“Transformacija funkcija” - klackalica. Pomaknite y os prema gore. Pojačajte glasnoću do kraja – povećat ćete a (amplitudu) vibracija zraka. Pomaknite x-os ulijevo. Ciljevi lekcije. 3 boda. Glazba, muzika. Nacrtajte funkciju i odredite D(f), E(f) i T: kompresija duž x-osi. Pomaknite y os prema dolje. Dodajte crvenu boju u paletu i smanjite k (frekvenciju) elektromagnetskih oscilacija.

“Funkcije više varijabli” - Izvodnice višeg reda. Funkcija dviju varijabli može se prikazati grafički. Diferencijalni i integralni račun. Unutarnje i rubne točke. Određivanje limesa funkcije 2 varijable. Tečaj matematičke analize. Berman. Limit funkcije 2 varijable. Grafikon funkcije. Teorema. Ograničeno područje.

“Pojam funkcije” - Metode crtanja grafova kvadratne funkcije. Proučavanje različitih načina specificiranja funkcije važna je metodološka tehnika. Značajke proučavanja kvadratnih funkcija. Genetska interpretacija pojma "funkcija". Funkcije i grafovi u školskom kolegiju matematike. Ideja linearne funkcije je istaknuta kada se crta određena linearna funkcija.

"Funkcija teme" - analiza. Potrebno je otkriti ne ono što učenik ne zna, nego ono što on zna. Postavljanje temelja za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na sveučilišta. Sinteza. Ako učenici rade drugačije, onda bi i nastavnik trebao drugačije raditi s njima. Analogija. Generalizacija. Raspodjela zadataka Jedinstvenog državnog ispita po glavnim blokovima sadržaja školskog tečaja matematike.

“Transformacija grafova funkcija” - Ponoviti vrste transformacija grafova. Poveži svaki graf s funkcijom. Simetrija. Cilj lekcije: Konstruirati grafove složenih funkcija. Pogledajmo primjere transformacija i objasnimo svaku vrstu transformacije. Transformacija grafova funkcija. Istezanje. Učvrstiti konstrukciju grafova funkcija pomoću transformacija grafova elementarnih funkcija.

“Grafovi funkcija” - Vrsta funkcije. Raspon vrijednosti funkcije su sve vrijednosti zavisne varijable y. Graf funkcije je parabola. Graf funkcije je kubna parabola. Graf funkcije je hiperbola. Područje definiranja i područje vrijednosti funkcije. Korelirajte svaki redak s njegovom jednadžbom: Domena definicije funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable x.

Konstruiranje grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće za školsku djecu. Ipak, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema i lako možete izgraditi graf čak i naizgled najsloženije funkcije. Hajde da shvatimo kakvi su to algoritmi.

1. Crtanje grafa funkcije y = |f(x)|

Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Crtanje grafa funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.

1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostavite nepromijenjene sve točke na grafu koje su iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Gradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očito je da je graf te funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka sjecišta parabole s koordinatnim osima i koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dakle, parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Dakle, parabola siječe os 0y u točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dakle, točka (2, -1) je vrh ove parabole.

Nacrtajte parabolu pomoću dobivenih podataka (Sl. 1)

2) Dio grafikona koji leži ispod 0x osi prikazuje se simetrično u odnosu na 0x os.

3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazano isprekidanom linijom).

2. Crtanje funkcije y = f(|x|)

Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.

Crtanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.

1) Nacrtajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostaviti onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite dio grafikona naveden u točki (2) simetrično na 0y os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Kako je x 2 = |x| 2, tada se originalna funkcija može prepisati u sljedećem obliku: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.

1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također riža. 1).

2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite desnu stranu grafikona simetrično na os 0y.

(slika 3).

Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|

Primjenjujemo gore navedenu shemu.

1) Izgradite graf funkcije y = log 2 x (Sl. 4).

3. Crtanje funkcije y = |f(|x|)|

Primijetimo da funkcije oblika y = |f(|x|)| su također parni. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su stoga njihovi grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:

1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).

2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Primijetimo da je x 2 = |x| 2. To znači da umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer im se grafovi podudaraju.

Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.

a) Grafički nacrtajte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (Sl. 6).

b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na 0y os.

d) Dobiveni graf prikazan je isprekidanom linijom na slici (Sl. 7).

2) Nema točaka iznad 0x osi; ostavljamo točke na 0x osi nepromijenjene.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.

4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 8).

Primjer 5. Grafički nacrtajte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Prvo trebate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na Algoritam 2.

a) Pažljivo iscrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (Sl. 9).

Imajte na umu da je ova funkcija frakcijsko linearna i da je njezin graf hiperbola. Da biste iscrtali krivulju, prvo trebate pronaći asimptote grafikona. Horizontalno – y = 2/1 (omjer koeficijenata od x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito – x = -3.

2) Onaj dio grafa koji je iznad 0x osi ili na njoj ostavit ćemo nepromijenjen.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.

4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izgradnja vrlo složenih grafikona
• Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola mjerila, boja linija
• Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
• Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
• Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikazivanje grafova za daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, te za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj web stranici je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen pri korištenju drugih preglednika.

Grafikon funkcije vizualni je prikaz ponašanja funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafikoni vam pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete izgraditi grafove mnogih funkcija, a svakoj od njih bit će dana određena formula. Graf bilo koje funkcije izgrađen je pomoću određenog algoritma (ako ste zaboravili točan postupak crtanja grafa određene funkcije).

Koraci

Grafičko crtanje linearne funkcije

Odredite je li funkcija linearna. Linearna funkcija dana je formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez ikakvih eksponenata, predznaka korijena ili slično. Ako je dana funkcija sličnog tipa, vrlo je jednostavno iscrtati graf takve funkcije. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu za označavanje točke na Y osi. Konstanta (b) je "y" koordinata točke u kojoj graf siječe os Y. To jest, to je točka čija je "x" koordinata jednaka 0. Dakle, ako se x = 0 zamijeni u formulu , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je jednaka 5, odnosno sjecišna točka s Y osi ima koordinate (0,5). Nacrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.

Pronađite nagib pravca. Jednak je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) uz varijablu “x” postoji faktor 2; stoga je koeficijent nagiba jednak 2. Koeficijent nagiba određuje kut nagiba pravca prema osi X, odnosno što je koeficijent nagiba veći, funkcija brže raste ili opada.

Zapišite nagib kao razlomak. Kutni koeficijent jednak je tangensu kuta nagiba, odnosno omjeru okomite udaljenosti (između dviju točaka na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je okomita udaljenost 2, a vodoravna udaljenost 1. Zapišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ako je nagib negativan, funkcija je opadajuća.

1. Od točke gdje ravna linija siječe Y os, iscrtajte drugu točku koristeći okomite i vodoravne udaljenosti. Grafički prikaz linearne funkcije može se prikazati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka sjecišta s Y osi ima koordinate (0,5); Od ove točke, pomaknite se 2 mjesta prema gore, a zatim 1 mjesto udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.

   Pomoću ravnala nacrtajte ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva grafikon se može iscrtati pomoću dvije točke. Dakle, iscrtali ste linearnu funkciju.

   Ucrtavanje točaka na koordinatnu ravninu

   1. Definirajte funkciju. Funkcija se označava kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivamo domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivamo domenom funkcije. Na primjer, razmotrimo funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2.

      Nacrtajte dvije okomite crte koje se sijeku. Vodoravna linija je os X. Okomita linija je os Y.

      Označite koordinatne osi. Podijelite svaku os na jednake segmente i numerirajte ih. Sjecište osi je 0. Za X os: pozitivni brojevi se ucrtavaju desno (od 0), a negativni brojevi lijevo. Za Y os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.

      Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x". U našem primjeru je f(x) = x+2. Zamijenite određene vrijednosti x u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće vrijednosti y. Ako je dana složena funkcija, pojednostavite je izdvajanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Nacrtajte točke na koordinatnu ravninu. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na X osi i nacrtajte okomitu liniju (točkastu); pronađite odgovarajuću vrijednost na Y osi i nacrtajte vodoravnu liniju (isprekidana linija). Označite točku sjecišta dviju isprekidanih linija; dakle, iscrtali ste točku na grafikonu.

      Obrišite isprekidane linije. Učinite to nakon što sve točke na grafikonu iscrtate na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je pravac koji prolazi koordinatnim središtem [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .

   Grafički prikaz složene funkcije

   Pronađite nulte točke funkcije. Nule funkcije su vrijednosti varijable x gdje je y = 0, odnosno to su točke u kojima graf siječe os X. Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali one su prve korak u procesu crtanja bilo koje funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, izjednačite je s nulom. Na primjer:

   Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je linija kojoj se graf funkcije približava, ali je nikada ne siječe (to jest, u ovom području funkcija nije definirana, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu točkastom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), postavite nazivnik na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru povucite isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete dijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:

Kako izgraditi parabolu? Postoji nekoliko načina za crtanje grafa kvadratne funkcije. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Razmotrimo dva načina.

Počnimo iscrtavanjem kvadratne funkcije oblika y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y=x²+2x-3.

Riješenje:

y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

Iz vrha (-1;-4) gradimo graf parabole y=x² (kao iz ishodišta koordinata. Umjesto (0;0) - vrh (-1;-4). Iz (-1; -4) idemo udesno za 1 jedinicu i gore za 1 jedinicu, zatim lijevo za 1 i gore za 1; dalje: 2 - desno, 4 - gore, 2 - lijevo, 4 - gore; 3 - desno, 9 - gore, 3 - lijevo, 9 - gore. Ako ovih 7 točaka nije dovoljno, onda 4 desno, 16 gore itd.).

Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Da bismo konstruirali graf, tražimo koordinate vrha i iz njih konstruiramo parabolu y= -x².

Primjer.

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²+2x+8.

Riješenje:

y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Od vrha gradimo parabolu y= -x² (1 - udesno, 1- dolje; 1 - lijevo, 1 - dolje; 2 - desno, 4 - dolje; 2 - lijevo, 4 - dolje, itd.):

Ova metoda vam omogućuje brzo sastavljanje parabole i ne uzrokuje poteškoće ako znate kako nacrtati graf funkcija y=x² i y= -x². Nedostatak: ako su koordinate vrha frakcijski brojevi, nije baš zgodno graditi graf. Ako trebate znati točne vrijednosti točaka sjecišta grafa s osi Ox, morat ćete dodatno riješiti jednadžbu x²+bx+c=0 (ili -x²+bx+c=0), čak i ako se te točke mogu izravno odrediti iz crteža.

Drugi način konstruiranja parabole je po točkama, odnosno možete pronaći nekoliko točaka na grafu i nacrtati parabolu kroz njih (uzimajući u obzir da je pravac x=xₒ njegova os simetrije). Obično za to uzimaju vrh parabole, točke sjecišta grafa s koordinatnim osima i 1-2 dodatne točke.

Nacrtajte graf funkcije y=x²+5x+4.

Riješenje:

y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

odnosno vrh parabole je točka (-2,5; -2,25).

traže . U točki presjeka s osi Ox y=0: x²+5x+4=0. Korijeni kvadratne jednadžbe x1=-1, x2=-4, odnosno dobili smo dvije točke na grafu (-1; 0) i (-4; 0).

U točki presjeka grafa s osi Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo bod (0; 4).

Da biste pojasnili grafikon, možete pronaći dodatnu točku. Uzmimo x=1, zatim y=1²+5∙1+4=10, odnosno druga točka na grafu je (1; 10). Te točke označimo na koordinatnoj ravnini. Uzimajući u obzir simetriju parabole u odnosu na liniju koja prolazi kroz njen vrh, označimo još dvije točke: (-5; 6) i (-6; 10) i kroz njih povučemo parabolu:

Grafički nacrtajte funkciju y= -x²-3x.

Riješenje:

y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Vrh (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.

U točkama presjeka grafa s x-osi y=0, odnosno rješavamo jednadžbu -x²-3x=0. Njegovi korijeni su x=0 i x=-3, odnosno (0;0) i (-3;0) - još dvije točke na grafu. Točka (o; 0) je ujedno i točka presjeka parabole s osi ordinata.

Na x=1 y=-1²-3∙1=-4, to jest (1; -4) je dodatna točka za crtanje.

Konstruiranje parabole iz točaka je radno intenzivnija metoda u usporedbi s prvom. Ako parabola ne siječe os Ox, bit će potrebno više dodatnih točaka.

Prije nego nastavimo konstruirati grafove kvadratnih funkcija oblika y=ax²+bx+c, razmotrimo konstrukciju grafova funkcija pomoću geometrijskih transformacija. Također je najprikladnije konstruirati grafove funkcija oblika y=x²+c pomoću jedne od ovih transformacija — paralelnog prevođenja.

Kategorija: |