Sustavi jednadžbi naširoko se koriste u ekonomskom sektoru za matematičko modeliranje raznih procesa. Na primjer, pri rješavanju problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili postavljanja opreme.
Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u matematici, već iu fizici, kemiji i biologiji, pri rješavanju problema određivanja veličine populacije.
Sustav linearnih jednadžbi su dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.
Linearna jednadžba
Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao ravna linija čije su sve točke rješenja polinoma.
Vrste sustava linearnih jednadžbi
Najjednostavnijim primjerima smatraju se sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcijske varijable.
Riješite sustav jednadžbi - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sustav pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrijednosti x i y ne postoje.
Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.
Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji, nazivaju se ekvivalentni.
Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav je sustav heterogen.
Broj varijabli može biti puno veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.
Kada se suoče sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti koliko god želite.
Jednostavne i složene metode rješavanja sustava jednadžbi
Ne postoji opća analitička metoda za rješavanje takvih sustava, sve se metode temelje na numeričkim rješenjima. Školski tečaj matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješenje Gaussovom metodom.
Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješavanja je naučiti pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi u kurikulumu općeg obrazovanja za 7. razred vrlo je jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U bilo kojem udžbeniku matematike ovom se dijelu posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gaussa i Cramera detaljnije se proučava na prvim godinama visokog obrazovanja.
Rješavanje sustava metodom supstitucije
Radnje metode supstitucije usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable u smislu druge. Izraz se supstituira u preostalu jednadžbu, zatim se svodi na oblik s jednom varijablom. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu
Dajmo rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:
Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbi sustava umjesto X, pomogao je dobiti jednu varijablu Y u 2. jednadžbi . Rješavanje ovog primjera je jednostavno i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.
Nije uvijek moguće riješiti primjer sustava linearnih jednadžbi supstitucijom. Jednadžbe mogu biti složene i izražavanje varijable u smislu druge nepoznanice bit će preglomazno za daljnje izračune. Kada u sustavu postoji više od 3 nepoznanice, rješavanje supstitucijom također nije prikladno.
Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:
Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja
Prilikom traženja rješenja sustava pomoću metode zbrajanja, jednadžbe se zbrajaju član po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba u jednoj varijabli.
Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom zbrajanja kada postoje 3 ili više varijabli nije jednostavno. Algebarsko zbrajanje prikladno je koristiti kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.
Algoritam rješenja:
- Pomnožite obje strane jednadžbe s određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi postati jednak 1.
- Dobiveni izraz zbrajajte član po član i pronađite jednu od nepoznanica.
- Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.
Metoda rješavanja uvođenjem nove varijable
Nova varijabla može se uvesti ako sustav zahtijeva pronalaženje rješenja za najviše dvije jednadžbe; broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.
Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava za uvedenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.
Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sustava na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminante.
Potrebno je pronaći vrijednost diskriminante pomoću poznate formule: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željena diskriminanta, b, a, c faktori polinoma. U navedenom primjeru a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.
Rješenje za nastale sustave nalazi se metodom adicije.
Vizualna metoda rješavanja sustava
Prikladno za 3 sustava jednadžbi. Metoda se sastoji u konstruiranju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate sjecišta krivulja bit će opće rješenje sustava.
Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.
Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju konstruirane su dvije točke, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Na grafu su označene točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) i spojene linijom.
Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Sjecište pravaca je rješenje sustava.
Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičkog rješenja sustava linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Kao što je vidljivo iz primjera, sustav nema rješenja jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.
Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno konstruirati graf.
Matrica i njezine varijante
Matrice se koriste za sažeto pisanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica je posebna vrsta tablice ispunjene brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.
Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica jednog stupca s beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nula elementima naziva se identitet.
Inverzna matrica je matrica množenjem kojom se izvorna pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.
Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu
U odnosu na sustave jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisani su kao matrični brojevi, jedna jednadžba je jedan red matrice.
Kaže se da je red matrice različit od nule ako barem jedan element retka nije nula. Dakle, ako se u nekoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznanice koja nedostaje.
Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu pisati samo u jednom stupcu, primjerice prvom, koeficijent nepoznate y - samo u drugom.
Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.
Mogućnosti pronalaženja inverzne matrice
Formula za pronalaženje inverzne matrice je vrlo jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica, a |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.
Determinanta se lako izračunava za matricu dva puta dva; samo trebate pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri sa tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se brojevi stupaca i redaka elemenata ne ponavljaju u radu.
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom
Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje vam smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.
U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.
Rješavanje sustava Gaussovom metodom
U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja sustava naziva se Gauss-Cramerova metoda rješenja. Ove se metode koriste za pronalaženje varijabli sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.
Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima supstitucijom i algebarskim zbrajanjem, ali je sustavnija. U školskom kolegiju koristi se rješavanje Gaussovom metodom za sustave od 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je svođenje sustava na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, dok su 3 i 4 s 3, odnosno 4 varijable.
Nakon dovođenja sustava u opisani oblik daljnje rješavanje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.
U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:
Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.
Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će rezultirajući sustav također biti ekvivalentan izvornom.
Gaussova metoda teško je razumljiva srednjoškolcima, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece koja pohađaju napredne programe učenja u nastavi matematike i fizike.
Radi lakšeg bilježenja, izračuni se obično rade na sljedeći način:
Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki redak matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.
Prvo zapišite matricu s kojom ćete raditi, zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se piše nakon znaka "strelica" i nastavljaju se potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.
Rezultat bi trebala biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica je svedena na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvesti izračune s brojevima na obje strane jednadžbe.
Ova metoda snimanja manje je glomazna i omogućuje vam da ne budete ometani nabrajanjem brojnih nepoznanica.
Slobodno korištenje bilo koje metode rješenja zahtijevat će pažnju i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske aktivnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustavom forme
Gdje a ij I b i (ja=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks ja označava broj jednadžbe, a drugi j– broj nepoznanice na kojoj stoji ovaj koeficijent.
Koeficijente za nepoznanice ćemo napisati u obliku matrice 
, koju ćemo nazvati matrica sustava.
Brojevi na desnoj strani jednadžbi su b 1 ,…,b m se zovu besplatni članovi.
Totalitet n brojevima c 1 ,…,c n nazvao odluka danog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.
Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:
Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se spojnica. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, tada se poziva nezglobni.
Razmotrimo načine pronalaženja rješenja za sustav.
MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI
Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:
Razmotrite matricu sustava 
i matrice stupaca nepoznatih i slobodnih članova 
Nađimo posao
oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se pomoću definicije jednakosti matrica ovaj sustav može napisati u obliku
ili kraće A∙X=B.
Ovdje su matrice A I B su poznati, a matrica x nepoznato. Potrebno ga je pronaći, jer... njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.
Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E I E∙X = X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .
Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi poklapa se s brojem nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je iu slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A neće biti kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.
Primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi.
CRAMEROVO PRAVILO
Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:
Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, tj. sastavljen od koeficijenata za nepoznanice,
nazvao odrednica sustava.
Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo uzastopno 1, 2 i 3 stupce u determinanti D sa stupcem slobodnih članova.
Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.
Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada razmatrani sustav ima jedno i samo jedno rješenje, a
Dokaz. Dakle, razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožimo 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba – na A 21 i 3. – na A 31:
Dodajmo ove jednadžbe:
Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Teoremom o proširenju determinante u elemente 1. stupca
Slično, može se pokazati da i .
Konačno, lako je uočiti da 
Tako dobivamo jednakost: .
Stoga, .
Slično se izvode jednakosti i iz čega slijedi tvrdnja teorema.
Dakle, napominjemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan broj rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilan.
Primjeri. Riješite sustav jednadžbi
GAUSSOVA METODA
Prethodno opisane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladnija za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se od dosljednog uklanjanja nepoznanica iz jednadžbi sustava.
Razmotrimo ponovno sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:
.
Prvu jednadžbu ćemo ostaviti nepromijenjenu, a iz 2. i 3. ćemo isključiti članove koji sadrže x 1. Da biste to učinili, podijelite drugu jednadžbu s A 21 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga dodajte 1. jednadžbi. Slično, treću jednadžbu dijelimo s A 31 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga zbrojite s prvim. Kao rezultat, izvorni sustav će imati oblik:
Sada iz posljednje jednadžbe eliminiramo izraz koji sadrži x 2. Da biste to učinili, podijelite treću jednadžbu s, pomnožite s i zbrojite s drugom. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:
Odavde, iz posljednje jednadžbe to je lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x 2 i konačno, od 1. x 1.
Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.
Često se, umjesto da napišu novi sustav jednadžbi, ograniče na ispisivanje proširene matrice sustava:
a zatim ga elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog ili dijagonalnog oblika.
DO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:
- preuređivanje redaka ili stupaca;
- množenje niza s brojem koji nije nula;
- dodavanje drugih redaka jednom retku.
Primjeri: Rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom.
Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.
S n nepoznat je sustav oblika:
Gdje a ij I b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznati brojevi. U označavanju koeficijenata a ij indeks ja određuje broj jednadžbe, a drugi j- broj nepoznanice na kojoj se nalazi ovaj koeficijent.
Homogeni sustav - kada su svi slobodni članovi sustava jednaki nuli ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), situacija je suprotna heterogeni sustav.
Kvadratni sustav - kada je broj m jednadžbe jednake broju n nepoznato.
Sustavno rješenje- ukupnost n brojevima c 1, c 2, …, c n, takva da supstitucija svih c i umjesto x i u sustav pretvara sve svoje jednadžbe u identitete.
Zglobni sustav - kada sustav ima barem 1 rješenje, i nekooperativni sustav kada sustav nema rješenja.
Zglobni sustav ovog tipa (kao što je gore navedeno, neka bude (1)) može imati jedno ili više rješenja.
Rješenja c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) I c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) zglobni sustavi tipa (1) bit će razne, kada ni jedna od jednakosti nije zadovoljena:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
Zglobni sustav tipa (1) bit će određeni kada ima samo jedno rješenje; kada sustav ima najmanje 2 različita rješenja, postaje nedovoljno određen. Kada ima više jednadžbi nego nepoznanica, sustav je redefiniran.
Koeficijenti za nepoznanice zapisani su kao matrica:
To se zove matrica sustava.
Brojevi koji se pojavljuju na desnoj strani jednadžbi su b 1 ,…,b m su besplatni članovi.
Totalitet n brojevima c 1 ,…,c n je rješenje ovog sustava kada sve jednadžbe sustava postanu jednake nakon zamjene brojeva u njima c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.
Prilikom rješavanja sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti 3 opcije:
1. Sustav ima samo jedno rješenje.
2. Sustav ima beskonačan broj rješenja. Na primjer, . Rješenje ovog sustava bit će svi parovi brojeva koji se razlikuju u predznaku.
3. Sustav nema rješenja. Na primjer... ako je rješenje postojalo, onda x 1 + x 2 bila bi jednaka 0 i 1 u isto vrijeme.
Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi.
Izravne metode dati algoritam kojim se pronalazi točno rješenje SLAU(sustavi linearnih algebarskih jednadžbi). A da je točnost bila apsolutna, pronašli bi je. Pravo električno računalo, naravno, radi s greškom, pa će rješenje biti približno.
- Sustavi m linearne jednadžbe sa n nepoznato.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi- ovo je takav skup brojeva ( x 1 , x 2 , …, x n), kada se supstituira u svaku od jednadžbi sustava, dobiva se točna jednakost.
Gdje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— koeficijenti sustava;
b i , i = 1, …, m- besplatni članovi;
x j , j = 1, …, n- nepoznato.
Gornji sustav može se napisati u matričnom obliku: A X = B,
Gdje ( A|B) je glavna matrica sustava;
A— matrica proširenog sustava;
x— kolona nepoznatih;
B— stupac slobodnih članova.
Ako je matrica B nije nulta matrica ∅, onda se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva nehomogenim.
Ako je matrica B= ∅, tada se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva homogenim. Homogen sustav uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Zajednički sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima rješenje.
Nekonzistentni sustav linearnih jednadžbi je nerješiv sustav linearnih jednadžbi.
Određeni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima jedinstveno rješenje.
Neodređeni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi s beskonačnim brojem rješenja. - Sustavi od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica
Ako je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, tada je matrica kvadratna. Determinanta matrice naziva se glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi i označava se simbolom Δ.
Cramer metoda za rješavanje sustava n linearne jednadžbe sa n nepoznato.
Cramerovo pravilo.
Ako glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi nije jednaka nuli, tada je sustav konzistentan i definiran, a jedino rješenje se izračunava pomoću Cramerovih formula:
gdje su Δ i determinante dobivene iz glavne determinante sustava Δ zamjenom ja stupca u stupac slobodnih članova. . - Sustavi od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
Kronecker–Capellijev teorem.
Da bi zadani sustav linearnih jednadžbi bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice sustava, tj. rang(Α) = rang(Α|B).
Ako rang(Α) ≠ rang(Α|B), onda sustav očito nema rješenja.
Ako rang(Α) = rang(Α|B), tada su moguća dva slučaja:
1) rang(Α) = n(broj nepoznanica) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti korištenjem Cramerovih formula;
2) rang (Α)< n - rješenja je beskonačno mnogo. - Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi
Kreirajmo proširenu matricu ( A|B) zadanog sustava iz koeficijenata nepoznanica i desnih strana.
Gaussova metoda ili metoda eliminacije nepoznanica sastoji se od redukcije proširene matrice ( A|B) pomoću elementarnih transformacija preko svojih redova u dijagonalni oblik (u gornji trokutasti oblik). Vraćajući se sustavu jednadžbi, sve nepoznanice su određene.
Elementarne transformacije nizova uključuju sljedeće:
1) zamijenite dva retka;
2) množenje niza brojem koji nije 0;
3) dodavanje drugog niza nizu, pomnoženog proizvoljnim brojem;
4) izbacivanje nulte linije.
Proširena matrica reducirana na dijagonalni oblik odgovara linearnom sustavu ekvivalentnom zadanom, čije rješavanje ne izaziva poteškoće. . - Sustav homogenih linearnih jednadžbi.
Homogeni sustav ima oblik:
to odgovara matričnoj jednadžbi A X = 0.
1) Homogeni sustav je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(A|B), uvijek postoji nulto rješenje (0, 0, …, 0).
2) Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule potrebno je i dovoljno da r = r(A)< n , što je ekvivalentno Δ = 0.
3) Ako r< n , tada je očito Δ = 0, tada nastaju slobodne nepoznanice c 1 , c 2 , …, c n-r, sustav ima netrivijalna rješenja, a ima ih beskonačno mnogo.
4) Opće rješenje x na r< n može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
gdje su rješenja X 1, X 2, …, X n-r tvore temeljni sustav rješenja.
5) Fundamentalni sustav rješenja može se dobiti iz općeg rješenja homogenog sustava:
,
ako sekvencijalno postavimo vrijednosti parametara jednake (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Proširenje općeg rješenja temeljnim sustavom rješenja je zapis općeg rješenja u obliku linearne kombinacije rješenja koja pripadaju temeljnom sustavu.
Teorema. Da bi sustav linearnih homogenih jednadžbi imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.
Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje.
Ako je Δ ≠ 0, tada sustav linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.
Teorema. Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r(A)< n .
Dokaz:
1) r ne može biti više n(rang matrice ne prelazi broj stupaca ili redaka);
2) r< n , jer Ako r = n, tada je glavna determinanta sustava Δ ≠ 0, a prema Cramerovim formulama postoji jedinstveno trivijalno rješenje x 1 = x 2 = … = x n = 0, što je u suprotnosti s uvjetom. Sredstva, r(A)< n .
Posljedica. U cilju homogenog sustava n linearne jednadžbe sa n nepoznanice imale rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ = 0.
