Lekcija i prezentacija na teme: "Prirodni logaritmi. Baza prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"
Što je prirodni logaritam
Dečki, u prošloj lekciji naučili smo novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi s ovim brojem.Učili smo logaritme i znamo da baza logaritma može biti mnogo brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo također pogledati logaritam čija je baza broj e. Takav se logaritam obično naziva prirodnim logaritmom. Ima svoju notaciju: $\ln(n)$ je prirodni logaritam. Ovaj unos je ekvivalentan unosu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na ravnu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije s obzirom na ravnu liniju $y=x$.
Važno je napomenuti da je kut nagiba tangente na graf funkcije $y=e^x$ u točki (0;1) 45°. Tada će kut nagiba tangente na graf prirodnog logaritma u točki (1;0) također biti jednak 45°. Obje ove tangente bit će paralelne s pravcem $y=x$. Nacrtajmo dijagram tangenti: 
Svojstva funkcije $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se kroz cijelu domenu definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Najveća vrijednost Ne, najniža vrijednost Ne.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno prema gore.
9. Svugdje se može razlikovati.
U tečaju više matematike dokazano je da derivacija inverzne funkcije je inverz derivacije zadane funkcije.
Ne treba se upuštati u dokazivanje ima puno smisla, napišimo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Primjer.
Izračunajte vrijednost derivacije funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u točki $x=4$.
Riješenje.
U opći pogled naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$, možemo izračunati derivacije takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.
Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u točki $h=e$.
Riješenje.
Dobro se sjećamo jednadžbe tangente na graf funkcije u točki $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sekvencijalno izračunavamo potrebne vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Jednadžba tangente u točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangentu. 
Primjer.
Ispitajte funkciju na monotonost i ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riješenje.
Područje definiranja funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađimo izvod zadane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivacija postoji za sve x iz domene definicije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $h=-1$ ne pripada domeni definicije. Tada imamo jednu stacionarnu točku $x=1$. Nađimo intervale povećanja i opadanja: 
Točka $x=1$ je minimalna točka, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija opada na segmentu (0;1], funkcija raste na zraki $ 2 .
Anglo-američki sustav
Matematičari, statističari i neki inženjeri obično koriste za označavanje prirodni logaritam ili "log( x)" ili "ln( x)", a za označavanje logaritma s bazom 10 - "log 10 ( x)».
Neki inženjeri, biolozi i drugi stručnjaci uvijek pišu "ln( x)" (ili povremeno "log e ( x)") kada znače prirodni logaritam, a zapis "log( x)" znače log 10 ( x).
log e je "prirodni" logaritam jer se javlja automatski i vrlo često se pojavljuje u matematici. Na primjer, razmotrite problem derivacije logaritamska funkcija:
Ako je baza b jednaki e, tada je izvod jednostavno 1/ x, i kada x= 1 ova derivacija je jednaka 1. Još jedan razlog zašto baza e Najprirodnija stvar u vezi s logaritmom je da se može definirati vrlo jednostavno u smislu jednostavnog integrala ili Taylorovog niza, što se ne može reći za druge logaritme.
Daljnja opravdanja za prirodnost nisu vezana uz notni zapis. Na primjer, postoji nekoliko jednostavnih serija s prirodnim logaritmima. Zvali su ih Pietro Mengoli i Nicholas Mercator logaritam prirodni nekoliko desetljeća dok Newton i Leibniz nisu razvili diferencijalni i integralni račun.
Definicija
Formalno ln( a) može se definirati kao površina ispod krivulje grafikona 1/ x od 1 do a, tj. kao integral:
Ovo je doista logaritam jer zadovoljava temeljno svojstvo logaritam:
To se može pokazati pretpostavkom kako slijedi:
Numerička vrijednost
Za izračun brojčana vrijednost prirodnog logaritma broja, možete koristiti njegovo širenje u Taylorov niz u obliku:
Dobiti bolja brzina konvergencije, možemo koristiti sljedeći identitet:
Za ln( x), Gdje x> 1 nego bliža vrijednost x na 1, dakle veća brzina konvergencija. Identiteti povezani s logaritmom mogu se koristiti za postizanje cilja:
Ove su metode korištene i prije pojave kalkulatora, za koje su korištene numeričke tablice i izvršene manipulacije slične gore opisanima.
Visoka točnost
Za izračunavanje prirodnog logaritma s velikim brojem preciznih znamenki, Taylorov niz nije učinkovit jer je njegova konvergencija spora. Alternativa je korištenje Newtonove metode za invertiranje u eksponencijalnu funkciju čiji niz konvergira brže.
Alternativa za vrlo visoku točnost izračuna je formula:
Gdje M označava aritmetičko-geometrijski prosjek od 1 i 4/s, i
m izabran tako da str postignute su oznake točnosti. (U većini slučajeva dovoljna je vrijednost 8 za m.) Zapravo, ako se koristi ova metoda, Newtonov obrnuti prirodni logaritam može se primijeniti za učinkovito izračunavanje eksponencijalne funkcije. (Konstante ln 2 i pi mogu se unaprijed izračunati do željene točnosti korištenjem bilo kojeg poznatog brzo konvergentnog niza.)
Kompjuterska složenost
Kompjuterska složenost prirodnih logaritama (upotrebom aritmetičko-geometrijske sredine) je O( M(n)ln n). Ovdje n je broj znamenki preciznosti za koje se mora izračunati prirodni logaritam, i M(n) je računska složenost množenja dva n- znamenkasti brojevi.
Nastavljeni razlomci
Iako ne postoje jednostavni nastavljeni razlomci koji bi predstavljali logaritam, može se koristiti nekoliko generaliziranih nastavljenih razlomaka, uključujući:
Složeni logaritmi
Eksponencijalna funkcija može se proširiti na funkciju koja daje kompleksni broj oblika e x za bilo koji proizvoljan kompleksan broj x, u ovom slučaju beskonačni niz s kompleksom x. Ova eksponencijalna funkcija može se obrnuti kako bi se formirao složeni logaritam, koji će imati većinu svojstava običnih logaritama. Postoje, međutim, dvije poteškoće: nema x, za koji e x= 0, i ispada da je e 2πi = 1 = e 0 . Budući da svojstvo multiplikativnosti vrijedi za složenu eksponencijalnu funkciju, onda e z = e z+2nπi za sve složene z i cijeli n.
Logaritam se ne može definirati preko cijele kompleksne ravnine, pa čak i u tom slučaju je višeznačan - bilo koji kompleksni logaritam može se zamijeniti "ekvivalentnim" logaritmom dodavanjem bilo kojeg cijelog višekratnika od 2 πi. Kompleksni logaritam može imati samo jednu vrijednost na presjeku kompleksne ravnine. Na primjer, ln ja = 1/2 πi ili 5/2 πi ili −3/2 πi, itd., i iako ja 4 = 1,4 log ja može se definirati kao 2 πi, ili 10 πi ili −6 πi, i tako dalje.
vidi također
- John Napier - izumitelj logaritama
Bilješke
- Matematika za fizičku kemiju. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Isječak stranice 9
- JJO"Connor i EF Robertson Broj e. Arhiva MacTutorove povijesti matematike (rujan 2001.). Arhivirano iz originala 12. veljače 2012.
- Cajori Florian Povijest matematike, 5. izdanje. - Knjižara AMS, 1991. - Str. 152. -
Logaritam dati broj naziva se eksponent na koji se mora podignuti neki drugi broj, tzv osnova logaritam da dobijemo ovaj broj. Na primjer, logaritam baze 10 od 100 je 2. Drugim riječima, 10 se mora kvadrirati da bi se dobilo 100 (10 2 = 100). Ako n– određeni broj, b– baza i l– logaritam, dakle b l = n. Broj n također se naziva bazni antilogaritam b brojevima l. Na primjer, antilogaritam od 2 na bazu 10 jednak je 100. To se može napisati u obliku logaritma odnosa b n = l i antilog b l = n.
Osnovna svojstva logaritama:
Svaki pozitivan broj osim jedan može poslužiti kao baza za logaritme, ali nažalost ispada da ako b I n su racionalni brojevi, onda u rijetkim slučajevima postoji takav racionalan broj l, Što b l = n. Međutim, moguće je definirati iracionalan broj l, na primjer, tako da je 10 l= 2; ovo je iracionalan broj l može se aproksimirati s bilo kojom potrebnom točnošću racionalni brojevi. Pokazuje se da u navedenom primjeru l približno je jednako 0,3010, a ova aproksimacija logaritma s bazom 10 od 2 može se pronaći u četveroznamenkastim tablicama decimalni logaritmi. Logaritmi baze 10 (ili logaritmi baze 10) toliko se često koriste u izračunima da se nazivaju obični logaritmi i zapisani kao log2 = 0,3010 ili log2 = 0,3010, izostavljajući eksplicitnu indikaciju baze logaritma. Logaritmi prema bazi e, transcendentni broj približno jednak 2,71828, nazivaju se prirodni logaritmi. Nalaze se uglavnom u radovima o matematičkoj analizi i njezinoj primjeni razne znanosti. Prirodni logaritmi se također pišu bez eksplicitnog označavanja baze, ali koristeći posebnu oznaku ln: na primjer, ln2 = 0,6931, jer e 0,6931 = 2.
Korištenje tablica običnih logaritama.
Pravilni logaritam broja je eksponent na koji se mora podići 10 da bi se dobio zadani broj. Kako je 10 0 = 1, 10 1 = 10 i 10 2 = 100, odmah dobivamo da je log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 itd. za rastuće cjelobrojne potencije 10. Isto tako, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 i prema tome log0,1 = –1, log0,01 = –2, itd. za sve negativne cijele potencije 10. Uobičajeni logaritmi preostalih brojeva zatvoreni su između logaritama najbližih cijelih potencija od 10; log2 mora biti između 0 i 1, log20 mora biti između 1 i 2, a log0.2 mora biti između -1 i 0. Dakle, logaritam se sastoji od dva dijela, cijelog broja i decimal, okružen između 0 i 1. Cjelobrojni dio se zove karakteristika logaritam i određuje se samim brojem, razlomački dio se zove kazaljka a mogu se pronaći iz tablica. Također, log20 = log(2g̀10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritam od 2 je 0,3010, pa je log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Slično, log0,2 = log(2o10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Nakon oduzimanja dobivamo log0,2 = – 0,6990. Međutim, praktičnije je predstaviti log0,2 kao 0,3010 – 1 ili kao 9,3010 – 10; može se formulirati i opće pravilo: svi brojevi dobiveni iz zadanog broja množenjem potencijom broja 10 imaju istu mantisu, jednaku mantisi zadanog broja. Većina tablica prikazuje mantise brojeva u rasponu od 1 do 10, budući da se mantise svih ostalih brojeva mogu dobiti iz onih danih u tablici.
Većina tablica daje logaritme s četiri ili pet decimala, iako postoje tablice sa sedam znamenki i tablice s još više decimala. Najlakši način da naučite kako koristiti takve tablice je na primjerima. Da bismo pronašli log3.59, prije svega, uočimo da je broj 3.59 između 10 0 i 10 1, pa je njegova karakteristika 0. U tablici nalazimo broj 35 (lijevo) i krećemo se duž retka do stupac koji ima broj 9 na vrhu; sjecište ovog stupca i retka 35 je 5551, pa je log3,59 = 0,5551. Pronaći mantisu broja s četiri značajne figure, potrebno je pribjeći interpolaciji. U nekim tablicama, interpolacija je olakšana omjerima danim u zadnjih devet stupaca na desnoj strani svake stranice tablice. Pronađimo sada log736.4; broj 736.4 nalazi se između 10 2 i 10 3, stoga je karakteristika njegovog logaritma 2. U tablici nalazimo redak lijevo od kojeg je 73 i stupac 6. Na sjecištu ovog retka i ovog stupca nalazi se broj 8669. Među linearnim dijelovima nalazimo stupac 4. Na sjecištu retka 73 i stupca 4 nalazi se broj 2. Dodavanjem 2 na 8669 dobivamo mantisu - jednaka je 8671. Dakle, log736.4 = 2.8671.
Prirodni logaritmi.
Tablice i svojstva prirodnih logaritama slični su tablicama i svojstvima običnih logaritama. Glavna razlika između oba je u tome što cjelobrojni dio prirodnog logaritma nije značajan u određivanju položaja decimalne točke, pa stoga razlika između mantise i karakteristike ne igra posebnu ulogu. Prirodni logaritmi brojeva 5,432; 54,32 i 543,2 jednako su 1,6923; 3,9949 i 6,2975. Odnos između ovih logaritama postat će očit ako uzmemo u obzir razlike između njih: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; posljednji broj nije ništa više od prirodnog logaritma broja 10 (napisano ovako: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; posljednji broj je 2ln10. Ali 543,2 = 10g54,32 = 10 2g5,432. Dakle, prirodnim logaritmom danog broja a možete pronaći prirodne logaritme brojeva jednake umnošcima broja a za bilo koju diplomu n brojevi 10 ako do ln a dodajte ln10 pomnoženo s n, tj. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Na primjer, ln0,005432 = ln(5,432g̀10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3g̀2,3026) = – 5,2155. Stoga tablice prirodnih logaritama, kao i tablice običnih logaritama, obično sadrže samo logaritme brojeva od 1 do 10. U sustavu prirodnih logaritama može se govoriti o antilogaritmima, ali se češće govori o eksponencijalnoj funkciji ili eksponentu. Ako x= log g, To g = e x, I g naziva eksponent od x(radi tipografske pogodnosti često pišu g= eksp x). Eksponent ima ulogu antilogaritma broja x.
Koristeći tablice decimalnih i prirodnih logaritama, možete izraditi tablice logaritama u bilo kojoj bazi osim 10 i e. Ako log b a = x, To b x = a, a time i log c b x=log c a ili x log c b=log c a, ili x=log c a/log c b=log b a. Stoga, koristeći ovu formulu inverzije iz tablice osnovnog logaritma c možete napraviti tablice logaritama u bilo kojoj drugoj bazi b. Množitelj 1/log c b nazvao prijelazni modul iz baze c do baze b. Ništa ne sprječava, na primjer, korištenje formule inverzije ili prijelaz iz jednog sustava logaritama u drugi, pronalaženje prirodnih logaritama iz tablice običnih logaritama ili pravljenje obrnutog prijelaza. Na primjer, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923g0,4343 = 0,7350. Broj 0,4343, kojim treba pomnožiti prirodni logaritam određenog broja da bi se dobio obični logaritam, je modul prijelaza u sustav običnih logaritama.
Posebne tablice.
Logaritmi su izvorno izmišljeni tako da se pomoću njihovih svojstava log ab=log a+ log b i log a/b=log a–log b, pretvaraju umnoške u zbrojeve, a količnike u razlike. Drugim riječima, ako log a i log b poznati, tada pomoću zbrajanja i oduzimanja možemo lako pronaći logaritam umnoška i kvocijenta. U astronomiji je, međutim, često zadane vrijednosti log a i log b treba pronaći dnevnik( a + b) ili log( a – b). Naravno, prvo se može pronaći iz tablica logaritama a I b, zatim izvršite naznačeno zbrajanje ili oduzimanje i opet pozivajući se na tablice pronađite tražene logaritme, ali bi takav postupak zahtijevao tri puta pozivanje na tablice. Z. Leonelli 1802. godine objavio je tablice tzv. Gaussovi logaritmi– logaritmi za zbrajanje zbrojeva i razlika – što je omogućilo ograničiti se na jedan pristup tablicama.
Godine 1624. I. Kepler je predložio tablice proporcionalnih logaritama, t j . logaritmi brojeva a/x, Gdje a– neke pozitivne konstantno. Ove tablice prvenstveno koriste astronomi i navigatori.
Proporcionalni logaritmi pri a= 1 nazivaju se kologaritmi a koriste se u izračunima kada treba raditi s umnošcima i kvocijentima. Kologaritam broja n jednak logaritmu recipročni broj; oni. colog n= log1/ n= – log n. Ako je log2 = 0,3010, tada je colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Prednost korištenja kologaritama je u tome što pri izračunavanju vrijednosti logaritma izraza poput pq/r trostruki zbroj pozitivnih decimala log str+ log q+kolog r je lakše pronaći nego mješoviti dnevnik zbroja i razlike str+ log q–log r.
Priča.
Načelo na kojem se temelji bilo koji sustav logaritama poznato je jako dugo i može se pratiti sve do drevne babilonske matematike (oko 2000. pr. Kr.). U to se vrijeme interpolacija između tabličnih vrijednosti pozitivnih cijelih potencija cijelih brojeva koristila za izračunavanje složenih kamata. Mnogo kasnije, Arhimed (287. – 212. pr. Kr.) upotrijebio je potencije od 108 kako bi pronašao gornju granicu broja zrnaca pijeska potrebnih da se potpuno ispuni tada poznati Svemir. Arhimed je skrenuo pozornost na svojstvo eksponenata koje je u osnovi učinkovitosti logaritama: umnožak potencija odgovara zbroju eksponenata. Krajem srednjeg vijeka i početkom modernog doba matematičari su se sve više počeli okretati odnosu između geometrijskih i aritmetičkih progresija. M. Stiefel u svom eseju Aritmetika cijelog broja(1544) dao je tablicu pozitivnih i negativnih snaga broja 2:
Stiefel je primijetio da je zbroj dva broja u prvom redu (red eksponenta) jednak eksponentu dva koji odgovara umnošku dvaju odgovarajućih brojeva u donjem redu (red eksponenta). U vezi s ovom tablicom Stiefel je formulirao četiri pravila koja su ekvivalentna četirima modernim pravilima za operacije s eksponentima ili četirima pravilima za operacije s logaritmima: zbroj u gornjem retku odgovara umnošku na donjem retku; oduzimanje u gornjoj liniji odgovara dijeljenju u donjoj liniji; množenje u gornjoj liniji odgovara potenciranju u donjoj liniji; podjela na gornjoj liniji odgovara ukorjenjivanju na donjoj liniji.
Očigledno su pravila slična Stiefelovim pravilima navela J. Napera da formalno uvede prvi sustav logaritama u svom radu Opis nevjerojatne tablice logaritama, objavljen 1614. Ali Napierove misli bile su zaokupljene problemom pretvaranja umnožaka u zbrojeve otkad je, više od deset godina prije objavljivanja njegova rada, Napier primio vijest iz Danske da na zvjezdarnici Tycho Brahe njegovi pomoćnici imaju metodu koja omogućuje moguće je umnoške pretvoriti u zbrojeve. Metoda spomenuta u poruci koju je Napier primio temeljila se na upotrebi trigonometrijske formule tip
stoga su se Naperove tablice sastojale uglavnom od logaritama trigonometrijske funkcije. Iako pojam baze nije izričito uključen u definiciju koju je predložio Napier, ulogu ekvivalentnu bazi sustava logaritama u njegovom sustavu imao je broj (1 – 10 –7)g10 7, približno jednak 1/ e.
Neovisno o Naperu i gotovo istodobno s njim, J. Bürgi u Pragu izumio je i objavio sustav logaritama, vrlo sličan po vrsti, objavljen 1620. Tablice aritmetičke i geometrijske progresije. To su bile tablice antilogaritama prema bazi (1 + 10 –4) ´10 4, prilično dobra aproksimacija broja e.
U Naperovom sustavu logaritam broja 10 7 uzet je kao nula, a kako su se brojevi smanjivali, logaritmi su rasli. Kad je G. Briggs (1561. – 1631.) posjetio Napier, obojica su se složila da bi bilo prikladnije koristiti broj 10 kao bazu, a logaritam od jedan smatrati nulom. Zatim, kako su brojevi rasli, njihovi logaritmi bi se povećavali. Tako smo dobili moderni sustav decimalnih logaritama čiju je tablicu Briggs objavio u svom djelu Logaritamska aritmetika(1620). Logaritmi prema bazi e, iako ne baš one koje je uveo Naper, često se nazivaju Naperovim. Termine "karakteristika" i "mantisa" predložio je Briggs.
Prvi logaritmi su iz povijesnih razloga koristili aproksimacije brojeva 1/ e I e. Nešto kasnije, ideja o prirodnim logaritmima počela se povezivati s proučavanjem područja pod hiperbolom xy= 1 (slika 1). U 17. stoljeću pokazalo se da područje omeđeno ovom krivuljom, os x i ordinate x= 1 i x = a(na slici 1 ovo je područje prekriveno debljim i rijetkim točkicama) povećava se aritmetička progresija, Kada a povećava u geometrijska progresija. Upravo se ta ovisnost javlja u pravilima za rad s eksponentima i logaritmima. To je dovelo do toga da se Naperianovi logaritmi nazovu "hiperboličnim logaritmima".
Logaritamska funkcija.
Postojalo je vrijeme kada su se logaritmi smatrali isključivo sredstvom izračuna, ali u 18. stoljeću, uglavnom zahvaljujući radu Eulera, formiran je koncept logaritamske funkcije. Graf takve funkcije g= log x, čije ordinate rastu u aritmetičkoj progresiji, dok apscise rastu u geometrijskoj progresiji, prikazan je na sl. 2, A. Graf inverzne ili eksponencijalne funkcije y = e x, čije se ordinate povećavaju u geometrijskoj progresiji, a čije apscise rastu u aritmetičkoj progresiji, prikazano je redom na sl. 2, b. (Krivulje g=log x I g = 10x oblikom sličan krivuljama g= log x I g = e x.) Također su predložene alternativne definicije logaritamske funkcije, npr.
kpi; a slično su i prirodni logaritmi broja -1 kompleksni brojevi vrste (2 k + 1)pi, Gdje k– cijeli broj. Slične izjave vrijede za opće logaritme ili druge sustave logaritama. Dodatno, definicija logaritama može se generalizirati korištenjem Eulerovih identiteta kako bi se uključili kompleksni logaritmi kompleksnih brojeva.
Alternativnu definiciju logaritamske funkcije daje funkcionalna analiza. Ako f(x) – kontinuirana funkcija realnog broja x, koji ima sljedeća tri svojstva: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), To f(x) definiran je kao logaritam broja x na temelju b. Ova definicija ima brojne prednosti u odnosu na definiciju danu na početku ovog članka.
Prijave.
Logaritmi su se izvorno koristili isključivo za pojednostavljenje izračuna, a ova im je primjena još uvijek jedna od najvažnijih. Izračunavanje umnožaka, kvocijenata, potencija i korijena olakšano je ne samo širokom dostupnošću objavljenih tablica logaritama, već i korištenjem tzv. klizač - računalni alat čiji se princip rada temelji na svojstvima logaritama. Ravnalo je opremljeno logaritamskim mjerilima, tj. udaljenost od broja 1 do bilo kojeg broja x izabran da bude jednak log x; Pomicanjem jedne ljestvice u odnosu na drugu moguće je crtati zbrojeve ili razlike logaritama, što omogućuje direktno očitavanje umnožaka ili kvocijenata odgovarajućih brojeva s ljestvice. Također možete iskoristiti prednosti predstavljanja brojeva u logaritamskom obliku. logaritamski papir za crtanje grafikona (papir s otisnutim logaritamskim mjerilima na obje koordinatne osi). Ako funkcija zadovoljava potencijski zakon oblika y = kxn, tada njegov logaritamski grafikon izgleda kao ravna linija, jer log g=log k + n log x– jednadžba linearna u odnosu na log g i log x. Naprotiv, ako logaritamski graf neke funkcionalne ovisnosti izgleda kao ravna linija, tada je ta ovisnost potencna. Polu-log papir (gdje os y ima logaritamsku ljestvicu, a os x ima jednoliku ljestvicu) koristan je kada trebate identificirati eksponencijalne funkcije. Jednadžbe oblika y = kb rx nastaju kad god se količina, kao što je populacija, količina radioaktivnog materijala ili bankovni saldo, smanjuje ili povećava po stopi proporcionalnoj dostupnoj ovaj trenutak broj stanovnika, radioaktivna tvar ili novac. Ako se takva ovisnost iscrta na polulogaritamskom papiru, graf će izgledati kao ravna crta.
Logaritamska funkcija nastaje u vezi s velikim brojem prirodnih oblika. Cvjetovi u cvatovima suncokreta raspoređeni su u logaritamske spirale, ljušture mekušaca su uvijene Nautilus, rogove planinske ovce i kljunove papiga. Svi ovi prirodni oblici mogu poslužiti kao primjeri krivulje poznate kao logaritamska spirala jer je u polarnom koordinatnom sustavu njezina jednadžba r = ae bq, ili ln r= log a + bq. Takvu krivulju opisuje pomična točka čija se udaljenost od pola povećava u geometrijskoj progresiji, a kut opisan njezinim radijus vektorom raste u aritmetičkoj progresiji. Sveprisutnost takve krivulje, a time i logaritamske funkcije, dobro je ilustrirana činjenicom da se pojavljuje u tako udaljenim i potpuno različitim područjima kao što su kontura ekscentričnog brijega i putanja nekih insekata koji lete prema svjetlu.
