Pokažimo mogućnosti Ostrogradsky-Gaussovog teorema koristeći nekoliko primjera.

Polje beskonačne ravnomjerno nabijene ravnine

Gustoća površinskog naboja na proizvoljnoj ravnini površine S određena je formulom:

gdje je dq naboj koncentriran na površini dS; dS je fizički infinitezimalna površina.

Neka je σ isti u svim točkama ravnine S. Naboj q je pozitivan. Napetost u svim točkama imat će smjer okomit na ravninu S(Slika 2.11).

Očito je da će u točkama koje su simetrične u odnosu na ravninu napetost biti jednake veličine i suprotnog smjera.

Zamislimo valjak s generatrisama okomitima na ravninu i bazama Δ S, koji se nalazi simetrično u odnosu na ravninu (slika 2.12).

	Riža. 2.11	Riža. 2.12

Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem. Tok F E kroz bočnu stranu površine cilindra je nula, jer za bazu cilindra

Ukupni protok kroz zatvorenu površinu (cilindar) bit će jednak:

Unutar površine nalazi se naboj. Posljedično, iz Ostrogradsky-Gaussovog teoreme dobivamo:

;

iz čega se vidi da je jakost polja S ravnine jednaka:

(2.5.1)

Dobiveni rezultat ne ovisi o duljini cilindra. To znači da na bilo kojoj udaljenosti od aviona

Polje dviju ravnomjerno nabijenih ravnina

Neka su dvije beskonačne ravnine nabijene suprotnim nabojima iste gustoće σ (sl. 2.13).

Rezultirajuće polje, kao što je gore spomenuto, nalazi se kao superpozicija polja koje stvara svaka od ravnina.

Zatim unutar aviona

(2.5.2)

Izvan aviona jakost polja

Dobiveni rezultat vrijedi i za ravnine konačnih dimenzija, ako je razmak između ravnina mnogo manji od linearnih dimenzija ravnina (plosnati kondenzator).

Između ploča kondenzatora postoji sila međusobnog privlačenja (po jedinici površine ploča):

gdje je S površina ploča kondenzatora. Jer , To

.

(2.5.5)

Ovo je formula za izračunavanje pondermotorne sile.

Polje nabijenog beskonačno dugog cilindra (nit)

Neka polje bude beskonačno stvoreno cilindrična površina radijusa R, nabijen konstantnom linearnom gustoćom, gdje je dq naboj koncentriran na segmentu cilindra (sl. 2.14).

Iz razmatranja simetrije slijedi da će E u bilo kojoj točki biti usmjeren duž polumjera, okomito na os cilindra.

Zamislite oko cilindra (navoj) koaksijalni zatvorena površina ( cilindar u cilindru) radijus r a duljina l (osnovke valjaka su okomite na os). Za baze cilindra za bočnu površinu, tj. ovisi o udaljenosti r.

Prema tome, vektorski tok kroz razmatranu površinu jednak je

Kada će na površini biti naboja Prema Ostrogradsky-Gaussovom teoremu, dakle

.

(2.5.6)

Ako, jer Unutar zatvorene površine nema naboja (sl. 2.15).

Ako smanjite radijus cilindra R (pri ), tada možete dobiti polje vrlo visokog intenziteta blizu površine i, na , dobiti nit.

Polje dvaju koaksijalnih cilindara iste linearne gustoće λ, ali drugačiji znak

Unutar manjeg i izvan većeg cilindra neće biti polja (slika 2.16).

U razmaku između cilindara polje se određuje na isti način kao u prethodnom slučaju:

To vrijedi i za beskonačno dug cilindar i za cilindre konačne duljine ako je razmak između cilindara mnogo manji od duljine cilindara (cilindrični kondenzator).

Polje nabijene šuplje lopte

Šuplja kugla (ili sfera) polumjera R nabijena je pozitivnim nabojem površinske gustoće σ. Polje će u ovom slučaju biti centralno simetrično - u bilo kojoj točki prolazi kroz središte lopte. ,I električni vodovi okomito na površinu u bilo kojoj točki. Zamislimo sferu polumjera r oko lopte (slika 2.17).

Potencijal polja

Potencijal polja

Potencijal polja

potencijali polja

Potencijal električno polje točkasti naboj Q u točki:

Polje nabijenog beskonačno dugog cilindra (nit)

Neka je polje stvoreno beskonačnim cilindričnim površina radijusa R, nabijen konstantnom linearnom gustoćom, gdje je d q– naboj koncentriran na dijelu cilindra (sl. 2.14).

Iz razmatranja simetrije slijedi da E u bilo kojoj točki bit će usmjeren duž polumjera, okomito na os cilindra.

Zamislite oko cilindra (navoj) koaksijalni zatvorena površina ( cilindar u cilindru) radijus r i dužine l(osnovke cilindara su okomite na os). Za baze cilindra za bočnu površinu, tj. ovisi o udaljenosti r.

Prema tome, vektorski tok kroz razmatranu površinu jednak je

Kada će na površini biti naboja Prema Ostrogradsky-Gaussovom teoremu, dakle

.

(2.5.6)

Ako, jer Unutar zatvorene površine nema naboja (sl. 2.15).

Ako smanjimo radijus valjka R(na ), tada je moguće dobiti polje vrlo visokog intenziteta u blizini površine i, na , dobiti nit.

27. Potencijal polja kojeg stvara jednoliko nabijena beskonačna ravnina.

Potencijal polja- ovo je energetska karakteristika polja, karakterizira potencijalnu energiju koju je stavio pozitivni jedinični naboj ovu točku polja.

Jedinica električni potencijal- volt (V).

Potencijal polja jednaka omjeru potencijalne energije naboja i ovog naboja:

Potencijal polja je energetska karakteristika električnog polja i kao skalarna veličina može poprimiti pozitivne ili negativne vrijednosti.

Razlika ima fizičko značenje potencijali polja, budući da se kroz njega izražava rad sila polja za pomicanje naboja.

Polje jednoliko nabijene beskonačne ravnine.

Uvedimo koncept površinske gustoće naboja >0, numerički jednake naboju po jedinici površine:

Zbog homogenosti i izotropnosti prostora, silnice polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine moraju biti okomite na nju i imati jednoliku gustoću, što odgovara definiciji jednolikosti polja. E=konst. Kao "zgodnu" zatvorenu površinu biramo ravni cilindar, bočna površina koja je paralelna sa silnicama (svugdje na njoj 0 i, prema tome, tok kroz nju je jednak 0), a krajnje plohe područja S su paralelne s nabijenom ravninom (dakle posvuda na njima 1):

Ujednačeno strujanje polja E kroz obje krajnje površine okomite na njega, S je jednostavno jednak E 2S, a naboj koncentriran na površini S nabijene površine jednak je S:

Gustoća površinskog naboja na proizvoljnoj ravnini s površinom S određuje se formulom:

gdje d q– naboj koncentriran na površini d S; d S– fizički beskonačno mala površina površine.

Neka je σ u svim točkama ravnine S je isti. Naplatiti q– pozitivno. Napetost u svim točkama imat će smjer okomit na ravninu S(Slika 2.11).

Očito je da će u točkama koje su simetrične u odnosu na ravninu napetost biti jednake veličine i suprotnog smjera.

Zamislimo valjak s generatrisama okomitima na ravninu i bazama Δ S, koji se nalazi simetrično u odnosu na ravninu (slika 2.12).

	Riža. 2.11	Riža. 2.12

Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem. Teći F E kroz stranicu površine cilindra jednaka je nuli, jer . Za bazu cilindra

Ukupni protok kroz zatvorenu površinu (cilindar) bit će jednak:

Unutar površine nalazi se naboj. Posljedično, iz Ostrogradsky-Gaussovog teoreme dobivamo:

;

iz čega se vidi da jakost polja ravnine S jednako je:

Elektrostatičko polje ima važna imovina: Rad sila elektrostatskog polja pri premještanju naboja iz jedne točke polja u drugu ne ovisi o obliku putanje, već je određen samo položajem početne i završne točke te veličinom naboja. Slično svojstvo ima i gravitacijsko polje, što ne čudi jer se gravitacijska i Coulombova sila opisuju istim odnosima. Posljedica neovisnosti rada o obliku putanje je sljedeća tvrdnja: Rad sila elektrostatskog polja pri gibanju naboja po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak je nuli. Polja sila koja imaju to svojstvo nazivaju se potencijal ili konzervativan. Na sl. 1.4.2 prikazane su silnice polja Coulombovog polja točkastog naboja Q te dvije različite putanje kretanja probnog naboja q od početne točke (1) do krajnje točke (2). Na jednoj od putanja istaknut je mali pomak Work Δ A Coulombove sile na ovaj pomak jednake su Dobiveni rezultat ne ovisi o obliku putanje. Na putanjama I i II prikazanim na sl. 1.4.2, rad Coulombovih sila je isti. Ako promijenite smjer kretanja naboja na jednoj od putanja q u suprotno, tada će djelo promijeniti predznak. Slijedi da je na zatvorenoj putanji rad Coulombovih sila jednak nuli. Ako je elektrostatsko polje stvoreno skupom točkastih naboja, tada kada se ispitni naboj kreće q Posao A rezultirajuće polje, u skladu s načelom superpozicije, sastojat će se od rada Coulombovih polja točkastih naboja: Budući da svaki član zbroja ne ovisi o obliku putanje, tada ukupni rad A Rezultirajuće polje je neovisno o putu i određeno je samo položajem početne i završne točke. Svojstvo potencijalnosti elektrostatskog polja omogućuje nam uvođenje koncepta potencijalna energija naboj u električnom polju. Za to se u prostoru odabire određena točka (0) i potencijalna energija naboja q, postavljen na ovu točku, uzima se jednak nuli. Potencijalna energija naboja q, postavljen u bilo kojoj točki (1) prostora, u odnosu na fiksnu točku (0) jednak je radu A 10, koje će elektrostatičko polje napraviti prilikom pomicanja naboja q od točke (1) do točke (0): W p1 = A 10 . (U elektrostatici se energija obično označava slovom W, od pisma E označava jakost polja.) Baš kao u mehanici, potencijalna energija se određuje s točnošću od konstantna vrijednost, ovisno o izboru referentne točke (0). Takva dvosmislenost u definiciji potencijalne energije ne dovodi do nesporazuma, jer fizičko značenje nema samu potencijalnu energiju, već razliku u njezinim vrijednostima u dvije točke u prostoru. Vaše mišljenje nam je važno! Je li objavljeni materijal bio koristan? Da | Ne PRETRAŽIVANJE MJESTA:

Zhidkevich V.I. Električno polje ravnine // Fizika: problemi proračuna. - 2009. - br. 6. - str. 19-23.

Problemi iz elektrostatike mogu se podijeliti u dvije skupine: problemi točkastih naboja i problemi naelektriziranih tijela čije se veličine ne mogu zanemariti.

Rješavanje problema proračuna električnih polja i međudjelovanja točkastih naboja temelji se na primjeni Coulombova zakona i ne izaziva posebne poteškoće. Teže je odrediti jakost polja i međudjelovanje nabijenih tijela konačnih veličina: kugle, cilindra, ravnine. Pri proračunu jakosti elektrostatičkih polja različitih konfiguracija treba naglasiti važnost principa superpozicije i koristiti ga kada se razmatraju polja stvorena ne samo točkastim nabojima, već i nabojima raspoređenim po površini i volumenu. Kada se razmatra učinak polja na naboj, formula F=qE V opći slučaj vrijedi za točkasta nabijena tijela i samo u uniformnom polju primjenjivo na tijela bilo koje veličine i oblika koja nose naboj q.

Električno polje kondenzatora proizlazi iz superpozicije dvaju polja koja stvara svaka ploča.

U ravnom kondenzatoru jedna se ploča može smatrati tijelom s nabojemq 1postavljen u električno polje intenziteta E 2, stvorena drugom pločom.

Razmotrimo nekoliko problema.

1. Beskonačna ravnina nabijena je površinskom gustoćom σ >0. Pronađite jakost polja E i potencijal ϕ s obje strane ravnine, s obzirom da je potencijal ravnine jednak nuli. Izgradite grafikone ovisnosti E(x), ϕ (X). x os okomita na ravninu, točka x=0 leži na ravnini.

Riješenje. Električno polje beskonačne ravnine jednoliko je i simetrično u odnosu na ravninu. Njegovo napetost između intenzitet i razlika potencijala između dviju točaka jednolikog elektrostatskog polja izražava se formulom gdje je x - udaljenost između točaka, mjerena duž linije polja. Zatim ϕ 2 = ϕ 1 -prv. Na x<0 при х>0 Ovisnosti E(x) i ϕ (x) prikazani su na slici 1.

2. Dvije planparalelne tanke ploče smještene na maloj udaljenosti d jedan od drugog, jednoliko nabijeni nabojem površinske gustoćeσ 1 i σ 2. Odredite jakosti polja u točkama koje leže između ploča i s vanjske strane. Grafički nacrtajte ovisnost o naponu E(x) i potencijal ϕ (x), brojanje ϕ (0)=0. Razmotrite slučajeve u kojima: a)σ 1 = -σ 2 ; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 -

Riješenje. Budući da je udaljenost između ploča mala, one se mogu smatrati beskonačnim ravninama.

Jakost polja pozitivno nabijene ravnine jednaka je i usmjerena od nje; prema njemu je usmjerena jakost polja negativno nabijene ravnine.

Prema principu superpozicije, polje u bilo kojoj točki koja se razmatra stvorit će svaki od naboja zasebno.

a) Polja dviju ravnina nabijenih nabojima jednakog i suprotnog predznaka (ravni kondenzator) zbrajaju se u području između ravnina i međusobno poništavaju vanjska područja(Sl. 2, A).

Na x<0 E= 0, ϕ =0; na 0 d E= 0, Grafikoni ovisnost napetosti i potencijala o udaljenosti x prikazani su na slici 2, b, c.

Ako su ravnine konačnih dimenzija, tada polje između ravnina neće biti striktno uniformno, a polje izvan ravnina neće biti točno nula.

b) Polja ravnina nabijenih nabojima jednakim po veličini i predznaku (σ 1 = σ 2 ), međusobno kompenziraju u prostoru između ravnina i zbrajaju se u vanjskim područjima (sl. 3, A). Na x<0 при 0d

Pomoću grafikona E(x) (Sl. 3, b), napravimo kvalitativni grafikon ovisnosti ϕ (x) (slika 3, c).

c) Ako je σ 1 = σ 2, tada, uzimajući u obzir smjerove polja i birajući smjer udesno kao pozitivan, nalazimo:

Ovisnost napetosti E o udaljenosti prikazana je na slici 4.

3. Na jednoj od ploča ravnog kondenzatora kapaciteta S postoji naplataq 1=+3q, a s druge strane q 2 =+ q. Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora.

Riješenje. 1. metoda. Neka područje ploče kondenzatora S, i udaljenost između njih d. Polje unutar kondenzatora je jednoliko, pa se razlika potencijala (napona) na kondenzatoru može odrediti formulom U=E*d, gdje je E - jakost polja unutar kondenzatora.

gdje je E 1, E 2 - jakost polja koju stvaraju ploče kondenzatora.

Zatim

2. metoda. Dodajte naboj svakoj ploči Zatim se ploče kondenziraju satora će imati optužbe + q i -q. Polja identičnih naboja ploča unutar kondenzatora se međusobno poništavaju. Dodani naboji nisu promijenili polje između ploča, a time ni razliku potencijala za kondenzator. U= q/c .

4. Tanka metalna ploča s nabojem + umetnuta je u prostor između ploča nenabijenog ravnog kondenzatora. q. Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora.

Riješenje. Budući da kondenzator nije nabijen, električno polje stvara samo ploča koja ima naboj q (slika 5). Ovo polje je uniformno, simetrično u odnosu na ploču i njen intenzitetNeka je potencijal metalne ploče ϕ . Zatim potencijali ploča A I U kondenzatori će biti jednaki ϕ- ϕ A = ϕ El 1 ; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Razlika potencijala između ploča kondenzatoraAko je ploča na istoj udaljenosti od ploča kondenzatora, tada je razlika potencijala između ploča jednaka nuli.

5. U jednoličnom električnom polju intenziteta E 0 nabijena metalna ploča postavljena je okomito na linije sile s gustoćom naboja na površini svake strane ploče σ (slika 6). Odredi jakost polja E" unutar i izvan ploče i gustoću površinskog nabojaσ 1 i σ 2 , koji će se pojaviti na lijevoj i desnoj strani ploče.

Riješenje. Polje unutar ploče je nula i superpozicija je triju polja: vanjskog polja E 0, polje koje stvaraju naboji na lijevoj strani ploče, te polje koje stvaraju naboji na desnoj strani ploče. Stoga,gdje je σ 1 i σ 2 - površinska gustoća naboja na lijevoj i desnoj strani ploče, koja se pojavljuje nakon što se ploča unese u polje E 0. Ukupni naboj na ploči neće se promijeniti, dakleσ 1 + σ 2 =2 σ, odakle je σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Polje izvan ploče je superpozicija polja E 0 i polja nabijenih ploča E. S lijeve strane od ploče Desno od ploče

6. U ravnom zračnom kondenzatoru jakost polja je E = 10 4 V/m. Razmak između ploča d= 2 cm.Kolika će biti razlika potencijala ako se između ploča paralelno s njima postavi metalni lim debljine ?d 0=0,5 cm (slika 7)?

Riješenje. Budući da je električno polje između ploča jednoliko, dakle U=Ed, U=200 V.

Ako između ploča označite lim, dobit ćete sustav od dva serijski spojena kondenzatora s razmakom između pločad 1 i d2. Kapaciteti ovih kondenzatoraNjihov ukupni kapacitet

Budući da je kondenzator isključen iz izvora struje, naboj kondenzatora se ne mijenja kada se doda metalni lim: q"=CU=S"U 1 ; gdje je kapacitet kondenzatora sator prije dodavanja metalnog lima u njega. Dobivamo:

U 1= 150 V.

7. Na tanjurima A i C, koji se nalaze paralelno na udaljenosti d= 8 cm međusobno, potencijali održani ϕ 1= 60 V i ϕ 2 =- 60 V prema tome. Između njih je postavljena uzemljena ploča D na udaljenosti d 1 = 2 cm od ploče A. Koliko se promijenila jakost polja u presjecima AD i CD? Izgradite grafikone ovisnosti ϕ (x) i E(x).

Beskonačna ravnina nabijena površinskom gustoćom naboja: da bismo izračunali jakost električnog polja koju stvara beskonačna ravnina, odaberemo cilindar u prostoru, čija je os okomita na nabijenu ravninu, a baze su paralelne s njom, a jedan baza prolazi kroz polje koje nas zanima. Prema Gaussovoj teoremi, tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu jednak je:

F=, s druge strane je i: F=E

Izjednačimo desne strane jednadžbi:

Izrazimo = - kroz površinsku gustoću naboja i odredimo jakost električnog polja:

Nađimo jakost električnog polja između suprotno nabijenih ploča iste površinske gustoće:

(3)

Pronađimo polje izvan ploča:

; ; (4)

Jakost polja nabijene kugle

(1)

F= (2) Gaussova točka

za r< R

; , jer (unutar sfere nema naboja)

Za r = R

( ; ; )

Za r > R

Snaga polja koju stvara lopta jednoliko nabijena po svom volumenu

Volumna gustoća naboja,

raspoređeno po lopti:

Za r< R

( ; F= )

Za r = R

Za r > R

RAD ELEKTROSTATIČKOG POLJA NA POKRETANJU NABOJA

Elektrostatičko polje- e-pošta polje stacionarnog naboja.
Fel, djelujući na naboj, pomiče ga, obavljajući rad.
U jednoličnom električnom polju Fel = qE je konstantna vrijednost

Radno polje (el. sila) ne ovisi na oblik putanje i na zatvorenu putanju = nula.

Ako se u elektrostatskom polju točkastog naboja Q drugi točkasti naboj Q 0 kreće od točke 1 do točke 2 duž bilo koje putanje (slika 1), tada sila koja djeluje na naboj obavlja određeni rad. Rad sile F na elementarnom pomaku dl jednak je Budući da je d l/cosα=dr, dakle Rad pri pomicanju naboja Q 0 iz točke 1 u točku 2 (1) ne ovisi o trajektoriji gibanja, već je određen samo položajem početne 1 i krajnje 2 točke. To znači da je elektrostatsko polje točkastog naboja potencijalno, a elektrostatske sile konzervativne.Iz formule (1) je jasno da je rad koji se izvrši kada se električni naboj giba u vanjskom elektrostatskom polju po proizvoljnoj zatvorenoj stazi L jednaka je nuli, tj. (2) Ako uzmemo pozitivni točkasti naboj kao naboj koji se kreće u elektrostatičkom polju, tada je elementarni rad sila polja duž puta dl jednak Edl = E l d l, gdje je E l= Ecosα - projekcija vektora E na pravac elementarnog pomaka. Tada se formula (2) može prikazati kao (3) Integral naziva se cirkulacija vektora napetosti. To znači da je cirkulacija vektora jakosti elektrostatskog polja duž bilo koje zatvorene konture jednaka nuli. Polje sile koje ima svojstvo (3) naziva se potencijalom. Iz činjenice da je kruženje vektora E jednako nuli, slijedi da se linije jakosti elektrostatskog polja ne mogu zatvoriti, one nužno počinju i završavaju na nabojima (pozitivnim ili negativnim) ili idu u beskonačnost. Formula (3) vrijedi samo za elektrostatičko polje. Naknadno će se pokazati da u slučaju polja pokretnih naboja uvjet (3) nije istinit (za njega je cirkulacija vektora intenziteta različita od nule).

Teorem o cirkulaciji za elektrostatičko polje.

Budući da je elektrostatsko polje centralno, sile koje djeluju na naboj u takvom polju su konzervativne. Budući da predstavlja elementarni rad koji sile polja proizvode na jediničnom naboju, rad konzervativnih sila u zatvorenoj petlji jednak je

Potencijal

Sustav "naboj - elektrostatsko polje" ili "naboj - naboj" ima potencijalnu energiju, kao što sustav "gravitacijsko polje - tijelo" ima potencijalnu energiju.

Fizička skalarna veličina koja karakterizira energetsko stanje polja naziva se potencijal datu točku na terenu. Naboj q nalazi se u polju, ima potencijalnu energiju W. Potencijal je karakteristika elektrostatskog polja.

Sjetimo se potencijalne energije u mehanici. Potencijalna energija je nula kada je tijelo na tlu. A kada se tijelo podigne na određenu visinu, kaže se da tijelo ima potencijalnu energiju.

Što se tiče potencijalne energije u električnoj energiji, ne postoji nulta razina potencijalne energije. Bira se nasumično. Stoga je potencijal relativna fizikalna veličina.

Potencijalna energija polja je rad koji izvrši elektrostatska sila pri pomicanju naboja od dane točke u polju do točke s nultim potencijalom.

Razmotrimo poseban slučaj kada je elektrostatsko polje stvoreno električnim nabojem Q. Za proučavanje potencijala takvog polja nema potrebe unositi naboj q u njega. Možete izračunati potencijal bilo koje točke u takvom polju koja se nalazi na udaljenosti r od naboja Q.

Dielektrična konstanta medija ima poznatu vrijednost (tabularnu) i karakterizira medij u kojem polje postoji. Za zrak je jednaka jedinici.

Potencijalna razlika

Rad polja da premjesti naboj iz jedne točke u drugu naziva se razlika potencijala

Ova se formula može prikazati u drugom obliku

Princip superpozicije

Potencijal polja stvorenog od nekoliko naboja jednak je algebarskom (uzimajući u obzir predznak potencijala) zbroju potencijala polja svakog polja zasebno

To je energija sustava stacionarnih točkastih naboja, energija usamljenog nabijenog vodiča i energija nabijenog kondenzatora.

Ako postoji sustav od dva nabijena vodiča (kondenzator), tada je ukupna energija sustava jednaka zbroju vlastitih potencijalnih energija vodiča i energije njihove interakcije:

Energija elektrostatskog polja sustav točkastih naboja jednak je:

Jednoliko nabijena ravnina.
Jakost električnog polja koju stvara beskonačna ravnina nabijena površinskom gustoćom naboja može se izračunati pomoću Gaussovog teorema.

Iz uvjeta simetrije slijedi da vektor E posvuda okomito na ravninu. Osim toga, u točkama simetričnim u odnosu na ravninu, vektor E bit će iste veličine i suprotnog smjera.
Kao zatvorenu plohu izaberemo valjak čija je os okomita na ravninu, a baze su simetrične u odnosu na ravninu, kao što je prikazano na slici.
Budući da su linije napetosti paralelne s generatrisama bočne plohe cilindra, protok kroz bočnu plohu je jednak nuli. Stoga vektorski tok E kroz površinu cilindra

,

gdje je površina baze cilindra. Cilindar izbacuje naboj iz ravnine. Ako je ravnina u homogenom izotropnom mediju s relativnom dielektričnom konstantom, tada

Kad jakost polja ne ovisi o udaljenosti između ravnina, takvo se polje naziva uniformnim. Grafikon ovisnosti E (x) za avion.

Razlika potencijala između dviju točaka koje se nalaze na udaljenosti R 1 i R 2 od nabijene ravnine jednako je

Primjer 2. Dvije ravnomjerno nabijene ravnine.
Izračunajmo jakost električnog polja koju stvaraju dvije beskonačne ravnine. Električni naboj je jednoliko raspoređen s površinskim gustoćama i . Jačinu polja nalazimo kao superpoziciju jakosti polja svake od ravnina. Električno polje je različito od nule samo u međuprostoru ravnina i jednako je .

Razlika potencijala između ravnina , Gdje d- udaljenost između ravnina.
Dobiveni rezultati mogu se koristiti za aproksimativni izračun polja koje stvaraju ravne ploče konačnih dimenzija ako su razmaci između njih mnogo manji od njihovih linearnih dimenzija. Primjetne pogreške u takvim izračunima pojavljuju se kada se razmatraju polja u blizini rubova ploča. Grafikon ovisnosti E (x) za dvije ravnine.

Primjer 3. Tanki nabijeni štap.
Kako bismo izračunali jakost električnog polja koju stvara vrlo dugačak štap nabijen linearnom gustoćom naboja, koristimo se Gaussovim teoremom.
Na dovoljno velikim udaljenostima od krajeva štapa, linije intenziteta električnog polja usmjerene su radijalno od osi štapa i leže u ravninama okomitim na ovu os. U svim točkama jednako udaljenim od osi štapa, numeričke vrijednosti napetosti su iste ako je štap u homogenom izotropnom mediju s relativnim dielektrikom
propusnost

Za izračunavanje jakosti polja u proizvoljnoj točki koja se nalazi na udaljenosti r iz osi šipke nacrtajte cilindričnu plohu kroz ovu točku
(vidi sliku). Polumjer ovog valjka je r, i njegovu visinu h.
Tokovi vektora napetosti kroz gornju i donju bazu cilindra bit će jednaki nuli, budući da linije sile nemaju komponente normalne na površine tih baza. U svim točkama na bočnoj površini cilindra
E= konst.
Prema tome, ukupni tok vektora E kroz površinu cilindra bit će jednaka

,

Prema Gaussovoj teoremi fluks vektora E jednak algebarskom zbroju električnih naboja unutar površine (u ovom slučaju cilindra) podijeljenom s umnoškom električne konstante i relativne dielektrične konstante medija

gdje je naboj onog dijela štapa koji se nalazi unutar cilindra. Prema tome, jakost električnog polja

Razlika potencijala električnog polja između dviju udaljenih točaka R 1 i R 2 od osi štapa, nalazimo pomoću odnosa između intenziteta i potencijala električnog polja. Budući da se jakost polja mijenja samo u radijalnom smjeru, tada

Primjer 4. Nabijena sferna površina.
Električno polje koje stvara sferna površina po kojoj je jednoliko raspoređen električni naboj površinske gustoće ima centralno simetričan karakter.

Linije napetosti usmjerene su duž polumjera iz središta sfere i veličine vektora E ovisi samo o udaljenosti r iz središta sfere. Za izračun polja odabiremo zatvorenu sfernu plohu radijusa r.
Kada r o E = 0.
Jačina polja je jednaka nuli, jer unutar sfere nema naboja.
Za r > R (izvan sfere), prema Gaussovoj teoremi

,

gdje je relativna dielektrična konstanta medija koji okružuje kuglu.

.

Intenzitet opada prema istom zakonu kao i jakost polja točkastog naboja, tj. prema zakonu.
Kada r o .
Za r > R (izvan sfere) .
Grafikon ovisnosti E (r) za sferu.

Primjer 5. Volumno nabijena dielektrična kuglica.
Ako lopta ima radijus R napravljen od homogenog izotropnog dielektrika s relativnom propusnošću jednoliko nabijen po cijelom volumenu s gustoćom , tada je električno polje koje stvara također centralno simetrično.
Kao i u prethodnom slučaju, odabiremo zatvorenu površinu za izračunavanje vektorskog toka E u obliku koncentrične sfere čiji polumjer r može varirati od 0 do .
Na r < R vektorski tok E kroz ovu površinu bit će određen nabojem

Tako

Na r < R(unutar lopte) .
Unutar lopte, napetost raste proporcionalno udaljenosti od središta lopte. Izvan lopte (na r > R) u mediju s dielektričnom konstantom , vektor toka E kroz površinu bit će određen nabojem.
Kada je r o >R o (izvan lopte) .
Na granici "lopta - okolina" jakost električnog polja se naglo mijenja, čija veličina ovisi o omjeru dielektričnih konstanti kuglice i okoline. Grafikon ovisnosti E (r) za loptu ().

Izvan lopte ( r > R) potencijal električnog polja mijenja se prema zakonu

.

Unutar lopte ( r < R) potencijal je opisan izrazom

U zaključku donosimo izraze za izračunavanje jakosti polja nabijenih tijela različitih oblika

Potencijalna razlika
napon- razlika u potencijalnim vrijednostima na početnoj i krajnjoj točki putanje. napon je brojčano jednak radu elektrostatskog polja kada se jedinični pozitivni naboj giba po linijama sila ovog polja. Razlika potencijala (napon) je neovisna o odabiru koordinatni sustav!
Jedinica razlike potencijala Napon je 1 V ako pri gibanju pozitivnog naboja od 1 C duž linija sile polje izvrši rad od 1 J.

Dirigent- ovo je čvrsto tijelo u kojem postoje "slobodni elektroni" koji se kreću unutar tijela.

Metalni vodiči općenito su neutralni: sadrže jednake količine negativnih i pozitivnih naboja. Pozitivno nabijeni su ioni u čvorovima kristalne rešetke, negativno su elektroni koji se slobodno kreću duž vodiča. Kada se vodiču da višak elektrona, on postaje negativno nabijen, ali ako se iz vodiča “uzme” određeni broj elektrona, on postaje pozitivno nabijen.

Višak naboja se raspoređuje samo po vanjskoj površini vodiča.

1 . Jačina polja u bilo kojoj točki unutar vodiča je nula.

2 . Vektor na površini vodiča usmjeren je normalno na svaku točku na površini vodiča.

Iz činjenice da je površina vodiča ekvipotencijalna slijedi da je izravno na toj površini polje usmjereno normalno na nju u svakoj točki (uvjet 2 ). Da to nije tako, tada bi se pod djelovanjem tangencijalne komponente naboji počeli kretati po površini vodiča. oni. ravnoteža naboja na vodiču bila bi nemoguća.

Iz 1 proizlazi da budući da

Unutar vodiča nema viška naboja.

Naboji se raspoređuju samo na površini vodiča s određenom gustoćom s a nalaze se u vrlo tankom površinskom sloju (debljina mu je oko jedne ili dvije međuatomske udaljenosti).

Gustoća naboja- ovo je količina naboja po jedinici duljine, površine ili volumena, čime se određuju linearne, površinske i volumetrijske gustoće naboja, koje se mjere u SI sustavu: u kulonima po metru [C/m], u kulonima po kvadratnom metru [ C/m² ] odnosno u kulonima po kubnom metru [C/m³]. Za razliku od gustoće materije, gustoća naboja može imati i pozitivne i negativne vrijednosti, to je zbog činjenice da postoje pozitivni i negativni naboji.

Opći problem elektrostatike

Vektor napetosti,

po Gaussovom teoremu

- Poissonova jednadžba.

U slučaju kada između vodiča nema naboja, dobivamo

- Laplaceova jednadžba.

Neka su poznati rubni uvjeti na površinama vodiča: vrijednosti ; onda ovaj problem ima jedinstveno rješenje prema teorem jedinstvenosti.

Prilikom rješavanja zadatka određuje se vrijednost, a zatim polje između vodiča raspodjelom naboja na vodičima (prema vektoru napona na površini).

Pogledajmo primjer. Nađimo napon u praznoj šupljini vodiča.

Potencijal u šupljini zadovoljava Laplaceovu jednadžbu;

potencijal na stijenkama vodiča.

Rješenje Laplaceove jednadžbe u ovom slučaju je trivijalno i prema teoremu jedinstvenosti nema drugih rješenja

, tj. u šupljini vodiča nema polja.

Poissonova jednadžba je eliptična parcijalna diferencijalna jednadžba koja između ostalog opisuje

· elektrostatičko polje,

· stacionarno temperaturno polje,

· polje pritiska,

· polje potencijala brzine u hidrodinamici.

Ime je dobio po poznatom francuskom fizičaru i matematičaru Simeonu Denisu Poissonu.

Ova jednadžba izgleda ovako:

gdje je Laplaceov operator ili Laplacian, a realna ili kompleksna funkcija na nekoj mnogoznačniku.

U trodimenzionalnom kartezijevom koordinatnom sustavu jednadžba ima oblik:

U Kartezijevom koordinatnom sustavu Laplaceov operator je zapisan u obliku, a Poissonova jednadžba ima oblik:

Ako f teži nuli, tada se Poissonova jednadžba pretvara u Laplaceovu jednadžbu (Laplaceova jednadžba je poseban slučaj Poissonove jednadžbe):

Poissonova jednadžba može se riješiti pomoću Greenove funkcije; vidi npr. članak Screened Poisson's equation. Postoje različite metode za dobivanje numeričkih rješenja. Na primjer, koristi se iterativni algoritam - "metoda opuštanja".

Razmatrat ćemo usamljeni vodič, tj. vodič koji je znatno udaljen od ostalih vodiča, tijela i naboja. Njegov potencijal, kao što je poznato, izravno je proporcionalan naboju vodiča. Iz iskustva je poznato da različiti vodiči, iako jednako nabijeni, imaju različite potencijale. Stoga za usamljeni vodič možemo napisati Količina (1) se naziva električni kapacitet (ili jednostavno kapacitet) usamljenog vodiča. Kapacitet izoliranog vodiča određen je nabojem, čija komunikacija s vodičem mijenja njegov potencijal za jedan. Kapacitet usamljenog vodiča ovisi o njegovoj veličini i obliku, ali ne ovisi o materijalu, obliku i veličini šupljina unutar vodiča, kao ni o njegovom agregatnom stanju. Razlog tome je što se višak naboja raspoređuje na vanjskoj površini vodiča. Kapacitet također ne ovisi o naboju vodiča ili njegovom potencijalu. Jedinica za električni kapacitet je farad (F): 1 F je kapacitet izoliranog vodiča čiji se potencijal mijenja za 1 V kada mu se dodijeli naboj od 1 C. Prema formuli za potencijal točkastog naboja, potencijal usamljene kuglice polumjera R, koja se nalazi u homogenom mediju dielektrične konstante ε, jednak je Primjenom formule (1) dobivamo da je kapacitet lopta (2) Iz ovoga slijedi da bi usamljena kugla imala kapacitet od 1 F, smještena u vakuumu i polumjer R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, što je otprilike 1400 puta veće od polumjer Zemlje (električni kapacitet Zemlje C≈0,7 mF). Prema tome, farad je prilično velika vrijednost, pa se u praksi koriste višestruke jedinice - milifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Iz formule (2) također slijedi da je jedinica električne konstante ε 0 farad po metru (F/m) (vidi (78.3)).

Kondenzator(od lat. condensare- "kompaktirati", "zgusnuti") - mreža s dva priključka s određenom vrijednošću kapacitivnosti i niskom ohmičkom vodljivošću; uređaj za akumuliranje naboja i energije električnog polja. Kondenzator je pasivna elektronička komponenta. Obično se sastoji od dvije elektrode u obliku ploče (tzv obloge), odvojene dielektrikom čija je debljina mala u usporedbi s veličinom ploča.

Kapacitet

Glavna karakteristika kondenzatora je njegova kapacitet, karakterizira sposobnost kondenzatora da akumulira električni naboj. Oznaka kondenzatora označava vrijednost nazivnog kapaciteta, dok stvarni kapacitet može značajno varirati ovisno o mnogim čimbenicima. Stvarni kapacitet kondenzatora određuje njegova električna svojstva. Dakle, prema definiciji kapacitivnosti, naboj na ploči je proporcionalan naponu između ploča ( q = CU). Tipične vrijednosti kapacitivnosti kreću se od jedinica pikofarada do tisuća mikrofarada. Međutim, postoje kondenzatori (ionistori) s kapacitetom do desetaka farada.

Kapacitet kondenzatora s paralelnim pločama koji se sastoji od dvije paralelne metalne ploče površine S svaki smješten na udaljenosti d jedna od druge, u SI sustavu izražava se formulom: , gdje je relativna dielektrična konstanta medija koji ispunjava prostor između ploča (u vakuumu jednaka jedinici), je električna konstanta, numerički jednaka 8,854187817·10 −12 F/m. Ova formula vrijedi samo kada d mnogo manji od linearnih dimenzija ploča.

Da bi se dobili veliki kapaciteti, kondenzatori se spajaju paralelno. U tom slučaju napon između ploča svih kondenzatora je isti. Ukupni kapacitet baterije paralelno spojenih kondenzatora jednak je zbroju kapaciteta svih kondenzatora uključenih u bateriju.

Ako svi paralelno spojeni kondenzatori imaju jednak razmak između ploča i ista dielektrična svojstva, tada se ti kondenzatori mogu predstaviti kao jedan veliki kondenzator, podijeljen na fragmente manje površine.

Kada su kondenzatori spojeni u seriju, naboji svih kondenzatora su isti, jer se napajaju iz izvora napajanja samo na vanjske elektrode, a na unutarnjim elektrodama se dobivaju samo zbog odvajanja naboja koji su prethodno neutralizirali jedni druge . Ukupni kapacitet baterije sekvencijalno spojenih kondenzatora jednaka je

Ili

Ovaj kapacitet je uvijek manji od minimalnog kapaciteta kondenzatora uključenog u bateriju. Međutim, serijskim spojem smanjuje se mogućnost kvara kondenzatora, jer svaki kondenzator čini samo dio potencijalne razlike izvora napona.

Ako je površina ploča svih kondenzatora spojenih u seriju ista, tada se ti kondenzatori mogu predstaviti kao jedan veliki kondenzator, između ploča od kojih se nalazi hrpa dielektričnih ploča svih kondenzatora koji ga čine.

[uredi] Specifični kapacitet

Kondenzatori su također karakterizirani specifičnim kapacitetom - omjerom kapaciteta i volumena (ili mase) dielektrika. Najveća vrijednost specifičnog kapaciteta postiže se s minimalnom debljinom dielektrika, ali se istovremeno smanjuje njegov probojni napon.

Koriste se različite vrste električnih krugova načini spajanja kondenzatora. Spajanje kondenzatora mogu se proizvoditi: sekvencijalno, paralelno I serijsko-paralelni(potonji se ponekad naziva mješoviti spoj kondenzatora). Postojeće vrste spojeva kondenzatora prikazane su na slici 1.

Slika 1. Metode spajanja kondenzatora.

U jednoličnom električnom polju sila koja djeluje na nabijenu česticu konstantna je i po veličini i po smjeru. Stoga je kretanje takve čestice potpuno slično gibanju tijela u gravitacijskom polju zemlje bez uzimanja u obzir otpora zraka. Putanja čestice je u ovom slučaju ravna i leži u ravnini koja sadrži vektore početne brzine čestice i jakosti električnog polja

Potencijal elektrostatskog polja. Opći izraz koji povezuje potencijal s napetostima.

Potencijal φ u bilo kojoj točki elektrostatskog polja je fizikalna veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u tu točku. Potencijal polja stvoren točkastim nabojem Q jednak je

Potencijal je fizikalna veličina koja je određena radom obavljenim za pomicanje jediničnog pozitivnog električnog naboja kada se udalji od dane točke u polju u beskonačnost. Taj je rad brojčano jednak radu vanjskih sila (protiv sila elektrostatskog polja) da pomaknu jedinični pozitivni naboj iz beskonačnosti u danu točku u polju.

Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je jednak potencijalu točke u polju u kojoj naboj od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Uzimajući u obzir dimenziju volta, može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jakosti elektrostatičkog polja doista jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.

Iz formula (3) i (4) slijedi da ako polje stvara nekoliko naboja, tada je potencijal danog polja sustava naboja jednak algebarskom zbroju potencijala polja svih tih naboja:

Intenzitet u bilo kojoj točki električnog polja jednak je gradijentu potencijala u toj točki, uzet sa suprotnim predznakom. Znak minus pokazuje da je napon E usmjeren u smjeru pada potencijala.

E = - grad phi = - N phi.

Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - intenziteta i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmotrimo elementarni rad sila električnog polja na infinitezimalnom pomaku točkastog naboja q: dA = q E dl, isti rad je jednaka smanjenju potencijalne energije naboja q: dA = - dWp = - q dphi, gdje je dphi promjena potencijala električnog polja na duljini pomaka dl. Izjednačavanjem desnih strana izraza dobivamo: E dl = -d phi ili u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora napetosti na osi koordinatnog sustava. Kako je izraz totalni diferencijal, onda za projekcije vektora intenziteta imamo

Izraz u zagradama je gradijent potencijala phi.

Načelo superpozicije kao temeljno svojstvo polja. Opći izrazi za jakost i potencijal polja stvorenog u točki s radijus vektorom sustavom točkastih naboja smještenih u točkama s koordinatama (vidi odlomak 4.)

Ako načelo superpozicije razmotrimo u najopćenitijem smislu, tada će prema njemu zbroj utjecaja vanjskih sila koje djeluju na česticu biti zbroj pojedinačnih vrijednosti svake od njih. Ovo načelo vrijedi za različite linearne sustave, tj. sustavi čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Primjer bi bila jednostavna situacija u kojoj se linearni val širi u određenom mediju, u kojem će slučaju njegova svojstva biti očuvana čak i pod utjecajem poremećaja koji proizlaze iz samog vala. Ova svojstva su definirana kao specifičan zbroj učinaka svake od harmoničnih komponenti.

Načelo superpozicije može uzeti druge formulacije koje su potpuno ekvivalentne gore navedenim:

· Međudjelovanje između dviju čestica ne mijenja se kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.

· Energija međudjelovanja svih čestica u sustavu s više čestica jednostavno je zbroj energija međudjelovanja parova između svih mogućih parova čestica. U sustavu nema interakcija više čestica.

· Jednadžbe koje opisuju ponašanje sustava s više čestica su linearne u broju čestica.

6 Kruženje vektora napona je rad električnih sila pri pomicanju jednog pozitivnog naboja duž zatvorene putanje L

Budući da je rad sila elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednak nuli (rad potencijalnih sila polja), stoga je kruženje jakosti elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednaka nuli.

Potencijal polja. Rad bilo kojeg elektrostatskog polja pri pomicanju nabijenog tijela u njemu iz jedne točke u drugu također ne ovisi o obliku putanje, baš kao ni rad jednolikog polja. Na zatvorenoj putanji rad elektrostatskog polja uvijek je jednak nuli. Polja s ovim svojstvom nazivamo potencijalnim. Konkretno, elektrostatsko polje točkastog naboja ima potencijalni karakter.
Rad potencijalnog polja može se izraziti promjenom potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.

7-11 Ako silnice polja jednolikog električnog polja s intenzitetom prodiru kroz određeno područje S, tada će tok vektora intenziteta (prethodno smo zvali broj linija polja kroz područje) biti određen formulom:

gdje je En umnožak vektora i normale na dano područje (slika 2.5).

Riža. 2.5

Ukupan broj linija sila koje prolaze površinom S naziva se tok vektora intenziteta FU kroz tu površinu.

U vektorskom obliku možemo napisati skalarni produkt dva vektora, gdje je vektor .

Dakle, vektorski tok je skalar koji, ovisno o vrijednosti kuta α, može biti pozitivan ili negativan.

Pogledajmo primjere prikazane na slikama 2.6 i 2.7.

	Riža. 2.6	Riža. 2.7

Za sliku 2.6, površina A1 je okružena pozitivnim nabojem i strujanje je ovdje usmjereno prema van, tj. Površina A2– okružena je negativnim nabojem, ovdje je usmjeren prema unutra. Ukupni tok kroz površinu A je nula.

Za sliku 2.7, tok neće biti nula ako ukupni naboj unutar površine nije nula. Za ovu konfiguraciju, tok kroz površinu A je negativan (brojite broj linija polja).

Dakle, tok vektora napona ovisi o naboju. Ovo je značenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema.

Gaussov teorem

Eksperimentalno utvrđen Coulombov zakon i princip superpozicije omogućuju potpuno opisivanje elektrostatskog polja zadanog sustava naboja u vakuumu. Međutim, svojstva elektrostatičkog polja mogu se izraziti u drugom, općenitijem obliku, bez pribjegavanja ideji Coulombovog polja točkastog naboja.

Uvedimo novu fizikalnu veličinu koja karakterizira električno polje – protok Φ vektora jakosti električnog polja. Neka se u prostoru u kojem se stvara električno polje nalazi neko prilično malo područje ΔS. Umnožak modula vektora s površinom ΔS i kosinusa kuta α između vektora i normale na mjesto naziva se elementarni tok vektora intenziteta kroz mjesto ΔS (slika 1.3.1):

Razmotrimo sada neku proizvoljnu zatvorenu površinu S. Ako tu površinu podijelimo na mala područja ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz ta mala područja, a zatim ih zbrojimo, tada ćemo kao rezultat dobiti protok Φ vektor kroz zatvorenu površinu S (slika 1.3.2):

Gaussov teorem kaže:

Protok vektora jakosti elektrostatskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja unutar te površine, podijeljenom s električnom konstantom ε0.

gdje je R polumjer sfere. Tok Φ kroz sfernu površinu bit će jednak umnošku E i površine sfere 4πR2. Stoga,

Okružimo sada točkasti naboj proizvoljnom zatvorenom površinom S i razmotrimo pomoćnu sferu radijusa R0 (sl. 1.3.3).

Razmotrimo stožac s malim prostornim kutom ΔΩ na vrhu. Ovaj stožac će istaknuti malo područje ΔS0 na sferi i područje ΔS na površini S. Elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ova područja su isti. Stvarno,

Na sličan način može se pokazati da ako zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q, tada je tok Φ = 0. Takav je slučaj prikazan na Sl. 1.3.2. Sve linije sila električnog polja točkastog naboja prodiru zatvorenu plohu S kroz i kroz. Unutar površine S nema naboja, pa se u tom području silnice polja ne prekidaju niti nastaju.

Generalizacija Gaussovog teorema na slučaj proizvoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se prikazati kao vektorski zbroj električnih polja točkastih naboja. Protok Φ sustava naboja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S bit će zbroj tokova Φi električnih polja pojedinih naboja. Ako se naboj qi nalazi unutar površine S, tada daje doprinos protoku jednak ako je ovaj naboj izvan površine, tada će doprinos njegovog električnog polja protoku biti jednak nuli.

Time je Gaussov teorem dokazan.

Gaussov teorem je posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ali ako tvrdnju sadržanu u ovom teoremu uzmemo kao izvorni aksiom, tada će njegova posljedica biti Coulombov zakon. Stoga se Gaussov teorem ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombova zakona.

Koristeći Gaussov teorem, u nekim je slučajevima moguće jednostavno izračunati jakost električnog polja oko nabijenog tijela ako data raspodjela naboja ima neku simetriju i ako se opća struktura polja može unaprijed pogoditi.

Primjer je problem izračunavanja polja tankostijenog, šupljeg, jednoliko nabijenog dugog cilindra radijusa R. Ovaj problem ima osnu simetriju. Zbog simetrije, električno polje mora biti usmjereno duž polumjera. Stoga je za primjenu Gaussovog teorema preporučljivo odabrati zatvorenu plohu S u obliku koaksijalnog valjka nekog radijusa r i duljine l, zatvorenog na oba kraja (slika 1.3.4).

Za r ≥ R, cijeli tok vektora intenziteta proći će kroz bočnu površinu cilindra, čija je površina jednaka 2πrl, budući da je tok kroz obje baze nula. Primjena Gaussovog teoreme daje:

Ovaj rezultat ne ovisi o polumjeru R nabijenog cilindra, pa vrijedi i za polje dugačke jednoliko nabijene niti.

Za određivanje jakosti polja unutar nabijenog cilindra potrebno je konstruirati zatvorenu plohu za slučaj r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Na sličan način, može se primijeniti Gaussov teorem za određivanje električnog polja u nizu drugih slučajeva kada raspodjela naboja ima neku vrstu simetrije, na primjer, simetriju oko središta, ravnine ili osi. U svakom od ovih slučajeva potrebno je odabrati zatvorenu Gaussovu plohu odgovarajućeg oblika. Na primjer, u slučaju središnje simetrije, zgodno je odabrati Gaussovu plohu u obliku kugle sa središtem u točki simetrije. S osnom simetrijom, zatvorena ploha mora biti odabrana u obliku koaksijalnog cilindra, zatvorenog na oba kraja (kao u gore navedenom primjeru). Ako raspodjela naboja nema nikakvu simetriju i ne može se pogoditi opća struktura električnog polja, primjena Gaussovog teorema ne može pojednostaviti problem određivanja jakosti polja.

Razmotrimo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja - određivanje polja ravnomjerno nabijene ravnine (sl. 1.3.5).

U tom je slučaju preporučljivo odabrati Gaussovu plohu S u obliku valjka određene duljine, zatvorenog na oba kraja. Os cilindra usmjerena je okomito na nabijenu ravninu, a njegovi krajevi nalaze se na istoj udaljenosti od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijene ravnine mora svugdje biti usmjereno duž normale. Primjena Gaussovog teoreme daje:

gdje je σ površinska gustoća naboja, tj. naboj po jedinici površine.

Rezultirajući izraz za električno polje jednoliko nabijene ravnine također je primjenjiv u slučaju ravnih nabijenih površina konačne veličine. U tom slučaju udaljenost od točke na kojoj se određuje jakost polja do nabijene površine trebala bi biti znatno manja od veličine površine.

I rasporedi za 7 – 11

1. Intenzitet elektrostatskog polja koje stvara jednoliko nabijena sferna površina.

Neka sferna površina polumjera R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustoća naboja u bilo kojoj točki sfere bit će ista.

a. Zatvorimo našu sfernu plohu u simetričnu plohu S radijusa r>R. Tok vektora napetosti kroz plohu S bit će jednak

Po Gaussovoj teoremi

Stoga

c. Povucimo kroz točku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, kuglu S radijusa r

2. Elektrostatičko polje lopte.

Imamo kuglu radijusa R, jednoliko nabijenu volumenskom gustoćom.

U bilo kojoj točki A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njezina središta (r>R), njezino polje je slično polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu lopte. Zatim izvan lopte

(13.10)

a na njegovoj površini (r=R)

(13.11)

U točki B, koja leži unutar kuglice na udaljenosti r od njezina središta (r>R), polje je određeno samo nabojem koji se nalazi unutar kugle polumjera r. Tok vektora napetosti kroz ovu sferu jednak je

s druge strane, u skladu s Gaussovim teoremom

Po Gaussovoj teoremi

Iz zadnja dva izraza određujemo jakost polja koju stvara jednoliko nabijena nit:

(13.13)

Neka ravnina ima beskonačan opseg, a naboj po jedinici površine jednak σ. Iz zakona simetrije slijedi da je polje usmjereno posvuda okomito na ravninu, a ako nema drugih vanjskih naboja, onda polja s obje strane ravnine moraju biti ista. Ograničimo dio nabijene ravnine na zamišljenu cilindričnu kutiju, tako da je kutija prerezana na pola i da su njezini sastavni dijelovi okomiti, a dvije baze, svaka s površinom S, paralelne s nabijenom ravninom (slika 1.10).

12. Polje jednoliko nabijene kugle.

Neka električno polje stvara naboj Q, ravnomjerno raspoređen po površini sfere radijusa R(Slika 190). Za izračun potencijala polja u proizvoljnoj točki koja se nalazi na udaljenosti r iz središta kugle potrebno je izračunati rad polja pri pomicanju jediničnog pozitivnog naboja iz dane točke u beskonačnost. Prethodno smo dokazali da je jakost polja jednoliko nabijene kugle izvan nje ekvivalentna polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu kugle. Prema tome, izvan sfere, potencijal polja sfere će se podudarati s potencijalom polja točkastog naboja

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Konkretno, na površini kugle potencijal je jednak φ 0=Q 4πε 0R. Unutar sfere nema elektrostatičkog polja, tako da je rad za premještanje naboja s proizvoljne točke unutar sfere na njezinu površinu jednak nuli A= 0, stoga je razlika potencijala između tih točaka također nula Δ φ = -A= 0. Prema tome, sve točke unutar sfere imaju isti potencijal koji koincidira s potencijalom njezine površine φ 0=Q 4πε 0R .

Dakle, raspodjela potencijala polja jednoliko nabijene kugle ima oblik (sl. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Imajte na umu da unutar sfere nema polja, a potencijal je različit od nule! Ovaj primjer je jasna ilustracija činjenice da je potencijal određen vrijednošću polja od dane točke do beskonačnosti.