Sustavno rješenje linearne jednadžbe Gaussova metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sustava iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminiranja nepoznatih varijabli: prvo eliminiranje x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, dalje se isključuje x 2 iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, dok u posljednjoj jednadžbi ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Ovaj proces transformacije jednadžbi sustava radi sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon dovršetka naprijed napredovanja Gaussove metode, iz posljednje jednadžbe nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe koju izračunavamo xn-1, i tako dalje, od prve jednadžbe koju nađemo x 1. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se inverzna od Gaussove metode.
Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednadžbi sustava dodamo prvu, pomnoženu s , trećoj jednadžbi dodamo prvu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo prvi, pomnožen s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik 
gdje i 
.
Došli bismo do istog rezultata ako bismo izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i dobiveni izraz je zamijenjen u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od druge.
Zatim postupamo na sličan način, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici 
Da bismo to učinili, trećoj jednadžbi sustava dodamo drugu, pomnoženu s , četvrtoj jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik 
gdje i 
. Dakle, varijabla x 2 isključeni iz svih jednadžbi počevši od treće.
Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3, u ovom slučaju slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici 
Dakle, nastavljamo izravnu progresiju Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao, koristeći dobivenu vrijednost x n pronašli smo xn-1 iz predzadnje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžbe.
Primjer.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi 
Gaussova metoda.
U ovom članku metoda se smatra metodom rješenja. Metoda je analitička, odnosno omogućuje pisanje algoritma rješenja u opći pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, kod rješavanja sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom možete raditi i s onima koje imaju beskonačan broj rješenja. Ili ga uopće nemaju.
Što znači rješavati Gaussovom metodom?
Prvo, moramo napisati naš sustav jednadžbi u. Izgleda ovako. Uzmite sustav:
Koeficijenti su ispisani u obliku tablice, a slobodni termini ispisani su u posebnom stupcu s desne strane. Stupac sa slobodnim terminima je odvojen radi praktičnosti, a matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.
Zatim se glavna matrica s koeficijentima mora svesti na gornji trokutasti oblik. Ovo je glavna točka rješavanja sustava Gaussovom metodom. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati tako da njen donji lijevi dio sadrži samo nule:
Zatim, ako novu matricu ponovno napišete kao sustav jednadžbi, primijetit ćete da zadnji redak već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednadžbu, nalazi se drugi korijen, i tako dalje.
Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u najopćenitijim crtama. Što se događa ako sustav odjednom nema rješenja? Ili ih ima beskrajno mnogo? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente koji se koriste u rješavanju Gaussove metode.
Matrice, njihova svojstva
U matrici nema skrivenog značenja. Ovo je jednostavno zgodan način za snimanje podataka za naknadne operacije s njima. Čak ih se ni školarci ne trebaju bojati.
Matrica je uvijek pravokutna, jer je prikladnija. Čak iu Gaussovoj metodi, gdje se sve svodi na konstruiranje matrice trokutastog izgleda, unos sadrži pravokutnik, samo s nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se možda ne pišu, ali se podrazumijevaju.
Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redaka (m), "dužina" je broj stupaca (n). Zatim veličina matrice A (za označavanje se obično koriste velika slova) slova) označit ćemo kao A m×n. Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen poredak. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti njegovim brojevima retka i stupca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj stupca, promjene.
B nije glavna točka odluke. U načelu, sve se operacije mogu izvoditi izravno sa samim jednadžbama, ali zapis će biti mnogo glomazniji i bit će puno lakše zbuniti se u njemu.
Determinanta
Matrica također ima determinantu. Ovo je vrlo važna karakteristika. Nema potrebe sada otkrivati njegovo značenje; možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Determinantu ćete najlakše pronaći preko dijagonala. U matricu su ucrtane zamišljene dijagonale; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju dobiveni proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - s znakom plus, s nagibom ulijevo - s znakom minus.
Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravokutnu matricu možete učiniti sljedeće: od broja redaka i broja stupaca izabrati najmanji (neka bude k), a zatim nasumično označiti k stupaca i k redaka u matrici. Elementi na sjecištu odabranih stupaca i redaka formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, naziva se bazni minor izvorne pravokutne matrice.
Prije nego počnete rješavati sustav jednadžbi Gaussovom metodom, nije na odmet izračunati determinantu. Ako se ispostavi da je nula, tada možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja ili niti jedno. U tako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.
Klasifikacija sustava
Postoji nešto poput ranga matrice. Ovo je maksimalni red njezine determinante različite od nule (ako se sjetimo baze minora, možemo reći da je rang matrice red baze minora).
Na temelju situacije s rangom, SLAE se može podijeliti na:
- Zajednički. U U zajedničkim sustavima, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) podudara se s rangom proširene matrice (sa stupcem slobodnih članova). Takvi sustavi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se dodatno spojni sustavi dijele na:
- - određeni- imati jedno rješenje. U određenim sustavima, rang matrice i broj nepoznanica (ili broj stupaca, što je isto) su jednaki;
- - nedefiniran - s beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica u takvim sustavima manji je od broja nepoznanica.
- Nespojivo. U U takvim sustavima rangovi glavne i proširene matrice se ne podudaraju. Nekompatibilni sustavi nemaju rješenja.
Gaussova metoda je dobra jer tijekom rješenja omogućuje dobivanje ili nedvosmislenog dokaza nekonzistentnosti sustava (bez izračunavanja determinanti velikih matrica), ili rješenja u općem obliku za sustav s beskonačnim brojem rješenja.
Elementarne transformacije
Prije nego što prijeđete izravno na rješavanje sustava, možete ga učiniti manje glomaznim i praktičnijim za izračune. To se postiže elementarnim transformacijama - takvim da njihova provedba ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor SLAE. Evo popisa tih transformacija:
- Preuređivanje linija. Očito, ako promijenite redoslijed jednadžbi u zapisu sustava, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, retci u matrici ovog sustava također se mogu mijenjati, ne zaboravljajući, naravno, stupac slobodnih članova.
- Množenje svih elemenata niza određenim koeficijentom. Vrlo korisno! Može se koristiti za skraćivanje velike brojke u matricu ili ukloniti nule. Mnoge se odluke, kao i obično, neće promijeniti, ali će daljnje operacije postati praktičnije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
- Uklanjanje redaka s proporcionalnim faktorima. Ovo dijelom proizlazi iz prethodnog paragrafa. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada kada se jedan od redaka pomnoži/podijeli s koeficijentom proporcionalnosti, dobiju se dva (ili, opet, više) apsolutno identičnih redaka, a višak se može ukloniti, ostavljajući samo jedan.
- Uklanjanje nulte linije. Ako se tijekom transformacije negdje dobije red u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, nula, tada se takav red može nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
- Dodavanje elementima jednog retka elemenata drugog (u odgovarajućim stupcima), pomnoženih s određenim koeficijentom. Najneočitija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.
Dodavanje niza pomnoženog s faktorom
Radi lakšeg razumijevanja, vrijedi rastaviti ovaj proces korak po korak. Iz matrice se uzimaju dva reda:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Recimo da morate prvi dodati drugom, pomnožen s koeficijentom "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Tada se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Treba napomenuti da se koeficijent množenja može odabrati na takav način da, kao rezultat zbrajanja dva retka, jedan od elemenata novog retka bude jednak nuli. Dakle, moguće je dobiti jednadžbu u sustavu gdje će biti jedna nepoznanica manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednadžba koja će sadržavati dvije nepoznanice manje. A ako svaki put jedan koeficijent svih redaka koji su ispod izvornog okrenete na nulu, tada se možete poput stepenica spustiti na samo dno matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznanicom. To se zove rješavanje sustava Gaussovom metodom.
Općenito
Neka postoji sustav. Ima m jednadžbi i n nepoznatih korijena. Možete ga napisati na sljedeći način:
Glavna matrica se sastavlja iz koeficijenata sustava. Stupac slobodnih termina dodaje se proširenoj matrici i, radi praktičnosti, odvaja crtom.
- prvi redak matrice pomnožen je koeficijentom k = (-a 21 /a 11);
- dodaju se prvi modificirani redak i drugi redak matrice;
- umjesto drugog retka u matricu se ubacuje rezultat zbrajanja iz prethodnog odlomka;
- sada je prvi koeficijent u novom drugom retku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Sada se izvodi isti niz transformacija, uključeni su samo prvi i treći red. Sukladno tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 zamjenjuje se elementom 31. Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u retku nula. Sada trebate zaboraviti na liniju broj jedan i izvršiti isti algoritam, počevši od retka dva:
- koeficijent k = (-a 32 /a 22);
- drugi modificirani redak dodaje se u "trenutni" redak;
- rezultat zbrajanja zamjenjuje se u treći, četvrti i tako redak, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
- u redovima matrice prva dva elementa već su jednaka nuli.
Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da u posljednji put algoritam je izveden samo za donju jednadžbu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. U donjem retku nalazi se jednakost a mn × x n = b m. Poznati su koeficijent i slobodni član, a kroz njih se izražava korijen: x n = b m /a mn. Rezultirajući korijen zamjenjuje se u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem retku nalazi se novi korijen i, dosegnuvši "vrh" sustava, možete pronaći mnoga rješenja. Bit će to jedini.
Kad rješenja nema
Ako su u jednom od redaka matrice svi elementi osim slobodnog člana jednaki nuli, tada jednadžba koja odgovara tom retku izgleda ovako: 0 = b. Nema rješenja. A kako je takva jednadžba uključena u sustav, onda je skup rješenja cijelog sustava prazan, odnosno degeneriran.
Kada postoji beskonačan broj rješenja
Može se dogoditi da u zadanoj trokutastoj matrici nema redaka s jednim elementom koeficijenta jednadžbe i jednim slobodnim članom. Postoje samo linije koje bi, kada bi se prepisale, izgledale kao jednadžba s dvije ili više varijabli. To znači da sustav ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju odgovor se može dati u obliku općeg rješenja. Kako to učiniti?
Sve varijable u matrici dijele se na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje “na rubu” redaka u matrici koraka. Ostali su besplatni. U općem rješenju osnovne varijable su zapisane kroz slobodne.
Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje natrag u sustav jednadžbi. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. To se radi za svaku jednadžbu s jednom osnovnom varijablom. Zatim se u preostalim jednadžbama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable zamjenjuje za nju dobiveni izraz. Ako je rezultat ponovno izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovno izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne napiše kao izraz sa slobodnim varijablama. To je ono što je zajednička odluka SLAU.
Također možete pronaći osnovno rješenje sustava - slobodnim varijablama dati bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunati vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačan broj pojedinačnih rješenja koja se mogu dati.
Rješenje s konkretnim primjerima
Ovdje je sustav jednadžbi.
Radi praktičnosti, bolje je odmah stvoriti njegovu matricu
Poznato je da će, kada se riješi Gaussovom metodom, jednadžba koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redaka nakon operacija pretvoriti u nulu. To znači da će u sastavljenoj matrici biti korisno staviti drugi redak umjesto prvog.
drugi redak: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
treći redak: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sada, kako se ne biste zabunili, trebate zapisati matricu s međurezultatima transformacija.
Očito, takva se matrica može učiniti prikladnijom za percepciju pomoću određenih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog retka množenjem svakog elementa s "-1".
Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Tada možete skratiti liniju za ovaj broj, množeći svaki element s "-1/3" (minus - u isto vrijeme, da uklonite negativne vrijednosti).
Izgleda puno ljepše. Sada moramo ostaviti prvu liniju na miru i raditi s drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem retku, pomnožen s takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ako se tijekom nekih transformacija odgovor ne pokaže kao cijeli broj, preporuča se zadržati točnost izračuna i ostaviti ono "kao što jest", u obliku obični razlomak, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučiti hoće li zaokružiti i pretvoriti u drugi oblik zapisa)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrica se ponovno upisuje s novim vrijednostima.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kao što vidite, dobivena matrica već ima stepenasti oblik. Stoga daljnje transformacije sustava Gaussovom metodom nisu potrebne. Ovdje možete ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz treće linije.
Sada je sve lijepo. Sve što preostaje je ponovno napisati matricu u obliku sustava jednadžbi i izračunati korijene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritam kojim će se sada pronaći korijeni naziva se obrnuti pomak u Gaussovoj metodi. Jednadžba (3) sadrži z vrijednost:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
A prva jednadžba nam omogućuje da nađemo x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Takav sustav imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor se piše u sljedećem obliku:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Primjer nesigurnog sustava
Analizirana je varijanta rješavanja određenog sustava Gaussovom metodom, a sada je potrebno razmotriti slučaj da je sustav nesiguran, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Već sam izgled sustava je alarmantan, jer je broj nepoznanica n = 5, a rang matrice sustava je već točno manji od tog broja, jer je broj redaka m = 4, tj. najviši red kvadratna determinanta je 4. To znači da postoji beskonačno mnogo rješenja, te moramo tražiti njegov opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednadžbe omogućuje vam to.
Prvo se, kao i obično, sastavlja proširena matrica.
Drugi redak: koeficijent k = (-a 21 /a 11) = -3. U trećem retku, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ostaviti kako jest. Četvrti redak: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Množenjem elemenata prvog retka redom sa svakim od njihovih koeficijenata i njihovim dodavanjem traženim redovima, dobivamo matricu sljedećeg oblika:
Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red sastoje se od elemenata proporcionalnih jedan drugome. Drugi i četvrti su općenito identični, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a preostali se može pomnožiti s koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet, od dva identična retka, ostavite jedan.
Rezultat je ovakva matrica. Dok sustav još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - one koje stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, te slobodne - sve ostale.
U drugoj jednadžbi postoji samo jedna osnovna varijabla - x 2. To znači da se odatle može izraziti zapisivanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.
Dobiveni izraz zamijenimo u prvu jednadžbu.
Rezultat je jednadžba u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1 . Učinimo s njim isto što i s x 2.
Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su preko tri slobodne, pa odgovor možemo napisati u općenitom obliku.
Također možete odrediti jedno od pojedinih rješenja sustava. Za takve slučajeve, nule se obično biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:
16, 23, 0, 0, 0.
Primjer nekooperativnog sustava
Najbrže je rješavanje nekompatibilnih sustava jednadžbi Gaussovom metodom. Završava odmah čim se u jednoj od faza dobije jednadžba koja nema rješenja. Odnosno, eliminira se faza izračunavanja korijena, koja je prilično duga i zamorna. Razmatra se sljedeći sustav:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kao i obično, matrica se sastavlja:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I svodi se na oblik koraka:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Nakon prve transformacije, treći redak sadrži jednadžbu oblika
bez rješenja. Dakle, sustav je nedosljedan, a odgovor će biti prazan skup.
Prednosti i nedostaci metode
Ako odaberete metodu za rješavanje SLAE-a na papiru olovkom, metoda o kojoj se raspravljalo u ovom članku izgleda najatraktivnije. Puno se teže zbuniti u elementarnim transformacijama nego ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, tada se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračun glavnih parametara matrica - determinante, sporedne, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da će stroj sam izračunati te vrijednosti i da neće pogriješiti, preporučljivije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunavanjem determinanti i inverznih matrica .
Primjena
Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica zapravo dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je metodu najlakše staviti u proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, svaki SLAE unesen u tablicu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za rad s njima postoji mnogo zgodnih naredbi: zbrajanje (možete zbrajati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrica (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverznih i transponiranih matrica i, najvažnije , izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, moguće je mnogo brže odrediti rang matrice i time utvrditi njezinu kompatibilnost ili nekompatibilnost.
Gaussovu metodu predložio je slavni njemački matematičar Carl Friedrich Gauss (1777. - 1855.) i jedna je od najuniverzalnijih metoda za rješavanje SLAE. Bit ove metode je da se kroz uzastopnu eliminaciju nepoznanica dani sustav transformira u stupnjeviti (osobito trokutasti) sustav koji je ekvivalentan danom. U praktičnom rješenju problema proširena matrica sustava svedena je na stepenasti oblik pomoću elementarnih transformacija nad svojim redovima. Zatim se sve nepoznanice nalaze redom, počevši od dna prema vrhu.
Princip Gaussove metode
Gaussova metoda uključuje naprijed (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, odnosno dobivanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) poteze. Pomak naprijed naziva se Gaussova metoda, obrnuti pomak naziva se Gauss-Jordanova metoda, koja se od prve razlikuje samo u slijedu eliminiranja varijabli.
Gaussova metoda je idealna za rješavanje sustava koji sadrže više od tri linearne jednadžbe, te za rješavanje sustava jednadžbi koje nisu kvadratne (što se ne može reći za Cramerovu metodu i matričnu metodu). Odnosno, Gaussova metoda je najuniverzalnija metoda za pronalaženje rješenja bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi, radi u slučaju kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan.
Primjeri rješavanja sustava jednadžbi
Primjer
Vježbajte. Riješite SLAE Gaussovom metodom.
Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija na njezinim redovima tu matricu dovedemo u stepenasti oblik (pomak naprijed), a zatim izvršimo obrnuti pomak Gaussove metode (napravimo nule iznad glavne dijagonale). Prvo, promijenimo prvi i drugi redak tako da element bude jednak 1 (ovo radimo da bismo pojednostavili izračune):
Sve elemente trećeg retka dijelimo s dva (ili, što je isto, množimo s):
Od trećeg retka oduzimamo drugi, pomnožen s 3:
Množenjem trećeg retka s , dobivamo:
Provedimo sada obrnuto od Gaussove metode (Gassou-Jordan metoda), odnosno napravit ćemo nule iznad glavne dijagonale. Počnimo s elementima trećeg stupca. Moramo vratiti element na nulu; da biste to učinili, oduzmite treći od drugog retka.
Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo takav način razmišljanja omogućio da napravi tako zapaženo "nasljeđe" u svjetskoj znanosti. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...
Za gotovo 4 godine, članci na ovoj stranici u pitanju školsko obrazovanje, uglavnom sa strane filozofije, načela (ne)razumijevanja uvedena u svijest djece. Dolazi vrijeme za više konkretnosti, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo takav pristup poznatom, zbunjujućem i važno područja života daje bolje rezultate.
Mi ljudi smo tako dizajnirani da koliko god pričali apstraktno mišljenje, Ali razumijevanje Stalno događa kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće dokučiti principe... Kao što je nemoguće doći na vrh planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.
Isto sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno da ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče razumjeti.
Na primjer, podučavanje Gaussove metode...
Gaussova metoda u 5. razredu škole
Dopustite mi da odmah napomenem: Gaussova metoda ima mnogo više široka primjena, na primjer, prilikom rješavanja sustavi linearnih jednadžbi. Ono o čemu ćemo pričati događa se u 5. razredu. Ovaj započeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti više "naprednih opcija". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje sume niza
Evo primjera koji sam donio iz škole mlađi sin, pohađa 5. razred moskovske gimnazije.
Školska demonstracija Gaussove metode
Učitelj matematike koristi Interaktivna ploča (modernim metodama trening) prikazao je djeci prezentaciju povijesti “nastanka metode” malog Gaussa.
Učiteljica je bičevala malog Karla ( zastarjela metoda, danas se ne koristi u školama) zbog činjenice da
umjesto uzastopnog zbrajanja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbroj primijetio da parovi brojeva jednako udaljenih od rubova aritmetičke progresije zbrajaju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Nakon što je prebrojao takve parove, mali Gauss je gotovo odmah riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je i pogubljen pred zaprepaštenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni od razmišljanja.
Što je učinio mali Gauss? razvijena smisao broja? Primjećeno neka značajka niz brojeva s konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim znanstvenikom, oni koji znaju primijetiti, imajući osjećaj, instinkt razumijevanja.
Zato je matematika vrijedna, razvojna sposobnost da se vidi općenito posebno - apstraktno mišljenje. Stoga većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...
“Onda morate učiti matematiku, jer vam ona dovodi um u red.
M.V.Lomonosov".
Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali šipkama pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj nadređeni rekao prije 35 godina: "Pitanje je naučeno." Ili kao što je moj najmlađi sin jučer rekao o Gaussovoj metodi: "Možda ne vrijedi od ovoga raditi veliku znanost, ha?"
Posljedice kreativnosti "znanstvenika" vidljive su na razini struje školska matematika, razina njezinog podučavanja i razumijevanja “Kraljice znanosti” od strane većine.
Ipak, nastavimo...
Metode objašnjavanja Gaussove metode u 5. razredu škole
Profesor matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplicirao je zadatak.
Što ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.
Problem koji je zadao učenicima petog razreda:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Prije nego što se upoznamo s gimnazijskom metodom, bacimo pogled na internet: kako to rade profesori i profesori matematike?..
Gaussova metoda: objašnjenje br.1
Poznati učitelj na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:
"Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:
prvo niz brojeva od 1 do 50, a strogo ispod njega drugi niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Napominjemo: zbroj svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg retka je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, to je 50 i pomnožimo zbroj jednog para s brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"
“Ako niste mogli razumjeti, nemojte se uzrujavati!”, ponovio je učitelj tri puta tijekom objašnjavanja. "Ovu ćeš metodu pohađati u 9. razredu!"
Gaussova metoda: objašnjenje br. 2
Drugi učitelj, manje poznat (sudeći po broju pregleda) koristi više znanstveni pristup, nudeći algoritam rješenja koji se sastoji od 5 točaka koje se moraju ispuniti uzastopno.
Za neupućene, 5 je jedan od Fibonaccijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek više znanstvena od metode od 6 koraka, na primjer. ...I to nije slučajno, najvjerojatnije je autor skriveni pristaša Fibonaccijeve teorije
Dana aritmetička progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritam za pronalaženje zbroja brojeva u nizu Gaussovom metodom:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
U isto vrijeme, morate zapamtiti plus jedno pravilo : dobivenom kvocijentu moramo dodati jedan: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od stvarnog broja parova: 42 + 1 = 43.
To je traženi zbroj aritmetičke progresije od 4 do 256 s razlikom 6!
Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije
Evo kako riješiti problem traženja zbroja niza:
20+40+60+ ... +460+480+500
u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).
Nakon prikazane prezentacije, profesorica matematike pokazala je nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dala razredu zadatak pronaći zbroj brojeva u nizu u prirastu od 20.
Ovo je zahtijevalo sljedeće:
Kao što vidite, ovo je kompaktnije i učinkovita tehnika: broj 3 je također član Fibonaccijevog niza
Moji komentari na školsku verziju Gaussove metode
Veliki matematičar definitivno bi odabrao filozofiju da je predvidio u što će njegovu “metodu” pretvoriti njegovi sljedbenici profesor njemačkog jezika, koji je Karla šibao šipkama. On bi vidio simbolizam, dijalektičku spiralu i beskrajnu glupost “učitelja”, pokušavajući izmjeriti sklad žive matematičke misli s algebrom nesporazuma ....
Usput: jeste li znali. da je naš obrazovni sustav ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. stoljeća?
Ali Gauss je odabrao matematiku.
Što je bit njegove metode?
U pojednostavljenje. U promatranje i shvaćanje jednostavni obrasci brojeva. U pretvarajući suhoparnu školsku aritmetiku u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokira skupu mentalnu aktivnost.
Je li moguće upotrijebiti jednu od danih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje zbroja brojeva aritmetičke progresije gotovo odmah? Prema “algoritmima”, mali Karl bi zajamčeno izbjegao batine, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne porive u korijenu.
Zašto je mentor tako uporno savjetovao petaše da se “ne boje pogrešnog razumijevanja” metode, uvjeravajući ih da će “takve” probleme rješavati već u 9. razredu? Psihički nepismeni postupak. Bio je to dobar potez za primijetiti: "Vidimo se već u 5 razredu možeš riješi probleme koje ćeš riješiti tek za 4 godine! Kako si ti super momak!”
Za korištenje Gaussove metode dovoljna je razina 3. klase, kada normalna djeca već znaju zbrajati, množiti i dijeliti 2-3 znamenkaste brojeve. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih učitelja koji su „odbačeni“ da objasne najjednostavnije stvari normalnim ljudskim jezikom, o matematičkom da i ne govorimo... Ne mogu zainteresirati ljude za matematiku i potpuno obeshrabruju čak i one koji su „ sposoban.”
Ili, kako je moj sin komentirao: "praviti veliku znanost od toga."
Gaussova metoda, moja objašnjenja
Supruga i ja smo djetetu tu “metodu” objasnili, čini se, još prije škole...
Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora
"Pogledajte, ovdje su brojevi od 1 do 100. Što vidite?"
Poanta nije u tome što točno dijete vidi. Trik je u tome da ga natjerate da pogleda.
"Kako ih možeš sastaviti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju “tek tako” i da na to pitanje treba gledati “nekako drugačije, drugačije nego što on inače čini”
Nema veze ako dijete odmah vidi rješenje, malo je vjerojatno. Važno je da on prestala se bojati pogledati, ili kako ja kažem: „pomaknula zadatak“. Ovo je početak puta do razumijevanja
“Što je lakše: zbrajanje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?” Sugestivno pitanje... Ali svaki trening se svodi na to da osobu “navedemo” do “odgovora” - na bilo koji njemu prihvatljiv način.
U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na izračunima.
Sve što smo učinili bio je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to razumije, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! A sigurno će izbjeći “nerazumijevanje” matematike i neće se prema njoj gaditi. Dobio je pobjedu!
Ako otkriveno dijete da je zbrajanje parova brojeva koji zbrojem daju stotinu, dakle, laka stvar "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - iznenada pronašao život za njega . Red je nastao iz kaosa, a to uvijek izaziva oduševljenje: tako smo stvoreni!
Pitanje za odgovor: zašto bi se dijete nakon dobivenog uvida opet tjeralo u okvire suhoparnih algoritama koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!
Zašto forsirati glupa prepisivanja? redni brojevi u bilježnicu: da ni sposobni nemaju ni jednu priliku razumjeti? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na “statistiku”...
Gdje je nestala nula?
Pa ipak, zbrajanje brojeva koji zbrojem daju 100 razumu je puno prihvatljivije od onih koji zbrojem daju 101...
"Metoda Gaussove škole" zahtijeva upravo ovo: bezumno sklopiti parovi brojeva jednako udaljeni od središta progresije, Unatoč svemu.
Što ako pogledaš?
Ipak, zero je najveći izum čovječanstva, star više od 2000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignoriraju.
Mnogo je lakše transformirati niz brojeva koji počinju s 1 u niz koji počinje s 0. Zbroj se neće promijeniti, zar ne? Morate prestati “razmišljati u udžbenicima” i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu potpuno zamijeniti parovima sa zbrojem 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Kako ukinuti "pravilo plus 1"?
Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...
Što još učiniti kada trebam odrediti broj članova serije?
Gledam slijed:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
a kada ste potpuno umorni, prijeđite na jednostavniji red:
1, 2, 3, 4, 5
i računam: ako oduzmete jedan od 5, dobit ćete 4, ali potpuno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Razvio se osjećaj za brojeve osnovna škola, sugerira: čak i ako postoji cijeli Google članova niza (10 na stotu potenciju), obrazac će ostati isti.
Koja su dovraga pravila?..
Da za par-tri godine ispuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš misliti? Kako zaraditi kruh i maslac? Uostalom, ravnomjernim redovima idemo u eru digitalne ekonomije!
Više o Gaussovoj školskoj metodi: “zašto od ovoga stvarati znanost?..”
Nisam uzalud objavio screenshot iz sinove bilježnice...
"Što se dogodilo u razredu?"
"Pa, odmah sam brojao, podigao ruku, ali nije pitala. Stoga sam, dok su drugi brojali, počeo raditi zadaću na ruskom da ne gubim vrijeme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me pred ploču. Rekao sam odgovor."
“Tako je, pokaži mi kako si to riješio”, rekao je učitelj. pokazao sam. Rekla je: "Pogrešno, morate računati kako sam pokazala!"
"Dobro da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da u njihovu bilježnicu upišem "tijek rješenja" na njihov način. Zašto od ovoga praviti veliku znanost?.."
Glavni zločin profesora matematike
Jedva poslije taj incident Carl Gauss je osjećao veliko poštovanje prema svom školskom učitelju matematike. Ali kad bi znao kako sljedbenici tog učitelja iskrivit će samu bit metode...urlao bi od indignacije i kroz svjetska organizacija intelektualno vlasništvo WIPO je postigao zabranu korištenja svog dobrog imena u školskim udžbenicima!..
U čemu glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih profesora matematike nad djecom?
Algoritam nesporazuma
Što rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna misliti?
Oni stvaraju metode i algoritme (vidi). Ovaj obrambena reakcija koja štiti učitelje od kritike („Sve se radi po...“), a djecu od razumijevanja. A time – od želje za kritikom učitelja!(Druga izvedenica birokratske “mudrosti”, znanstveni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, nego glupost školskog sustava.
Događa se i to: roditelji krive svoju djecu, a učitelji... čine isto za djecu koja “ne razumiju matematiku!”
jesi pametan
Što je učinio mali Karl?
Potpuno nekonvencionalan pristup formularnom zadatku. Ovo je bit Njegovog pristupa. Ovaj glavna stvar koju treba učiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, tu je i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i učinkovite metode računi.
Gaussova metoda prema Vilenkinu
U školi uče da je Gaussova metoda da
Što, ako je broj elemenata niza neparan, kao u problemu koji je dodijeljen mom sinu?..
"Kvaka" je u tome što u ovom slučaju trebali biste pronaći "dodatni" broj u seriji i dodajte ga zbroju parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.
Kako otkriti? Prepisivanje svih parova brojeva u bilježnicu!(Zbog toga je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući poučavati "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktički neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gaussova metoda.)
Malo kreativnosti u školskoj rutini...
Sin je postupio drugačije.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nije teško, zar ne?
Ali u praksi je to još lakše, što vam omogućuje da izdvojite 2-3 minute za daljinsko očitavanje na ruskom, dok se ostatak "broji". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dopušta kritiziranje pristupa kao neznanstvenog.
Očito je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... profesorica ne samo da nije pohvalila, nego me i natjerala da to prepišem “na ispravan način” (vidi sliku). Odnosno, očajnički je pokušala ugušiti kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno da bi je kasnije zaposlili kao učiteljicu... Napala je krivu osobu...
Sve ovo što sam tako dugo i zamorno opisivao može se normalnom djetetu objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.
I to tako da to nikada neće zaboraviti.
I bit će korak ka razumijevanju...ne samo matematičari.
Priznajte: koliko ste puta u životu zbrajali Gaussovom metodom? I nikad nisam!
Ali instinkt razumijevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu proučavanja matematičkih metoda u školi... Oh!.. Ovo je doista nezamjenjiva stvar!
Pogotovo u doba sveopće digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim vodstvom Partije i Vlade.
Nekoliko riječi u obranu učitelja...
Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati isključivo na učitelje. Sustav je na snazi.
Neki učitelji razumiju apsurdnost onoga što se događa, ali što učiniti? Zakon o obrazovanju, Savezni državni obrazovni standardi, metode, tehnološke karte lekcije... Sve se mora raditi “u skladu i na temelju” i sve mora biti dokumentirano. Korak u stranu - stao u red za otkaz. Ne budimo licemjeri: plaće moskovskih učitelja su jako dobre... Ako vas otpuste, kamo otići?..
Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, samo mogući način izaći iz gomile generacija Z ...
Definicija i opis Gaussove metode
Metoda Gaussove transformacije (također poznata kao sekvencijalna eliminacija nepoznatih varijabli iz jednadžbe ili matrice) metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi je klasična metoda za rješavanje sustava algebarske jednadžbe(SLAU). Ova klasična metoda također se koristi za rješavanje problema kao što su dobivanje inverznih matrica i određivanje ranga matrice.
Transformacija pomoću Gaussove metode sastoji se od malih (elementarnih) sekvencijalnih promjena u sustavu linearnih algebarskih jednadžbi, što dovodi do eliminacije varijabli iz njega od vrha do dna uz formiranje novog trokutastog sustava jednadžbi koji je ekvivalentan izvornom jedan.
Definicija 1
Ovaj dio rješenja naziva se naprijed Gaussovo rješenje, jer se cijeli proces odvija odozgo prema dolje.
Nakon svođenja izvornog sustava jednadžbi na trokutasti, sve varijable sustava se pronalaze odozdo prema gore (odnosno, prve pronađene varijable nalaze se upravo na posljednjim linijama sustava ili matrice). Ovaj dio rješenja je također poznat kao inverz Gaussovog rješenja. Njegov algoritam je sljedeći: prvo se izračunavaju varijable koje su najbliže dnu sustava jednadžbi ili matrice, zatim se dobivene vrijednosti zamjenjuju višim i tako se pronalazi druga varijabla, i tako dalje.
Opis algoritma Gaussove metode
Redoslijed radnji za opće rješenje sustava jednadžbi korištenjem Gaussove metode sastoji se u naizmjeničnoj primjeni poteza naprijed i natrag na matricu temeljenu na SLAE. Neka početni sustav jednadžbi ima sljedeći oblik:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$
Za rješavanje SLAE Gaussovom metodom potrebno je originalni sustav jednadžbi napisati u obliku matrice:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matrica $A$ naziva se glavna matrica i predstavlja koeficijente redom napisanih varijabli, a $b$ se naziva stupac njezinih slobodnih članova. Matrica $A$, zapisana kroz traku sa stupcem slobodnih članova, naziva se proširena matrica:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Sada je potrebno pomoću elementarnih transformacija na sustavu jednadžbi (ili na matrici, budući da je to prikladnije) dovesti do sljedećeg oblika:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)
Matrica dobivena iz koeficijenata transformiranog sustava jednadžbi (1) naziva se matrica koraka; ovako matrice koraka obično izgledaju:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
Ove matrice karakteriziraju sljedeći skup svojstava:
- Sve njegove nulte linije dolaze nakon ne-nul linija
- Ako je neki redak matrice s brojem $k$ različit od nule, tada prethodni red iste matrice ima manje nula nego ovaj s brojem $k$.
Nakon dobivanja matrice koraka, potrebno je supstituirati dobivene varijable u preostale jednadžbe (počevši od kraja) i dobiti preostale vrijednosti varijabli.
Osnovna pravila i dopuštene transformacije pri korištenju Gaussove metode
Kada pojednostavljujete matricu ili sustav jednadžbi ovom metodom, trebate koristiti samo elementarne transformacije.
Takve se transformacije smatraju operacijama koje se mogu primijeniti na matricu ili sustav jednadžbi bez promjene njihova značenja:
- preuređivanje nekoliko redaka,
- dodavanje ili oduzimanje od jednog reda matrice drugog reda iz nje,
- množenje ili dijeljenje niza konstantom koja nije jednaka nuli,
- linija koja se sastoji samo od nula, dobivena u procesu izračuna i pojednostavljenja sustava, mora se izbrisati,
- Također morate ukloniti nepotrebne proporcionalne linije, odabirom za sustav jedine s koeficijentima koji su prikladniji i praktičniji za daljnje izračune.
Sve elementarne transformacije su reverzibilne.
Analiza tri glavna slučaja koji se javljaju pri rješavanju linearnih jednadžbi metodom jednostavnih Gaussovih transformacija
Postoje tri slučaja koji se pojavljuju kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sustava:
- Kada je sustav nekonzistentan, odnosno nema rješenja
- Sustav jednadžbi ima rješenje, i to jedinstveno, a broj redaka i stupaca koji nisu nula u matrici je međusobno jednak.
- Sustav ima određeni broj ili skup mogućih rješenja, a broj redaka u njemu manji je od broja stupaca.
Ishod rješenja s nekonzistentnim sustavom
Za ovu opciju, pri rješavanju matrične jednadžbe Gaussovom metodom, tipično je dobiti neki pravac s nemogućnošću ispunjenja jednakosti. Dakle, ako se pojavi barem jedna netočna jednakost, rezultirajući i izvorni sustavi nemaju rješenja, bez obzira na ostale jednadžbe koje sadrže. Primjer nedosljedne matrice:
$\begin(niz)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(niz)$
U posljednjem retku pojavila se nemoguća jednakost: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje
Ovi sustavi, nakon reduciranja na matricu koraka i uklanjanja redaka s nulama, imaju isti broj redaka i stupaca u glavnoj matrici. Ovdje najjednostavniji primjer takav sustav:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$
Zapišimo to u obliku matrice:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
Da bismo prvu ćeliju drugog retka doveli na nulu, pomnožimo gornji red s $-2$ i oduzmemo ga od donjeg retka matrice, a gornji red ostavimo u izvornom obliku, kao rezultat imamo sljedeće :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Ovaj primjer se može napisati kao sustav:
$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$
Donja jednadžba daje sljedeću vrijednost za $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Zamijenite ovu vrijednost u gornju jednadžbu: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dobivamo $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Sustav s mnogo mogućih rješenja
Ovaj sustav karakterizira manji broj značajnih redaka od broja stupaca u njemu (uzimaju se u obzir redovi glavne matrice).
Varijable u takvom sustavu podijeljene su u dvije vrste: osnovne i slobodne. Prilikom transformacije takvog sustava, glavne varijable sadržane u njemu moraju se ostaviti u lijevom području do znaka "=", a preostale varijable moraju se prenijeti u desna strana jednakost.
Takav sustav ima samo određeno opće rješenje.
Analizirajmo sljedeći sustav jednadžbi:
$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$
Zapišimo to u obliku matrice:
$\begin(niz)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(niz)$
Naš zadatak je pronaći opće rješenje sustava. Za ovu matricu, bazne varijable će biti $y_1$ i $y_3$ (za $y_1$ - budući da je prva, au slučaju $y_3$ - nalazi se nakon nula).
Kao bazne varijable biramo upravo one koje su prve u nizu i nisu jednake nuli.
Ostale varijable nazivamo slobodnima, kroz njih trebamo izraziti osnovne.
Koristeći takozvani obrnuti potez, analiziramo sustav odozdo prema gore; da bismo to učinili, prvo izrazimo $y_3$ iz donjeg retka sustava:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Sada zamijenimo izraženi $y_3$ u gornju jednadžbu sustava $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
$y_1$ izražavamo u terminima slobodnih varijabli $y_2$ i $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Rješenje je spremno.
Primjer 1
Riješite slough Gaussovom metodom. Primjeri. Primjer rješavanja sustava linearnih jednadžbi zadanih matricom 3 puta 3 korištenjem Gaussove metode
$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$
Napišimo naš sustav u obliku proširene matrice:
$\begin(niz)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(niz)$
Sada, radi praktičnosti i praktičnosti, trebate transformirati matricu tako da $1$ bude u gornjem kutu najudaljenijeg stupca.
Da biste to učinili, prvom retku morate dodati redak iz sredine, pomnožen s $-1$, i napisati samu srednju liniju kakva jest, ispada:
$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(niz)$
$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(niz) $
Pomnožite gornji i zadnji redak s $-1$, a također zamijenite zadnji i srednji redak:
$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(niz)$
$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(niz)$
I podijelite zadnji red sa $3$:
$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(niz)$
Dobivamo sljedeći sustav jednadžbi, ekvivalentan izvornom:
$\početak(slučajevi) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \kraj(slučajevi)$
Iz gornje jednadžbe izražavamo $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Primjer 2
Primjer rješavanja sustava definiranog pomoću matrice 4 x 4 pomoću Gaussove metode
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.
Na početku zamijenimo gornje retke koji slijede da bismo dobili $1$ u gornjem lijevom kutu:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.
Sada pomnožite gornji red s $-2$ i dodajte 2. i 3. redu. Na 4. dodajemo 1. redak, pomnožen sa $-3$:
$\begin(niz)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(niz)$
Sada retku broj 3 dodajemo redak 2 pomnožen s $4$, a retku 4 dodajemo redak 2 pomnožen s $-1$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(niz)$
Redak 2 pomnožimo s $-1$, redak 4 podijelimo s $3$ i zamijenimo redak 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(niz)$
Sada u zadnji red dodajemo pretposljednji, pomnožen sa $-5$.
$\begin(niz)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(niz)$
Rješavamo dobiveni sustav jednadžbi:
$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$
