Pojavljuje se podjela. U ovom članku ćemo govoriti o podjela obični razlomci . Prvo ćemo dati pravilo za dijeljenje običnih razlomaka i pogledati primjere dijeljenja razlomaka. Zatim ćemo se usredotočiti na dijeljenje običnog razlomka s prirodni broj a brojeve u razlomke. Na kraju, pogledajmo kako podijeliti obični razlomak mješovitim brojem.

Navigacija po stranici.

Dijeljenje običnog razlomka običnim razlomkom

Poznato je da je dijeljenje radnja obratna od množenja (vidi vezu između dijeljenja i množenja). To jest, dijeljenje uključuje pronalaženje nepoznatog faktora kada su umnožak i drugi faktor poznati. Isto značenje dijeljenja zadržava se i kod dijeljenja običnih razlomaka.

Pogledajmo primjere dijeljenja običnih razlomaka.

Imajte na umu da ne smijemo zaboraviti na smanjivanje razlomaka i odvajanje cijelog dijela od nepravog razlomka.

Dijeljenje razlomka prirodnim brojem

Odmah ćemo ga dati pravilo dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste razlomak a/b podijelili prirodnim brojem n, potrebno je ostaviti brojnik isti, a nazivnik pomnožiti s n, tj.

Ovo pravilo dijeljenja izravno slijedi iz pravila dijeljenja običnih razlomaka. Doista, predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dovodi do sljedećih jednakosti .

Pogledajmo primjer dijeljenja razlomka brojem.

Primjer.

Razlomak 16/45 podijelimo s prirodnim brojem 12.

Riješenje.

Prema pravilu dijeljenja razlomka brojem imamo . Napravimo kraticu: . Ova je podjela završena.

Odgovor:

.

Dijeljenje prirodnog broja razlomkom

Pravilo za dijeljenje razlomaka je slično pravilo dijeljenja prirodnog broja razlomkom: da biste prirodni broj n podijelili običnim razlomkom a/b, trebate broj n pomnožiti recipročnom vrijednošću razlomka a/b.

Prema navedenom pravilu, , a pravilo za množenje prirodnog broja običnim razlomkom dopušta da se prepiše u obliku .

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Prirodni broj 25 podijelite s razlomkom 15/28.

Riješenje.

Prijeđimo s dijeljenja na množenje, imamo . Nakon smanjivanja i odabira cijelog dijela, dobivamo .

Odgovor:

.

Dijeljenje razlomka mješovitim brojem

Dijeljenje razlomka mješovitim brojem lako se svodi na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je izvršiti

S razlomcima možete učiniti sve, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje dijeljenje običnih razlomaka. Dat će se definicije i raspravljati o primjerima. Osvrnimo se detaljno na dijeljenje razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razgovarat će se o dijeljenju običnog razlomka mješovitim brojem.

Dijeljenje razlomaka

Dijeljenje je obrnuto množenju. Pri dijeljenju se nepoznati faktor nalazi na poznato djelo i drugi faktor, gdje je njegovo dano značenje sačuvano s običnim razlomcima.

Ako je potrebno podijeliti obični razlomak a b sa c d, tada za određivanje takvog broja trebate pomnožiti s djeliteljem c d, što će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i napišimo ga a b · d c, gdje je d c inverz c d broja. Jednakosti se mogu napisati pomoću svojstava množenja, naime: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, gdje je izraz a b · d c kvocijent dijeljenja a b sa c d.

Odavde dobivamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da biste podijelili obični razlomak a b s c d, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Zapišimo pravilo u obliku izraza: a b: c d = a b · d c

Pravila dijeljenja svode se na množenje. Da biste ga se držali, morate dobro razumjeti množenje razlomaka.

Prijeđimo na razmatranje dijeljenja običnih razlomaka.

Primjer 1

Podijelite 9 7 sa 5 3. Rezultat zapiši kao razlomak.

Riješenje

Broj 5 3 je recipročni razlomak 3 5. Potrebno je koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz zapisujemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kod sažimanja razlomaka odvojite cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijeli 8 15: 24 65. Napiši odgovor kao razlomak.

Riješenje

Da biste riješili, morate prijeći s dijeljenja na množenje. Zapišimo to u ovom obliku: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je izvršiti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Odaberite cijeli dio i dobijete 13 9 = 1 4 9.

Odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo se pravilom dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste a b podijelili prirodnim brojem n, trebate samo nazivnik pomnožiti s n. Odavde dobivamo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo dijeljenja je posljedica pravila množenja. Stoga će predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dati jednakost ovog tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmotrite ovu podjelu razlomka brojem.

Primjer 3

Razlomak 16 45 podijelite s brojem 12.

Riješenje

Primijenimo pravilo dijeljenja razlomka brojem. Dobivamo izraz oblika 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Skratimo razlomak. Dobivamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja razlomkom

Pravilo podjele je slično O pravilo dijeljenja prirodnog broja običnim razlomkom: da bismo prirodni broj n podijelili običnim razlomkom a b, potrebno je broj n pomnožiti recipročnom vrijednošću razlomka a b.

Na temelju pravila imamo n: a b = n · b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobivamo naš izraz u obliku n: a b = n · b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijeli 25 sa 15 28.

Riješenje

Moramo prijeći s dijeljenja na množenje. Zapišimo to u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Skratimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3.

Odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje razlomka mješovitim brojem

Kada obični razlomak dijelite mješovitim brojem, lako možete početi dijeliti obične razlomke. Morate pretvoriti mješoviti broj u nepravi razlomak.

Primjer 5

Razlomak 35 16 podijelite s 3 1 8.

Riješenje

Kako je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravi razlomak. Tada dobivamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sada podijelimo razlomke. Dobivamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i običnih brojeva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste razlomak pomnožili s razlomkom, morate pomnožiti brojnike (to će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim te ne gledaj zajednički nazivnik! Nema potrebe za njim ovdje...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, morate obrnuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:

U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu u dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trokatnici. Imajte na umu na primjer:

U prvom slučaju (izraz lijevo):

U drugom (izraz desno):

Osjećate li razliku? 4 i 1/9!

Što određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovdje) s duljinom vodoravnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:

zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!

I još jedna vrlo jednostavna i važna tehnika. U akcijama sa stupnjevima, bit će vam tako korisno! Podijelimo jedan s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:

Snimak se preokrenuo! A ovo se uvijek događa. Kada dijelite 1 bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.

To je to za operacije s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktične savjete, i bit će ih manje (grešaka)!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Nije uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je krajnja potreba! Izvršite sve izračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao punopravni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati dok radite mentalne izračune.

2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - idite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ne stanu.

4. Višekatnica frakcijski izrazi svesti na obične dijeljenjem kroz dvije točke (paziti na redoslijed dijeljenja!).

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Evo zadataka koje svakako morate izvršiti. Nakon svih zadataka daju se odgovori. Koristite materijale o ovoj temi i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Upamtite - točan odgovor je primljeno iz drugog (pogotovo trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.

Tako, riješiti u ispitnom načinu ! Usput, ovo je već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili - ponovno provjerili od prvog do zadnjeg. Ali samo Zatim pogledajte odgovore.

Izračunati:

Jesi li odlučio?

Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, sretan sam zbog tebe! Osnovni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

) i nazivnik po nazivnik (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego počnete množiti brojnike i nazivnike, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje izračune.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojevima.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvarati mješovite razlomke u neprave razlomke;
• množenje brojnika i nazivnika razlomaka;
• smanjiti frakciju;
• Ako dobijete nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti razlomak.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak s drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate dovesti u oblik nepravi razlomci, a zatim pomnožite prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Možda bi bilo prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višekatni razlomci.

U srednjoj školi često se susreću trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, upotrijebite dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati nekoliko dodatnih redaka u svoj nacrt nego se izgubiti u mentalnim proračunima.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka prijeći na vrstu običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Višerazinske frakcijske izraze pretvaramo u obične koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih cijeli život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno razmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dionice. Udjeli su jednaki dijelovi, u koji je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda cijelim brojem, već treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.

U kontaktu s

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici matematike, nazivali su ih "razbijeni brojevi", što je ljudima bilo vrlo teško razumjeti.

Suvremeni oblik jednostavnih frakcijskih ostataka, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi radovi datiraju iz 1202. godine. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se množe mješoviti razlomci različite nazivnike.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti vrste razlomaka:

• ispravan;
• netočno;
• mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi isti nazivnici. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je razlomački izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika tih razlomaka. To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome formirani broj ispod razlomačke crte bit će umnožak različitih brojeva i, naravno, kvadrat jednog brojčani izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste metode redukcije frakcijskih izraza. Brojeve brojnika možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod crte razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomački brojevi, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, pravilo za ovu radnju može se napisati kao:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova označava taj prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedno rješenje za množenje broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Ova tehnika je korisna za korištenje kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.

Mješovite brojeve pretvorimo u neprave razlomke i dobijemo umnožak na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, a može se također predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim zbrajanjem s brojnikom izvornog ostatka razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces djeluje i u suprotnom smjeru. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak, morate brojnik nepravilnog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom pomoću "kuta".

Množenje nepravih razlomaka proizvedeni na općeprihvaćen način. Kada pišete ispod jedne crte razlomka, trebate smanjiti razlomke koliko je potrebno kako biste smanjili brojeve ovom metodom i olakšali izračun rezultata.

Na internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim varijantama programa. Dovoljan broj takvih usluga nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka različite brojeve u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. Oni su sposobni ne samo razmnožavati, već i proizvoditi sve ostale najjednostavnije aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješoviti brojevi. Nije teško raditi, ispunite odgovarajuća polja na web stranici, odaberete znak matematičke operacije i kliknete na "izračunaj". Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima aktualna je u cijelom obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune dobiveno ranije primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro savladana osnovna znanja daju potpunu sigurnost u uspješnom rješavanju najsloženijih problema.

Zaključno, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.