Neću vas pokušavati uvjeriti da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i zašto su varalice korisne. A evo i informacija kako ne učiti, ali zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule zbrajanja:

Kosinusi uvijek “dolaze u paru”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima “ne štima sve” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mješavina": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek “dolazi u paru”. Dodavanjem dva kosinusa - "koloboka", dobivamo par kosinusa - "koloboka". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti nikakve koloboke. Dobivamo par sinusa. Također s minusom naprijed.

Sinusi - "mješavina" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada dobivamo kosinusni par? Kada zbrojimo kosinuse. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i pri zbrajanju i oduzimanju sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzimaju zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se zbroj. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo – iznos

Varalice u vašem džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne uspijete koristiti varalicu, lako ćete se sjetiti formula.

Dati su odnosi između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju smanjenje stupnja, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangens pola kuta itd.

U ovom ćemo članku redom navesti sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni, temeljni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije u smislu bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Formule redukcije

Formule redukcije slijede iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijske funkcije, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.

Adicinske formule

Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule polukuta

Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostruki kut.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.

Formule za smanjenje stupnja

Trigonometrijske formule za smanjenje stupnjeva imaju za cilj olakšati prijelaz iz prirodni stupnjevi trigonometrijske funkcije na sinuse i kosinuse na prvi stupanj, ali višestruke kutove. Drugim riječima, oni vam omogućuju smanjenje ovlasti trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna namjena formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na produkt funkcija, što je vrlo korisno pri pojednostavljenju trigonometrijski izrazi. Ove formule također se često koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe, budući da vam omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta. Ova zamjena je tzv univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da su sve trigonometrijske funkcije izražene u smislu tangensa polukuta racionalno bez korijena.

Bibliografija.

• Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky. - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorov - 14. izdanje - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Formule zbrajanja koriste se za izražavanje kroz sinuse i kosinuse kutova a i b vrijednosti funkcija cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Formule zbrajanja za sinuse i kosinuse

Teorem: Za bilo koje a i b vrijedi sljedeća jednakost: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Dokažimo ovaj teorem. Razmotrite sljedeću sliku:

Na njoj su točke Ma, M-b, M(a+b) dobivene rotacijom točke Mo za kutove a, -b, odnosno a+b. Iz definicija sinusa i kosinusa, koordinate ovih točaka bit će sljedeće: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). KutMoOM(a+b) = kutM-bOMa, pa su trokuti MoOM(a+b) i M-bOMa jednaki, a jednakokračni. To znači da su baze MoM(a-b) i M-bMa jednake. Prema tome, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) i cos(-a) = cos(a). Transformirajmo našu jednakost uzimajući u obzir ove formule i kvadrat zbroja i razlike, a zatim:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Sada primjenjujemo osnovni trigonometrijski identitet:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Dajmo slične i smanjimo ih za -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

Sljedeće formule također vrijede:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Ove formule mogu se dobiti iz one dokazane gore korištenjem redukcijskih formula i zamjenom b s -b. Postoje i formule zbrajanja za tangente i kotangense, ali one neće vrijediti za sve argumente.

Formule za zbrajanje tangensa i kotangensa

Za bilo koje kutovi a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a+b =pi/2 +pi*m, za bilo koji cijeli broj k,n,m vrijedit će sljedeća formula:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Za bilo koje kutove a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a-b =pi/2 +pi*m, za bilo koje cijele brojeve k,n,m sljedeća formula će biti vrijedi:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Za sve kutove a,b osim a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m i za sve cijele brojeve k,n,m vrijedit će sljedeća formula:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Nastavljamo razgovor o formulama koje se najčešće koriste u trigonometriji. Najvažnije od njih su formule zbrajanja.

Definicija 1

Formule zbrajanja omogućuju vam da izrazite funkcije razlike ili zbroja dvaju kutova pomoću trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Za početak ćemo dati puni popis adicijskih formula, zatim ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne adicijske formule u trigonometriji

Postoji osam osnovnih formula: sinus zbroja i sinus razlike dvaju kutova, kosinus zbroja i razlike, tangens i kotangens zbroja i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i izračuni.

1. Sinus zbroja dvaju kutova može se dobiti na sljedeći način:

Izračunavamo umnožak sinusa prvog kuta i kosinusa drugog kuta;

Pomnožite kosinus prvog kuta sa sinusom prvog kuta;

Zbrojite dobivene vrijednosti.

Grafički zapis formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Sinus razlike izračunava se gotovo na isti način, samo se dobiveni proizvodi ne trebaju zbrajati, već oduzimati jedni od drugih. Dakle, izračunavamo umnoške sinusa prvog kuta s kosinusom drugog i kosinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta i nalazimo njihovu razliku. Formula se piše ovako: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Kosinus zbroja. Za njega nalazimo umnoške kosinusa prvog kuta s kosinusom drugog i sinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta, te nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Kosinus razlike: izračunajte umnoške sinusa i kosinusa ovih kutova, kao i prije, i zbrojite ih. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens zbroja. Ova se formula izražava kao razlomak, čiji je brojnik zbroj tangensa traženih kutova, a nazivnik jedinica od koje se oduzima umnožak tangensa traženih kutova. Sve je jasno iz njegovog grafičkog zapisa: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangens razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i umnoška tangenti ovih kutova i nastavljamo s njima na sličan način. U nazivniku zbrajamo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Kotangens iznosa. Da bismo izračunali pomoću ove formule, trebat će nam umnožak i zbroj kotangenata ovih kutova, a postupamo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali su brojnik i nazivnik minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Vjerojatno ste primijetili da su ove formule slične u parovima. Pomoću znakova ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus) možemo ih grupirati radi lakšeg bilježenja:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Prema tome, imamo jednu formulu za snimanje zbroja i razlike svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.

Definicija 2

Možemo uzeti bilo koje kutove α i β, a formule zbrajanja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangensa i kotangensa ovih kutova, tada će za njih vrijediti i formule zbrajanja za tangens i kotangens.

Kao i većina pojmova u algebri, formule zbrajanja mogu se dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Ostatak dokaza se zatim može lako izvesti iz toga.

Razjasnimo osnovne pojmove. Mi ćemo trebati jedinični krug. To će uspjeti ako uzmemo određenu točku A i zakrenemo kutove α i β oko središta (točka O). Tada će kut između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π · z ili 2 π - (α - β) + 2 π · z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori tvore kut koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β), ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj punih okretaja. Pogledajte sliku:

Koristili smo formule redukcije i dobili sljedeće rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Rezultat: kosinus kuta između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu kuta α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Prisjetimo se definicije sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta, jednaka omjeru krak kuta nasuprot hipotenuzi, kosinus je sinus komplementarnog kuta. Stoga, bodovi A 1 I A 2 imaju koordinate (cos α, sin α) i (cos β, sin β).

Dobivamo sljedeće:

O A 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)

Ako nije jasno, pogledajte koordinate točaka koje se nalaze na početku i kraju vektora.

Duljine vektora su jednake 1, jer Imamo jediničnu kružnicu.

Analizirajmo sada skalarni produkt vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Iz ovoga možemo izvesti jednakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Dakle, formula za kosinus razlike je dokazana.

Sada ćemo dokazati sljedeću formulu– kosinus zbroja. To je lakše jer možemo koristiti prethodne izračune. Uzmimo prikaz α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ovo je dokaz formule zbroja kosinusa. Posljednji redak koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih kutova.

Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu redukcije za ovo:

oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Tako
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A evo i dokaza formule sinusa razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na upotrebu svojstava sinusa i kosinusa suprotnih kutova u zadnjem izračunu.

Zatim su nam potrebni dokazi adicijskih formula za tangens i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangens je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens je obrnuto) i uzmimo već unaprijed izvedene formule. Uspjeli smo:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa cos α · cos β, s obzirom da je cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, dobivamo:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Sada reduciramo razlomke i dobijemo sljedeću formulu: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ovo je dokaz formule zbrajanja tangente.

Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula tangensa razlike. Sve je jasno prikazano u proračunima:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens dokazuju se na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Unaprijediti:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β