ELEKTROMAGNETSKE OSCILACIJE. SLOBODNE I PRISILNE ELEKTRIČNE VIBRACIJE U TIHRAJUĆEM KRUGU.
- Elektromagnetske vibracije- međusobno povezane oscilacije električnog i magnetskog polja.
Elektromagnetske vibracije pojavljuju se u raznim električnim krugovima. U isto vrijeme, količina naboja, napona, struje i napetosti variraju električno polje, indukcija magnetsko polje i druge elektrodinamičke veličine.
Slobodne elektromagnetske oscilacijenastaju u elektromagnetskom sustavu nakon njegovog uklanjanja iz stanja ravnoteže, na primjer, prijenosom naboja na kondenzator ili promjenom struje u dijelu kruga.
To su prigušene oscilacije, budući da se energija predana sustavu troši na grijanje i druge procese.
Prisilne elektromagnetske oscilacije- neprigušene oscilacije u krugu uzrokovane vanjskim povremeno mijenjajućim sinusoidnim EMF-om.
Elektromagnetske oscilacije opisuju se istim zakonima kao i mehaničke, iako je fizikalna priroda tih oscilacija potpuno drugačija.
Električne vibracije - poseban slučaj elektromagnetski, kada se razmatraju vibracije samo električnih veličina. U ovom slučaju govore o izmjeničnoj struji, naponu, snazi itd.
- OSCILACIONI KRUG
Titrajni krug je električni krug koji se sastoji od kondenzatora spojenog u seriju s kapacitetom C, zavojnice s induktivitetom Li otpornik s otporom R. Idealni strujni krug - ako se otpor može zanemariti, odnosno samo kondenzator C i idealna zavojnica L.
Stanje stabilne ravnoteže titrajnog kruga karakterizira minimalna energija električnog polja (kondenzator nije nabijen) i magnetskog polja (nema struje kroz zavojnicu).
- KARAKTERISTIKE ELEKTROMAGNETSKIH VIBRACIJA
Analogija mehaničkih i elektromagnetskih vibracija
Karakteristike: | Mehaničke vibracije | Elektromagnetske vibracije |
Veličine koje izražavaju svojstva samog sustava (parametri sustava): | m- masa (kg) k- krutost opruge (N/m) | L- induktivitet (H) 1/C- recipročna vrijednost kapaciteta (1/F) |
Veličine koje karakteriziraju stanje sustava: | Kinetička energija (J) Potencijalna energija (J) x - pomak (m) | Električna energija (J) Magnetska energija (J) q - naboj kondenzatora (C) |
Veličine koje izražavaju promjene u stanju sustava: | v = x"(t) brzina - brzina pomaka (m/s) | i = q"(t) jakost struje - brzina promjene naboja (A) |
Ostale karakteristike: T=1/v T=2π/ω ω=2πν | T- razdoblje oscilacije vrijeme jedne potpune oscilacije (s) |
|
ν- frekvencija - broj oscilacija po jedinici vremena (Hz) |
||
ω - ciklička frekvencija broj oscilacija u 2π sekundi (Hz) |
||
φ=ωt – faza titranja - pokazuje koji dio vrijednosti amplitude zauzima ovaj trenutak fluktuirajuća količina, tj.faza određuje stanje titrajnog sustava u svakom trenutku t. |
||
gdje je q" je druga derivacija naboja u odnosu na vrijeme.
Veličina je ciklička frekvencija. Iste jednadžbe opisuju fluktuacije struje, napona i drugih električnih i magnetskih veličina.
Jedno od rješenja jednadžbe (1) je harmonijska funkcija
Ovo je integralna jednadžba harmonijske vibracije.
Period titranja u krugu (Thomsonova formula):
Količina φ = ώt + φ 0 , koji stoji ispod znaka sinusa ili kosinusa, je faza oscilacije.
Struja u krugu jednaka je izvodu naboja u odnosu na vrijeme, može se izraziti
Napon na pločama kondenzatora varira prema zakonu:
Gdje je I max =ωq max – amplituda struje (A),
U max =q max /C - amplituda napona (V)
Vježba: za svako stanje titrajnog kruga zapišite vrijednosti naboja na kondenzatoru, struju u zavojnici, jakost električnog polja, indukciju magnetskog polja, električnu i magnetsku energiju.
Glavna vrijednost prezentacijskog materijala je preglednost postupno naglašene dinamike formiranja pojmova vezanih uz zakonitosti mehaničkih, a posebno elektromagnetskih oscilacija u oscilatornim sustavima.
Preuzimanje datoteka:
Naslovi slajdova:
Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. Za učenike 11. razreda Belgorodska regija Gubkin MBOU "Srednja škola br. 3" Skarzhinsky Y.Kh. ©
Oscilatorni krug
Titrajni krug Titrajni krug bez aktivnog R
Električni oscilirajući sustav Mehanički oscilirajući sustav
Električni oscilatorni sustav s potencijalnom energijom nabijenog kondenzatora Mehanički oscilatorni sustav s potencijalnom energijom deformirane opruge
Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. OPRUGA KONDENZATOR OPTEREĆENJE ZAVOJNICA A Mehaničke veličine Električne veličine Koordinata x Naboj q Brzina v x Struja i Masa m Induktivnost L Potencijalna energija kx 2 /2 Energija električnog polja q 2 /2 Krutost opruge k Recipročna vrijednost kapaciteta 1/C Kinetička energija mv 2 / 2 Energija magnetskog polja Li 2 /2
Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. 1 Odredite energiju magnetskog polja zavojnice u oscilatornom krugu ako je njezin induktivitet 5 mH, a najveća struja 0,6 mA. 2 Koliki je bio najveći naboj na pločama kondenzatora u istom titrajnom krugu ako je njegov kapacitet bio 0,1 pF? Rješavanje kvalitativnih i kvantitativnih problema na novoj temi.
Domaća zadaća: §
O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke
Glavni ciljevi i zadaci lekcije: Provjeriti znanje, vještine i sposobnosti na obrađenu temu, uzimajući u obzir individualne karakteristike svakog učenika. Stimulirajte jake učenike da prošire svoje aktivnosti...
sažetak lekcije "Mehaničke i elektromagnetske vibracije"
Ovaj se razvoj može koristiti pri proučavanju teme u 11. razredu: "Elektromagnetske oscilacije." Materijal je namijenjen proučavanju nove teme....
Iako mehaničke i elektromagnetske vibracije imaju drugačija priroda, mogu se povući mnoge analogije između njih. Na primjer, razmotrite elektromagnetske oscilacije u oscilatornom krugu i titranje tereta na opruzi.
Osciliranje tereta na opruzi
Tijekom mehaničkih vibracija tijela na opruzi, koordinata tijela će se periodički mijenjati. U tom slučaju promijenit će se projekcija brzine tijela na os Ox. U elektromagnetskim oscilacijama tijekom vremena periodični zakon promijenit će se naboj q kondenzatora, a promijenit će se i struja u krugu titrajnog kruga.
Količine će imati isti obrazac promjene. To se događa jer postoji analogija između uvjeta u kojima se pojavljuju oscilacije. Kada maknemo teret opruge iz ravnotežnog položaja, u opruzi se javlja elastična sila F ex., koja teži vratiti teret natrag u ravnotežni položaj. Koeficijent proporcionalnosti te sile bit će krutost opruge k.
Kada se kondenzator isprazni, u krugu oscilatornog kruga pojavljuje se struja. Pražnjenje je posljedica činjenice da postoji napon u na pločama kondenzatora. Ovaj napon će biti proporcionalan naboju q bilo koje ploče. Koeficijent proporcionalnosti bit će vrijednost 1/C, gdje je C kapacitivnost kondenzatora.
Kada se teret kreće na opruzi, kada je otpustimo, brzina tijela se postupno povećava, zbog tromosti. I nakon prestanka sile, brzina tijela ne postaje odmah nula, ona također postupno opada.
Oscilatorni krug
Isto vrijedi i za oscilatorni krug. Struja u zavojnici pod utjecajem napona ne raste odmah, već postupno, zbog pojave samoindukcije. A kada napon prestane djelovati, struja ne postaje odmah nula.
To jest, u oscilatornom krugu, induktivitet zavojnice L će biti sličan masi tijela m, kada opterećenje na opruzi oscilira. Posljedično, kinetička energija tijela (m*V^2)/2 bit će slična energiji magnetskog polja struje (L*i^2)/2.
Kada uklonimo teret iz ravnotežnog položaja, umu prenosimo neku potencijalnu energiju (k*(Xm)^2)/2, gdje je Xm pomak iz ravnotežnog položaja.
U oscilatornom krugu ulogu potencijalne energije ima energija naboja kondenzatora q^2/(2*C). Možemo zaključiti da će krutost opruge u mehaničkim vibracijama biti slična vrijednosti 1/C, gdje je C kapacitet kondenzatora u elektromagnetskim vibracijama. A koordinata tijela bit će slična naboju kondenzatora.
Pogledajmo pobliže oscilacijske procese na sljedećoj slici.
slika
(a) Tijelu prenosimo potencijalnu energiju. Analogno tome punimo kondenzator.
(b) Pustimo loptu, potencijalna energija se počinje smanjivati, a brzina lopte raste. Analogno, naboj na ploči kondenzatora počinje se smanjivati, a strujna snaga se pojavljuje u krugu.
(c) Položaj ravnoteže. Potencijalne energije nema, brzina tijela je maksimalna. Kondenzator je ispražnjen, struja u krugu je maksimalna.
(e) Tijelo je skrenulo u krajnji položaj, brzina mu je postala jednaka nuli, a potencijalna energija dosegla je svoj maksimum. Kondenzator se ponovno napunio, struja u krugu postala je nula.
Izrada metodologije za proučavanje teme "Elektromagnetske oscilacije"
Oscilatorni krug. Transformacije energije tijekom elektromagnetskih oscilacija.
O ovim pitanjima, koja su među najvažnijima u ovoj temi, govori se u trećoj lekciji.
Prvo se uvodi pojam titrajnog kruga, te se upisuje odgovarajući zapis u bilježnicu.
Dalje, kako bi se razjasnio uzrok nastanka elektromagnetskih oscilacija, prikazan je fragment koji prikazuje proces punjenja kondenzatora. Učenicima se skreće pozornost na predznake naboja ploča kondenzatora.
Nakon toga razmatraju se energije magnetskog i električnog polja, učenicima se govori kako se mijenjaju te energije i ukupna energija u strujnom krugu, modelski se objašnjava mehanizam nastanka elektromagnetskih oscilacija te se zapisuju osnovne jednadžbe. .
Vrlo je važno skrenuti pozornost učenicima na činjenicu da je ovakav prikaz struje u strujnom krugu (tok nabijenih čestica) uvjetan, jer je brzina elektrona u vodiču vrlo mala. Ovakav način prikaza odabran je kako bi se olakšalo razumijevanje suštine elektromagnetskih oscilacija.
Zatim se pozornost učenika usmjerava na to da promatraju procese pretvaranja energije električnog polja u energiju magnetskog i obrnuto, a kako je oscilatorni krug idealan (nema otpora), onda ukupna energija elektromagnetsko polje ostaje nepromjenjen. Nakon toga se daje pojam elektromagnetskih oscilacija i propisuje da su te oscilacije slobodne. Zatim se zbrajaju rezultati i daje domaća zadaća.
Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija.
O ovom pitanju raspravlja se u četvrtoj lekciji teme. Prvo, za ponavljanje i pojačanje, možete još jednom pokazati dinamički model idealnog oscilatornog kruga. Za objašnjenje suštine i dokazivanje analogije između elektromagnetskih oscilacija i oscilacija opružnog njihala koristi se dinamički oscilatorni model “Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija” i PowerPoint prezentacije.
Opružno njihalo (oscilacije tereta na opruzi) smatra se mehaničkim oscilatornim sustavom. Identifikacija odnosa između mehaničkih i električnih veličina kada oscilatorni procesi provodi prema tradicionalnim metodama.
Kao što je već učinjeno u prošlom satu, potrebno je učenike još jednom podsjetiti na konvenciju gibanja elektrona po vodiču, nakon čega im se skreće pozornost na gornji desni kut ekrana, gdje oscilatorni sustav „komunicira posude” nalazi se. Propisano je da svaka čestica oscilira oko položaja ravnoteže, pa vibracije tekućine u međusobno povezanim posudama mogu poslužiti i kao analogija za elektromagnetske oscilacije.
Ako ostane vremena na kraju lekcije, možete detaljnije proučiti demonstracijski model i analizirati sve glavne točke koristeći novonaučeni materijal.
Jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u krugu.
Na početku sata demonstriraju se dinamički modeli oscilatornog kruga i analogije mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija, ponavljaju se pojmovi elektromagnetskih oscilacija, oscilatornog kruga i podudarnosti mehaničkih i elektromagnetskih veličina u oscilatornim procesima.
Novi materijal mora početi s činjenicom da ako je oscilatorni krug idealan, tada njegova ukupna energija ostaje konstantna tijekom vremena
oni. njegova vremenska derivacija je konstantna, pa su stoga konstantne i vremenske derivacije energija magnetskog i električnog polja. Zatim, nakon niza matematičkih transformacija, dolaze do zaključka da je jednadžba elektromagnetskih oscilacija slična jednadžbi oscilacija opružnog njihala.
Pozivajući se na dinamički model, učenici se podsjećaju da se naboj u kondenzatoru periodički mijenja, nakon čega se postavlja zadatak otkriti kako naboj, struja u krugu i napon na kondenzatoru ovise o vremenu.
Ove se ovisnosti pronalaze tradicionalnom metodom. Nakon što je pronađena jednadžba za oscilacije naboja kondenzatora, učenicima se pokaže slika koja prikazuje grafove ovisnosti naboja kondenzatora i pomaka opterećenja o vremenu, koji su kosinusni valovi.
U tijeku pojašnjenja jednadžbe osciliranja naboja kondenzatora uvode se pojmovi perioda titranja, cikličke i vlastite frekvencije oscilacija. Zatim se izvodi Thomsonova formula.
Zatim se dobivaju jednadžbe za oscilacije struje u krugu i napona na kondenzatoru, nakon čega se prikazuje slika s grafovima ovisnosti triju električnih veličina o vremenu. Učenicima se skreće pozornost na fazni pomak između fluktuacija struje i naboja i njegov nedostatak između fluktuacija napona i naboja.
Nakon što su izvedene sve tri jednadžbe, uvodi se pojam prigušenih oscilacija i prikazuje se slika koja prikazuje te oscilacije.
Sljedeća lekcija daje sažetak kratak sažetak uz ponavljanje osnovnih pojmova rješavaju se problemi nalaženja perioda, cikličkih i vlastitih frekvencija oscilacija, proučavaju se ovisnosti q(t), U(t), I(t), kao i različiti kvalitativni i grafički problemi.
4. Metodološki razvoj tri lekcije
Lekcije u nastavku razvijene su u obliku predavanja, budući da je ovaj oblik, po mom mišljenju, najproduktivniji iu ovom slučaju ostavlja dovoljno vremena za rad s dinamičkim demonstracijama ionski modeli. Po želji se ovaj oblik lako može transformirati u bilo koji drugi oblik izvođenja nastave.
Tema lekcije: Oscilatorni krug. Transformacije energije u oscilatornom krugu.
Objašnjenje novog gradiva.
Svrha sata: objašnjenje pojma titrajnog kruga i suštine elektromagnetskih oscilacija pomoću dinamičkog modela “Idealni oscilatorni krug”.
Oscilacije se mogu pojaviti u sustavu koji se naziva titrajni krug, a sastoji se od kondenzatora kapaciteta C i svitka induktiviteta L. Titrajni krug nazivamo idealnim ako u njemu nema gubitaka energije za zagrijavanje spojnih žica i žica svitka, tj. otpor R se zanemaruje.
Nacrtajmo u svoje bilježnice shematski prikaz titrajnog kruga.
Da bi došlo do električnih oscilacija u ovom krugu, potrebno mu je osigurati određeni dovod energije, tj. napuniti kondenzator. Kada je kondenzator napunjen, električno polje će biti koncentrirano između njegovih ploča.
(Pratimo proces punjenja kondenzatora i zaustavimo proces kada je punjenje završeno.)
Dakle, kondenzator je nabijen, njegova energija je jednaka
dakle, dakle,
Budući da će nakon punjenja kondenzator imati maksimalan naboj (obratite pažnju na ploče kondenzatora, one sadrže naboje suprotnog predznaka), tada će pri q = q max energija električnog polja kondenzatora biti maksimalna i jednaka
U početnom trenutku vremena, sva energija je koncentrirana između ploča kondenzatora, jakost struje u krugu je nula. (Spojimo sada kondenzator na zavojnicu na našem modelu). Kada se kondenzator kratko spoji na zavojnicu, počinje se prazniti i u krugu se pojavljuje struja, koja zauzvrat stvara magnetsko polje u zavojnici. Linije sile ovog magnetskog polja usmjerene su prema pravilu gimleta.
Kada se kondenzator isprazni, struja ne dostiže svoju najveću vrijednost odmah, već postupno. To se događa jer izmjenično magnetsko polje stvara drugo električno polje u zavojnici. Zbog pojave samoindukcije, tu nastaje indukcijska struja, koja je, prema Lenzovom pravilu, usmjerena u smjeru suprotnom od povećanja struje pražnjenja.
Kada struja pražnjenja dostigne najveću vrijednost, energija magnetskog polja je maksimalna i jednaka je:
a energija kondenzatora u ovom trenutku je nula. Dakle, nakon t=T/4 energija električnog polja se potpuno pretvara u energiju magnetskog polja.
(Promatrajmo proces pražnjenja kondenzatora na dinamičkom modelu. Skrećem vam pozornost na činjenicu da je ovaj način prikazivanja procesa punjenja i pražnjenja kondenzatora u obliku toka trčećih čestica uvjetovan i odabran radi lakšeg Percepcija. Vrlo dobro znate da je brzina elektrona vrlo mala (oko nekoliko centimetara u sekundi). Dakle, vidite kako se, kako se naboj na kondenzatoru smanjuje, jakost struje u krugu mijenja, kako se energije magnetsko i električno polje se mijenjaju, kakva veza postoji između tih promjena. Budući da je krug idealan, nema gubitka energije, tako da ukupna energija kruga ostaje konstantna).
Kako se kondenzator počinje ponovno puniti, struja pražnjenja neće se odmah smanjiti na nulu, već postupno. To se opet događa zbog pojave anti-e. d.s. a indukcijska struja suprotnog smjera. Ova struja se suprotstavlja smanjenju struje pražnjenja, baš kao što je prije suprotstavljala njeno povećanje. Sada će podržati glavnu struju. Energija magnetskog polja će se smanjiti, električna energija će se povećati, a kondenzator će se ponovno napuniti.
Dakle, ukupna energija titrajnog kruga u bilo kojem trenutku jednaka je zbroju energija magnetskog i električnog polja
Oscilacije u kojima se energija električnog polja kondenzatora periodički pretvara u energiju magnetskog polja zavojnice nazivaju se ELEKTROMAGNETSKIM titrajima. Budući da se ove vibracije javljaju zbog inicijalne opskrbe energijom i bez vanjskih utjecaja, one su BESPLATNE.
Tema lekcije: Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija.
Objašnjenje novog gradiva.
Cilj sata: objasniti bit i dokazati analogiju između elektromagnetskih oscilacija i oscilacija opružnog njihala pomoću dinamičkog oscilatornog modela “Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija” i PowerPoint prezentacija.
Materijal za ponavljanje:
pojam titrajnog kruga;
pojam idealnog oscilatornog kruga;
uvjeti za pojavu oscilacija u c/c;
pojmovi o magnetskom i električnom polju;
oscilacije kao proces periodičke promjene energija;
energija kruga u proizvoljnom trenutku u vremenu;
pojam (slobodnih) elektromagnetskih oscilacija.
(Za ponavljanje i učvršćivanje učenicima se još jednom pokazuje dinamički model idealnog titrajnog kruga).
U ovoj lekciji ćemo pogledati analogiju između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. Opružno njihalo promatrat ćemo kao mehanički oscilatorni sustav.
(Na ekranu vidite dinamički model koji pokazuje analogiju između mehaničkih i elektromagnetskih oscilacija. To će nam pomoći da razumijemo oscilatorne procese, kao što su mehanički sustav, i u elektromagnetskim).
Dakle, u opružnom njihalu, elastično deformirana opruga daje brzinu teretu koji je na nju vezan. Deformirana opruga ima potencijalnu energiju elastično deformiranog tijela
pokretni teret ima kinetičku energiju
Pretvorba potencijalne energije opruge u kinetičku energiju tijela koje oscilira mehanička je analogija pretvorbe energije električnog polja kondenzatora u energiju magnetskog polja zavojnice. U ovom slučaju, analog mehaničke potencijalne energije opruge je energija električnog polja kondenzatora, a analog mehaničke kinetičke energije tereta je energija magnetskog polja, koja je povezana s kretanjem od optužbi. Punjenje kondenzatora iz baterije odgovara poruci potencijalne energije opruzi (na primjer, pomak rukom).
Usporedimo formule i izvedimo općenite obrasce za elektromagnetske i mehaničke vibracije.
Iz usporedbe formula proizlazi da je analog induktiviteta L masa m, a analog pomaka x naboj q, a analog koeficijenta k recipročna vrijednost električnog kapaciteta, tj. 1/C.
Trenutak kada se kondenzator isprazni i struja dostigne svoj maksimum odgovara prolasku tijela kroz ravnotežni položaj s maksimalna brzina(obratite pozornost na zaslone: tamo možete promatrati ovu korespondenciju).
Kao što je već rečeno u prošloj lekciji, kretanje elektrona duž vodiča je uvjetno, jer je za njih glavna vrsta kretanja oscilatorno gibanje blizu ravnotežnog položaja. Stoga se ponekad elektromagnetske oscilacije uspoređuju s oscilacijama vode u povezanim posudama (pogledajte ekran, vidite da u gornjem desnom kutu postoji upravo takav oscilatorni sustav), gdje svaka čestica oscilira oko ravnotežnog položaja.
Dakle, saznali smo da je analogija induktiviteta masa, a analogija pomaka naboj. Ali dobro znate da promjena naboja po jedinici vremena nije ništa drugo do jakost struje, a promjena koordinate po jedinici vremena je brzina, to jest, q"= I, i x"= v. Tako smo pronašli još jednu podudarnost između mehaničkih i električnih veličina.
Napravimo tablicu koja će nam pomoći da sistematiziramo veze između mehaničkih i električnih veličina tijekom oscilatornih procesa.
Tablica podudarnosti između mehaničkih i električnih veličina tijekom oscilatornih procesa.
Tema lekcije: Jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u krugu.
Objašnjenje novog gradiva.
Cilj sata: izvođenje osnovne jednadžbe elektromagnetskih oscilacija, zakona promjene naboja i jakosti struje, dobivanje Thomsonove formule i izraza za vlastitu frekvenciju oscilacija strujnog kruga pomoću PowerPoint prezentacija.
Materijal za ponavljanje:
pojam elektromagnetskih oscilacija;
pojam energije titrajnog kruga;
podudarnost električnih veličina s mehaničkim veličinama tijekom oscilatornih procesa.
(Za ponavljanje i učvršćivanje potrebno je još jednom demonstrirati model analogije mehaničkih i elektromagnetskih vibracija).
U prethodnim lekcijama saznali smo da su elektromagnetske vibracije, prvo, slobodne, a drugo, predstavljaju periodičku promjenu energija magnetskog i električnog polja. No, osim energije, tijekom elektromagnetskih oscilacija mijenja se i naboj, a time i jakost struje u krugu i napon. U ovoj lekciji moramo otkriti zakonitosti po kojima se mijenja naboj, a time i struja i napon.
Dakle, saznali smo da je ukupna energija titrajnog kruga u bilo kojem trenutku jednaka zbroju energija magnetskog i električnog polja: . Vjerujemo da se energija ne mijenja tijekom vremena, odnosno da je sklop idealan. To znači da je derivacija ukupne energije po vremenu nula, dakle zbroj derivacija po vremenu energija magnetskog i električnog polja jednak je nuli:
To je.
Znak minus u ovom izrazu znači da kada se energija magnetskog polja povećava, energija električnog polja opada i obrnuto. A fizičko značenje Ovaj izraz je takav da je brzina promjene energije magnetskog polja jednaka po veličini i suprotnog smjera brzini promjene električnog polja.
Računajući derivacije, dobivamo
No, zato smo dobili jednadžbu koja opisuje slobodne elektromagnetske oscilacije u krugu. Ako sada zamijenimo q s x, x""=a x s q"", k s 1/C, m s L, dobit ćemo jednadžbu
opisivanje oscilacija tereta na opruzi. Dakle, jednadžba elektromagnetskih oscilacija ima isto matematički oblik, kao jednadžba oscilacija opružnog njihala.
Kao što ste vidjeli u demo modelu, naboj na kondenzatoru se povremeno mijenja. Potrebno je pronaći ovisnost naboja o vremenu.
Znate li iz devetog razreda? periodične funkcije sinus i kosinus. Ove funkcije imaju sljedeće svojstvo: druga derivacija sinusa i kosinusa proporcionalna je samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom. Osim ove dvije, nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sada se vratimo na električni naboj. To možemo sa sigurnošću reći električno punjenje, a time i jakost struje, tijekom slobodnih oscilacija mijenjaju se tijekom vremena po zakonu kosinusa ili sinusa, t.j. izvode harmonijske vibracije. Opružno njihalo također izvodi harmonijske oscilacije (akceleracija je proporcionalna pomaku uzetom s predznakom minus).
Dakle, da bismo pronašli eksplicitnu ovisnost naboja, struje i napona o vremenu, potrebno je riješiti jednadžbu
uzimajući u obzir harmonijsku prirodu promjene tih veličina.
Ako uzmemo izraz kao što je q = q m cos t kao rješenje, tada, kada to rješenje zamijenimo u izvornu jednadžbu, dobivamo q""=-q m cos t=-q.
Stoga je kao rješenje potrebno uzeti izraz forme
q=q m cosš o t,
gdje je q m amplituda oscilacija naboja (modul najveća vrijednost fluktuirajuća vrijednost),
u o = - ciklička ili kružna frekvencija. Njegov fizički smisao je
broj titraja u jednoj periodi, tj. u 2p s.
Period elektromagnetskih oscilacija je vremenski period tijekom kojeg struja u titrajnom krugu i napon na pločama kondenzatora naprave jedan potpuni titraj. Za harmonijske vibracije T=2r s ( najkraće razdoblje kosinus).
Frekvencija oscilacija - broj oscilacija u jedinici vremena - definira se na sljedeći način: n = .
Frekvencija slobodnih titraja naziva se vlastita frekvencija oscilatornog sustava.
Kako je u o = 2r n=2r/T, tada je T= .
Cikličku frekvenciju definirali smo kao u o =, što znači da za period možemo pisati
T= = - Thomsonova formula za period elektromagnetskih oscilacija.
Tada će izraz za vlastitu frekvenciju oscilacija dobiti oblik
Sve što trebamo učiniti je dobiti jednadžbe za fluktuacije struje u krugu i napona na kondenzatoru.
Budući da, tada s q = q m cos š o t dobivamo U=U m cos ō t. To znači da se i napon mijenja po harmonijskom zakonu. Nađimo sada zakon po kojem se mijenja jakost struje u krugu.
Prema definiciji, ali q=q m trošak, dakle
gdje je p/2 fazni pomak između struje i naboja (napona). Dakle, saznali smo da se jakost struje tijekom elektromagnetskih oscilacija također mijenja prema harmonijskom zakonu.
Razmatrali smo idealni oscilatorni krug u kojem nema gubitka energije i slobodne oscilacije se mogu nastaviti neograničeno dugo zahvaljujući energiji jednom primljenoj od vanjski izvor. U stvarnom krugu dio energije odlazi na zagrijavanje spojnih žica i zagrijavanje zavojnice. Zbog toga su slobodni titraji u oscilatornom krugu prigušeni.
Teme Kodifikator jedinstvenog državnog ispita : slobodne elektromagnetske oscilacije, titrajni krug, prisilne elektromagnetske oscilacije, rezonancija, harmonijske elektromagnetske oscilacije.
Elektromagnetske vibracije- to su periodične promjene naboja, struje i napona koje se javljaju u strujni krug. Najjednostavniji sustav za promatranje elektromagnetskih oscilacija je oscilatorni krug.
Oscilatorni krug
Oscilatorni krug je zatvoreni krug koji čine kondenzator i zavojnica spojeni u seriju.
Napunimo kondenzator, spojimo na njega zavojnicu i zatvorimo strujni krug. Počet će se događati slobodne elektromagnetske oscilacije- periodične promjene naboja na kondenzatoru i struje u zavojnici. Prisjetimo se da se te oscilacije nazivaju slobodnima jer se događaju bez ikakvog vanjskog utjecaja - samo zahvaljujući energiji pohranjenoj u krugu.
Period oscilacija u krugu označit ćemo, kao i uvijek, sa . Pretpostavit ćemo da je otpor zavojnice jednak nuli.
Razmotrimo detaljno sve važne faze procesa osciliranja. Radi veće jasnoće, povući ćemo analogiju s oscilacijama horizontalnog opružnog njihala.
Početni trenutak: . Naboj kondenzatora je jednak , kroz zavojnicu nema struje (slika 1). Kondenzator će se sada početi prazniti.
Riža. 1.
Iako je otpor zavojnice jednak nuli, struja se neće odmah povećati. Čim struja počne rasti, u zavojnici će se pojaviti EMF samoindukcije, sprječavajući povećanje struje.
Analogija. Visak se povlači udesno za određeni iznos i otpušta u početnom trenutku. Početna brzina njihala je nula.
Prva četvrtina razdoblja: . Kondenzator se prazni, njegov naboj je trenutno jednak . Struja kroz zavojnicu se povećava (slika 2).
Riža. 2.
Struja se postupno povećava: vrtložno električno polje zavojnice sprječava povećanje struje i usmjereno je protiv struje.
Analogija. Njihalo se pomiče ulijevo prema ravnotežnom položaju; brzina njihala postupno raste. Deformacija opruge (odnosno koordinata njihala) se smanjuje.
Kraj prve četvrtine: . Kondenzator je potpuno ispražnjen. Jačina struje je dosegla maksimalnu vrijednost (slika 3). Kondenzator će se sada početi puniti.
Riža. 3.
Napon na zavojnici je nula, ali struja neće nestati odmah. Čim se struja počne smanjivati, u zavojnici će se pojaviti EMF samoindukcije, sprječavajući smanjenje struje.
Analogija. Njihalo prolazi kroz svoj ravnotežni položaj. Njegova brzina doseže maksimalnu vrijednost. Deformacija opruge je nula.
Druga četvrtina: . Kondenzator se ponovno puni - na njegovim se pločama pojavljuje naboj suprotnog predznaka u odnosu na onaj na početku (slika 4).
Riža. 4.
Jačina struje postupno opada: vrtložno električno polje zavojnice, koje podržava opadajuću struju, suusmjereno je sa strujom.
Analogija. Njihalo se nastavlja kretati ulijevo - od ravnotežnog položaja do desne krajnje točke. Njegova brzina se postupno smanjuje, deformacija opruge se povećava.
Kraj druge četvrtine. Kondenzator je potpuno napunjen, njegov naboj je opet jednak (ali je polaritet drugačiji). Jačina struje je nula (slika 5). Sada će započeti obrnuto punjenje kondenzatora.
Riža. 5.
Analogija. Visak je stigao do krajnje desne točke. Brzina njihala je nula. Deformacija opruge je najveća i jednaka je .
Treća četvrtina: . Počela je druga polovica razdoblja oscilacija; procesi su išli u suprotnom smjeru. Kondenzator je ispražnjen (slika 6).
Riža. 6.
Analogija. Visak se pomiče natrag: s desne strane krajnja točka do ravnotežnog položaja.
Kraj treće četvrtine: . Kondenzator je potpuno ispražnjen. Struja je maksimalna i opet jednaka , ali ovaj put ima drugačiji smjer (slika 7).
Riža. 7.
Analogija. Njihalo ponovno prolazi kroz položaj ravnoteže maksimalnom brzinom, ali ovaj put u suprotnom smjeru.
Četvrta četvrtina: . Struja se smanjuje, kondenzator se puni (slika 8).
Riža. 8.
Analogija. Njihalo se nastavlja kretati udesno - od ravnotežnog položaja do krajnje lijeve točke.
Kraj četvrte četvrtine i cijelog razdoblja: . Obrnuto punjenje kondenzatora je završeno, struja je nula (slika 9).
Riža. 9.
Ovaj trenutak je identičan trenutku, a ova figura je identična slici 1. Dogodila se jedna potpuna oscilacija. Sada će započeti sljedeća oscilacija, tijekom koje će se procesi odvijati na potpuno isti način kao što je gore opisano.
Analogija. Njihalo se vratilo u prvobitni položaj.
Razmatrane elektromagnetske oscilacije su neovlažen- nastavit će unedogled. Uostalom, pretpostavili smo da je otpor zavojnice jednak nuli!
Na isti način, oscilacije opružnog njihala neće biti prigušene bez trenja.
U stvarnosti, zavojnica ima određeni otpor. Zbog toga će oscilacije u stvarnom titrajnom krugu biti prigušene. Dakle, nakon jedne potpune oscilacije, naboj na kondenzatoru bit će manji od izvorne vrijednosti. Tijekom vremena, oscilacije će potpuno nestati: sva energija koja je prvobitno pohranjena u krugu oslobodit će se u obliku topline na otporu zavojnice i spojnih žica.
Na isti će način oscilacije pravog njihala s oprugom biti prigušene: sva energija njihala postupno će se pretvoriti u toplinu zbog neizbježne prisutnosti trenja.
Transformacije energije u oscilatornom krugu
Nastavljamo razmatrati neprigušene oscilacije u krugu, smatrajući da je otpor zavojnice jednak nuli. Kondenzator ima kapacitet a induktivitet zavojnice jednak je .
Budući da nema gubitaka topline, energija ne napušta strujni krug: neprestano se redistribuira između kondenzatora i zavojnice.
Uzmimo trenutak u vremenu kada je naboj kondenzatora maksimalan i jednak , a struje nema. Energija magnetskog polja zavojnice u ovom trenutku je nula. Sva energija kruga koncentrirana je u kondenzatoru:
Sada, naprotiv, razmotrimo trenutak kada je struja maksimalna i jednaka, a kondenzator je ispražnjen. Energija kondenzatora je nula. Sva energija kruga pohranjena je u zavojnici:
U proizvoljnom trenutku, kada je naboj kondenzatora jednak i struja teče kroz zavojnicu, energija kruga je jednaka:
Tako,
(1)
Relacija (1) se koristi za rješavanje mnogih problema.
Elektromehaničke analogije
U prethodnom letku o samoindukciji primijetili smo analogiju između induktiviteta i mase. Sada možemo uspostaviti još nekoliko podudarnosti između elektrodinamičkih i mehaničkih veličina.
Za opružno njihalo imamo odnos sličan (1):
(2)
Ovdje je, kao što ste već shvatili, krutost opruge, masa klatna i trenutne vrijednosti koordinata i brzine njihala i njihove najveće vrijednosti.
Uspoređujući jednačine (1) i (2) međusobno, vidimo sljedeće podudarnosti:
(3)
(4)
(5)
(6)
Na temelju ovih elektromehaničkih analogija možemo predvidjeti formulu za period elektromagnetskih oscilacija u oscilatornom krugu.
Zapravo, period titranja opružnog njihala, kao što znamo, jednak je:
U skladu s analogijama (5) i (6) ovdje masu zamjenjujemo induktivitetom, a krutost inverznim kapacitetom. Dobivamo:
(7)
Elektromehaničke analogije ne zaostaju: formula (7) daje točan izraz za period oscilacija u oscilatornom krugu. To se zove Thomsonova formula. Uskoro ćemo predstaviti njegov stroži zaključak.
Harmonijski zakon titranja u kolu
Podsjetimo se da su oscilacije tzv harmonik, ako se oscilirajuća veličina mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ako ste zaboravili ove stvari, svakako ponovite list "Mehaničke vibracije".
Oscilacije naboja na kondenzatoru i struja u strujnom krugu pokazuju se harmonijskima. Sada ćemo to dokazati. Ali prvo moramo uspostaviti pravila za odabir znaka za naboj kondenzatora i za snagu struje - nakon svega, kada osciliraju, te će količine poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti.
Prvo biramo pozitivan smjer obilaznice kontura. Izbor nije bitan; neka ovo bude pravac u smjeru suprotnom od kazaljke na satu(slika 10).
Riža. 10. Pozitivan smjer obilaznice
Trenutna snaga se smatra pozitivnom class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .!}
Naboj na kondenzatoru je naboj na njegovoj ploči u kojoj teče pozitivna struja (tj. ploča na koju pokazuje strelica smjera obilaznice). U ovom slučaju - naplatiti lijevo ploče kondenzatora.
S ovakvim izborom predznaka struje i naboja vrijedi relacija: (s drugačijim izborom predznaka moglo bi se dogoditi). Doista, predznaci oba dijela se podudaraju: if class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому !} class="tex" alt="\dot(q) > 0"> !}.
Količine i se mijenjaju tijekom vremena, ali energija kruga ostaje nepromijenjena:
(8)
Stoga derivacija energije s obzirom na vrijeme postaje nula: . Uzimamo vremensku derivaciju obje strane relacije (8); ne zaboravite da su složene funkcije diferencirane na lijevoj strani (Ako je funkcija od , tada prema pravilu diferenciranja složena funkcija derivacija kvadrata naše funkcije bit će jednaka: ):
Zamjenom i ovdje dobivamo:
Ali jakost struje nije funkcija koja je identički jednaka nuli; Zato
Prepišimo ovo kao:
(9)
Dobili smo diferencijalna jednadžba harmonijske vibracije oblika , gdje . To dokazuje da naboj na kondenzatoru oscilira prema harmonijskom zakonu (tj. prema zakonu sinusa ili kosinusa). Ciklička frekvencija ovih oscilacija jednaka je:
(10)
Ova se količina također naziva prirodna frekvencija kontura; Ovom frekvencijom besplatno (ili, kako se još kaže, vlastiti fluktuacije). Period titranja jednak je:
Opet dolazimo do Thomsonove formule.
Harmonijska ovisnost naboja o vremenu u opći slučaj ima oblik:
(11)
Ciklička frekvencija nalazi se formulom (10); amplituda i početna faza određuju se iz početnih uvjeta.
Razmotrit ćemo situaciju o kojoj smo detaljno govorili na početku ovog letka. Neka je naboj kondenzatora maksimalan i jednak (kao na slici 1); u krugu nema struje. Tada je početna faza , tako da naboj varira prema kosinusnom zakonu s amplitudom:
(12)
Pronađimo zakon promjene jakosti struje. Da bismo to učinili, razlikujemo relaciju (12) s obzirom na vrijeme, opet ne zaboravljajući pravilo za pronalaženje derivacije složene funkcije:
Vidimo da se jakost struje također mijenja prema harmonijskom zakonu, ovaj put prema sinusnom zakonu:
(13)
Amplituda struje je:
Prisutnost "minusa" u zakonu promjene struje (13) nije teško razumjeti. Uzmimo, na primjer, vremenski interval (slika 2).
Struja teče u negativnom smjeru: . Budući da je faza titranja u prvoj četvrtini: . Sinus u prvoj četvrtini je pozitivan; stoga će sinus u (13) biti pozitivan na vremenskom intervalu koji se razmatra. Stoga, kako bi se osiguralo da je struja negativna, znak minus u formuli (13) je stvarno neophodan.
Sada pogledajte sl. 8 . Struja teče u pozitivnom smjeru. Kako naš "minus" funkcionira u ovom slučaju? Shvatite što se ovdje događa!
Prikažimo grafove fluktuacija naboja i struje, tj. grafove funkcija (12) i (13). Radi jasnoće, predstavimo ove grafikone u istim koordinatnim osima (slika 11).
Riža. 11. Grafovi fluktuacija naboja i struje
Imajte na umu: nule naboja pojavljuju se na trenutnim maksimumima ili minimumima; obrnuto, strujne nule odgovaraju maksimumu ili minimumu naboja.
Korištenje formule redukcije
Zapišimo zakon promjene struje (13) u obliku:
Uspoređujući ovaj izraz sa zakonom promjene naboja, vidimo da je trenutna faza, jednaka, veća od faze naboja za određeni iznos. U ovom slučaju kažu da struja naprijed u fazi naplatiti; ili pomak faze između struje i naboja je jednako ; ili fazna razlika između struje i naboja jednaka je .
Napredovanje struje naboja u fazi grafički se očituje u činjenici da je graf struje pomaknut lijevo na u odnosu na graf naboja. Jačina struje doseže, primjerice, svoj maksimum četvrtinu perioda ranije nego što naboj dostigne maksimum (a četvrtina perioda točno odgovara razlici faza).
Prisilne elektromagnetske oscilacije
Kao što se sjećate, prisilne oscilacije nastaju u sustavu pod utjecajem periodične prisilne sile. Frekvencija prisilnih oscilacija podudara se s frekvencijom pogonske sile.
U strujnom krugu spojenom na izvor sinusnog napona pojavit će se prisilne elektromagnetske oscilacije (slika 12).
Riža. 12. Prisilne vibracije
Ako se napon izvora mijenja prema zakonu:
tada se u krugu javljaju oscilacije naboja i struje s cikličkom frekvencijom (odnosno s periodom). Čini se da izvor izmjeničnog napona "nameće" svoju frekvenciju osciliranja krugu, zbog čega zaboravite na njegovu vlastitu frekvenciju.
Amplituda prisilnih oscilacija naboja i struje ovisi o frekvenciji: amplituda je veća što je bliža prirodnoj frekvenciji kruga. rezonancija- naglo povećanje amplitude oscilacija. O rezonanciji ćemo detaljnije govoriti u sljedećem radnom listu izmjenične struje.
