Vrijeme je za upoznavanje konstrukcija algebarski razlomak do stupnja. Ova radnja s algebarskim razlomcima u smislu stupnja svodi se na množenje poput razlomaka. U ovom ćemo članku dati odgovarajuće pravilo i pogledati primjere konstruiranja algebarskih razlomaka prirodni stupanj.

Navigacija po stranici.

Pravilo dizanja algebarskog razlomka na potenciju, njegov dokaz

Prije nego što počnemo govoriti o dizanju algebarskog razlomka na potenciju, nije naodmet sjetiti se koliki je umnožak identičnih faktora u osnovi potencije, a njihov je broj određen eksponentom. Na primjer, 2 3 =2·2·2=8.

Sjetimo se sada pravila stepenovanja obični razlomak– da biste to učinili, morate posebno podići brojnik na naznačenu snagu, a zasebno – nazivnik. Npr. Ovo pravilo vrijedi za dizanje algebarskog razlomka na prirodni potenciju.

Dizanje algebarskog razlomka na prirodni potenciju daje novi razlomak, čiji brojnik sadrži naznačeni stupanj brojnika izvornog razlomka, a nazivnik - stupanj nazivnika. U doslovnom obliku ovo pravilo odgovara jednakosti , gdje su a i b proizvoljni polinomi (u posebnim slučajevima, monomi ili brojevi), a b je polinom različit od nule, a n je .

Dokaz navedenog pravila za dizanje algebarskog razlomka na potenciju temelji se na definiciji potencije s prirodnim eksponentom i na tome kako smo definirali množenje algebarskih razlomaka: .

Primjeri, rješenja

Pravilo dobiveno u prethodnom odlomku svodi dizanje algebarskog razlomka na potenciju na dizanje brojnika i nazivnika izvornog razlomka na tu potenciju. A budući da su brojnik i nazivnik izvornog algebarskog razlomka polinomi (u konkretnom slučaju, monomi ili brojevi), tada se izvorni zadatak svodi na podizanje polinoma na potenciju. Nakon izvođenja ove radnje dobit će se novi algebarski razlomak, identično jednak navedenom stupnju izvornog algebarskog razlomka.

Pogledajmo rješenja za nekoliko primjera.

Primjer.

Kvadrirajte algebarski razlomak.

Riješenje.

Zapišimo diplomu. Sada se okrećemo pravilu za dizanje algebarskog razlomka na potenciju, ono nam daje jednakost . Preostaje transformirati dobiveni razlomak u oblik algebarskog razlomka dizanjem monoma na potenciju. Tako .

Obično se kod podizanja algebarskog razlomka na potenciju ne objašnjava rješenje, već se rješenje ukratko zapisuje. Naš primjer odgovara unosu .

Odgovor:

.

Kada brojnik i/ili nazivnik algebarskog razlomka sadrži polinome, osobito binome, tada je pri dizanju na potenciju preporučljivo koristiti odgovarajuće skraćene formule za množenje.

Primjer.

Konstruirajte algebarski razlomak na drugi stupanj.

Riješenje.

Prema pravilu dizanja razlomka na potenciju imamo .

Za transformaciju dobivenog izraza u brojnik koristimo formula kvadratne razlike, a u nazivniku - formula za kvadrat zbroja tri člana:

Odgovor:

U zaključku, napominjemo da ako dignemo nesvodivi algebarski razlomak na prirodni potenciju, tada će rezultat također biti nesvodljiv razlomak. Ako je izvorni razlomak reducibilan, tada je prije podizanja na potenciju poželjno izvršiti redukciju algebarskog razlomka kako se redukcija ne bi izvršila nakon dizanja na potenciju.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Razlomak je omjer brojnika i nazivnika, a nazivnik ne smije biti jednak nuli, a brojnik može biti bilo što.

Kada bilo koji razlomak podižemo na proizvoljnu potenciju, moramo posebno podići brojnik i nazivnik razlomka na tu potenciju, nakon čega moramo prebrojati te potencije i tako dobiti razlomak podignut na potenciju.

Na primjer:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​​​/ 3) · (2 ​​​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Negativni stupanj

Ako imamo posla s negativnim stupnjem, onda prvo moramo “obrnuti razlomak”, a tek onda ga podići na stupanj prema gore napisanom pravilu.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Pismo stupanj

Kada radite s doslovnim vrijednostima kao što su "x" i "y", potenciranje slijedi isto pravilo kao i prije.

Također se možemo testirati dizanjem razlomka ½ na 3. potenciju, kao rezultat toga dobivamo ½ * ½ * ½ = 1/8, što je u biti isto što i

(1/2)^3 = 1/8.

Doslovno potenciranje x^y

Množenje i dijeljenje razlomaka s potencijama

Ako potencije množimo s istim bazama, tada sama baza ostaje ista, a eksponente zbrajamo. Ako stupnjeve dijelimo s istim bazama, tada i baza stupnja ostaje ista, a eksponenti stupnjeva se oduzimaju.

To se vrlo lako može pokazati primjerom:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mogli bismo dobiti istu stvar ako jednostavno dignemo nazivnik i brojnik na potenciju 3 i 4 zasebno.

Podizanje razlomka s potencijom na drugu potenciju

Kada podižemo razlomak koji je već na potenciju ponovo na potenciju, prvo moramo napraviti unutarnje potenciranje, a zatim prijeći na vanjski dio potenciranja. Drugim riječima, možemo jednostavno pomnožiti te potencije i podići razlomak na rezultirajuću potenciju.

Na primjer:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Povećano na jedan, kvadratni korijen

Također ne smijemo zaboraviti da će podizanje apsolutno bilo kojeg razlomka na nultu potenciju dati 1, baš kao i svaki drugi broj, kada se podigne na nultu potenciju, dobit ćemo 1.

Obični Korijen također se može prikazati kao potencija razlomka

Kvadratni korijen 3 = 3^(1/2)

Ako se radi o kvadratnom korijenu ispod kojeg se nalazi razlomak, onda možemo zamisliti taj razlomak u čijem će brojniku biti kvadratni korijen 2. stupnja (jer je to kvadratni korijen)

I nazivnik će također sadržavati kvadratni korijen, tj. drugim riječima, vidjet ćemo odnos dvaju korijena, ovo može biti korisno za rješavanje nekih problema i primjera.

Podignemo li razlomak ispod kvadratnog korijena na drugu potenciju, dobit ćemo isti razlomak.

Umnožak dvaju razlomaka pod istom potencijom bit će jednak umnošku ta dva razlomka od kojih će svaki zasebno biti pod vlastitom potencijom.

Zapamtite: ne možete dijeliti s nulom!

Također, ne zaboravite na vrlo važnu napomenu za razlomak, kao što je nazivnik ne smije biti jednak nuli. U budućnosti ćemo u mnogim jednadžbama koristiti ovo ograničenje, nazvano ODZ - raspon dopuštenih vrijednosti

Kada se uspoređuju dva razlomka s istom bazom, ali različite stupnjeve, veći će biti razlomak čiji je stupanj veći, a manji će biti onaj čiji je stupanj manji; ako su ne samo baze, nego i stupnjevi jednaki, razlomak se smatra istim.

Primjeri:

na primjer: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Lekcija će se osvrnuti na općenitiju verziju množenja razlomaka - dizanje na potenciju. Prije svega, govorit ćemo o prirodnim potencijama razlomaka i primjerima koji pokazuju slične operacije s razlomcima. Na početku lekcije također ćemo ponoviti podizanje cijelih izraza na prirodne potencije i vidjeti kako će to biti korisno za rješavanje daljnjih primjera.

Tema: Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija: Dizanje algebarskog razlomka na potenciju

1. Pravila podizanja razlomaka i cijelih izraza na prirodne potencije s elementarnim primjerima

Pravilo dizanja običnih i algebarskih razlomaka na prirodni stepen:

Možete povući analogiju sa stupnjem cijelog izraza i zapamtiti što se misli podizanjem na potenciju:

Primjer 1. .

Kao što se može vidjeti iz primjera, dizanje razlomka na potenciju je poseban slučaj množenje razlomaka, što je proučavano u prethodnoj lekciji.

Primjer 2. a), b) - minus nestaje, jer smo izraz podigli na parnu potenciju.

Radi praktičnosti rada sa stupnjevima, prisjetimo se osnovnih pravila za podizanje na prirodni stupanj:

- umnožak potencija;

- podjela stupnjeva;

Podizanje stupnja na stupanj;

Stupanj proizvoda.

Primjer 3. - to znamo iz teme “Potenciranje cijelih izraza”, osim jednog slučaja: ne postoji.

2. Najjednostavniji primjeri dizanja algebarskih razlomaka na prirodne potencije

Primjer 4. Dizanje razlomka na potenciju.

Riješenje. Kada se podigne na jednaku potenciju, minus nestaje:

Primjer 5. Dizanje razlomka na potenciju.

Riješenje. Sada koristimo pravila za podizanje stupnja na stepen odmah bez posebnog rasporeda:

.

Pogledajmo sada kombinirane probleme u kojima ćemo trebati podići razlomke na potencije, pomnožiti ih i podijeliti.

Primjer 6. Izvođenje akcija.

Riješenje. . Zatim morate napraviti smanjenje. Opišimo jednom potanko kako ćemo to učiniti, a zatim ćemo analogijom odmah naznačiti rezultat: . Slično (ili po pravilu diobe vlasti). Imamo: .

Primjer 7. Izvođenje akcija.

Riješenje. . Redukcija je provedena analogno prethodno razmatranom primjeru.

Primjer 8. Izvođenje akcija.

Riješenje. . U ovom smo primjeru još jednom detaljnije opisali proces redukcije potencije u razlomcima kako bismo učvrstili ovu metodu.

3. Složeniji primjeri dizanja algebarskih razlomaka na prirodne potencije (uzimajući u obzir predznake i s članovima u zagradi)

Primjer 9: Izvođenje radnji .

Riješenje. U ovom primjeru već ćemo preskočiti zasebno množenje razlomaka, a odmah se poslužiti pravilom za njihovo množenje i zapisati ih pod jedan nazivnik. Istodobno slijedimo znakove - u ovom slučaju razlomci se podižu na čak stupnjeva, tako da nedostaci nestaju. Na kraju ćemo izvršiti smanjenje.

Primjer 10: Izvođenje radnji .

Riješenje. U ovom primjeru postoji podjela razlomaka; zapamtite da se u ovom slučaju prvi razlomak množi drugim, ali obrnutim redom.

Razlomak je omjer brojnika i nazivnika, a nazivnik ne smije biti jednak nuli, a brojnik može biti bilo što.

Kada bilo koji razlomak podižemo na proizvoljnu potenciju, moramo posebno podići brojnik i nazivnik razlomka na tu potenciju, nakon čega moramo prebrojati te potencije i tako dobiti razlomak podignut na potenciju.

Na primjer:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​​​/ 3) · (2 ​​​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Negativni stupanj

Ako imamo posla s negativnim stupnjem, onda prvo moramo “obrnuti razlomak”, a tek onda ga podići na stupanj prema gore napisanom pravilu.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Pismo stupanj

Kada radite s doslovnim vrijednostima kao što su "x" i "y", potenciranje slijedi isto pravilo kao i prije.

Također se možemo testirati dizanjem razlomka ½ na 3. potenciju, kao rezultat toga dobivamo ½ * ½ * ½ = 1/8, što je u biti isto što i

Doslovno potenciranje x^y

Množenje i dijeljenje razlomaka s potencijama

Ako potencije množimo s istim bazama, tada sama baza ostaje ista, a eksponente zbrajamo. Ako stupnjeve dijelimo s istim bazama, tada i baza stupnja ostaje ista, a eksponenti stupnjeva se oduzimaju.

To se vrlo lako može pokazati primjerom:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mogli bismo dobiti istu stvar ako jednostavno dignemo nazivnik i brojnik na potenciju 3 i 4 zasebno.

Podizanje razlomka s potencijom na drugu potenciju

Kada podižemo razlomak koji je već na potenciju ponovo na potenciju, prvo moramo napraviti unutarnje potenciranje, a zatim prijeći na vanjski dio potenciranja. Drugim riječima, možemo jednostavno pomnožiti te potencije i podići razlomak na rezultirajuću potenciju.

Na primjer:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Povećano na jedan, kvadratni korijen

Također ne smijemo zaboraviti da će podizanje apsolutno bilo kojeg razlomka na nultu potenciju dati 1, baš kao i svaki drugi broj, kada se podigne na nultu potenciju, dobit ćemo 1.

Obični kvadratni korijen također se može izraziti kao potencija razlomka

Kvadratni korijen 3 = 3^(1/2)

Ako se radi o kvadratnom korijenu ispod kojeg se nalazi razlomak, onda možemo zamisliti taj razlomak u čijem će brojniku biti kvadratni korijen 2. stupnja (jer je to kvadratni korijen)

I nazivnik će također sadržavati kvadratni korijen, tj. drugim riječima, vidjet ćemo odnos dvaju korijena, ovo može biti korisno za rješavanje nekih problema i primjera.

Podignemo li razlomak ispod kvadratnog korijena na drugu potenciju, dobit ćemo isti razlomak.

Umnožak dvaju razlomaka pod istom potencijom bit će jednak umnošku ta dva razlomka od kojih će svaki zasebno biti pod vlastitom potencijom.

Zapamtite: ne možete dijeliti s nulom!

Također, ne zaboravite na vrlo važnu napomenu za razlomak, kao što je nazivnik ne smije biti jednak nuli. U budućnosti ćemo u mnogim jednadžbama koristiti ovo ograničenje, nazvano ODZ - raspon dopuštenih vrijednosti

Kad se uspoređuju dva razlomka iste baze, ali različitih potencija, veći će biti razlomak čija je potencija veća, a manji će biti onaj s manjom potencijom; ako su ne samo baze, nego i potencije jednake, razlomak se smatra istim.

Ponekad u matematici morate podići broj na potenciju koja predstavlja razlomak. Naš članak će vam reći kako podići broj na razlomak, a vidjet ćete da je to vrlo jednostavno.

Broj na razlomak vrlo je rijetko cijeli broj. Često se rezultat takve konstrukcije može prikazati s određenim stupnjem točnosti. Stoga, ako točnost izračuna nije navedena, tada se pronalaze one vrijednosti koje su izračunate s točnošću do cijelih brojeva, a one koje imaju veliki broj mjesta iza decimalne točke ostavljaju se korijenima. Na primjer, kubni korijen iz sedam ili kvadratni korijen iz dva. U fizici se izračunate vrijednosti ovih korijena zaokružuju na stotinke kada nije potreban drugačiji stupanj točnosti.

Algoritam rješenja

1. Pretvaranje razlomačkog pokazatelja u netočan ili točan razlomak. Dio nepravi razlomak, koji je cijeli broj, nije vrijedan isticanja. Ako je razlomačka potencija predstavljena kao cijeli i razlomački dio, tada se mora pretvoriti u nepravi razlomak
2. Izračunajte vrijednost stupnja dati broj, koji je jednak brojniku pravog ili nepravog razlomka
3. Izračunavamo korijen broja dobivenog u koraku 2, čiji je pokazatelj nazivnik našeg razlomka

Navedimo primjere takvih izračuna

Također, za ove izračune možete preuzeti kalkulator na svoje računalo ili koristiti online kalkulatore, kojih na internetu ima puno, npr.