Jedna od glavnih karakteristika u algebri, iu cijeloj matematici, je stupanj. Naravno, u 21. stoljeću svi izračuni mogu se napraviti na online kalkulatoru, ali za razvoj mozga bolje je naučiti kako to učiniti sami.

U ovom ćemo članku razmotriti najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, shvatimo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo na primjerima kako izračun izgleda i koje su osnovne formule. Pogledajmo glavne vrste veličina i kako se one razlikuju od ostalih funkcija.

Razmotrimo kako riješiti razne probleme pomoću ove količine. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nultu potenciju, iracionalno, negativno itd.

Online kalkulator stepenovanja

Što je potencija broja

Što znači izraz "podići broj na potenciju"?

Potencija n broja je umnožak faktora veličine a n puta u nizu.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 na trećem stupnju. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 na korak. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 za korak. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tablica kvadrata i kocki od 1 do 10.

Tablica stupnjeva od 1 do 10

U nastavku su rezultati izgradnje prirodni brojevi na pozitivne potencije – “od 1 do 100”.

Ch-lo	2. svj.	3. faza
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva stupnjeva

Što je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Znanstvenici su utvrdili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Inače je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcioniraju.

Ali što s tim? sa zbrajanjem i oduzimanjem? Jednostavno je. Prvo se izvodi stepenovanje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Napomena: pravilo se neće primijeniti ako prvo oduzmete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ali u ovom slučaju prvo morate izračunati zbrajanje, jer u zagradama postoje radnje: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi izračuni u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim potenciranje;
• zatim izvoditi operacije množenja i dijeljenja;
• nakon zbrajanja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:

1. N-ti korijen broja a na m stupanj bit će zapisan kao: a m / n.
2. Kod podizanja razlomka na potenciju: ovom postupku podliježu i brojnik i nazivnik.
3. Prilikom konstruiranja djela različite brojeve na potenciju, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na zadanu potenciju. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Kada podižete broj na negativnu potenciju, trebate podijeliti 1 s brojem u istom stoljeću, ali sa znakom "+".
5. Ako je nazivnik razlomka na negativnu potenciju, tada je ovaj izraz jednak umnošku brojnika i nazivnika na pozitivnu potenciju.
6. Bilo koji broj na potenciju 0 = 1, i na potenciju. 1 = sebi.

Ova su pravila važna u nekim slučajevima; detaljnije ćemo ih razmotriti u nastavku.

Stupanj s negativnim eksponentom

Što učiniti s minus stupnjem, tj. kada je indikator negativan?

Na temelju svojstava 4 i 5(vidi gornju točku), ispada:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

I obrnuto:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Što ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Shvaća se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...itd.

Dodatno, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...onda će rezultat biti sa predznakom “+”. Ako se negativni broj digne na neparnu potenciju, tada je obrnuto.

Za njih su također karakteristična opća svojstva i sve gore opisane specifičnosti.

Frakcijski stupanj

Ovaj tip se može napisati kao shema: A m / n. Čitajte kao: n-ti korijen broja A na potenciju m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti što god želite: smanjiti ga, podijeliti na dijelove, podići na drugu potenciju itd.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da bismo razumjeli bit diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A = 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 u svim potencijama jednako je jedan;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju je obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 – u ovom slučaju jednako 3;

r 2 – bit će jednako 4.

Zatim, za A = 1, 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Ukratko - za što su potrebne te količine, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, oni pojednostavljuju život matematičara i programera pri rješavanju primjera, jer im omogućuju minimiziranje izračuna, skraćivanje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjerstvo, dizajn itd.

Članci o znanosti i matematici

Svojstva potencija s istim bazama

Postoje tri svojstva stupnjeva s istim bazama i prirodnim pokazateljima. Ovaj

• Raditi iznos
• Privatna dvije potencije s istim bazama jednak je izrazu gdje je baza ista, a eksponent je razlika pokazatelji izvornih faktora.
• Dizanje broja na potenciju jednak je izrazu u kojem je baza isti broj, a eksponent je raditi dva stupnja.

Budi oprezan! Pravila u vezi zbrajanje i oduzimanje stupnjeva s istim bazama ne postoji.

Zapišimo ova svojstva-pravila u obliku formula:

• a m ? a n = a m+n
• a m ? a n = a m–n
• (a m) n = a mn

Sada ih pogledajmo konkretni primjeri i pokušajmo to dokazati.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - ovdje smo primijenili pravilo; Sada zamislimo kako bismo riješili ovaj primjer da ne znamo pravila:

5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - pet na kvadrat je pet puta pet, a kub je umnožak tri petice. Rezultat je umnožak pet petica, ali ovo je nešto drugo od pet na petu potenciju: 5 5 .

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Zapišimo dijeljenje kao razlomak:

Može se skratiti:

Kao rezultat dobivamo:

Tako smo dokazali da se pri dijeljenju dviju potencija s istim bazama moraju oduzeti njihovi eksponenti.

Međutim, kod dijeljenja djelitelj ne može biti jednak nuli (jer ne možete dijeliti s nulom). Osim toga, budući da stupnjeve razmatramo samo s prirodnim eksponentima, ne možemo kao rezultat oduzimanja eksponenata dobiti broj manji od 1. Dakle, formula a m? a n = a m–n ograničenja su nametnuta: a ? 0 i m > n.

Prijeđimo na treće svojstvo:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Napišimo to u proširenom obliku:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Do ovog zaključka možete doći logičnim razmišljanjem. Morate pomnožiti dva na kvadrat četiri puta. Ali u svakom kvadratu su dvije dvojke, što znači da će ukupno biti osam dvojki.

scienceland.info

Pravila za zbrajanje i oduzimanje.

1. Promjena mjesta članova ne mijenja zbroj (komutativno svojstvo zbrajanja)

13+25=38, može se napisati kao: 25+13=38

2. Rezultat zbrajanja neće se promijeniti ako se susjedni članovi zamijene svojim zbrojem (asocijativno svojstvo zbrajanja).

10+13+3+5=31 može se napisati kao: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31, itd.

3. Jedinice se zbrajaju u jedinice, desetice se zbrajaju u desetice itd.

34+11=45 (3 desetice plus još 1 desetica; 4 jedinice plus 1 jedinica).

4. Jedinice se oduzimaju od jedinica, desetice od desetica itd.

53-12=41 (3 jedinice minus 2 jedinice; 5 desetica minus 1 desetica)

Napomena: 10 jedinica čini jednu desetku. Ovo se mora zapamtiti prilikom oduzimanja, jer ako je broj jedinica subtrahenda veći od broja umanjenika, tada možemo “posuditi” jednu deseticu iz umanjenika.

41-12 = 29 (Da bismo oduzeli 1 od 2, moramo prvo “posuditi” jedan od desetica, dobivamo 11-2 = 9; zapamtite da onaj koji se smanjuje ima 1 deseticu manje, dakle, ostaju 3 desetice i od oduzima se 1 desetica.Odgovor 29).

5. Oduzmete li jedan od njih od zbroja dva člana, dobit ćete drugi član.

To znači da se zbrajanje može provjeriti oduzimanjem.

Za provjeru od zbroja oduzmite jedan od članova: 49-7=42 ili 49-42=7

Ako kao rezultat oduzimanja niste dobili jedan od izraza, tada je došlo do pogreške u vašem dodavanju.

6. Ako razlici pribrojiš umanjenik, dobit ćeš umanjenik.

To znači da se oduzimanje može provjeriti zbrajanjem.

Za provjeru dodajte oduzeti dio razlici: 19+50=69.

Ako kao rezultat gore opisanog postupka niste primili oduzimanje, tada je došlo do pogreške u vašem oduzimanju.

Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva

Ova lekcija pokriva zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva. Tema je klasificirana kao složena. Ovdje je potrebno koristiti cijeli arsenal prethodno stečenog znanja.

Pravila zbrajanja i oduzimanja cijelih brojeva vrijede i za racionalne brojeve. Podsjetimo se da su racionalni brojevi brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje a – ovo je brojnik razlomka, b je nazivnik razlomka. Štoviše b ne bi trebao biti nula.

U ovoj lekciji sve češće ćemo razlomke i mješovite brojeve nazivati ​​jednom uobičajenom frazom - racionalni brojevi.

Navigacija lekcijom:

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom. Uzimamo u obzir da je plus naveden u izrazu znak operacije i ne odnosi se na razlomak. Ovaj razlomak ima svoj znak plus, koji je nevidljiv jer nije zapisan. Ali zapisat ćemo to radi jasnoće:

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva sa različite znakove. Za zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji, a dobivenom odgovoru dodati predznak čiji je modul veći. A da biste razumjeli koji je modul veći, a koji manji, morate moći usporediti module ovih razlomaka prije nego što ih izračunate:

Modul racionalnog broja veći je od modula racionalnog broja. Stoga smo oduzeli od . Dobili smo odgovor. Zatim, smanjenjem ovog razlomka za 2, dobili smo konačni odgovor.

Ako želite, neke primitivne radnje, poput zatvaranja brojeva u zagrade i dodavanja modula, mogu se preskočiti. Ovaj primjer se može napisati ukratko:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom. Uzimamo u obzir da je minus naveden u izrazu znak operacije i ne odnosi se na razlomak.

Razlomak je u ovom slučaju pozitivan racionalni broj s znakom plus koji je nevidljiv. Ali zapisat ćemo to radi jasnoće:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem. Podsjetimo vas da za to trebate dodati suprotan broj umanjeniku subtrahenda:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Za zbrajanje negativnih racionalnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

U ovom izrazu razlomci imaju različite nazivnike. Da bismo si olakšali zadatak, svedimo ove razlomke na isti (zajednički) nazivnik. Na ovome se nećemo detaljnije zadržavati. Ako imate poteškoća, svakako se vratite na lekciju o radu s razlomcima i ponovite je.

Nakon svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, izraz će poprimiti sljedeći oblik:

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul i ispred dobivenog odgovora stavljamo znak čiji je modul veći:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Dobili smo zbroj tri pojma. Najprije pronađimo vrijednost izraza, a zatim dodajmo dobiveni odgovor

Prva akcija:

Druga radnja:

Dakle, vrijednost izraza je jednaka.

Rješenje za ovaj primjer može se napisati ukratko

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza

Stavimo svaki broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom. Za ovo mješoviti broj Privremeno ćemo to promijeniti

Izračunajmo cijele dijelove:

U glavnom izrazu, umjesto Zapišimo dobivenu jedinicu:

Sažmimo dobiveni izraz. Da biste to učinili, izostavite zagrade i napišite jedinicu i razlomak zajedno

Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:

Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo mješoviti broj u nepravi razlomak. Prepišimo ostatak ovako:

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrojimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred dobivenog odgovora:

Dakle, vrijednost izraza je .

Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza

Napišimo mješoviti broj u proširenom obliku. Prepišimo ostatak kako jest:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagradu zajedno s predznakom

Zamijenimo oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće:

Izračunajmo cijele dijelove:

U glavnom izrazu umjesto upisa dobivenog broja?7

Izraz je prošireni oblik pisanja mješovitog broja. Odgovor možete odmah zapisati tako da zajedno zapišete brojeve?7 i razlomak (sakrivajući minus ovog razlomka)

Dakle, vrijednost izraza je

Rješenje za ovaj primjer može se napisati puno kraće. Ako preskočimo neke detalje, to se može napisati na sljedeći način:

Primjer 8. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj izraz se može izračunati na dva načina. Pogledajmo svaki od njih.

Prvi način. Cijeli i razlomački dio izraza vrednuju se odvojeno.

Prvo napišimo mješovite brojeve u proširenom obliku:

Stavimo svaki broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom:

Zamijenimo oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće:

Dobili smo zbroj nekoliko pojmova. Prema kombinatornom zakonu zbrajanja, ako izraz sadrži nekoliko članova, tada zbroj neće ovisiti o redoslijedu radnji. To će nam omogućiti da odvojeno grupiramo cijeli i razlomački dio:

Izračunajmo cijele dijelove:

U glavnom izrazu umjesto upisa dobivenog broja?3

Izračunajmo razlomke:

U glavnom izrazu, umjesto pisanja rezultirajućeg mješovitog broja

Da biste procijenili dobiveni izraz, morate privremeno proširiti mješoviti broj, zatim staviti zagrade oko svakog broja i zamijeniti oduzimanje zbrajanjem. To se mora učiniti vrlo pažljivo kako se ne bi zbunili znakovi pojmova.

Nakon transformacije izraza dobili smo novi izraz koji je lako izračunati. Sličan izraz bio je u primjeru 7. Podsjetimo se da smo zbrajali cjelobrojne dijelove odvojeno, a razlomački dio ostavili kakav jest:

Dakle, vrijednost izraza je

Rješenje za ovaj primjer može se napisati ukratko

Kratko rješenje preskače korake stavljanja brojeva u zagrade, zamjenu oduzimanja zbrajanjem i zbrajanje modula. Ako učite u školi ili dr obrazovna ustanova, tada ćete morati preskočiti ove primitivne korake kako biste uštedjeli vrijeme i prostor. Gornje kratko rješenje može se napisati i kraće. Izgledat će ovako:

Stoga, kada ste u školi ili drugoj obrazovnoj ustanovi, budite spremni na činjenicu da ćete neke radnje morati izvršiti u svom umu.

Drugi način. Izrazi mješovitih brojeva pretvaraju se u neprave razlomke i računaju kao obični razlomci.

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Pretvorimo sada mješovite brojeve u neprave razlomke:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrojimo njihove module i stavimo minus ispred dobivenog odgovora:

Dobili smo isti odgovor kao i prošli put.

Detaljno rješenje za drugu metodu je sljedeće:

Primjer 9. Pronađite izraze izraze

Prvi način. Zbrojimo odvojeno cijeli i razlomak.

Ovaj put pokušat ćemo preskočiti neke primitivne radnje, poput pisanja izraza u proširenom obliku, zatvaranja brojeva u zagrade, zamjene oduzimanja zbrajanjem i dodavanja modula:

Imajte na umu da su razlomci svedeni na zajednički nazivnik.

Drugi način. Pretvorimo mješovite brojeve u neprave razlomke i izračunajmo ih kao obične razlomke.

Primjer 10. Pronađite vrijednost izraza

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Rezultirajući izraz ne sadrži negativne brojeve koji su glavni razlog grešaka. A budući da nema negativnih brojeva, možemo ukloniti plus ispred subtrahenda i također ukloniti zagrade. Tada dobivamo najjednostavniji izraz koji je lako izračunati:

U ovom primjeru, cijeli i razlomački dio izračunati su odvojeno.

Primjer 11. Pronađite vrijednost izraza

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Oduzmimo manji od većeg modula i stavimo ispred dobivenog broja znak čiji je modul veći:

Primjer 12. Pronađite vrijednost izraza

Izraz se sastoji od nekoliko parametara. Prema redoslijedu radnji, prvo trebate izvršiti radnje u zagradama.

Prvo izračunavamo izraz, a zatim zbrajamo dobivene odgovore.

Prva akcija:

Druga radnja:

Treća radnja:

Odgovor: vrijednost izraza jednaki

Primjer 13. Pronađite vrijednost izraza

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobiva se zbrajanjem racionalnih brojeva s različitim predznacima. Oduzmimo manji od većeg modula i stavimo ispred odgovora znak čiji je modul veći. Ali imamo posla s mješovitim brojevima. Da biste razumjeli koji je modul veći, a koji manji, trebate usporediti module ovih mješovitih brojeva. A da biste usporedili module mješovitih brojeva, trebate ih pretvoriti u neprave razlomke i usporediti ih kao obične razlomke.

Sljedeća slika prikazuje sve faze usporedbe modula mješovitih brojeva

Nakon što smo saznali koji je modul veći, a koji manji, možemo nastaviti izračunavati naš primjer:

Dakle, značenje izraza jednaki

Pogledajmo zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka koji također spadaju u racionalne brojeve i koji mogu biti i pozitivni i negativni.

Primjer 14. Odredi vrijednost izraza?3.2 + 4.3

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom. Uzimamo u obzir da je plus naveden u izrazu znak operacije i ne odnosi se na decimalni razlomak 4.3. Ovaj decimalni razlomak ima svoj znak plus, koji je nevidljiv jer nije zapisan. Ali zapisat ćemo to radi jasnoće:

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Za zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji, a dobivenom odgovoru dodati predznak čiji je modul veći. A da biste razumjeli koji je modul veći, a koji manji, morate moći usporediti module ovih decimalnih razlomaka prije nego što ih izračunate:

Modul broja 4,3 veći je od modula broja ?3,2, pa smo od 4,3 oduzeli 3,2. Dobili smo odgovor 1.1. Odgovor je pozitivan jer odgovor mora sadržavati predznak većeg modula, odnosno modula |+4,3|.

Dakle, vrijednost izraza?3,2 + (+4,3) je 1,1

Primjer 15. Pronađite vrijednost izraza 3,5 + (?8,3)

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Kao u prethodnom primjeru, oduzmite manji od većeg modula i stavite ispred odgovora znak čiji je modul veći

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Dakle, vrijednost izraza 3,5 + (?8,3) jednaka je?4,8

Ovaj primjer se može napisati ukratko:

Primjer 16. Pronađite vrijednost izraza?7,2 + (?3,11)

Ovo je zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Za zbrajanje negativnih racionalnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora. Možete preskočiti unos s modulima kako ne biste zatrpali izraz:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Stoga je vrijednost izraza?7,2 + (?3,11) jednaka?10,31

Ovaj primjer se može napisati ukratko:

Primjer 17. Pronađite vrijednost izraza?0,48 + (?2,7)

Ovo je zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrojimo njihove module i ispred dobivenog odgovora stavimo znak minus. Možete preskočiti unos s modulima kako ne biste zatrpali izraz:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Primjer 18. Pronađite vrijednost izraza?4,9 ? 5.9

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom. Uzimamo u obzir da je minus naveden u izrazu znak operacije i ne odnosi se na decimalni razlomak 5.9. Ovaj decimalni razlomak ima svoj znak plus, koji je nevidljiv jer nije zapisan. Ali zapisat ćemo to radi jasnoće:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrojite njihove module i stavite minus ispred dobivenog odgovora. Možete preskočiti unos s modulima kako ne biste zatrpali izraz:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Dakle, vrijednost izraza je ?4,9 ? 5,9 jednako? 10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Primjer 19. Pronađite vrijednost izraza 7? 9.3

Stavimo svaki broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Oduzmimo manji od većeg modula i stavimo ispred odgovora znak čiji je modul veći. Možete preskočiti unos s modulima kako ne biste zatrpali izraz:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Dakle, vrijednost izraza 7 ? 9,3 jednako?2,3

Detaljno rješenje ovog primjera napisano je na sljedeći način:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Kratko rješenje bi izgledalo ovako:

Primjer 20. Pronađite vrijednost izraza?0,25 ? (?1,2)

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Oduzmimo manji modul od većeg modula i stavimo ispred odgovora znak čiji je modul veći:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Detaljno rješenje ovog primjera napisano je na sljedeći način:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Kratko rješenje bi izgledalo ovako:

Primjer 21. Pronađite vrijednost izraza?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Najprije izvršimo akcije u zagradama, a zatim dobiveni odgovor dodamo broju?3.5. Preskočit ćemo unos s modulima kako ne bismo pretrpavali izraze.

Prva akcija:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Druga radnja:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Odgovor: vrijednost izraza?3,5 + (4,1 ? 7,1) jednaka je?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Primjer 22. Pronađite vrijednost izraza (3,5 ? 2,9)? (3,7 ? 9,1)

Izvršimo radnje u zagradama, a zatim od broja koji je dobiven kao rezultat izvođenja prvih zagrada oduzimamo broj koji je dobiven kao rezultat izvođenja drugih zagrada. Preskočit ćemo unos s modulima kako ne bismo pretrpavali izraze.

Prva akcija:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Druga radnja:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Treći čin

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Odgovor: vrijednost izraza (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) jednako je 6.

Kratko rješenje ovog primjera može se napisati na sljedeći način:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Primjer 23. Odredi vrijednost izraza?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Stavimo svaki racionalni broj u zagradu zajedno s njegovim predznakom

Zamijenite oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće

Izraz se sastoji od nekoliko pojmova. Prema kombinatornom zakonu zbrajanja, ako se izraz sastoji od nekoliko članova, tada zbroj neće ovisiti o redoslijedu radnji. To znači da se pojmovi mogu dodavati bilo kojim redoslijedom.

Nemojmo izmišljati kotač, već zbrojimo sve pojmove slijeva nadesno redoslijedom kojim se pojavljuju:

Prva akcija:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Druga radnja:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Treća radnja:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Odgovor: vrijednost izraza?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6,15 jednako je 1.

Kratko rješenje ovog primjera može se napisati na sljedeći način:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Kratka rješenja stvaraju manje problema i pomutnji, pa je preporučljivo naviknuti se na njih.

Primjer 24. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo decimalni razlomak?1,8 u mješoviti broj. Ostatak ćemo prepisati kako jest. Ako imate poteškoća s pretvaranjem decimalnog razlomka u mješoviti broj, svakako ponovite lekciju decimale.

Primjer 25. Pronađite vrijednost izraza

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem. Ujedno pretvorimo decimalni razlomak (?4,4) u nepravi razlomak

U dobivenom izrazu nema negativnih brojeva. A budući da nema negativnih brojeva, možemo ukloniti plus ispred drugog broja i izostaviti zagrade. Tada dobivamo jednostavan izraz za zbrajanje, koji se lako može riješiti

Primjer 26. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo mješoviti broj u nepravi razlomak, a decimalni razlomak?0,85 u obični razlomak. Dobijamo sljedeći izraz:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrojimo njihove module i ispred dobivenog odgovora stavimo znak minus. Možete preskočiti unos s modulima kako ne biste zatrpali izraz:

Primjer 27. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo oba razlomka u neprave razlomke. Da biste decimalni broj 2,05 pretvorili u nepravilan razlomak, možete ga prvo pretvoriti u mješoviti broj, a zatim u nepravilan razlomak:

Nakon pretvaranja oba razlomka u neprave razlomke, dobivamo sljedeći izraz:

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Oduzmimo manji modul od većeg modula i stavimo ispred dobivenog odgovora znak čiji je modul veći:

Primjer 28. Pronađite vrijednost izraza

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem. U isto vrijeme, pretvorimo decimalni razlomak u obični razlomak

Primjer 29. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo decimalne razlomke?0,25 i?1,25 u obični razlomci, ostalo ćemo ostaviti kako jest. Dobijamo sljedeći izraz:

Prvo možete zamijeniti oduzimanje zbrajanjem gdje je to moguće i zbrajati racionalne brojeve jedan za drugim. Postoji i druga mogućnost: prvo zbrojite racionalne brojeve i , a zatim od dobivenog broja oduzmite racionalni broj. Koristit ćemo ovu opciju.

Prva akcija:

Druga radnja:

Odgovor: vrijednost izraza jednako?2.

Primjer 30. Pronađite vrijednost izraza

Pretvorimo decimalne razlomke u obične razlomke. Ostalo ostavimo kako jest

Dobili smo zbroj nekoliko pojmova. Ako se zbroj sastoji od nekoliko članova, onda se izraz može izračunati bilo kojim redoslijedom. To proizlazi iz asocijativnog zakona zbrajanja.

Stoga možemo organizirati najprikladniju opciju za nas. Prije svega, možete zbrojiti prvi i zadnji član, naime racionalne brojeve i . Ovi brojevi isti nazivnici, što znači da će nas to osloboditi potrebe da mu ih donosimo.

Prva akcija:

Dobiveni broj može se dodati drugom članu, odnosno racionalnom broju. Racionalni brojevi imaju identične nazivnike u svojim razlomcima, što nam je opet prednost

Druga radnja:

Pa, zbrojimo rezultirajući broj?7 s posljednjim članom, odnosno racionalnim brojem. Zgodno je da će pri izračunavanju ovog izraza sedam nestati, odnosno njihov zbroj bit će jednak nuli, jer je zbroj suprotnih brojeva nula.

Treća radnja:

Odgovor: vrijednost izraza je

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite nam se nova grupa VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva

U ovoj lekciji ćemo naučiti zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, kao i pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje.

Podsjetimo se da su cijeli brojevi pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0. Na primjer, sljedeći brojevi su cijeli brojevi:

Pozitivne brojeve je lako zbrajati i oduzimati, množiti i dijeliti. Nažalost, to se ne može reći za negativne brojeve, koji mnoge početnike zbunjuju svojim minusima ispred svakog broja. Kao što praksa pokazuje, pogreške nastale zbog negativnih brojeva najviše frustriraju učenike.

Primjeri zbrajanja i oduzimanja cijelih brojeva

Prvo što biste trebali naučiti je zbrajati i oduzimati cijele brojeve pomoću koordinatne crte. Uopće nije potrebno crtati koordinatnu liniju. Dovoljno je to zamisliti u svojim mislima i vidjeti gdje se nalaze negativni brojevi, a gdje pozitivni.

Razmotrimo najjednostavniji izraz: 1 + 3. Vrijednost ovog izraza je 4:

Ovaj primjer se može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti tri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 4. Na slici možete vidjeti kako se to događa:

Znak plus u izrazu 1 + 3 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.

Primjer 2. Nađimo vrijednost izraza 1? 3.

Vrijednost ovog izraza je?2

Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti ulijevo tri koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi negativni broj?2. Na slici možete vidjeti kako se to događa:

Znak minus u izrazu 1? 3 nam govori da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru opadanja brojeva.

Općenito, morate zapamtiti da ako se izvrši dodavanje, tada se morate pomaknuti udesno u smjeru povećanja. Ako se izvrši oduzimanje, tada se morate pomaknuti ulijevo u smjeru smanjenja.

Primjer 3. Odredi vrijednost izraza?2 + 4

Vrijednost ovog izraza je 2

Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi negativni broj?2 potrebno je pomaknuti se četiri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se u točki gdje se nalazi pozitivni broj 2.

Vidi se da smo se od točke gdje se nalazi negativni broj?2 pomaknuli na desnu stranu za četiri koraka i završili na točki gdje se nalazi pozitivan broj 2.

Znak plus u izrazu ?2 + 4 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza?1 ? 3

Vrijednost ovog izraza je?4

Ovaj se primjer opet može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke u kojoj se nalazi negativni broj?1 potrebno je pomaknuti se ulijevo tri koraka. Zbog toga ćemo se naći na mjestu gdje se nalazi negativan broj?4

Vidi se da smo se od točke gdje se nalazi negativni broj?1 pomaknuli ulijevo za tri koraka i završili na točki gdje se nalazi negativni broj?4.

Znak minus u izrazu?1 ? 3 nam govori da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru opadanja brojeva.

Primjer 5. Odredi vrijednost izraza?2 + 2

Vrijednost ovog izraza je 0

Ovaj primjer se može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke u kojoj se nalazi negativni broj?2 potrebno je pomaknuti se dva koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 0

Vidi se da smo se od točke gdje se nalazi negativni broj?2 pomaknuli na desnu stranu za dva koraka i završili na točki gdje se nalazi broj 0.

Znak plus u izrazu ?2 + 2 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.

Pravila za zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva

Da biste izračunali ovaj ili onaj izraz, nije potrebno svaki put zamisliti koordinatnu liniju, a još manje je nacrtati. Pogodnije je koristiti gotova pravila.

Pri primjeni pravila potrebno je paziti na predznak operacije i predznake brojeva koji se zbrajaju ili oduzimaju. To će odrediti koje pravilo primijeniti.

Primjer 1. Odredi vrijednost izraza?2 + 5

Ovdje se pozitivan broj dodaje negativnom broju. Drugim riječima, zbrajaju se brojevi s različitim predznacima. ?2 je negativan broj, a 5 je pozitivan broj. Za takve slučajeve predviđeno je sljedeće pravilo:

Dakle, da vidimo koji je modul veći:

Modul broja 5 veći je od modula broja?2. Pravilo zahtijeva oduzimanje manjeg od većeg modula. Dakle, od 5 moramo oduzeti 2, a ispred dobivenog odgovora staviti znak čiji je modul veći.

Broj 5 ima veći modul, pa će predznak ovog broja biti u odgovoru. Odnosno, odgovor će biti pozitivan:

Obično se piše kraće? 2 + 5 = 3

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 3 + (?2)

Ovdje se, kao iu prethodnom primjeru, dodaju brojevi s različitim predznacima. 3 je pozitivan broj, a ?2 je negativan. Imajte na umu da je broj?2 u zagradama kako bi izraz bio jasniji i ljepši. Ovaj izraz je puno lakše razumjeti od izraza 3+?2.

Dakle, primijenimo pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima. Kao i u prethodnom primjeru, oduzimamo manji modul od većeg modula i ispred odgovora stavljamo znak čiji je modul veći:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Modul broja 3 veći je od modula broja?2, pa smo od 3 oduzeli 2, a ispred dobivenog odgovora stavili znak modula koji je veći. Broj 3 ima veći modul, zbog čega je predznak ovog broja uključen u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.

Obično se piše kraće 3 + (?2) = 1

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 3? 7

U ovom izrazu se veći broj oduzima od manjeg broja. Za takav slučaj predviđeno je sljedeće pravilo:

Da biste od manjeg broja oduzeli veći broj, trebate više oduzmite manji i stavite minus ispred dobivenog odgovora.

Postoji mala začkoljica u ovom izrazu. Podsjetimo se da se znak jednakosti (=) stavlja između veličina i izraza kada su međusobno jednaki.

Vrijednost izraza 3? 7 kako smo saznali da je jednako?4. To znači da sve transformacije koje ćemo izvesti u ovom izrazu moraju biti jednake?4

Ali vidimo da u drugoj fazi postoji izraz 7? 3, koji nije jednak?4.

Da bi se ispravila ova situacija, izraz 7 ? 3 mora se staviti u zagradu, a znak minus ispred ove zagrade:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

U ovom slučaju, jednakost će se promatrati u svakoj fazi:

Nakon što je izraz procijenjen, zagrade se mogu ukloniti, što smo i učinili.

Dakle, da budemo precizniji, rješenje bi trebalo izgledati ovako:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Ovo pravilo se može napisati pomoću varijabli. Izgledat će ovako:

a? b = ? (b? a)

Velik broj zagrada i znakova operacija može otežati rješavanje naizgled jednostavnog zadatka, pa je preporučljivije naučiti takve primjere pisati kratko, npr. 3 ? 7 = ? 4.

Zapravo, zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva svodi se samo na zbrajanje. Što to znači? To znači da ako trebate oduzimati brojeve, ovu operaciju možete zamijeniti zbrajanjem.

Dakle, upoznajmo se s novim pravilom:

Oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje umanjeniku broja koji je suprotan broju koji se oduzima.

Na primjer, razmotrite najjednostavniji izraz 5? 3. U početnim fazama učenja matematike jednostavno smo stavili znak jednakosti i zapisali odgovor:

Ali sada napredujemo u učenju, pa se moramo prilagoditi novim pravilima. Novo pravilo kaže da oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje umanjeniku broja koji je suprotan broju koji se oduzima.

Pokušajmo razumjeti ovo pravilo na primjeru izraza 5?3. Umanjenik u ovom izrazu je 5, a umanjenik je 3. Pravilo kaže da, da biste oduzeli 3 od 5, trebate dodati 5 broj koji je suprotan od 3. Suprotan od 3 je broj?3 . Napišimo novi izraz:

I već znamo kako pronaći značenje za takve izraze. Ovo je zbrajanje brojeva s različitim predznacima, o čemu smo gore govorili. Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji, a ispred dobivenog odgovora staviti znak čiji je modul veći:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Modul broja 5 veći je od modula broja?3. Stoga smo od 5 oduzeli 3 i dobili 2. Broj 5 ima veći modul, pa smo predznak tog broja stavili u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.

U početku nije svatko u stanju brzo zamijeniti oduzimanje zbrajanjem. To je zbog činjenice da se pozitivni brojevi pišu bez znaka plus.

Na primjer, u izrazu 3? Znak minus 1 koji označava oduzimanje je znak operacije i ne odnosi se na njega. Jedinica je u ovom slučaju pozitivan broj i ima svoj znak plus, ali ga mi ne vidimo, jer se plus tradicionalno ne piše ispred pozitivnih brojeva.

I tako radi jasnoće ovaj izraz može se napisati na sljedeći način:

Radi praktičnosti, brojevi sa svojim predznakom stavljeni su u zagrade. U ovom slučaju, zamjena oduzimanja sa zbrajanjem je mnogo lakša. Oduzeti broj u ovom slučaju je broj (+1), a suprotni broj je (?1). Zamijenimo operaciju oduzimanja sa zbrajanjem i umjesto oduzimača (+1) napišimo suprotni broj (?1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Na prvi pogled može se činiti da ti dodatni pokreti nemaju smisla ako možete starom dobrom metodom staviti znak jednakosti i odmah zapisati odgovor 2. Zapravo, ovo pravilo će nam pomoći više puta.

Riješimo prethodni primjer 3? 7, koristeći pravilo oduzimanja. Prvo, dovedimo izraz u normalan oblik, dodijelivši svakom broju svoje predznake. Tri ima znak plus jer je to pozitivan broj. Znak minus koji označava oduzimanje ne odnosi se na sedam. Sedam ima znak plus jer je također pozitivan broj:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Daljnji izračun nije težak:

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza?4 ? 5

Opet imamo operaciju oduzimanja. Ova se operacija mora zamijeniti zbrajanjem. Minuendu (?4) dodamo broj nasuprot subtrahendu (+5). Suprotan broj za subtrahend (+5) je broj (?5).

Došli smo u situaciju da trebamo zbrajati negativne brojeve. Za takve slučajeve predviđeno je sljedeće pravilo:

Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora.

Dakle, zbrojimo module brojeva, kao što pravilo nalaže, i stavimo minus ispred dobivenog odgovora:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Unos s modulima mora biti u zagradama, a ispred tih zagrada znak minus. Na ovaj način ćemo dati minus koji bi trebao biti ispred odgovora:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:

Primjer 8. Pronađite vrijednost izraza?3 ? 5 ? 7? 9

Dovedimo izraz do jasnog oblika. Ovdje su svi brojevi osim broja?3 pozitivni, pa će imati predznake plus:

Zamijenimo operacije oduzimanja operacijama zbrajanja. Svi minusi (osim minusa koji je ispred trojke) će se promijeniti u pluseve, a svi pozitivni brojevi će se promijeniti u suprotno:

Sada primijenimo pravilo zbrajanja negativnih brojeva. Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Primjer 9. Odredi vrijednost izraza?10 + 6? 15 + 11? 7

Dovedimo izraz u jasan oblik:

Ovdje postoje dvije operacije: zbrajanje i oduzimanje. Ostavljamo zbrajanje kakvo jest, a oduzimanje zamjenjujemo zbrajanjem:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Prateći redoslijed radnji izvodit ćemo redom svaku radnju na temelju prethodno naučenih pravila. Unosi s modulima mogu se preskočiti:

Prva akcija:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Druga radnja:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Treća radnja:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Četvrta akcija:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Dakle, vrijednost izraza?10 + 6? 15 + 11? 7 jednako?15

Bilješka. Uopće nije potrebno dovoditi izraz u razumljiv oblik stavljanjem brojeva u zagrade. Kada dođe do navikavanja na negativne brojeve, ovaj se korak može preskočiti jer oduzima puno vremena i može biti zbunjujući.

Dakle, da biste zbrajali i oduzimali cijele brojeve, morate zapamtiti sljedeća pravila:

Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul, a ispred dobivenog odgovora staviti znak čiji je modul veći.

Da biste od manjeg broja oduzeli veći broj, potrebno je od većeg broja oduzeti manji i ispred dobivenog odgovora staviti znak minus.

Oduzeti jedan broj od drugog znači dodati onom koji se smanjuje suprotan broj od broja koji se oduzima.

Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti znak minus ispred dobivenog odgovora.

• Hokej bez pravila VKontakte Igra je objavljena u rujnu 2012. i već je stekla gotovo 700.000 korisnika. Postoje dva načina igre i mnoge mogućnosti za team building. Tijek utakmice u Hockey Without Rules VKontakte podsjeća na rane igre serije NHL iz Electronic Artsa. 3 igrača po […]
• Pravila pokera Omaha Hold'em Omaha Hi-Lo i Omaha s pet karata Omaha Hold'Em je mala modifikacija Texas Hold'ema. Ako ste novi u ovom najpopularnijem obliku pokera, proučite pravila Texas Hold'ema ovdje ; njihovo poznavanje je neophodno za razumijevanje pravila Omahe. Svi […]
• Rješavanje problema genetike pomoću Mendelovog 1. i 2. zakona Predavanje 8 Julia Kjahrenova 1. - prezentacija Prezentacija je objavljena prije 3 godine od strane Aline Artemyeve Slične prezentacije Prezentacija na temu: "Rješavanje problema genetike korištenjem Mendelovog 1. i 2. zakona Predavanje 8 Julia Kjahrenova 1 " […]
• 5-7 algebarska pravila Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodan istom broju d za dati niz, naziva se aritmetička progresija. Broj d naziva se razlika aritmetička progresija. U aritmetičkoj progresiji, tj. u […]
• Određujemo stopu poreza na prijevoz za kombije i druge netipične automobile s kategorijom "B" Hvatamo potrebne informacije iz naslova Odmah ćemo reći da su podaci navedeni u retku 4 "Kategorija vozila (A, B, C, D, prikolica) ” putovnice vozilo(PTS), ne treba uzeti u obzir. Uostalom, kategorija “B” ne znači […]
• Ocjena osiguravajućih društava OSAGO OSAGO se odnosi na obvezno osiguranje, djeluje ne samo u Rusiji, već iu drugim susjednim zemljama. Ove police izdaju mnoge osiguravajuće kuće koje su dobile odgovarajuću dozvolu za obavljanje takve djelatnosti. Međutim, […]
• Smještaj hotel Ufa Mini-hotel u Ufi 5 Pet soba Pozivamo goste glavnog grada u ugodan, udoban hotel koji se nalazi u središtu Ufe na Komsomolskaya ulici 159/1. U neposrednoj blizini hotela nalazi se kompleks kina Iskra IMAX, cirkus, restoran-klub A cafe, restoran Beer Berry, shopping centar […]
• Uvjeti korištenja Present Simple Vrijeme u engleskom jeziku Present Simple Tense je gramatičko vrijeme koje se smatra jednim od najlakših za razumijevanje, budući da sadašnje jednostavno vrijeme postoji u svim jezicima. U slavenski jezici Da gospodine. Ako čitate ovaj članak, to znači da samo [...]

Kako umnožiti moći? Koje se moći mogu umnožiti, a koje ne? Kako pomnožiti broj s potencijom?

U algebri možete pronaći produkt potencija u dva slučaja:

1) ako stupnjevi imaju iste baze;

2) ako stupnjevi imaju iste pokazatelje.

Kada se potencije množe s istim bazama, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se stupnjevi množe s istim pokazateljima, ukupni se pokazatelj može izvaditi iz zagrada:

Pogledajmo kako množiti potencije na konkretnim primjerima.

Jedinica nije zapisana u eksponentu, ali pri množenju potencije uzimaju u obzir:

Pri množenju može postojati bilo koji broj potencija. Treba imati na umu da ne morate pisati znak množenja ispred slova:

U izrazima se prvo vrši potenciranje.

Ako treba pomnožiti broj s potencijom, prvo treba izvesti potenciranje, a tek onda množenje:

www.algebraclass.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Zbrajanje i oduzimanje potencija

Očito je da se brojevi s potencijama mogu zbrajati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa svojim predznacima.

Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Izgledi jednake potencije identičnih varijabli može se zbrajati ili oduzimati.

Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.

Također je očito da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stupnjevi razne varijable I razne diplome identične varijable, moraju se sastaviti njihovim zbrajanjem s njihovim predznacima.

Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + 3.

Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, nego dvostrukom kubu od a.

Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje potencije se izvode na isti način kao i zbrajanje, osim što se predznaci subtrahenda moraju sukladno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Moći množenja

Brojeve s potencijama možemo množiti, kao i druge veličine, tako da ih ispisujemo jedan iza drugog, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 s b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, tada je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakom iznos stupnjevi pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 potencija rezultata množenja, koja je jednaka 2 + 3, zbroju potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je potencija od n;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;

Zato, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata potencija.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak zbroju ili razlika njihovih kvadrata.

Ako pomnožite zbroj i razliku dvaju brojeva podignutih na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupnjeva.

Dakle, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stupnjeva

Brojevi s potencijama mogu se dijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 jednako je a 3.

Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2 . U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.

Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Odnosno, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n. Odnosno, $\frac = a^n$.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Pravilo vrijedi i za brojeve s negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da su takve operacije vrlo široko korištene u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama

1. Smanji eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanji eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ili 2x.

3. Eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 svesti na zajednički nazivnik.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je a -1 , zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 reducirajte i dovedite na zajednički nazivnik.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

Svojstva stupnja

Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima i nulom. Stupnjevi sa racionalni pokazatelji a o njihovim svojstvima govorit ćemo u lekcijama za 8. razred.

Diploma s prirodnim pokazateljem ima nekoliko važna svojstva, koji vam omogućuju pojednostavljenje izračuna u primjerima s ovlastima.

Svojstvo br. 1
Proizvod moći

Kod množenja potencija s istim bazama baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.

a m · a n = a m + n, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo potencija također se odnosi na umnožak tri ili više potencija.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Predstavite to kao diplomu.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Predstavite to kao diplomu.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Imajte na umu da u navedeno svojstvo govorili smo samo o potencijama množenja s istim bazama. Ne odnosi se na njihov dodatak.

Zbroj (3 3 + 3 2) ne možete zamijeniti s 3 5. To je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, i 3 5 = 243

Svojstvo br. 2
Djelomični stupnjevi

Kod dijeljenja potencija s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Zapiši kvocijent kao potenciju
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednadžbu. Koristimo svojstvo kvocijentnih potencija.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, možete jednostavno pojednostaviti izraze i izvesti izračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza pomoću svojstava eksponenata.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Imajte na umu da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli potencija s istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) s 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina br. 3
Dizanje stupnja na potenciju

Kod podizanja stupnja na potenciju baza stupnja ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m = a n · m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n · b n)= (a · b) n

To jest, za množenje potencija s istim eksponentima, možete množiti baze, ali ostaviti eksponent nepromijenjen.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U više složeni primjeri Mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvesti preko potencija s različitim bazama i različite pokazatelje. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer podizanja decimale na potenciju.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Snaga kvocijenta (razlomak)

Da biste podigli kvocijent na potenciju, možete zasebno podići dividendu i djelitelj na tu potenciju i podijeliti prvi rezultat s drugim.

(a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n - bilo koji prirodni broj.

Primjer. Predstavite izraz kao kvocijent potencija.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se kvocijent može prikazati kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na potenciju.

Moći i korijeni

Operacije s ovlastima i korijenima. Stupanj s negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju značenja.

Operacije sa stupnjevima.

1. Pri množenju potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi eksponenti:

a m · a n = a m + n.

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi eksponenti oduzimaju se .

3. Stupanj umnoška dvaju ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva tih faktora.

4. Stupanj omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva djelitelja (brojnika) i djelitelja (nazivnika):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri dizanju potencije na potenciju njihovi se eksponenti množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvode u oba smjera slijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim dolje navedenim formulama simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen stava jednaka omjeru korijeni dividende i djelitelja:

3. Kod podizanja korijena na potenciju, dovoljno je dići na ovu potenciju radikalni broj:

4. Ako povećate stupanj korijena za m puta i istovremeno podignete radikalni broj na m-tu snagu, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena za m puta i istovremeno izvučete m-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširivanje pojma stupnja. Do sada smo razmatrali stupnjeve samo s prirodnim eksponentima; ali operacije s ovlastima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I frakcijski indikatori. Svi ti eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada formula a m : a n = a m - n može se koristiti ne samo za m, više od n, ali i sa m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bilo pošteno kada m = n, trebamo definiciju nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Da biste podigli realni broj a na potenciju m / n, morate izvući n-ti korijen iz m-te potencije ovog broja a:

O izrazima koji nemaju značenja. Postoji nekoliko takvih izraza.

Gdje a ≠ 0 , ne postoji.

Zapravo ako pretpostavimo da x je određeni broj, tada u skladu s definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti s uvjetom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

Zapravo, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ta jednakost nastaje kada bilo koji broj x, što je i trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.

Rješenje. Razmotrimo tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu

2) kada x> 0 dobivamo: x/x= 1, tj. 1 = 1, što znači

Što x– bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da u

u našem slučaju x> 0, odgovor je x > 0 ;

Pravila množenja potencija s različitim bazama

STUPNJA S RACIONALNIM POKAZATELJEM,

FUNKCIJA MOĆI IV

§ 69. Množenje i dijeljenje potencija s istim bazama

Teorem 1. Za množenje potencija s istim bazama dovoljno je zbrojiti eksponente, a bazu ostaviti istom, tj.

Dokaz. Po definiciji stupnja

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Promatrali smo umnožak dviju snaga. Zapravo, dokazano svojstvo vrijedi za bilo koji broj potencija s istim bazama.

Teorem 2. Za dijeljenje potencija s istim bazama, kada je indeks djelitelja veći od indeksa djelitelja, dovoljno je od indeksa djelitelja oduzeti indeks djelitelja, a osnovicu ostaviti istom, tj. na t > str

(a =/= 0)

Dokaz. Podsjetimo se da je kvocijent dijeljenja jednog broja s drugim broj koji, kada se pomnoži djeliteljem, daje dividendu. Stoga dokažite formulu gdje je a =/= 0, to je isto kao dokazivanje formule

Ako t > str , zatim broj t - str bit će prirodno; dakle, prema teoremu 1

Teorem 2 je dokazan.

Treba napomenuti da formula

to smo dokazali samo pod pretpostavkom da t > str . Stoga iz onoga što je dokazano još nije moguće izvući, primjerice, sljedeće zaključke:

Osim toga, još nismo razmatrali stupnjeve s negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo se značenje može dati izrazu 3 - 2 .

Teorem 3. Da bi se stupanj podigao na potenciju, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu stupnja istom, to je

Dokaz. Koristeći definiciju stupnja i teorem 1 ovog odjeljka, dobivamo:

Q.E.D.

Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (usmeno) Odredi x iz jednadžbi:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Set br.) Pojednostavite:

520. (Set br.) Pojednostavite:

521. Predstavi ove izraze u obliku stupnjeva s istim bazama:

1) 32. i 64.; 3) 8 5 i 16 3; 5) 4 100 i 32 50;

2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.

Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima i nulom. O potencijama s racionalnim eksponentima i njihovim svojstvima govorit ćemo u nastavi za 8. razred.

Potencija s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja nam omogućuju da pojednostavimo izračune u primjerima s potencijama.

Svojstvo br. 1
Proizvod moći

Zapamtiti!

Kod množenja potencija s istim bazama baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.

a m · a n = a m + n, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo potencija također se odnosi na umnožak tri ili više potencija.

• Pojednostavite izraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Predstavite to kao diplomu.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Predstavite to kao diplomu.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Važno!

Imajte na umu da smo u navedenom svojstvu govorili samo o potencijama množenja po istim osnovama . Ne odnosi se na njihov dodatak.

Zbroj (3 3 + 3 2) ne možete zamijeniti s 3 5. To je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, i 3 5 = 243

Svojstvo br. 2
Djelomični stupnjevi

Zapamtiti!

Kod dijeljenja potencija s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Primjer. Riješite jednadžbu. Koristimo svojstvo kvocijentnih potencija.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, možete jednostavno pojednostaviti izraze i izvesti izračune.

• Primjer. Pojednostavite izraz.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Primjer. Pronađite vrijednost izraza pomoću svojstava eksponenata.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Važno!

  Imajte na umu da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli potencija s istim osnovama.

  Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) s 4 1. To je razumljivo ako računate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , i 4 1 = 4

  Budi oprezan!

  Nekretnina br. 3
  Dizanje stupnja na potenciju

  Zapamtiti!

  Kod podizanja stupnja na potenciju baza stupnja ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

  (a n) m = a n · m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

  
  

  Svojstva 4
  Snaga proizvoda

  Zapamtiti!

  Kod dizanja umnoška na potenciju, svaki faktor se diže na potenciju. Zatim se dobiveni rezultati množe.

  (a b) n = a n b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi; "n" je bilo koji prirodni broj.

  • Primjer 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Primjer 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Važno!

  Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

  (a n · b n)= (a · b) n

  To jest, za množenje potencija s istim eksponentima, možete množiti baze, ali ostaviti eksponent nepromijenjen.

  • Primjer. Izračunati.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Primjer. Izračunati.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi u kojima se množenje i dijeljenje moraju izvesti preko potencija s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

  Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Primjer podizanja decimale na potenciju.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Svojstva 5
  Snaga kvocijenta (razlomak)

  Zapamtiti!

  Da biste podigli kvocijent na potenciju, možete zasebno podići dividendu i djelitelj na tu potenciju i podijeliti prvi rezultat s drugim.

  (a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodni broj.

  • Primjer. Predstavite izraz kao kvocijent potencija.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Podsjećamo vas da se kvocijent može prikazati kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na potenciju.

U prethodnom smo članku objasnili što su monomi. U ovom materijalu ćemo pogledati kako riješiti primjere i probleme u kojima se oni koriste. Ovdje ćemo razmotriti radnje kao što su oduzimanje, zbrajanje, množenje, dijeljenje monoma i njihovo dizanje na potenciju s prirodnim eksponentom. Pokazat ćemo kako se takve operacije definiraju, navesti osnovna pravila za njihovu provedbu i kakav bi trebao biti rezultat. Svi teorijski koncepti, kao i obično, bit će ilustrirani primjerima zadataka s opisima rješenja.

Najprikladnije je raditi sa standardnim zapisom monoma, stoga sve izraze koji će se koristiti u članku prikazujemo u standardnom obliku. Ako su izvorno drugačije specificirane, preporučuje se prvo ih dovesti u općeprihvaćeni oblik.

Pravila za zbrajanje i oduzimanje monoma

Najjednostavnije operacije koje se mogu izvesti s monomima su oduzimanje i zbrajanje. U opći slučaj rezultat ovih radnji bit će polinom (monom je moguć u nekim posebnim slučajevima).

Kada zbrajamo ili oduzimamo monome, odgovarajući zbroj i razliku prvo zapišemo u općeprihvaćenom obliku, a zatim dobiveni izraz pojednostavimo. Ako postoje slični pojmovi, potrebno ih je navesti, a zagrade otvoriti. Objasnimo na primjeru.

Primjer 1

Stanje: izvršiti zbrajanje monoma − 3 x i 2, 72 x 3 y 5 z.

Riješenje

Zapišimo zbroj izvornih izraza. Dodajmo zagrade i stavimo znak plus između njih. Dobit ćemo sljedeće:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Kada proširimo zagrade, dobivamo - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Ovo je polinom, napisan u standardnom obliku, koji će biti rezultat zbrajanja ovih monoma.

Odgovor:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Ako imamo tri, četiri ili više termina, ovu radnju provodimo na potpuno isti način.

Primjer 2

Stanje: prijeđite prstom unutra u pravom redoslijedu navedene radnje s polinomima

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Riješenje

Počnimo s otvaranjem zagrada.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidimo da se dobiveni izraz može pojednostaviti dodavanjem sličnih izraza:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Imamo polinom koji će biti rezultat ove akcije.

Odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

U načelu, možemo zbrajati i oduzimati dva monoma, uz određena ograničenja, tako da na kraju dobijemo monom. Da biste to učinili, morate ispuniti neke uvjete u vezi sa pribrojnicima i oduzetim monomima. Reći ćemo vam kako se to radi u zasebnom članku.

Pravila množenja monoma

Radnja množenja ne nameće nikakva ograničenja faktorima. Monomi koji se množe ne smiju odgovarati nijednom dodatni uvjeti, tako da je rezultat monom.

Da biste izvršili množenje monoma, morate slijediti ove korake:

1. Ispravno zapiši djelo.
2. Proširite zagrade u rezultirajućem izrazu.
3. Ako je moguće, zasebno grupirajte faktore s istim varijablama i numeričke faktore.
4. Provedite potrebne operacije s brojevima i primijenite svojstvo množenja potencija s istim bazama na preostale faktore.

Pogledajmo kako se to izvodi u praksi.

Primjer 3

Stanje: pomnožite monome 2 x 4 y z i - 7 16 t 2 x 2 z 11.

Riješenje

Počnimo s komponiranjem djela.

Otvorimo zagrade u njemu i dobijemo sljedeće:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Sve što trebamo učiniti je pomnožiti brojeve u prvim zagradama i primijeniti svojstvo potencije za druge. Kao rezultat toga dobivamo sljedeće:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ako naš uvjet sadrži tri ili više polinoma, množimo ih koristeći točno isti algoritam. Pitanje množenja monoma detaljnije ćemo razmotriti u zasebnom materijalu.

Pravila za dizanje monoma na potenciju

Znamo da je potencija s prirodnim eksponentom umnožak određenog broja istih faktora. Njihov broj je označen brojem u indikatoru. Prema ovoj definiciji, podizanje monoma na potenciju je ekvivalentno množenju određenog broja identičnih monoma. Da vidimo kako se to radi.

Primjer 4

Stanje: dignite monom − 2 · a · b 4 na potenciju 3 .

Riješenje

Potenciranje možemo zamijeniti množenjem 3 monoma − 2 · a · b 4 . Zapišimo to i dobijemo željeni odgovor:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Odgovor:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Ali što ako stupanj ima veliki pokazatelj? Zapiši veliki broj multiplikatori su nezgodni. Zatim, da bismo riješili takav problem, trebamo primijeniti svojstva stupnja, naime svojstvo stupnja proizvoda i svojstvo stupnja u stupnju.

Riješimo gore navedeni problem koristeći naznačenu metodu.

Primjer 5

Stanje: dignite − 2 · a · b 4 na treću potenciju.

Riješenje

Poznavajući svojstvo stepena prema stupnju, možemo nastaviti s izrazom sljedećeg oblika:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Nakon toga dižemo na potenciju - 2 i primjenjujemo svojstvo potencije na potencije:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Također smo posvetili poseban članak dizanju monoma na potenciju.

Pravila dijeljenja monoma

Posljednja radnja s monomima koju ćemo analizirati u ovaj materijal, – podjela monoma monomom. Kao rezultat, trebali bismo dobiti racionalni (algebarski) razlomak (u nekim slučajevima moguće je dobiti monom). Odmah pojasnimo da dijeljenje s nultim monomom nije definirano, budući da dijeljenje s 0 nije definirano.

Da bismo izvršili dijeljenje, potrebno je navedene monome zapisati u obliku razlomka i smanjiti ga, ako je moguće.

Primjer 6

Stanje: monom − 9 · x 4 · y 3 · z 7 podijelimo s − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Riješenje

Počnimo pisanjem monoma u obliku razlomka.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ovaj se udio može smanjiti. Nakon izvođenja ove akcije dobivamo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Uvjeti pod kojima, kao rezultat dijeljenja monoma, dobivamo monom, navedeni su u posebnom članku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter