Glavne metode rješenja trigonometrijske jednadžbe su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (koristeći trigonometrijske formule), uvođenje novih varijabli, faktorizacija. Pogledajmo njihovu upotrebu s primjerima. Obratiti pozornost na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednadžbi.

Neophodan uvjet uspješno rješenje trigonometrijske jednadžbe je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednadžbu

Riješenje:

Odgovor:

2) Pronađite korijene jednadžbe

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.

Riješenje:

Odgovor:

2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Riješenje: Korištenje sin formula 2 x = 1 – cos 2 x, dobivamo

Odgovor:

2) Riješite cos jednadžba 2x = 1 + 4 cosx.

Riješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobivamo

Odgovor:

3) Odlučite tgx jednadžba– 2ctgx + 1 = 0

Riješenje:

Odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači da je cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx. Dobivamo

Odgovor:

2) Riješite jednadžbu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Riješenje:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobivamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i možemo podijeliti jednadžbu s cos 2 x . Dobivamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Jednadžbe oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Odgovor:

5. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem.

1) Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (x) = φ ( x) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je istinita.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

Odgovor: 0.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavaju se u pravilu pomoću formula. Podsjećam vas da su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.

A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.

Za sinus:

Za kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Za tangentu:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Za kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Zapravo, to je to teorijski dio rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Štoviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu jednostavno je izvan tablica. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?

Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Oprezno zapisuje, da se ne dogodi nešto...) Ovo treba srediti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)

Idemo to shvatiti?

Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.

I uvijek će tako ispasti. Za bilo koje A.

Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj A na nešto negativno. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.

Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Spojimo ove dvije serije u jednu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

I to je sve. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.

Ako shvatite da to nije nekakva nadznanstvena mudrost, ali samo skraćena verzija dva niza odgovora, Također ćete moći rješavati zadatke "C". S nejednakostima, s odabiranjem korijena iz zadanog intervala... Tu odgovor s plus/minusom ne funkcionira. Ali ako se prema odgovoru odnosite poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve će biti riješeno.) Zapravo, to je razlog zašto to istražujemo. Što, kako i gdje.

U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi

sinx = a

također dobivamo dva niza korijena. Stalno. A mogu se i ove dvije serije snimiti u jednom redu. Samo će ovaj redak biti složeniji:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno osmislili formulu kako bi napravili jedan umjesto dva unosa za niz korijena. To je sve!

Provjerimo matematičare? I nikad se ne zna...)

U prethodnoj lekciji detaljno je obrađeno rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:

Odgovor je rezultirao s dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Kompletan odgovor bi bio:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz lonely x (i ovo je točan odgovor!) - jesu li to ista stvar ili ne? Sada ćemo saznati.)

Zamjenjujemo u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; 1; 2; itd., brojimo, dobivamo niz korijena:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.

S istom zamjenom u odgovoru sa x 2 , dobivamo:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.

Sada zamijenimo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za jednostruku x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu itd. Pa, naravno, zamijenit ćemo 0 u drugi član; 1; 2 3; 4, itd. I brojimo. Dobijamo seriju:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.

To je sve što možete vidjeti.) Opća formula daje nam potpuno iste rezultate kao što su dva odgovora zasebno. Samo sve odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)

Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nećemo.) Već su jednostavni.

Posebno sam napisao sve ove zamjene i provjere. Ovdje je važno shvatiti jednu stvar jednostavna stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo kratak sažetak odgovora. Radi ove sažetosti, morali smo umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.

Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ova umetanja mogu lako uznemiriti osobu.

Što bih trebao napraviti? Da, ili napiši odgovor u dvije serije, ili riješi jednadžbu/nejednadžbu pomoću trigonometrijske kružnice. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)

Možemo sažeti.

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobri su za trenutno zapisivanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:

sinx = 0,3

Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lako: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Jedan ostao: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

onda već blistaš, ovo... ono... iz lokve.) Točan odgovor: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je ark kosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tako dalje. - odgovor će kroz lukove nedorečen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.

A ako naiđete na nejednakost, npr

onda je odgovor:

x πn, n ∈ Z

postoje rijetke gluposti, da ...) Ovdje morate trigonometrijski krug odlučiti. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.

Za one koji herojski čitaju ove retke. Jednostavno ne mogu ne cijeniti vaš ogromni trud. Bonus za vas.)

Bonus:

Kada zapisuju formule u alarmantnoj borbenoj situaciji, čak i iskusni štreberi često se zbune gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika za vas. U svatko formule vrijedan πn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva peen. Ključna riječ - dva. U ovoj istoj formuli postoje dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.

Pa ako si napisao dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva peen. A događa se i obrnuto. Osoba će propustiti znak ± , dolazi do kraja, piše ispravno dva Pien, i doći će k sebi. Nešto je naprijed dva znak! Osoba će se vratiti na početak i ispraviti grešku! Kao ovo.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Jednom sam svjedočio razgovoru između dva kandidata:

– Kada treba dodati 2πn, a kada πn? Samo se ne mogu sjetiti!

– I ja imam isti problem.

Samo sam im htio reći: "Ne trebate učiti napamet, ali razumite!"

Ovaj je članak prvenstveno namijenjen srednjoškolcima i nadam se da će im pomoći u rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi s “razumijevanjem”:

Brojevni krug

Uz pojam brojevnog pravca postoji i pojam brojčani krug. Kao što znamo, u pravokutnom koordinatnom sustavu kružnica sa središtem u točki (0;0) i radijusom 1 naziva se jedinična kružnica. Zamislimo brojevnu liniju kao tanku nit i namotajmo je oko ovog kruga: ishodište (točka 0), stavimo ga na "pravu" točku jedinični krug, pozitivnu poluos zamotat ćemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnu u smjeru (sl. 1). Takav jedinični krug naziva se numerički krug.

Svojstva brojevnog kruga

• Svaki realni broj leži u jednoj točki brojevne kružnice.
• U svakoj točki brojevnog kruga postoji beskonačno mnogo realnih brojeva. Budući da je duljina jedinične kružnice 2π, razlika između bilo koja dva broja u jednoj točki kružnice jednaka je jednom od brojeva ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Zaključimo: znajući jedan od brojeva točke A, možemo pronaći sve brojeve točke A.

Nacrtajmo promjer AC (sl. 2). Kako je x_0 jedan od brojeva točke A, tada brojevi x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... i samo će oni biti brojevi točke C. Odaberimo jedan od ovih brojeva, recimo x_0+π, i njime zapišimo sve brojeve točke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Imajte na umu da se brojevi u točkama A i C mogu kombinirati u jednu formulu: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobivamo brojeve točke A, a za k = ±1; ±3; ±5; … – brojevi točke C).

Zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od točaka A ili C promjera AC, možemo pronaći sve brojeve u tim točkama.

• Dva suprotna broja nalaze se u točkama kružnice koje su simetrične u odnosu na apscisnu os.

Nacrtajmo okomitu tetivu AB (slika 2). Budući da su točke A i B simetrične u odnosu na os Ox, broj -x_0 nalazi se u točki B i stoga su svi brojevi točke B dani formulom: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Brojeve u točkama A i B zapisujemo jednom formulom: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od točaka A ili B okomite tetive AB, možemo pronaći sve brojeve u tim točkama. Promotrimo vodoravnu tetivu AD i pronađimo brojeve točke D (slika 2). Kako je BD promjer i broj -x_0 pripada točki B, tada je -x_0 + π jedan od brojeva točke D i stoga su svi brojevi te točke dani formulom x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Brojevi u točkama A i D mogu se napisati pomoću jedne formule: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (za k= 0; ±2; ±4; … dobivamo brojeve točke A, a za k = ±1; ±3; ±5; … – brojeve točke D).

Zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od točaka A ili D horizontalne tetive AD, možemo pronaći sve brojeve u tim točkama.

Šesnaest glavnih točaka kruga brojeva

U praksi, rješavanje većine najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi uključuje šesnaest točaka na kružnici (slika 3). Što su ove točkice? Crvene, plave i zelene točke dijele krug na 12 jednake dijelove. Kako je duljina polukružnice π, onda je duljina luka A1A2 π/2, duljina luka A1B1 je π/6, a duljina luka A1C1 je π/3.

Sada možemo označiti jedan po jedan broj:

π/3 na C1 i

Vrhovi narančastog kvadrata su središta lukova svake četvrtine, stoga je duljina luka A1D1 jednaka π/4 i stoga je π/4 jedan od brojeva točke D1. Koristeći svojstva brojevne kružnice, pomoću formula možemo ispisati sve brojeve na svim označenim točkama naše kružnice. Na slici su također označene koordinate tih točaka (izostavit ćemo opis njihovog dobivanja).

Nakon što smo naučili gore navedeno, sada imamo dovoljno pripreme za rješavanje posebnih slučajeva (za devet vrijednosti broja a) najjednostavnije jednadžbe.

Riješite jednadžbe

1)sinx=1⁄(2).

– Što se od nas traži?

– Pronađite sve one brojeve x čiji je sinus jednak 1/2.

Sjetimo se definicije sinusa: sinx – ordinata točke na brojevnoj kružnici na kojoj se nalazi broj x. Imamo dvije točke na kružnici čija je ordinata jednaka 1/2. Ovo su krajevi horizontalne tetive B1B2. To znači da je zahtjev "riješi jednadžbu sinx=1⁄2" ekvivalentan zahtjevu "pronađi sve brojeve u točki B1 i sve brojeve u točki B2."

2)sinx=-√3⁄2 .

Moramo pronaći sve brojeve u točkama C4 i C3.

3) sinx=1. Na kružnici imamo samo jednu točku s ordinatom 1 - točku A2 i stoga trebamo pronaći samo sve brojeve te točke.

Odgovor: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Samo točka A_4 ima ordinatu -1. Svi brojevi ove točke bit će konji jednadžbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na kružnici imamo dvije točke s ordinatom 0 - točke A1 i A3. Možete označiti brojeve u svakoj od točaka zasebno, ali s obzirom da su te točke dijametralno suprotne, bolje ih je kombinirati u jednu formulu: x=πk,k∈Z.

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Sjetimo se definicije kosinusa: cosx je apscisa točke na brojevnoj kružnici na kojoj se nalazi broj x. Na kružnici imamo dvije točke s apscisom √2⁄2 - krajeve horizontalne tetive D1D4. Moramo pronaći sve brojeve na ovim točkama. Zapišimo ih, kombinirajući ih u jednu formulu.

Odgovor: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Moramo pronaći brojeve u točkama C_2 i C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Samo točke A2 i A4 imaju apscisu 0, što znači da će svi brojevi u svakoj od tih točaka biti rješenja jednadžbe.
.

Rješenja jednadžbe sustava su brojevi u točkama B_3 i B_4. Za cosx nejednadžbu<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Imajte na umu da je za bilo koju dopuštenu vrijednost x, drugi faktor pozitivan i, prema tome, jednadžba je ekvivalentna sustavu

Rješenja jednadžbe sustava su broj točaka D_2 i D_3. Brojevi točke D_2 ne zadovoljavaju nejednakost sinx≤0.5, ali brojevi točke D_3 zadovoljavaju.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.