U školski tečaj U stereometriji, jedna od najjednostavnijih figura, koja ima dimenzije različite od nule duž tri prostorne osi, je četverokutna prizma. Razmotrimo u članku kakva je to figura, od kojih se elemenata sastoji, kao i kako možete izračunati njegovu površinu i volumen.

Pojam prizme

U geometriji, prizma je prostorni lik kojeg tvore dvije identične baze i bočne plohe koje spajaju stranice tih baza. Imajte na umu da se obje baze prenose jedna na drugu operacijom paralelnog prijenosa na određeni vektor. Ova definicija prizme dovodi do činjenice da su sve njezine stranice uvijek paralelogrami.

Broj strana baze može biti proizvoljan, počevši od tri. Kako ovaj broj teži beskonačnosti, prizma se glatko pretvara u cilindar, budući da njezina baza postaje krug, a bočni paralelogrami, spajajući se, tvore cilindričnu površinu.

Kao i svaki poliedar, prizmu karakteriziraju stranice (ravnine koje ograničavaju lik), bridovi (odsječci po kojima se sijeku bilo koje dvije stranice) i vrhovi (sjecišta triju stranica, od kojih su za prizmu dvije bočne, a treća je uporište). Količine tri navedena elementa figure međusobno su povezane sljedećim izrazom:

Ovdje su P, C i B broj bridova, stranica i vrhova. Ovaj izraz je matematički prikaz Eulerovog teorema.

Gore je slika koja prikazuje dvije prizme. U osnovici jedne od njih (A) leži pravilan šesterokut, a bočne stranice okomite su na baze. Slika B prikazuje drugu prizmu. Njegove stranice više nisu okomite na baze, a baza jest pravilan peterokut.

četverokutan?

Kao što je jasno iz gornjeg opisa, tip prizme prvenstveno je određen vrstom poligona koji čini bazu (obje baze su iste, tako da možemo govoriti o jednoj od njih). Ako je taj poligon paralelogram, tada dobivamo četverokutnu prizmu. Dakle, sve stranice ovoga su paralelogrami. Četverokutna prizma ima svoje ime - paralelopiped.

Broj stranica paralelopipeda je šest, pri čemu svaka stranica ima sebi sličan paralelepiped. Budući da su osnovice paralelepipeda dvije stranice, preostale četiri su bočne.

Broj vrhova paralelopipeda je osam, što je lako vidjeti ako se prisjetimo da vrhovi prizme nastaju samo u vrhovima baznih poligona (4x2=8). Primjenom Eulerovog teorema dobivamo broj bridova:

P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12

Od 12 rebara, samo su 4 neovisno oblikovana bočnim stranama. Preostalih 8 leži u ravninama baza figure.

Vrste paralelopipeda

Prva vrsta klasifikacije leži u karakteristikama paralelograma koji leži u bazi. Može izgledati ovako:

• obični, čiji kutovi nisu jednaki 90 o;
• pravokutnik;
• kvadrat je pravilan četverokut.

Druga vrsta klasifikacije je kut pod kojim stranica siječe bazu. Ovdje su moguća dva različita slučaja:

• ovaj kut nije pravi, tada se prizma naziva kosom ili nagnutom;
• kut je 90 o, onda je takva prizma pravokutna ili jednostavno ravna.

Treća vrsta klasifikacije povezana je s visinom prizme. Ako je prizma pravokutna i ima kvadrat ili pravokutnik u svojoj osnovi, onda se zove kvadar. Ako je u osnovi kvadrat, prizma je pravokutna, a njena visina jednaka duljini stranice kvadrata, tada dobivamo dobro poznatu figuru kocke.

Površina i površina prizme

Skup svih točaka koje leže na dvjema bazama prizme (paralelogramima) i na njezinim stranicama (četiri paralelograma) čini plohu lika. Površina ove površine može se izračunati izračunavanjem površine baze i ove vrijednosti za bočnu površinu. Tada će njihov zbroj dati željenu vrijednost. Matematički se to piše ovako:

Ovdje su S o i S b površina baze, odnosno bočne površine. Broj 2 ispred S o pojavljuje se jer postoje dvije baze.

Imajte na umu da napisana formula vrijedi za bilo koju prizmu, a ne samo za područje četverokutne prizme.

Korisno je podsjetiti da se površina paralelograma S p izračunava po formuli:

Pri čemu simboli a i h označavaju duljinu jedne od njegovih stranica odnosno visinu povučenu na tu stranu.

Površina pravokutne prizme s kvadratnom bazom

Baza je kvadrat. Radi određenosti, označimo njegovu stranu slovom a. Da biste izračunali površinu pravilne četverokutne prizme, morate znati njegovu visinu. Prema definiciji za ovu vrijednost, ona je jednaka duljini okomice spuštene s jedne baze na drugu, odnosno jednaka je udaljenosti između njih. Označimo ga slovom h. Budući da su sve bočne strane okomite na baze za vrstu prizme koja se razmatra, visina pravilne četverokutne prizme bit će jednaka duljini njezinog bočnog ruba.

Opća formula za površinu prizme ima dva člana. Područje baze u ovom slučaju je lako izračunati, jednako je:

Da bismo izračunali površinu bočne površine, razmišljamo na sljedeći način: ovu površinu čine 4 identična pravokutnika. Štoviše, stranice svake od njih jednake su a i h. To znači da će površina S b biti jednaka:

Primijetite da je umnožak 4*a opseg kvadratne baze. Ako ovaj izraz generaliziramo na slučaj proizvoljne baze, onda za pravokutnu prizmu bočna površina može se izračunati ovako:

Gdje je P o opseg baze.

Vraćajući se na problem izračunavanja površine pravilne četverokutne prizme, možemo napisati konačnu formulu:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Površina kosog paralelopipeda

Nešto je teže izračunati nego za pravokutni. U ovom slučaju, površina baze četverokutne prizme izračunava se pomoću iste formule kao i za paralelogram. Promjene se odnose na metodu određivanja bočne površine.

Da biste to učinili, upotrijebite istu formulu kroz perimetar kao što je navedeno u gornjem odlomku. Samo što će sada imati malo drugačije množitelje. Opća formula za S b u slučaju kose prizme ima oblik:

Ovdje je c duljina bočnog ruba figure. Vrijednost P sr je opseg pravokutnog reza. Ova okolina je konstruirana na sljedeći način: potrebno je presjeći sve bočne plohe ravninom tako da bude okomita na sve njih. Dobiveni pravokutnik bit će željena kriška.

Gornja slika prikazuje primjer kosog paralelopipeda. Njegov osjenčani dio sa stranicama tvori prave kutove. Opseg odsječka je P sr. Tvore ga četiri visine bočnih paralelograma. Za ovu četverokutnu prizmu, bočna površina se izračunava pomoću gornje formule.

Duljina dijagonale pravokutnog paralelopipeda

Dijagonala paralelopipeda je isječak koji spaja dva vrha koji nemaju zajedničke stranice koje ih tvore. Svaka četverokutna prizma ima samo četiri dijagonale. Za pravokutni paralelopiped s pravokutnikom u osnovi, duljine svih dijagonala su međusobno jednake.

Donja slika prikazuje odgovarajuću sliku. Crveni segment je njegova dijagonala.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Ovdje je D duljina dijagonale. Preostali simboli su duljine stranica paralelopipeda.

Mnogi ljudi brkaju dijagonalu paralelopipeda s dijagonalama njegovih stranica. Ispod je crtež na kojem su dijagonale strana figure prikazane u segmentima u boji.

Duljina svake od njih također je određena Pitagorinim poučkom i jednaka je korijen iz zbroja kvadrata odgovarajućih duljina stranica.

Volumen prizme

Osim površine pravilne četverokutne prizme ili drugih vrsta prizmi, za rješavanje nekih geometrijski problemi treba znati i njihov volumen. Ova vrijednost za apsolutno svaku prizmu izračunava se pomoću sljedeću formulu:

Ako je prizma pravokutna, tada je dovoljno izračunati površinu njezine baze i pomnožiti je s duljinom bočnog ruba kako bi se dobio volumen figure.

Ako je prizma pravilnog četverokuta, tada će njezin volumen biti jednak:

Lako je vidjeti da se ova formula pretvara u izraz za volumen kocke ako je duljina bočnog brida h jednaka stranici baze a.

Problem s pravokutnim paralelopipedom

Da bismo učvrstili proučavano gradivo, riješit ćemo sljedeći zadatak: postoji pravokutni paralelopiped čije su stranice 3 cm, 4 cm i 5 cm, potrebno je izračunati njegovu površinu, duljinu dijagonale i volumen.

S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2

Da biste odredili duljinu dijagonale i volumen figure, možete izravno koristiti gornje izraze:

D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm;

V = 3*4*5 = 60 cm3.

Problem kosog paralelopipeda

Donja slika prikazuje kosu prizmu. Njegove strane su jednake: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm. Potrebno je pronaći površinu ove figure.

Prvo, odredimo područje baze. Iz slike je jasno da oštar kut jednako 50 o. Tada je njegova površina jednaka:

S o = h*a = sin(50 o)*b*a

Da biste odredili bočnu površinu, pronađite opseg osjenčanog pravokutnika. Stranice ovog pravokutnika su a*sin(45 o) i b*sin(60 o). Tada je opseg tog pravokutnika:

P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))

Ukupna površina ovog paralelopipeda je:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Podatke iz uvjeta zadatka zamijenimo za duljine stranica figure i dobijemo odgovor:

Iz rješenja ovog problema jasno je da se trigonometrijske funkcije koriste za određivanje površina kosih likova.

Uz pomoć ove video lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme." Tijekom lekcije, učitelj će govoriti o tome što je to geometrijske figure, poput poliedra i prizme, dati će odgovarajuće definicije i objasniti njihovu bit u konkretni primjeri.

Uz pomoć ove lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme."

Definicija. Površina sastavljena od poligona i ograničava neke geometrijsko tijelo, nazvat ćemo ga poliedarska ploha ili poliedar.

Razmotrite sljedeće primjere poliedara:

1. Tetraedar ABCD je ploha sastavljena od četiri trokuta: ABC, A.D.B., BDC I ADC(Sl. 1).

Riža. 1

2. Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je ploha sastavljena od šest paralelograma (slika 2).

Riža. 2

Glavni elementi poliedra su površine, bridovi i vrhovi.

Lica su poligoni koji čine poliedar.

Rubovi su strane lica.

Vrhovi su krajevi bridova.

Razmotrimo tetraedar ABCD(Sl. 1). Naznačimo njegove glavne elemente.

Rubovi: trokuti ABC, ADB, BDC, ADC.

Rebra: AB, AC, BC, DC, OGLAS, BD.

Vrhovi: A, B, C, D.

Razmotrimo paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 2).

Rubovi: paralelogrami AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Rebra: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Vrhovi: A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

Važan poseban slučaj poliedra je prizma.

ABCA 1 U 1 SA 1(slika 3).

Riža. 3

Jednaki trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 nalazi se u paralelne ravnineα i β tako da rubovi AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

To je ABCA 1 U 1 SA 1- trokutasta prizma ako:

1) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 su jednaki.

2) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Rebra AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

ABC I A 1 B 1 C 1- baza prizme.

AA 1, BB 1, SS 1- bočna rebra prizme.

Ako iz proizvoljne točke H 1 jedna ravnina (npr. β) spušta okomicu NN 1 na ravninu α, tada se ta okomica naziva visina prizme.

Definicija. Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se prizma naziva ravnom, inače se naziva nagnutom.

Razmotrimo trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 4). Ova prizma je ravna. To jest, njegova bočna rebra su okomita na baze.

Na primjer, rebro AA 1 okomito na ravninu ABC. Rub AA 1 je visina ove prizme.

Riža. 4

Imajte na umu da bočno lice AA 1 B 1 B okomito na baze ABC I A 1 B 1 C 1, budući da prolazi kroz okomicu AA 1 do baza.

Sada razmotrite nagnutu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 5). Ovdje bočni rub nije okomit na ravninu baze. Ako se izostavi iz točke A 1 okomito A 1 N na ABC, tada će ta okomica biti visina prizme. Imajte na umu da segment AN je projekcija segmenta AA 1 do aviona ABC.

Zatim kut između pravca AA 1 i avion ABC je kut između ravne linije AA 1 i nju AN projekcija na ravninu, odnosno kut A 1 AN.

Riža. 5

Razmotrimo četverokutnu prizmu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 6). Da vidimo kako će ispasti.

1) Četverokut ABCD jednak četverokutu A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 smještena tako da su bočna rebra paralelna, tj. AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definicija. Dijagonala prizme je isječak koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi.

Na primjer, AC 1- dijagonala četverokutne prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definicija. Ako bočni rub AA 1 okomito na ravninu baze, onda se takva prizma zove pravac.

Riža. 6

Poseban slučaj četverokutne prizme je nama poznati paralelopiped. Paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prikazano na sl. 7.

Pogledajmo kako to radi:

1) Temelji leže jednake figure. U ovom slučaju - jednaki paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 leže u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 raspoređeni na takav način da su bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Riža. 7

Od točke A 1 ispustimo okomicu AN do aviona ABC. Segment linije A 1 N je visina.

Pogledajmo kako je strukturirana heksagonalna prizma (slika 8).

1) Baza sadrži jednake šesterokute A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Ravnine šesterokuta A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralelne, odnosno baze leže u paralelnim ravninama: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Šesterokuti A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 raspoređeni tako da su sva bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riža. 8

Definicija. Ako je bilo koji bočni brid okomit na ravninu baze, tada se takva šesterokutna prizma naziva ravnom.

Definicija. Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti.

Razmotrimo pravilnu trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1.

Riža. 9

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- pravilan, to znači da baze sadrže pravilne trokute, odnosno da su sve stranice tih trokuta jednake. Također, ova prizma je ravna. To znači da je bočni rub okomit na ravninu baze. To znači da su sve bočne strane jednaki pravokutnici.

Dakle, ako je trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- je točno, tada:

1) Bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno to je visina: AA 1 ⊥ ABC.

2) Osnovica je pravilan trokut: ∆ ABC- točno.

Definicija. Površina puna površina Prizma je zbroj površina svih njezinih stranica. Određeni S puna.

Definicija. Bočna površina je zbroj površina svih bočnih stranica. Određeni S strana.

Prizma ima dvije baze. Tada je ukupna površina prizme:

S puni = S bočni + 2S glavni.

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

Dokaz ćemo provesti na primjeru trokutaste prizme.

S obzirom: ABCA 1 U 1 SA 1- ravna prizma, tj. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Dokazati: S strana = P glavna ∙ h.

Riža. 10

Dokaz.

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- ravno, to znači AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - pravokutnici.

Nađimo površinu bočne površine kao zbroj površina pravokutnika AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S strana = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P glavni ∙ h.

Dobivamo S strana = P glavni ∙ h, Q.E.D.

Upoznali smo se s poliedrima, prizmama i njihovim varijantama. Dokazali smo teorem o bočnoj plohi prizme. U sljedećoj lekciji ćemo rješavati probleme prizme.

1. Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike obrazovne ustanove(osnovne i profilne razine) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za općeobrazovne obrazovne ustanove/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s produbljenim i specijalističkim studijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str. :il.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Stara škola ().
4. WikiHow().

1. Koliki je najmanji broj stranica koje prizma može imati? Koliko vrhova i bridova ima takva prizma?
2. Postoji li prizma koja ima točno 100 rubova?
3. Bočno rebro je nagnuto prema ravnini baze pod kutom od 60°. Odredi visinu prizme ako je bočni brid 6 cm.
4. U pravilnoj trokutastoj prizmi svi bridovi su jednaki. Površina njegove bočne površine je 27 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Prizma je geometrijska trodimenzionalna figura čije se karakteristike i svojstva proučavaju u srednjim školama. U pravilu se pri proučavanju uzimaju u obzir količine poput volumena i površine. U ovom ćemo članku raspravljati o malo drugačijem pitanju: predstavit ćemo metodu za određivanje duljine dijagonala prizme na primjeru četverokutne figure.

Koji oblik nazivamo prizmom?

U geometriji je dana sljedeća definicija prizme: to je trodimenzionalni lik omeđen dvjema mnogokutnim identičnim stranicama koje su međusobno paralelne i određenim brojem paralelograma. Donja slika prikazuje primjer prizme koja odgovara ovu definiciju.

Vidimo da su dva crvena peterokuta međusobno jednaka i da se nalaze u dvije paralelne ravnine. Pet ružičastih paralelograma povezuje te peterokute u čvrsti objekt - prizmu. Dva peterokuta nazivaju se bazama figure, a njegovi paralelogrami su bočne strane.

Prizme mogu biti ravne ili kose, a nazivaju se i pravokutne ili kose. Razlika između njih leži u kutovima između baze i bočnih rubova. Za pravokutnu prizmu svi su ti kutovi jednaki 90o.

Na temelju broja stranica ili vrhova mnogokuta u podnožju govore o trokutnim, peterokutnim, četverokutnim prizmama i tako dalje. Štoviše, ako je ovaj poligon pravilan, a sama prizma ravna, tada se takva figura naziva pravilnom.

Prizma prikazana na prethodnoj slici je peterokutna nagnuta. Ispod je peterokutna prava prizma, koja je pravilna.

Prikladno je izvršiti sve izračune, uključujući metodu za određivanje dijagonala prizme, posebno za ispravne brojke.

Koji elementi karakteriziraju prizmu?

Elementi figure su komponente koje je tvore. Konkretno za prizmu, mogu se razlikovati tri glavne vrste elemenata:

• vrhovi;
• rubovi ili strane;
• rebra

Licima se smatraju baze i bočne ravnine koje predstavljaju paralelograme u opći slučaj. U prizmi, svaka stranica je uvijek jedna od dvije vrste: ili je poligon ili paralelogram.

Rubovi prizme su oni segmenti koji ograničavaju svaku stranu figure. Kao i lica, rubovi također postoje u dvije vrste: oni koji pripadaju bazi i bočnoj površini ili oni koji pripadaju samo bočnoj površini. Prvih je uvijek dvostruko više nego drugih, bez obzira na vrstu prizme.

Vrhovi su sjecišta triju bridova prizme, od kojih dva leže u ravnini baze, a treći pripada dvjema bočnim stranama. Svi vrhovi prizme su u ravninama baza lika.

Brojevi opisanih elemenata povezani su u jednu jednakost koja ima sljedeći oblik:

P = B + C - 2.

Ovdje je P broj bridova, B - vrhova, C - stranica. Ova se jednakost naziva Eulerov teorem za poliedar.

Slika prikazuje trokutastu pravilnu prizmu. Svatko može računati da ima 6 vrhova, 5 stranica i 9 bridova. Ove brojke su u skladu s Eulerovim teoremom.

Dijagonale prizme

Nakon svojstava poput volumena i površine, u geometrijskim problemima često se susrećemo s podatkom o duljini pojedine dijagonale dotičnog lika, koji je ili zadan ili ga je potrebno pronaći pomoću drugih poznatih parametara. Razmotrimo koje dijagonale ima prizma.

Sve dijagonale mogu se podijeliti u dvije vrste:

1. Leži u ravnini lica. Oni povezuju nesusjedne vrhove bilo mnogokuta na bazi prizme ili paralelograma na bočnoj površini. Vrijednost duljina takvih dijagonala određuje se na temelju poznavanja duljina odgovarajućih bridova i kutova između njih. Za određivanje dijagonala paralelograma uvijek se koriste svojstva trokuta.
2. Prizme leže unutar volumena. Te dijagonale povezuju različite vrhove dviju baza. Ove dijagonale su potpuno unutar figure. Njihove duljine je nešto teže izračunati nego za prethodni tip. Metoda izračuna uključuje uzimanje u obzir duljina rebara i baze, te paralelograma. Za ravne i pravilne prizme izračun je relativno jednostavan jer se provodi korištenjem Pitagorinog poučka i svojstava trigonometrijskih funkcija.

Dijagonale stranica četverokutne pravilne prizme

Na gornjoj slici prikazane su četiri identične ravne prizme, a dani su i parametri njihovih bridova. Na prizmama dijagonale A, dijagonale B i dijagonale C isprekidana crvena linija prikazuje dijagonale triju različitih lica. Budući da je prizma ravna crta visine 5 cm, a da joj je osnovica pravokutnik sa stranicama 3 cm i 2 cm, nije teško pronaći označene dijagonale. Da biste to učinili, morate koristiti Pitagorin teorem.

Duljina dijagonale baze prizme (dijagonala A) jednaka je:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Za bočnu plohu prizme, dijagonala je jednaka (vidi dijagonalu B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Konačno, duljina druge bočne dijagonale je (vidi dijagonalu C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Duljina unutarnje dijagonale

Izračunajmo sada duljinu dijagonale četverokutne prizme, koja je prikazana na prethodnoj slici (Dijagonala D). To nije tako teško učiniti ako primijetite da je to hipotenuza trokuta u kojem će katete biti visina prizme (5 cm) i dijagonala D A prikazana na slici gore lijevo (dijagonala A). Tada dobivamo:

D D = √(DA 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Pravilna četverokutna prizma

Dijagonala pravilne prizme, čija je baza kvadrat, izračunava se na isti način kao u gornjem primjeru. Odgovarajuća formula je:

D = √(2*a 2 +c 2).

Gdje su a i c duljine stranice baze odnosno bočnog ruba.

Imajte na umu da smo u izračunima koristili samo Pitagorin teorem. Za određivanje duljina dijagonala pravilnih prizmi s veliki broj vrhova (pentagonalnih, heksagonalnih itd.) već je potrebno primijeniti trigonometrijske funkcije.