.

Teorem 5. Za bilo koji broj A I b dogodi se jedan i samo jedan od sljedećih slučajeva:

1) a = b.

2) Postoji broj k takav da a = b + k.

3) Postoji broj l takav da b = a + l.

Dokaz. Iz teorema 4 slijedi da se dogodi najviše jedan od ovih slučajeva, budući da se očito slučajevi 1) i 2), kao i 1) i 3), ne mogu dogoditi istovremeno. Ako su se slučajevi 2) i 3) dogodili istovremeno, tada a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k), što je opet u suprotnosti s teoremom 4. Dokažimo da se barem jedan od ovih slučajeva uvijek pojavljuje.

Neka se izabere broj A I M – puno toga b, za svaki od kojih, dano a dogodi se slučaj 1), 2) ili 3).

Neka b= 1. Ako a= 1, tada imamo slučaj 1). Ako A¹ 1, tada prema teoremu 1.1.2 imamo

a = k" = k + 1 = 1 + k,

odnosno imamo slučaj 2) za b= 1. Dakle, 1 pripada M.

Neka b pripada M. Tada su mogući sljedeći slučajevi:

- A = b, Sredstva, b" = b + 1 = A+ 1, odnosno imamo slučaj 3) za b";

- A = b+k, i ako k= 1, tada A = b+ 1 = b", odnosno slučaj 1) se javlja za b";

ako k Broj 1, dakle k = t" I

a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

odnosno slučaj 2) javlja se za b";

- b = a + l, i b" =(a + l)¢ = A + l¢, odnosno imamo slučaj 3) za b".

U svakom slučaju b" pripada M. Teorem je dokazan.

Vježbajte. Na temelju definicije zbroja dokažite da je 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Množenje prirodnih brojeva

Definicija. Množenje prirodnih brojeva je binarna operacija koja se primjenjuje na prirodne brojeve A I b odgovara broju ab(ili a×b), ima sljedeća svojstva:

(P1) A×1 = A za bilo koga A;

(P2) ab" = ab + a za bilo koji A I b.

Što se tiče definicije množenja, ostaju na snazi svi komentari izneseni u prethodnom paragrafu u vezi definicije zbrajanja. Konkretno, iz njega još nije jasno da postoji korespondencija sa svojstvima danim u definiciji. Stoga je sljedeći teorem, sličan teoremu 1.2.1, od velike temeljne važnosti.

Teorem 1. Postoji samo jedno množenje prirodnih brojeva. Drugim riječima, množenje je uvijek izvedivo i nedvosmisleno.

Dokaz je prilično sličan onom iz teorema 1.2.1 i nudi se kao vježba.

Svojstva množenja formulirana u sljedećim teoremima lako se dokazuju. Dokaz svakog teorema temelji se na prethodnima.

Teorem 2.(Zakon desne distribucije): ( a+b)c = ac + bc.

Teorem 3. Množenje je komutativno: ab = ba.

Teorem 4.(Lijevi distributivni zakon): c(a+b)= sa + sb.

Teorem 5. Množenje je asocijativno: a(prije Krista) = (ab)c.

Definicija. Poluprsten je sustav u kojem su + i × binarne operacije zbrajanja i množenja koje zadovoljavaju aksiome:

(1) je komutativna polugrupa, odnosno zbrajanje je komutativno i asocijativno;

(2) – poluskupina, odnosno množenje je asocijativno;

(3) vrijedi desna i lijeva distributivnost.

S algebarskog gledišta, sustav prirodnih brojeva s obzirom na zbrajanje i množenje čini poluprsten.

Vježbajte. Dokažite na temelju definicije proizvoda da
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Vježbe

Dokažite identitete:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Pronađite iznos:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.

Dokažite nejednakosti:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! Za n³ 4.

9. (1 + x)n³ 1 + nx, Gdje x > –1.

10. na n > 1.

11. na n > 1.

12. .

13. Pronađite pogrešku u dokazu indukcijom da su svi brojevi jednaki. Dokazujemo ekvivalentnu tvrdnju: u bilo kojem skupu n brojevi, svi brojevi su međusobno jednaki. Na n= 1 tvrdnja je točna. Neka bude istina za n = k, dokažimo to za n = k+ 1. Uzmite skup proizvoljnih
(k+ 1) brojevi. Uklonimo jedan broj iz njega A. Lijevo k brojevi, po induktivnoj hipotezi oni su međusobno jednaki. Konkretno, dva su broja jednaka b I S. Uklonimo sada broj iz skupa S i uključite ga A. U dobivenom skupu još uvijek postoji k brojeva, što znači da su i međusobno jednaki. Posebno, a = b. Sredstva, a = b = c, i to je sve ( k+ 1) brojevi su međusobno jednaki. Induktivni prijelaz je završen i tvrdnja je dokazana.

14. Dokažite poboljšani princip matematičke indukcije:

Neka A(n) je predikat na skupu prirodnih brojeva. Neka A(1) istina i od istine A(k) za sve brojeve k < m slijedi istinu A(m). Zatim A(n) vrijedi za sve n.

Naručeni setovi

Prisjetimo se osnovnih definicija povezanih s relacijom reda.

Definicija. Relacija f (“iznad”) na skupu M nazvao odnos reda, ili jednostavno u redu, ako je ova relacija tranzitivna i antisimetrična. Sustav b M, fñ se zove naručeni skup.

Definicija. strogi red, ako je antirefleksno, i labav red, ako je refleksivan.

Definicija. Relacija reda f naziva se relacija linearni poredak, ako je povezan, tj a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Red koji nije linearan naziva se djelomičan.

Definicija. Neka á M A– podskup M. Element T postavlja A nazvao najmanji, ako je manji od svih ostalih elemenata skupa A, to je

("xÎ A)(x ¹ T® x f T).

Definicija. Neka á M, fñ – uređeni skup, A– podskup M. Element T postavlja A nazvao minimalan, ako je u kompletu A nema manjeg elementa, tj. (" xÎ A)(x ¹ T® Ø T f x).

Najveći i maksimalni element određuju se na sličan način.

Vježbe

1. Dokažite da je tranzitivni i antirefleksivni odnos odnos reda.

2. Dokažite da je relacija djeljivosti M na skupu N postoji parcijalni odnos reda.

3. Dokažite da skup može imati najviše jedan najveći i najviše jedan najmanji element.

4. Odredite sve najmanje, najveće, najveće i najmanje elemente u skupu (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) za relaciju djeljivosti.

5. Dokažite da ako skup ima najmanji element, onda je on jedini minimalni.

6. Na koliko načina možemo definirati linearni red na skupu od tri elementa? linearno i strogo? linearno i mlitavo?

7. Neka á M, fñ je linearno uređen skup. Dokažite da je relacija > definirana uvjetom

a > b Û a f b & a¹ b

je relacija strogog linearnog reda.

8. Neka á M, fñ je linearno uređen skup. Dokažite da je relacija ³ definirana uvjetom

a ³ b Û a f b Ú a= b,

je relacija nestriktnog linearnog reda.

Definicija. Linearno uređeni skup b M, fñ, u kojem svaki neprazan podskup ima najmanji element se zove sasvim uredan. Relacija f u ovom slučaju naziva se relacija potpuni red.

Prema teoremu 1.4.6 sustav prirodnih brojeva je potpuno uređen skup.

Definicija. Neka á M Interval odvojen elementom a, nazvan skup R a svi elementi ispod A i različito od A, to je

R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.

Konkretno, ako A je minimalni element, dakle R a = Æ.

Teorem 1.(Princip transfinitne indukcije). Neka á M, fñ je potpuno uređen skup i A Í M. Neka za svaki element A iz M od pripadanja A svi elementi intervala R a slijedi to AÎ A. Zatim A = M.

Dokaz.

Neka A" = M\A je teorijska razlika skupova M I A. Ako A"= Æ, dakle A = M, i teorem je istinit. Ako A"¹ Æ , tada, budući M je potpuno uređen skup, tada skup A" sadrži najmanji element T. U ovom slučaju, svi prethodni elementi T i različito od T, ne pripadati A" i stoga pripadaju A. Tako, R m Í A. Prema tome, prema uvjetima teorema T Î A, i stoga T Ï A", suprotno pretpostavci.

Neka á A; fñ je uređen skup. Pretpostavit ćemo da A– konačan skup. Sa svakim elementom A postavlja A usporedimo neke točke T (A) zadane ravnine tako da ako element A odmah slijedi element b, zatim točka T (a) postavit ćemo iznad točke T(b) i spoji ih segmentom. Kao rezultat, dobivamo graf koji odgovara ovom uređenom skupu.

Vježbe

9. Neka á M, fñ je potpuno uređen skup, b Î M, sÎ M. Dokažite da ili Pb = R s, ili Pb Ì R s, ili R s Ì Pb.

10. Neka á M, f 1 s i b L, f 2 ñ su potpuno uređeni skupovi takvi da
M Ç L=Æ . U izobilju M È L Definirajmo binarnu relaciju f sljedećim uvjetima:

1) ako a, bÎ M, Da, a f b Û a f 1 b;

2) ako a, bÎ L, Da, a f b Û a f 2 b;

3) ako AÎ M, bÎ L, Da, a f b.

Dokažite da sustav b MÈ L, fñ je potpuno uređen skup.

Uređene polugrupe

Definicija.Polugrupa zove se algebra á A, *ñ, gdje je * asocijativna binarna operacija.

Definicija. Polugrupa á A, *ñ naziva se polugrupa s redukcijom ako zadovoljava svojstva

a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.

Definicija.Uređena polugrupa nazvan sustav b A, +, fñ, gdje je:

1) sustav b A, +ñ – polugrupa;

2) sustav b A, fñ – uređeni skup;

3) relacija f je monotona u odnosu na polugrupnu operaciju, tj
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.

Uređena polugrupa á A, +, fñ nazivaju se naručena grupa, ako je sustav b A, +ñ – grupa.

U skladu s vrstama naloga određuju se odnosi linearno uređena polugrupa, linearno uređena grupa, djelomično uređena polugrupa, strogo uređena polugrupa itd.

Teorem 1. U uređenoj polugrupi á A, +, fñ mogu se zbrajati nejednakosti tj a f b, c f d Þ a+c f b+d.

Dokaz. Imamo

a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,

odakle tranzitivnošću a+c f b+d. Teorem je dokazan.

Vježba 1. Dokažite da je sustav prirodnih brojeva djelomično uređena polugrupa s obzirom na množenje i djeljivost.

Lako je vidjeti da sustav b N, +, >ñ – strogo uređena polugrupa, b N, +, ³ñ je nestrogo uređena polugrupa. Možemo dati primjer takvog uređenja polugrupe á N, +ñ, u kojem poredak nije ni strog ni nestrog.

Vježba 2. Definirajmo poredak f u sustavu prirodnih brojeva na sljedeći način: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Dokažite da je b N, +, fñ je uređena polugrupa u kojoj poredak nije ni strog ni nestriktan.

Primjer 1. Neka A– skup prirodnih brojeva koji nisu jednaki jedinici. Definirajmo omjer f in A na sljedeći način:

a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b broj 3.

Dokažite da sustav b A, +, fñ je djelomično i strogo uređena polugrupa.

Dokaz. Provjerimo tranzitivnost:

a f b, b f c Þ a = b + k, b br. 3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.

Jer a f b Þ a > b, tada je antirefleksivnost zadovoljena. Iz vježbe 2.1.1 slijedi da je f relacija strogog reda. Poredak je djelomičan jer elementi 3 i 4 nisu ni u kakvom odnosu.

Relacija f je monotona u odnosu na zbrajanje. Doista, stanje a f b Þ a+c f b+c moglo se prekršiti samo kad
b+c= 3. Ali zbroj može biti jednak 3, jer je to moguće A nema jedinice.

Grupa od dva elementa ne može biti linearno i strogo uređena. Zapravo, neka su 0 i 1 njeni elementi (0 je nula grupe). Pretpostavimo da je 1 > 0. Tada dobivamo 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Teorem 2. Svaka linearno uređena oboriva polugrupa može biti linearno i strogo uređena.

Dokaz. Neka á A, +, fñ je uređena polugrupa. Striktna relacija reda > definirana je kao u vježbi 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Pokažimo da je zadovoljen uvjet 3) iz definicije uređene polugrupe.

a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.

Ako a+c = b+c tada, smanjujući, dobivamo a = b, što je u suprotnosti s uvjetom
A > b. Sredstva, a+c ¹ b+c, I a+c > b+c. Slično se provjerava i drugi dio uvjeta 3), čime je teorem dokazan.

Teorem 3. Ako b A, +, fñ je linearno i strogo uređena polugrupa, tada je:

1) A + S = b + c Û a = b Û c + a = S + b;

2) A + S f b + c Û A f b Û S + a f S + b.

Dokaz. Neka A + S = b + c. Ako a ¹ b, zatim zbog veze A f b ili
b f a. Ali onda prema tome A + S f b+ c ili b + S f a+ c, što je u suprotnosti s uvjetom A + S = b + c. Ostali slučajevi se postupaju na sličan način.

Dakle, svaka linearno i strogo uređena polugrupa je otkaziva polugrupa.

Definicija. Neka á A, +, fñ je uređena polugrupa. Element A postavlja A zove se pozitivno (negativno) ako a + a¹ A I a+a f A(odnosno A f a + a).

Primjer 2. Dokažite da element uređene komutativne polugrupe s poništenjem većim od pozitivnog elementa nije nužno pozitivan.

Riješenje. Iskoristimo primjer 1. Imamo 2 + 2 f 2, što znači da je 2 pozitivan element. 3 = 2 + 1, što znači 3 f 2. Istovremeno, relacija 3 + 3 f 3 ne vrijedi, što znači da 3 nije pozitivan element.

Teorem 4. Zbroj pozitivnih elemenata komutativne polugrupe s poništenjem je pozitivan.

Dokaz. Ako a + a f A I b+b f b, zatim prema teoremu 1

a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.

Ostaje provjeriti da li ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Imamo:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Hajde da se pretvaramo da ( a + b)+ (a+b)=a + b. Zamjenom u (1) dobivamo

a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.

Zbog antisimetrije a = a + a. To je u suprotnosti s činjenicom da element A pozitivan.

Teorem 5. Ako A je pozitivan element linearno i strogo uređene polugrupe, tada za bilo koju b imamo a+b f b, b + a f b.

Dokaz. Imamo a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Ako nije istina da a+ b f b, tada, zbog linearnosti, vrijedi a+b=b ili b f a+ b. Dodavanje slijeva A, dobivamo prema tome a+ a+ b= a+ b ili a+ b f a+ a+ b. Ovi uvjeti proturječe antisimetriji i strogosti odnosa reda.

Teorem 6. Neka á A, +, fñ – linearno i strogo uređena polugrupa, AÎ A I A+ A¹ a. Zatim elementi:

A, 2*A, 3*A, ...

svatko je drugačiji. Ako u ovom slučaju sustav b A, +, fñ je grupa, tada su svi elementi različiti:

0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...

(pod, ispod k*a, kÎ N , aÎ A, znači iznos a+ …+ a, koji sadrži k Pojmovi)

Dokaz. Ako a + A f A, To a + A + A f a + a itd. Kao rezultat, dobivamo lanac ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Zbog tranzitivnosti i antisimetričnosti svi elementi u njemu su različiti. U grupi se lanac može nastaviti u drugom smjeru dodavanjem elementa - A.

Posljedica. Konačna polugrupa s poništenjem, ako je broj njezinih elemenata najmanje 2, ne može biti linearno uređena.

Teorem 7. Neka á A, +, fñ je linearno uređena grupa. Zatim

a f a Û b f b.

Dokaz je vježba.

Dakle, svaka linearno uređena grupa je ili strogo ili nestrogo uređena. Za označavanje ovih redova koristit ćemo znakove > odnosno ³.

Vježbe

3. Dokažite da je zbroj pozitivnih elemenata linearno i strogo uređene polugrupe pozitivan.

4. Dokažite da je svaki linearno i strogo uređen element polugrupe veći od pozitivnog elementa i sam pozitivan.

5. Dokažite da je uređena polugrupa linearno uređena ako i samo ako svaki konačni skup svojih elemenata ima samo jedan najveći element.

6. Dokažite da skup pozitivnih elemenata linearno uređene grupe nije prazan.

7. Neka á A, +, fñ je linearno i strogo uređena grupa. Dokažite da element A sustava A ako i samo ako je pozitivan if A > 0.

8. Dokažite da u aditivnoj poluskupini prirodnih brojeva postoji samo jedan linearni i strogi red u kojem skup pozitivnih elemenata nije prazan.

9. Dokažite da multiplikativna polugrupa cijelih brojeva ne može biti linearno uređena.

Naručeno prstenje

Definicija. Sustav b A, +, ×, fñ se zove naredio semiring, Ako

1) sustav b A, +, ×ñ – poluprsten;

2) sustav b A, +, fñ – uređena polugrupa s nepraznim skupom A+ pozitivni elementi;

3) monotonost vrijedi u odnosu na množenje pozitivnim elementima, odnosno ako SÎ A+ i A f b, To ak f prije Krista, ca f cb.

Pozitivan element naredio semiring A je bilo koji pozitivni element uređene polugrupe á A, +, fñ.

Naručeni poluprsten b A, +, ×, fñ se zove naručeni prsten (polje), ako je poluprsten b A, +, ×ñ – prsten (odnosno polje).

Definicija. Neka á A, +, ×, fñ – uređeni poluprsten. Red f sustava A nazvao Arhimed, i sustav A - Arhimed je naredio, ako, bez obzira na pozitivne elemente A I b sustava A, možete navesti takav prirodni broj P,Što na f b.

Primjer 1. Poluprsten prirodnih brojeva s relacijom > (veće od) je linearan, strogo i arhimedovski uređen poluprsten.

Za linearno uređen prsten b A, +, ×, 0, fñ sustav b A, +, 0, fñ je linearno uređena grupa. To implicira, prema teoremu 2.2.7, da je poredak f strog ili nestrog. U izobilju A možete uvesti (vježbe 2.1.5. i 2.1.6) novi linearni poredak, koji će biti strog ako je poredak f nestrog, i nestrog ako je poredak f strog. U vezi s ovom primjedbom, u linearno uređenom prstenu A Obično se razmatraju dvije relacije binarnog reda, od kojih je jedna, stroga, označena znakom >, a drugi, nestriktni, označen je sa ³.

Za ono što slijedi, korisno je prisjetiti se da u linearno uređenom prstenu element A pozitivno je ako i samo ako A> 0 (vježba 2.2.7).

Teorem 1. Neka sustav b A,+,×,0,>ñ – linearno uređen prsten. Zatim za bilo koji element A iz A ili A = 0, ili A> 0, ili – A > 0.

Dokaz. Zbog linearnosti i strogosti između elemenata
a+ a I A jedna i samo jedna od relacija vrijedi a+ a>a, a+ a = a, a+ a < a. U prvom slučaju A– pozitivan element. U drugom dodajemo oba dijela - A i dobivamo A= 0. U trećem slučaju objema stranama pribrajamo – a – a – a i dobivamo –a < -a-a, gdje –a– pozitivan element.

Teorem 2. Zbroj i umnožak pozitivnih elemenata linearno uređenog prstena su pozitivni.

Dokaz je vježba.

Teorem 3. U linearno uređenom prstenu, kvadrat svakog elementa koji nije nula je pozitivan.

Dokaz je vježba.

Teorem 4. U linearno uređenom polju ako a> 0, dakle a –1 > 0.

Dokaz je vježba.

Teorem 5. ( Kriterij reda) . Prsten á A, +, ×, 0ñ ako i samo tada može biti linearno i strogo uređen (tj. uvesti linearan i strog red) ako skup A ima podskup A+ , koji zadovoljava uvjete:

1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;

A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;

2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .

Dokaz. Neka prvo á A,+,×,0,>ñ – linearno uređen prsten. Kao željeni podskup A+ u ovom slučaju, na temelju teorema 1 i 2, mogu se pojaviti mnogi pozitivni elementi sustava A.

Neka sada A+ je podskup prstena b A,+,×,0ñ, zadovoljavajući uvjete iz teorema. Pokušajmo uvesti linearni red > u prstenu á A,+,×,0ñ. Definirajmo ovaj odnos na sljedeći način:

A > b Û a – b Î A + .

Lako je provjeriti da je relacija koju smo uveli povezana, antirefleksivna, antisimetrična, tranzitivna i monotona u odnosu na zbrajanje i množenje bilo kojim elementom iz A + .

Gomila A+ sa svojstvima spomenutim u uvjetima teorema 4 nazivaju se pozitivni dio prstena á A,+,×,0ñ. Ubuduće, pri uvođenju reda u bilo koji ring, u njemu ćemo tražiti “pozitivni dio”. Ako takav dio u prstenu postoji, onda se prsten može složiti, ako ne, onda ne može, ako ima više takvih nepoklapajućih pozitivnih dijelova, onda se može složiti na više načina.

Iz navedenog proizlazi da se pri definiranju linearno uređenog prstena, umjesto binarne relacije >, kao glavna relacija može uzeti unarna relacija “pozitivni dio”.

Teorem 6. ( Kriterij jedinstvenosti linearnog reda) . Neka A+ i A++ – pozitivni dijelovi prstena b A,+,×,0ñ. Zatim

A + = A ++ Û A + Í A ++ .

Odjel za obrazovanje uprave Kirovskog okruga Volgograda

Općinska obrazovna ustanova

gimnazija br.9

Matematička sekcija

Na ovu temu:Cijeli brojevi

Učenici 6. razreda

Shanina Lisa

Nadglednik:

Profesor matematike

Datum pisanja:

Potpis upravitelja:

Volgograd 2013

Uvodna stranica 3

§1. Osnovni pojmovi i definicije str.4

§2. Aksiomatika prirodnih brojeva strana 5

§3. “O NEKIM TAJNAMA KOJE BROJEVI ČUVAJU” str.8

§4. Veliki matematičari strana 10

Zaključna stranica 12

Reference stranica 13

Uvod

Što su prirodni brojevi? Svi! Oh kako dobro. A tko može objasniti? Hm, hm, "pozitivni cijeli brojevi", ne, to neće poslužiti. Morat ćemo objasniti što su "cijeli brojevi", a to je teže. Postoje li još neke verzije? Broj jabuka? Čini se da ne razumijemo zašto trebamo objašnjavati.

Prirodni brojevi su neki matematički objekti; da bismo dali neke tvrdnje o njima, uveli operacije nad njima (zbrajanje, množenje), potrebna nam je neka vrsta formalne definicije. Inače će operacija zbrajanja ostati ista neformalna, na razini "bile su dvije hrpe jabuka, stavili smo ih u jednu." I postat će nemoguće dokazati teoreme koji koriste zbrajanje, što je tužno.

Da, da, apsolutno je ispravno zapamtiti da su točke i linije neodredivi pojmovi. Ali imamo aksiome koji definiraju svojstva na koja se možemo osloniti u dokazima. Na primjer, "kroz bilo koje dvije točke na ravnini možete povući ravnu liniju i, štoviše, samo jednu." Itd. Želio bih ovako nešto.

U ovom radu razmatrat ćemo prirodne brojeve, Peanove aksiome i tajne brojeva.

Relevantnost i novost rada je da područje Peanovih aksioma nije otkriveno u školskim udžbenicima i nije prikazana njihova uloga.

Svrha ovog rada je proučavajući pitanje prirodnih brojeva i tajne brojeva.

Glavna hipoteza rada je Peanovi aksiomi i tajne brojeva.

§1. Osnovni pojmovi i definicije

Broj - to je izraz određene količine.

Prirodni broj element neodređeno nastavnog niza.

Prirodni brojevi (prirodni brojevi) - brojevi koji prirodno nastaju pri prebrojavanju (i u smislu nabrajanja i u smislu računanja).

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva - brojevi koji se koriste u:

navođenje (numeriranje) stavki (prva, druga, treća, ...);

oznaka broja predmeta (bez predmeta, jedan predmet, dva predmeta, ...).

Aksiom – to su osnovna polazišta (samorazumljiva načela) pojedine teorije, iz kojih se dedukcijom, odnosno čisto logičkim putem, izvlači ostatak sadržaja ove teorije.

Broj koji ima samo dva djelitelja (sam broj i jedinicu) naziva se - jednostavan broj.

Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.

§2. Aksiomatika prirodnih brojeva

Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva provodi se prema formuliranim pravilima .

Pet aksioma može se smatrati aksiomatskom definicijom osnovnih pojmova:

1 je prirodan broj;

Sljedeći prirodni broj je prirodan broj;

1 ne slijedi nijedan prirodni broj;

Ako je prirodan broj A slijedi prirodni broj b i izvan prirodnog broja S, To b I S su identični;

Ako je neka tvrdnja dokazana za 1 i ako iz pretpostavke da je istinita za prirodni broj n, slijedi da vrijedi za sljedeće n prirodni broj, onda je ova rečenica istinita za sve prirodne brojeve.

Jedinica– ovo je prvi broj prirodnog niza , kao i jedna od znamenki u decimalnom brojevnom sustavu.

Vjeruje se da se oznaka jedinice bilo koje kategorije s istim znakom (prilično bliskom modernom) prvi put pojavila u starom Babilonu otprilike 2 tisuće godina prije Krista. e.

Stari Grci, koji su samo prirodne brojeve smatrali brojevima, smatrali su svaki od njih skupom jedinica. Samoj jedinici je dato posebno mjesto: ona se nije smatrala brojem.

Osnovne zakone aritmetike često primjenjujemo iz navike, a da toga nismo svjesni:

1) komutativni zakon (komutativnost), - svojstvo zbrajanja i množenja brojeva, izraženo identitetima:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) kombinacijski zakon (asocijativnost), - svojstvo zbrajanja i množenja brojeva, izraženo identitetima:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) zakon raspodjele (distributivnost), - svojstvo koje povezuje zbrajanje i množenje brojeva i izražava se identitetima:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

§3. .“O NEKIM TAJNAMA KOJE ČUVAJU BROJEVI”

Mersenneovi brojevi.

Potraga za prostim brojevima traje već nekoliko stoljeća.

Broj koji ima samo dva djelitelja (sam broj i jedinicu) naziva se prostim brojem

Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja. Evo primjera: francuski redovnik Marin Mersenne (1 godina) zapisao je formulu za brojeve “radi jednostavnosti”, koji su nazvani Mersenneov broj.

To su brojevi oblika M p = 2P -1, gdje je p = prost broj.

Provjerio sam vrijedi li ova formula za sve proste brojeve

Do danas, brojevi veći od 2 testirani su na jednostavnost za sve p do 50000.E.” Kao rezultat toga, otkriveno je više od 30 Mersenneovih prostih brojeva.

3.1 Savršeni brojevi.

Među složenim brojevima postoji skupina brojeva koji se nazivaju ■ savršeni ako je broj jednak zbroju svih svojih djelitelja (isključujući sam broj). Na primjer:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

3.2. Prijateljski brojevi

Znanstvenik Pitagora puno je putovao po zemljama Istoka: bio je u Egiptu i Babilonu. Tamo je Pitagora upoznao i istočnjačku matematiku. Pitagora je vjerovao da se tajna svijeta krije u numeričkim obrascima; brojevi imaju svoje posebno životno značenje. Među složenim brojevima postoje parovi brojeva od kojih je svaki jednak zbroju djelitelja drugog.

Na primjer: 220 i 284

220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

234=1+2+4+71+142=220

Koristio sam kalkulator da pronađem još par prijateljskih brojeva.

Na primjer: 1184 i 1210

1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210=1+2+5+10+1.1+22+55+110+121+242+605=1184 i. itd.

Prijateljski brojevi- dva prirodna broja kod kojih je zbroj svih djelitelja prvog broja (osim njega samoga) jednak drugom broju, a zbroj svih djelitelja drugog broja (osim njega samoga) jednak je prvom broju. Obično, kad se govori o prijateljskim brojevima, oni znače parove od dva drugačiji brojevima.

Prijateljski brojevi

Prijateljski brojevi su par brojeva od kojih je svaki jednak zbroju svojih djelitelja (na primjer, 220 i 284).

§4. Veliki matematičari

Hermann Günter Grassmann ( njemački Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) - fizičar, matematičar i filolog.

Nakon što se Grassmann školovao u Stetinu, upisao je Sveučilište u Berlinu, Teološki fakultet. Uspješno položivši oba ispita iz teologije, dugo nije odustajao od misli da se posveti propovjedničkom poslu, a želju za teologijom zadržao je do kraja života. Istovremeno se počeo zanimati za matematiku. Godine 1840. položio je dodatni ispit za stjecanje prava predavati matematiku, fiziku, mineralogiju i kemiju. .

Diferencijalne" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalne jednadžbe, definicija i opseg pojma krivulje itd.) i formalno logičko opravdanje matematike. Njegova aksiomatika prirodnog niza brojeva je ušao u opću upotrebu.. Poznat je njegov primjer kontinuirane (Jordanove) krivulje koja potpuno ispunjava određeni kvadrat.

Sir Isaac Newton (eng. Sir Isaac Newton, 25. prosinca 1642. - 20. ožujka 1727. po julijanskom kalendaru koji je u Engleskoj bio na snazi do 1752.; odnosno 4. siječnja 1643. - 31. ožujka 1727. po gregorijanskom kalendaru) - engleski fizičar , matematičar i astronom, jedan od tvoraca klasične fizike. Autor temeljnog djela "Matematička načela prirodne filozofije", u kojem je iznio zakon univerzalne gravitacije i tri zakona mehanike, koji su postali osnova klasične mehanike. Razvio je diferencijalni i integralni račun, teoriju boja i mnoge druge matematičke i fizikalne teorije.

Maren Mersenne (zastarjela transliteracija Marin Mersenne; francuski Marin Mersenne; 8. rujna 1588. - 1. rujna 1648.) - francuski matematičar, fizičar, filozof i teolog. Tijekom prve polovice 17. stoljeća bio je u biti koordinator znanstvenog života Europe, vodeći aktivnu korespondenciju s gotovo svim istaknutim znanstvenicima toga doba. Također ima ozbiljna osobna znanstvena postignuća u području akustike, matematike i glazbene teorije.

Zaključak

S brojevima se susrećemo na svakom koraku i toliko smo se navikli na njih da jedva shvaćamo koliko su važni u našim životima. Brojevi su dio ljudskog razmišljanja.

Nakon što sam završio ovaj rad, naučio sam aksiome prirodnih brojeva, velike matematičare i neke tajne o brojevima. Ima ukupno deset znamenki, a brojevi koji se mogu prikazati uz njihovu pomoć su beskonačni.

Matematika je nezamisliva bez brojeva. Različiti načini predstavljanja brojeva pomažu znanstvenicima u stvaranju matematičkih modela i teorija koje objašnjavaju neriješene prirodne pojave.

Bibliografija

1. Kordemsky matematika za školarce: (Materijal za razredne i izvannastavne aktivnosti). – M.: Obrazovanje, 1981. – 112 str.

2. , Šor aritmetičkih zadataka povećane težine. – M.: Obrazovanje, 1968. – 238 str.

3. Perelmanova aritmetika. – M.: JSC Stoletie, 1994. – 164 str.

4. Malygin historicizma u nastavi matematike u srednjoj školi. – M.: Državna obrazovna i pedagoška naklada Ministarstva prosvjete RSFSR-a, 1963. – 223 str.

5. , Ševkin. – M.: UC preduniverzitetsko obrazovanje Moskovsko državno sveučilište, 1996. – 303 str.

6. Matematički enciklopedijski rječnik. / CH. izd. ; ur. broj: , . – M.: Sov. enciklopedija, 1988. – 847 str.

7. Savinov rječnik mladog matematičara. – M.: Pedagogija, 1985. – 352 str.

IV. Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva. Aksiomatske teorije Općinska obrazovna ustanova

Pročitajte također:

Nedavni unosi

IV. Aksiomatska konstrukcija sustava prirodnih brojeva. Aksiomatske teorije Općinska obrazovna ustanova

Pročitajte također:

Bitke u srednjem vijeku. Zharkov, Sergei V. Taktika srednjovjekovnih bitaka

Lev Kassil Lev Kassil glavna vojska čit

Tradicionalna vojna organizacija

Nedavni unosi