Problem 16:

Je li moguće zamijeniti 25 rubalja s deset novčanica u apoenima od 1, 3 i 5 rubalja? Riješenje:

Odgovor: Ne

Petya je kupio opću bilježnicu s volumenom od 96 listova i sve njezine stranice numerirao brojevima od 1 do 192. Vasya je iz ove bilježnice istrgnuo 25 listova i zbrojio svih 50 brojeva napisanih na njima. Je li 1990. mogao uspjeti? Riješenje:

Na svakom listu zbroj brojeva stranica je neparan, a zbroj 25 neparnih brojeva je neparan.

Umnožak 22 cijela broja je 1. Dokažite da njihov zbroj nije nula. Riješenje:

Među ovim brojevima - Parni broj“minus jedinice”, a da bi zbroj bio jednak nuli mora ih biti točno 11.

Je li moguće sastaviti čarobni kvadrat od prvih 36 prostih brojeva? Riješenje:

Među tim brojevima, jedan (2) je paran, a ostali su neparni. Dakle, u retku gdje je dvojka zbroj brojeva je neparan, au ostalim je paran.

U nizu su napisani brojevi od 1 do 10. Je li moguće između njih staviti znak “+” i “-” tako da vrijednost dobivenog izraza bude jednaka nuli?

Napomena: Imajte na umu da negativni brojevi također su parni i neparni. Riješenje:

Naime, zbroj brojeva od 1 do 10 je 55, a promjenom predznaka u njemu mijenjamo cijeli izraz u paran broj.

Skakavac skače pravocrtno i prvi put je skočio 1 cm u nekom smjeru, drugi put 2 cm i tako dalje. Dokaži da nakon 1985 skokova ne može završiti gdje je krenuo. Riješenje:

Napomena: Zbroj 1 + 2 + … + 1985 je neparan.

Na ploči su napisani brojevi 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Dopušteno je bilo koja dva broja obrisati s ploče i umjesto njih napisati modul njihove razlike. Na kraju će na ploči ostati samo jedan broj. Može li biti nula? Riješenje:

Provjerite da gornje operacije ne mijenjaju paritet zbroja svih brojeva napisanih na ploči.

Je li moguće pokriti šahovsku ploču dominom 1 × 2 tako da ostanu slobodna samo polja a1 i h8? Riješenje:

Svaka domina pokriva jedno crno i jedno bijelo polje, a odbacivanjem polja a1 i h8 ostaje 2 crna polja manje od bijelih.

Broju od 17 znamenki dodali smo broj napisan istim znamenkama, ali obrnutim redoslijedom. Dokažite da je barem jedna znamenka dobivenog zbroja parna. Riješenje:

Razmotrimo dva slučaja: zbroj prve i zadnje znamenke broja manji je od 10, a zbroj prve i zadnje znamenke broja nije manji od 10. Ako pretpostavimo da su sve znamenke zbroja neparne, onda u prvom slučaju ne bi trebalo biti niti jednog prijenosa u znamenkama (što je očito , dovodi do kontradikcije), au drugom slučaju, prisutnost prijenosa pri pomicanju s desna na lijevo ili slijeva na desno izmjenjuje se s odsutnošću prijenosa, a kao rezultat dobivamo da je znamenka zbroja u devetoj znamenki nužno parna.

U narodnom odredu ima 100 ljudi, a svake večeri troje ih dežura. Može li se nakon nekog vremena ispostaviti da je svatko sa svakim bio na dužnosti točno jednom? Riješenje:

Budući da na svakoj dužnosti u kojoj sudjeluje ova osoba dežura s još dvije osobe, onda se svi ostali mogu podijeliti u parove. Međutim, 99 je neparan broj.

Na pravcu se nalazi 45 točaka koje leže izvan segmenta AB. Dokažite da zbroj udaljenosti od tih točaka do točke A nije jednak zbroju udaljenosti od tih točaka do točke B. Riješenje:

Za bilo koju točku X koja leži izvan AB vrijedi AX - BX = ± AB. Ako pretpostavimo da su zbrojevi udaljenosti jednaki, dobivamo da je izraz ± AB ± AB ± … ± AB, koji sadrži 45 članova, jednak nuli. Ali ovo je nemoguće.

Postoji 9 brojeva raspoređenih u krug - 4 jedinice i 5 nula. Svake sekunde nad brojevima se izvodi sljedeća operacija: između susjednih brojeva stavlja se nula ako su različiti, a jedinica ako su jednaki; nakon toga se stari brojevi brišu. Mogu li nakon nekog vremena svi brojevi postati isti? Riješenje:

Jasno je da se kombinacija od devet jedinica ne može dobiti prije devet nula. Ako je bilo devet nula, onda su se na prethodnom potezu morale izmjenjivati ​​nule i jedinice, što je nemoguće jer ih je samo neparan broj.

Za okruglim stolom sjedi 25 dječaka i 25 djevojčica. Dokažite da neki od ljudi koji sjede za stolom imaju oba dječaka kao susjede. Riješenje:

Izvedimo naš dokaz kontradikcijom. Pobrojimo redom sve koji sjede za stolom, počevši od nekog mjesta. Ako je uključeno k-to mjesto sjedi dječak, onda je jasno da na (k - 2) i (k + 2) mjestu sjede djevojčice. Ali budući da postoji jednak broj dječaka i djevojčica, onda za bilo koju djevojčicu koja sjedi na n-tom mjestu, istina je da postoje dječaci koji sjede na (n - 2) i (n + 2) mjestu. Ako sada uzmemo u obzir samo onih 25 ljudi koji sjede na “parnim” mjestima, ustanovit ćemo da se među njima izmjenjuju dječaci i djevojčice ako idemo oko stola u nekom smjeru. Ali 25 je neparan broj.

Puž puže po ravnini konstantnom brzinom, okrećući se pod pravim kutom svakih 15 minuta. Dokažite da se ona može vratiti na početnu točku tek nakon cijelog broja sati. Riješenje:

Jasno je da je broj a područja u kojima je puž puzao gore ili dolje jednak broju područja u kojima je puzao udesno ili ulijevo. Ostaje samo primijetiti da je a paran.

Tri skakavca igraju preskok na ravnoj liniji. Svaki put jedan od njih preskoči drugoga (ali ne oboje odjednom!). Mogu li nakon skoka iz 1991. završiti na istim mjestima? Riješenje:

Označimo skakavce A, B i C. Raspored skakavaca ABC, BCA i CAB (s lijeva na desno) nazovimo ispravnim, a ACB, BAC i CBA nepravilnim. Lako je vidjeti da se s bilo kojim skokom tip rasporeda mijenja.

Riječ je o 101 novčiću, od kojih je 50 lažnih, koji se u težini od pravih razlikuju za 1 gram. Petya je uzeo jedan novčić i u jednom vaganju na vagi sa strelicom koja pokazuje razliku u težinama na šalicama želi utvrditi je li krivotvoren. Hoće li on to moći? Riješenje:

Morate staviti ovaj novčić sa strane, a zatim podijeliti preostalih 100 novčića u dvije hrpe od po 50 novčića i usporediti težine tih hrpa. Ako se razlikuju za parni broj grama, onda je novčić koji nas zanima pravi. Ako je razlika u težinama neparna, onda je novčić krivotvoren.

Može li se brojevi od 1 do 9 zapisati jedanput u nizu tako da između jedan i dva, dva i tri, ..., osam i devet bude neparan broj znamenki? Riješenje:

Inače bi svi brojevi u nizu bili na mjestima istog pariteta.

Ovaj rad Petya je kupila opću bilježnicu s volumenom od 96 listova i numerirala sve njezine stranice brojevima od 1 do 192. Vasya je istrgnuo (Test) na temu (AHD i financijsku analizu), po narudžbi su ga izradili stručnjaci naše tvrtke i uspješno je prošao obranu. Posao - Petya je kupila opću bilježnicu s volumenom od 96 listova i numerirala je sve njezine stranice brojevima od 1 do 192. Vasya je istrgnuo ACD na tu temu, a financijska analiza odražava njezinu temu i logičnu komponentu njezina otkrivanja, Otkriva se bit problematike koja se proučava, ističu se glavne odredbe i vodeće ideje ove teme.
Rad - Petya je kupio opću bilježnicu s volumenom od 96 listova i numerirao sve stranice redom brojevima od 1 do 192. Vasya ju je istrgnuo, sadrži: tablice, crteže, najnovije književne izvore, godinu predaje rada i obranjen - 2017. U radu je Petya kupio opću bilježnicu od 96 listova i numerirao sve njezine stranice redom brojevima od 1 do 192. Vasya je izvukao (AHD i financijska analiza) otkriva relevantnost teme istraživanja, odražava stupanj razvijenosti problema, na temelju duboke procjene i analize znanstvenih i metodička literatura, u radu na predmetu ACD i financijske analize, sveobuhvatno se razmatra predmet analize i njegova problematika, kako s teorijske tako i s praktične strane, formuliraju se cilj i specifični ciljevi teme koja se razmatra, postoji logika prezentacija gradiva i njegov redoslijed.

Odjeljci: Matematika

Dragi sudionici olimpijade!

Školska matematička olimpijada održava se u jednom krugu.
Postoji 5 zadataka različitih razina težine.
Ne postavljaju vam se nikakvi posebni zahtjevi u vezi s izvođenjem posla. Oblik predstavljanja rješenja problema, kao i metode rješavanja, može biti bilo koji. Ako imate individualnih razmišljanja o određenom zadatku, ali ne možete dovršiti rješenje, nemojte se ustručavati iznijeti sve svoje misli. I djelomično riješeni zadaci bit će ocijenjeni odgovarajućim brojem bodova.
Počnite rješavati probleme za koje mislite da su lakši, a zatim prijeđite na ostale. Na ovaj način ćete uštedjeti radno vrijeme.

Želimo vam uspjeh!

Školska pozornica Sveruska olimpijadaškolarci iz matematike

5. razred.

Vježba 1. U izrazu 1*2*3*4*5 zamijenite “*” znakovima akcije i stavite zagrade ovako. Da biste dobili izraz čija je vrijednost 100.

Zadatak 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetičke jednakosti u kojoj se brojevi zamjenjuju slovima, a različiti brojevi zamjenjuju se različitim slovima, a identični se zamjenjuju identičnima.

PET - TRI = DVA Poznato je da umjesto slov A morate zamijeniti broj 2.

Zadatak 3. Kako pomoću čašne vage bez utega podijeliti 80 kg čavala na dva dijela - 15 kg i 65 kg?

Zadatak 4. Izrežite lik prikazan na slici na dva jednaka dijela tako da svaki dio ima jednu zvijezdu. Možete rezati samo duž linija mreže.

Zadatak 5. Šalica i tanjurić zajedno koštaju 25 rubalja, a 4 šalice i 3 tanjurića koštaju 88 rubalja. Pronađite cijenu šalice i cijenu tanjurića.

6. razred.

Vježba 1. Usporedite razlomke bez svođenja na zajednički nazivnik.

Zadatak 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetičke jednakosti u kojoj se brojevi zamjenjuju slovima, a različiti brojevi zamjenjuju se različitim slovima, a identični se zamjenjuju identičnima. Pretpostavlja se da je izvorna jednakost istinita i napisana prema uobičajenim aritmetičkim pravilima.

RADITI
+VOLJA
SREĆA

Zadatak 3. Tri prijatelja došla su u ljetni kamp da se opuste: Miša, Volodja i Petja. Poznato je da svaki od njih nosi jedno od sljedećih prezimena: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Miša nije Gerasimov. Volodjin otac je inženjer. Volodja ide u 6. razred. Gerasimov studira u 5. razredu. Ivanov otac je učitelj. Kako se preziva svaki od tri prijatelja?

Zadatak 4. Podijelite lik duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da svaki dio sadrži jednu točku.

Zadatak 5. Vilin konjic je spavao pola vremena svakog dana crvenog ljeta, plesao trećinu vremena svakog dana i pjevao šestinu vremena. Odlučila je ostatak vremena posvetiti pripremanju zimnice. Koliko se sati dnevno Dragonfly pripremao za zimu?

7. razred.

Vježba 1. Riješite zagonetku ako znate da je najveća znamenka u broju JAKO 5:

ODLUČITI
AKO
JAKO

Zadatak 2. Riješite jednadžbu│7 - x│ = 9.3

Zadatak 3. Nakon sedam pranja duljina, širina i debljina sapuna su se prepolovile. Za koliko pranja će trajati preostali sapun?

Zadatak 4 . Podijelite pravokutnik veličine 4 × 9 ćelija duž stranica ćelija na dva jednaka dijela tako da od njih možete sastaviti kvadrat.

Zadatak 5. Drvena kocka je obojana u bijelo sa svih strana, a zatim je ispiljena u 64 identične kocke. Koliko je kockica bilo obojeno na tri strane? Na obje strane?
S jedne strane? Koliko kocki nije obojeno?

8. razred.

Vježba 1. S koje dvije znamenke završava broj 13?

Zadatak 2. Smanjite razlomak:

Zadatak 3. Školski dramski klub priprema se uprizoriti ulomak iz bajke A.S. Puškina o caru Saltanu, odlučio raspodijeliti uloge među sudionicima.
"Ja ću biti Černomor", rekao je Jura.
"Ne, ja ću biti Černomor", rekao je Kolja.
"U redu", priznao mu je Yura, "mogu igrati Guidona."
"Pa, ja mogu postati Saltan", Kolya je također pokazao popustljivost.
- Pristajem biti samo Guidon! - rekao je Miša.
Želje dječaka su bile zadovoljene. Kako su bile raspoređene uloge?

Zadatak 4. U jednakokračan trokut ABC s osnovicom AB = 8m, nacrtana je središnja AD. Opseg trokuta ACD je za 2m veći od opsega trokuta ABD. Pronađite AC.

Zadatak 5. Nikolaj je kupio opću bilježnicu od 96 listova i numerirao stranice od 1 do 192. Nećak Arthur je iz te bilježnice istrgnuo 35 listova i zbrojio svih 70 brojeva napisanih na njima. Je li mogao uspjeti 2010.?

9. razred.

Vježba 1. Pronađite zadnju znamenku 1989 1989.

Zadatak 2. Zbroj korijena nekih kvadratna jednadžba je 1, a zbroj njihovih kvadrata je 2. Koliki je zbroj njihovih kubova?

Zadatak 3. Pomoću tri središnje strane m a, m b i m c ∆ ABC odredite duljinu stranice AC = b.

Zadatak 4. Smanjite razlomak .

Zadatak 5. Na koliko načina možete izabrati samoglasnik i suglasnik u riječi “kamzol”?

10. razred.

Vježba 1. Trenutno postoje kovanice od 1, 2, 5, 10 rubalja. Navedite sve iznose novca koji se mogu platiti parnim i neparnim brojem novčića.

Zadatak 2. Dokažite da je 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 djeljivo sa 6.

Zadatak 3. U četverokutu ABCD dijagonale se sijeku u točki M. Poznato je da AM = 1,
VM = 2, SM = 4. U kojim vrijednostima DMčetverokut ABCD je li to trapez?

Zadatak 4. Riješite sustav jednadžbi

Zadatak 5. Rukovalo se tridesetak školaraca - učenika desetih i jedanaestih razreda. Pokazalo se da se svaki desetaš rukovao s osam jedanaestaša, a svaki jedanaestaš sa sedam desetaša. Koliko je bilo učenika desetih, a koliko jedanaestih razreda?