1. Parni i neparni. Funkcija f(x) se poziva čak i ako su njene vrijednosti simetrične u odnosu na os OY, tj. f(-x) = f(x). Funkcija f(x) se naziva neparnom ako se njezina vrijednost promijeni u suprotnu kada se varijabla x promijeni za -x, tj. f(-x) = -f(x). Inače se funkcija naziva općom funkcijom.

2.Monotonija. Kaže se da je funkcija rastuća (opadajuća) na intervalu X ako većoj (manjoj) vrijednosti funkcije odgovara veća vrijednost argumenta iz tog intervala, tj. na x1< (>) x2, f(x1)< (>) f(x2).

3. Učestalost. Ako se vrijednost funkcije f(x) ponavlja nakon određenog perioda T, tada se funkcija naziva periodičkom s periodom T ≠ 0, tj. f(x + T) = f(x). Inače neperiodično.

4. Ograničeno. Funkcija f (x) se naziva ograničenom na intervalu X ako postoji pozitivan broj M > 0 takav da za bilo koji x, koji pripadaju intervalu X, | f(x) |< M. В противном случае функция называется неограниченной.

1) Domena funkcije i područje funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenata x(varijabilno x), za koju je funkcija y = f(x) odlučan. Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g, što funkcija prihvaća.

U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Funkcijske nule.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Raspored ravnomjerna funkcija simetričan u odnosu na ordinatnu os.

Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost je istinita f(-x) = - f(x). Raspored neparna funkcija simetričan u odnosu na podrijetlo.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi: f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. svi trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

19. Bašić elementarne funkcije, njihova svojstva i grafove. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafikoni

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b realni brojevi.

Broj A nazvao nagib pravac, jednak je tangensu kuta nagiba ovog pravca na pozitivan smjer osi apscisa. Graf linearne funkcije je pravac. Definiraju ga dvije točke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija poprima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) na cijeloj domeni definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencijabilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c realni brojevi naziva se kvadratni

Prema mišljenju nekih znanstvenika, glavna svrha grafova je njihov značaj za heurističku aktivnost - ilustracije za prikaz teorije i, prije svega, ukazivanje na primjere i protuprimjere za dokazivanje ili opovrgavanje veza između različitih svojstava funkcija, tj. korištenje "dvojezičnog" mišljenja, matematičke dvojezičnosti, razvijene u skladu sa zahtjevima standarda.

Široka primjena pronađeno logaritamska funkcija u astronomiji : Na primjer, veličina sjaja zvijezda mijenja se u skladu s tim, ako usporedite karakteristike sjaja zabilježene okom i uz pomoć instrumenata, možete nacrtati sljedeći grafikon: Ovdje, na vertikalnoj osi, crtamo sjaj zvijezda u Hiparhovim jedinicama (raspodjela zvijezda prema subjektivnim karakteristikama (po oku) u 6 grupa) , a na horizontali - očitanja instrumenta. Grafikon pokazuje da objektivne i subjektivne karakteristike nisu proporcionalne, a uređaj bilježi povećanje svjetline ne za isti iznos, već za 2,5 puta. Ta se ovisnost izražava logaritamskom funkcijom.

Razmotrite kako su izgrađeni.

Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i na apscisnu os nanesemo vrijednosti argumenta x, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x) .

Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih točaka čije apscise pripadaju domeni definiranosti funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka ravnine, koordinata X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x) .

Na sl. 45 i 46 prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x .

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (točan matematička definicija koji je gore dat) i nacrtana krivulja, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (pa čak i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio, koji se nalazi u konačnom dijelu grafa). avion). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći "graf", a ne "skica grafikona".

Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u domenu definiranja funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebali biste to učiniti. Potrebno je kroz točku apscise x = a nacrtati ravnu crtu paralelnu s ordinatnom osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke će, prema definiciji grafa, biti jednaka fa)(Slika 47).

Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y = x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; najmanja vrijednost funkcija y = x 2 - 2x prihvaća na x = 1 .

Nacrtati graf funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate x , na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavniji je način crtanja grafa pomoću nekoliko točaka. Sastoji se u tome što argument x dati konačni broj vrijednosti - recimo x 1, x 2, x 3,..., x k i sastavite tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tablica izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja s više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između željenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.

Primjer 1. Nacrtati graf funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.

Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Kako bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

.

Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 točno opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka nepouzdana. Stoga, da biste iscrtali graf dane funkcije, U pravilu, postupaju na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.

Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.

Graf funkcije y = | f(x) |.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo vas kako se to radi. A-priorat apsolutna vrijednost mogu se pisati brojevi

To znači da graf funkcije y= | f(x) | može se dobiti iz grafikona, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x) s negativnim koordinatama, trebate konstruirati odgovarajuće točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os x).

Primjer 2. Grafički nacrtajte funkciju y = |x|.

Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na x< 0 (leži ispod osi x) simetrično reflektirana u odnosu na os x. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primjer 3. Grafički nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-os u točkama 0 i 2. Na intervalu (0; 2) funkcija zauzima negativne vrijednosti, stoga ćemo simetrično prikazati ovaj dio grafa u odnosu na apscisnu os. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x

Graf funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafici funkcija y = f(x) I y = g(x) .

Primijetimo da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcije f(x) i g(x).

Neka bodovi (x 0, y 1) I (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. g 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koje točke na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke x n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) I y = g(x) .

Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)

Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx .

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za iscrtavanje grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, , 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim točkama i smjestimo rezultate u tablicu.

Na temelju dobivenih rezultata konstruirat ćemo točke koje ćemo povezati glatkom krivuljom koja će biti skica grafa funkcije y = x + sinx .

Grafikoni funkcija mogu se graditi ne samo ručno pomoću točaka, već i korištenjem raznih programa (excel, maple), kao i programiranjem u Pascalu. Učenjem jezika Pascal istovremeno ćete unaprijediti svoje znanje informatike, ali i brzo moći graditi različite grafove funkcija. primjeri funkcija u Pascalu pomoći će vam razumjeti sintaksu jezika i sami izgraditi svoje prve grafove.

Osnovna svojstva funkcija.

1) Domena funkcije i područje funkcije .

Domena funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenata x(varijabilno x), za koju je funkcija y = f(x) odlučan.
Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g, što funkcija prihvaća.

U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Funkcijske nule .

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije .

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije .

Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.

5) Parna (neparna) funkcija .

Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost je istinita f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije .

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije .

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi: f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične

Funkcija $f(x)=|x|$

$|x|$ - modul. Definira se na sljedeći način: Ako je realni broj nenegativan, tada je vrijednost modula ista kao i sam broj. Ako je negativan, tada se vrijednost modula podudara s apsolutnom vrijednošću zadanog broja.

Matematički se to može napisati na sljedeći način:

Primjer 1

Funkcija $f(x)=[x]$

Funkcija $f\lijevo(x\desno)=[x]$ je funkcija cijelog dijela broja. Dobiva se zaokruživanjem broja (ako sam nije cijeli broj) “nadolje”.

Primjer: $=2.$

Primjer 2

Istražimo i izgradimo njegov grafikon.

1. $D\lijevo(f\desno)=R$.
2. Očito, ova funkcija prihvaća samo cjelobrojne vrijednosti, to jest, $\E\left(f\right)=Z$
3. $f\lijevo(-x\desno)=[-x]$. Stoga će ova funkcija biti općeg oblika.
4. $(0,0)$ je jedina točka presjeka s koordinatnim osima.
5. $f"\lijevo(x\desno)=0$
6. Funkcija ima točke diskontinuiteta (skokove funkcije) za sve $x\in Z$.

Slika 2.

Funkcija $f\lijevo(x\desno)=\(x\)$

Funkcija $f\lijevo(x\desno)=\(x\)$ je funkcija razlomljenog dijela broja. Nalazi se "odbacivanjem" cijelog dijela ovog broja.

Primjer 3

Istražimo i nacrtajmo funkciju

Funkcija $f(x)=sign(x)$

Funkcija $f\lijevo(x\desno)=sign(x)$ je signum funkcija. Ova funkcija pokazuje koji predznak ima realni broj. Ako je broj negativan, tada funkcija ima vrijednost $-1$. Ako je broj pozitivan, tada je funkcija jednaka jedan. Ako je broj nula, vrijednost funkcije će također poprimiti nultu vrijednost.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne informacije kad god nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.