Riješenje Radimo to pomoću kalkulatora. Napišimo proširenu i glavnu matricu: 
Glavna matrica A odvojena je točkastom linijom.Na vrhu pišemo nepoznate sustave, imajući na umu moguće preraspodjele članova u jednadžbama sustava. Određivanjem ranga proširene matrice, istovremeno nalazimo i rang glavne. U matrici B prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni minor, pa pomaknimo, na primjer, prvi stupac iza točkaste crte sa suprotnim predznakom. Za sustav to znači prijenos članova iz x 1 na desnu stranu jednadžbi. 
Reducirajmo matricu na trokutasti pogled. Radit ćemo samo s redovima, jer množenje retka matrice s brojem koji nije nula i njegovo dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo zbrajanje s drugom jednadžbom, što ne mijenja rješenje sustav. Radimo s prvim redom: pomnožimo prvi redak matrice s (-3) i dodamo drugom i trećem redu redom. Zatim pomnožite prvi redak s (-2) i dodajte ga četvrtom. 
Druga i treća linija su proporcionalne, stoga se jedna od njih, na primjer druga, može precrtati. To je jednako precrtavanju druge jednadžbe sustava, jer je posljedica treće. 
Sada radimo s drugom linijom: pomnožimo je s (-1) i dodamo trećoj. 
Minor zaokružen točkastom linijom ima najviši red(od mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, dakle rangA = rangB = 3.
Minor 
je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznanice x 2 , x 3 , x 4 , što znači da su nepoznanice x 2 , x 3 , x 4 ovisne, a x 1 , x 5 slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni minor s lijeve strane (koji odgovara točki 4 gornjeg algoritma rješenja). 
Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Dobili smo relacije koje zavisne varijable x 2, x 3, x 4 izražavaju kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno pronašli smo opće rješenje:
Dodjeljujući bilo koje vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Pronađimo dva posebna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako su pronađena dva rješenja: (0,1,-3,3,0) – jedno rješenje, (1,4,-7,7,-1) – drugo rješenje.
Primjer 2. Istražite kompatibilnost, pronađite opće i jedno posebno rješenje za sustav 
Riješenje. Preuredimo prvu i drugu jednadžbu tako da imamo jednu u prvoj jednadžbi i napišimo matricu B. 
Dobivamo nule u četvrtom stupcu radeći s prvim redom: 
Sada dobivamo nule u trećem stupcu pomoću drugog retka: 
Treći i četvrti redak su proporcionalni, pa se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći redak s (–2) i dodajte ga četvrtom: 
Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice jednaki 4, a rang se podudara s brojem nepoznanica, stoga sustav ima jedinstveno rješenje:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sustava i pronađite rješenje ako postoji. 
Riješenje. Sastavljamo proširenu matricu sustava. 
Preuređujemo prve dvije jednadžbe tako da je 1 u gornjem lijevom kutu:
Množenje prvog retka s (-1), dodavanje trećem: 
Pomnožite drugi redak s (-2) i dodajte ga trećem: 
Sustav je nedosljedan, jer smo u glavnoj matrici dobili redak koji se sastoji od nula, koji se precrtava kada se pronađe rang, ali u proširenoj matrici ostaje zadnji redak, odnosno r B > r A .
Vježbajte. Istražite kompatibilnost ovog sustava jednadžbi i riješite ga pomoću matričnog računa.
Riješenje
Primjer. Dokažite kompatibilnost sustava linearne jednadžbe i riješiti ga na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor upiši u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
Odgovor: 2,-1,3.
Primjer. Zadan je sustav linearnih jednadžbi. Dokažite njegovu kompatibilnost. Naći opće rješenje sustava i jedno posebno rješenje.
Riješenje
Odgovor: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Vježbajte. Pronađite opća i posebna rješenja svakog sustava.
Riješenje. Ovaj sustav proučavamo pomoću Kronecker-Capellijevog teorema.
Napišimo proširenu i glavnu matricu:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Ovdje je matrica A označena masnim slovima.
Svedimo matricu na trokutasti oblik. Radit ćemo samo s redovima, jer množenje retka matrice s brojem koji nije nula i njegovo dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo zbrajanje s drugom jednadžbom, što ne mijenja rješenje sustav.
Pomnožimo prvi redak s (3). Pomnožite 2. redak s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožimo 2. redak s (2). Pomnožite treći redak s (-3). Dodajmo 3. redak 2.:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Pomnožite 2. redak s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Odabrani minor ima najviši red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je umnošku elemenata na obrnutoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, dakle rang( A) = rang(B) = 3 Budući da je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada sustav je suradnički.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznanice x 1 , x 2 , x 3 , što znači da su nepoznanice x 1 , x 2 , x 3 zavisne (bazične), a x 4 , x 5 slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni minor s lijeve strane.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica nalazimo:
Dobili smo relacije koje zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 izražavaju kroz slobodne x 4 , x 5 , odnosno našli smo zajednička odluka:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjestan, jer ima više od jednog rješenja.
Vježbajte. Riješite sustav jednadžbi.
Odgovor:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dodjeljujući bilo koje vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Sustav je neizvjestan
Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustavom forme
Gdje a ij I b i (ja=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks ja označava broj jednadžbe, a drugi j– broj nepoznanice na kojoj stoji ovaj koeficijent.
Koeficijente za nepoznanice ćemo napisati u obliku matrice 
, koju ćemo nazvati matrica sustava.
Brojevi na desnoj strani jednadžbi su b 1 ,…,b m se zovu besplatni članovi.
Totalitet n brojevima c 1 ,…,c n nazvao odluka danog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.
Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:
Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se spojnica. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, tada se poziva nezglobni.
Razmotrimo načine pronalaženja rješenja za sustav.
MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI
Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:
Razmotrite matricu sustava 
i matrice stupaca nepoznatih i slobodnih članova 
Nađimo posao
oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se pomoću definicije jednakosti matrica ovaj sustav može napisati u obliku
ili kraće A∙X=B.
Ovdje su matrice A I B su poznati, a matrica x nepoznato. Potrebno ga je pronaći, jer... njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.
Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E I E∙X = X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .
Imajte na umu da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice matrična metoda moguće je riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi poklapa se s brojem nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je iu slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A neće biti kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.
Primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi.
CRAMEROVO PRAVILO
Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:
Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, tj. sastavljen od koeficijenata za nepoznanice,
nazvao odrednica sustava.
Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo uzastopno 1, 2 i 3 stupce u determinanti D sa stupcem slobodnih članova.
Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.
Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada razmatrani sustav ima jedno i samo jedno rješenje, a
Dokaz. Dakle, razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožimo 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba – na A 21 i 3. – na A 31:
Dodajmo ove jednadžbe:
Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Teoremom o proširenju determinante u elemente 1. stupca
Slično, može se pokazati da i .
Konačno, lako je uočiti da 
Tako dobivamo jednakost: .
Stoga, .
Slično se izvode jednakosti i iz čega slijedi tvrdnja teorema.
Dakle, napominjemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan broj rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilan.
Primjeri. Riješite sustav jednadžbi
GAUSSOVA METODA
Prethodno opisane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladnija za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se od dosljednog uklanjanja nepoznanica iz jednadžbi sustava.
Razmotrimo ponovno sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:
.
Prvu jednadžbu ćemo ostaviti nepromijenjenu, a iz 2. i 3. ćemo isključiti članove koji sadrže x 1. Da biste to učinili, podijelite drugu jednadžbu s A 21 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga dodajte 1. jednadžbi. Slično, treću jednadžbu dijelimo s A 31 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga zbrojite s prvim. Kao rezultat, izvorni sustav će imati oblik:
Sada iz posljednje jednadžbe eliminiramo izraz koji sadrži x 2. Da biste to učinili, podijelite treću jednadžbu s, pomnožite s i zbrojite s drugom. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:
Odavde, iz posljednje jednadžbe to je lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x 2 i konačno, od 1. x 1.
Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.
Često se, umjesto da napišu novi sustav jednadžbi, ograniče na ispisivanje proširene matrice sustava:
a zatim ga elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog ili dijagonalnog oblika.
DO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:
- preuređivanje redaka ili stupaca;
- množenje niza s brojem koji nije nula;
- dodavanje drugih redaka jednom retku.
Primjeri: Rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom.
Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.
Primljeni sustavi jednadžbi široka primjena u gospodarskom sektoru sa matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, pri rješavanju problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili postavljanja opreme.
Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u matematici, već iu fizici, kemiji i biologiji, pri rješavanju problema određivanja veličine populacije.
Sustav linearnih jednadžbi su dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.
Linearna jednadžba
Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem izgledat će kao ravna linija čije su sve točke rješenja polinoma.
Vrste sustava linearnih jednadžbi
Najjednostavnijim primjerima smatraju se sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcijske varijable.
Riješite sustav jednadžbi - to znači pronalaženje vrijednosti (x, y) pri kojima se sustav pretvara u pravu jednakost ili utvrđivanje da odgovarajuće vrijednosti x i y ne postoje.
Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.
Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji, nazivaju se ekvivalentni.
Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi desni dio koji je jednak nuli. Ako desni dio iza znaka jednakosti ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav je sustav heterogen.
Broj varijabli može biti puno veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.
Kada se suoče sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi mora nužno podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti koliko god želite.
Jednostavne i složene metode rješavanja sustava jednadžbi
Ne postoji opća analitička metoda za rješavanje takvih sustava, sve se metode temelje na numerička rješenja. U školski tečaj Matematika detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafičke i matrične metode, rješavanje Gaussovom metodom.
Glavni zadatak pri podučavanju metoda rješavanja je naučiti pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe korištenja određene metode
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi programa 7. razreda Srednja škola prilično jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U bilo kojem udžbeniku matematike ovom se dijelu posvećuje dovoljno pažnje. Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi metodom Gaussa i Cramera detaljnije se proučava na prvim godinama visokog obrazovanja.
Rješavanje sustava metodom supstitucije
Radnje metode supstitucije usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable u smislu druge. Izraz se supstituira u preostalu jednadžbu, zatim se svodi na oblik s jednom varijablom. Akcija se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu
Dajmo rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi klase 7 koristeći metodu supstitucije:
Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbi sustava umjesto X, pomogao je dobiti jednu varijablu Y u 2. jednadžbi . Rješavanje ovog primjera je jednostavno i omogućuje vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.
Nije uvijek moguće riješiti primjer sustava linearnih jednadžbi supstitucijom. Jednadžbe mogu biti složene i izražavanje varijable u smislu druge nepoznanice bit će preglomazno za daljnje izračune. Kada u sustavu postoji više od 3 nepoznanice, rješavanje supstitucijom također nije prikladno.
Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:
Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja
Prilikom traženja rješenja sustava pomoću metode zbrajanja, jednadžbe se zbrajaju član po član i množe različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba u jednoj varijabli.
Primjena ove metode zahtijeva praksu i promatranje. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom zbrajanja kada postoje 3 ili više varijabli nije jednostavno. Algebarsko zbrajanje prikladno je koristiti kada jednadžbe sadrže razlomke i decimale.
Algoritam rješenja:
- Pomnožite obje strane jednadžbe s određenim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable trebao bi postati jednak 1.
- Dobiveni izraz zbrajajte član po član i pronađite jednu od nepoznanica.
- Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.
Metoda rješavanja uvođenjem nove varijable
Nova varijabla može se uvesti ako sustav zahtijeva pronalaženje rješenja za najviše dvije jednadžbe; broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.
Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava za uvedenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.
Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće 1. jednadžbu sustava svesti na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminante.
Potrebno je pronaći vrijednost diskriminante pomoću poznate formule: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željena diskriminanta, b, a, c faktori polinoma. U navedenom primjeru a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji jedno rješenje: x = -b / 2*a.
Rješenje za nastale sustave nalazi se metodom adicije.
Vizualna metoda rješavanja sustava
Prikladno za 3 sustava jednadžbi. Metoda se sastoji u konstruiranju grafova svake jednadžbe uključene u sustav na koordinatnoj osi. Koordinate točaka sjecišta krivulja i bit će opća odluka sustava.
Grafička metoda ima niz nijansi. Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.
Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju konstruirane su dvije točke, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Na grafu su označene točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) i spojene linijom.
Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Sjecište pravaca je rješenje sustava.
Sljedeći primjer zahtijeva pronalaženje grafičko rješenje sustavi linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Kao što je vidljivo iz primjera, sustav nema rješenja jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.
Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno konstruirati graf.
Matrica i njezine varijante
Matrice se koriste za sažeto pisanje sustava linearnih jednadžbi. Matrica je tablica posebna vrsta ispunjena brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.
Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica-vektor je matrica jednog stupca s beskonačno mogućim brojem redaka. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nula elementima naziva se identitet.
Inverzna matrica je matrica množenjem kojom se izvorna pretvara u jediničnu matricu; takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.
Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu
U odnosu na sustave jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisani su kao matrični brojevi, jedna jednadžba je jedan red matrice.
Kaže se da je red matrice različit od nule ako barem jedan element retka nije nula. Dakle, ako se u nekoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznanice koja nedostaje.
Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu pisati samo u jednom stupcu, primjerice prvom, koeficijent nepoznate y - samo u drugom.
Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.
Mogućnosti pronalaženja inverzne matrice
Formula za pronalaženje inverzne matrice je vrlo jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 inverzna matrica, a |K| je determinanta matrice. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.
Determinanta se lako izračunava za matricu dva puta dva; samo trebate pomnožiti dijagonalne elemente jedan s drugim. Za opciju “tri sa tri” postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog retka i svakog stupca tako da se brojevi stupaca i redaka elemenata ne ponavljaju u radu.
Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom
Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje vam smanjenje glomaznih unosa pri rješavanju sustava s velikim brojem varijabli i jednadžbi.
U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.
Rješavanje sustava Gaussovom metodom
U višoj matematici Gaussova se metoda proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja sustava naziva se Gauss-Cramerova metoda rješenja. Ove se metode koriste za pronalaženje varijabli sustava s velikim brojem linearnih jednadžbi.
Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima koja koriste supstitucije i algebarsko zbrajanje, ali sustavnije. U školskom kolegiju koristi se rješavanje Gaussovom metodom za sustave od 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je svođenje sustava na oblik obrnutog trapeza. Pomoću algebarskih transformacija i supstitucija, vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, dok su 3 i 4 s 3, odnosno 4 varijable.
Nakon dovođenja sustava u opisani oblik daljnje rješavanje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.
U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:
Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješavanje bilo koje od jednadžbi omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.
Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će rezultirajući sustav također biti ekvivalentan izvornom.
Učenicima je Gaussova metoda teška za razumijevanje Srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece koja studiraju po programu dubinsko proučavanje na satovima matematike i fizike.
Radi lakšeg bilježenja, izračuni se obično rade na sljedeći način:
Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki redak matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.
Prvo zapišite matricu s kojom ćete raditi, zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica napisana je nakon znaka "strelica" i nastavlja obavljati potrebno algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.
Rezultat bi trebala biti matrica u kojoj je jedna od dijagonala jednaka 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica je svedena na jedinični oblik. Ne smijemo zaboraviti izvesti izračune s brojevima na obje strane jednadžbe.
Ova metoda snimanja manje je glomazna i omogućuje vam da ne budete ometani nabrajanjem brojnih nepoznanica.
Slobodno korištenje bilo koje metode rješenja zahtijevat će pažnju i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neke metode pronalaženja rješenja su poželjnije u određenom području ljudske aktivnosti, dok druge postoje u obrazovne svrhe.
Nastavljamo se baviti sustavima linearnih jednadžbi. Do sada smo razmatrali sustave koji imaju jedinstveno rješenje. Takvi sustavi mogu se riješiti na bilo koji način: metodom supstitucije("škola"), prema Cramerovim formulama, matrična metoda, Gaussova metoda. Međutim, u praksi su raširena još dva slučaja:
1) sustav je nekonzistentan (nema rješenja);
2) sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
Za ove sustave koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, "školska" metoda također će dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica. Oni koji nisu upoznati s algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda
Same elementarne transformacije matrica potpuno su iste, razlika će biti u završetku rješenja. Prvo, pogledajmo nekoliko primjera kada sustav nema rješenja (nedosljedan).
Primjer 1
Što vam odmah upada u oči kod ovog sustava? Broj jednadžbi je manji od broja varijabli. Postoji teorem koji kaže: “Ako je broj jednadžbi u sustavu manji od broja varijabli, tada je sustav ili nekonzistentan ili ima beskonačno mnogo rješenja.” I preostaje samo saznati.
Početak rješenja je sasvim običan - zapišemo proširenu matricu sustava i elementarnim transformacijama je dovedemo do stupnjevitog oblika:
(1). Na gornjoj lijevoj stepenici trebamo dobiti (+1) ili (–1). U prvom stupcu nema takvih brojeva, pa preuređivanje redaka neće dati ništa. Postrojba će se morati organizirati, a to se može učiniti na više načina. Učinili smo ovo. Prvom retku dodajemo treći red, pomnožen s (–1).
(2). Sada imamo dvije nule u prvom stupcu. Drugom retku dodamo prvi red, pomnožen s 3. Trećem retku dodamo prvi, pomnožen s 5.
(3). Nakon što je transformacija dovršena, uvijek je preporučljivo vidjeti je li moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Limenka. Drugi redak dijelimo s 2, a na drugom koraku dobivamo željeni (–1). Podijelite treći red s (–3).
(4). Dodajte drugi red trećem retku. Vjerojatno su svi primijetili lošu liniju koja je nastala elementarnim transformacijama:
. Jasno je da to ne može biti tako.
Doista, prepišimo dobivenu matricu
natrag na sustav linearnih jednadžbi:
Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika , Gdjeλ je broj različit od nule, tada je sustav nekonzistentan (nema rješenja).
Kako napisati završetak zadatka? Morate napisati izraz:
“Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiven je niz oblika, gdje λ ≠ 0 " Odgovor: “Sustav nema rješenja (nedosljedan).”
Imajte na umu da u ovom slučaju nema preokreta Gaussovog algoritma, nema rješenja i jednostavno se nema što pronaći.
Primjer 2
Riješite sustav linearnih jednadžbi 
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.
Ponovno vas podsjećamo da se vaše rješenje može razlikovati od našeg rješenja; Gaussova metoda ne specificira jednoznačan algoritam; redoslijed radnji i same radnje moraju se pogoditi u svakom slučaju zasebno.
Još jedna tehnička značajka rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim redak poput , gdje λ ≠ 0 . Razmotrimo uvjetni primjer: pretpostavimo da je nakon prve transformacije dobivena matrica
.
Ova matrica još nije svedena na oblik ešalona, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija oblika, gdje λ ≠ 0 . Odmah treba dati odgovor da je sustav nekompatibilan.
Kada sustav linearnih jednadžbi nema rješenja, to je gotovo poklon učeniku, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka. Ali sve je na ovom svijetu uravnoteženo, a problem u kojem sustav ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.
Primjer 3:
Riješite sustav linearnih jednadžbi
Postoje 4 jednadžbe i 4 nepoznanice, tako da sustav može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili može imati beskonačno mnogo rješenja. Bilo kako bilo, Gaussova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.
Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je do stupnjevitog oblika:
To je sve, a ti si se bojao.
(1). Imajte na umu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2, tako da je 2 u redu na gornjem lijevom koraku. Drugom retku dodajemo prvi red pomnožen s (–4). Trećem retku dodajemo prvi red pomnožen s (–2). Četvrtom retku dodajemo prvi red, pomnožen s (–1).
Pažnja! Mnogi bi mogli biti u iskušenju četvrte linije oduzeti prvi red. To se može učiniti, ali nije potrebno; iskustvo pokazuje da se vjerojatnost pogreške u izračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajemo: četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen s (–1) – točno!
(2). Zadnje tri linije su proporcionalne, dvije se mogu brisati. Ovdje opet moramo pokazati povećana pozornost , ali jesu li linije stvarno proporcionalne? Radi sigurnosti, bilo bi dobro pomnožiti drugi redak s (–1), a četvrti podijeliti s 2, što bi rezultiralo s tri identična retka. I tek nakon toga uklonite dva od njih. Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sustava se svodi na stupnjeviti oblik:
Prilikom pisanja zadatka u bilježnicu, preporučljivo je napraviti iste bilješke olovkom radi jasnoće.
Prepišimo odgovarajući sustav jednadžbi: 
Ovdje nema mirisa “običnog” jedinstvenog rješenja sustava. Loša linija gdje λ ≠ 0, također br. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
Beskonačan skup rješenja nekog sustava ukratko je zapisan u obliku tzv opće rješenje sustava.
Opće rješenje sustava nalazimo koristeći inverznu Gaussovu metodu. Za sustave jednadžbi sa beskonačan broj pojavljuju se novi pojmovi: "osnovne varijable" I "slobodne varijable". Prvo definirajmo koje varijable imamo Osnovni, temeljni, i koje varijable - besplatno. Nije potrebno detaljno objašnjavati pojmove linearne algebre, dovoljno je podsjetiti da ih ima osnovne varijable I slobodne varijable.
Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice. U ovom primjeru osnovne varijable su x 1 i x 3 .
Besplatne varijable su sve preostalih varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dva od njih: x 2 i x 4 – slobodne varijable.
Sada trebate sviosnovne varijable izraziti samo krozslobodne varijable. Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore. Iz druge jednadžbe sustava izražavamo osnovnu varijablu x 3:
Sada pogledajte prvu jednadžbu: 
. Prvo u njega zamijenimo pronađeni izraz:
Ostaje još izraziti osnovnu varijablu x 1 putem slobodnih varijabli x 2 i x 4:
Na kraju smo dobili što smo trebali - svi osnovne varijable ( x 1 i x 3) izraženo samo kroz slobodne varijable ( x 2 i x 4):
Zapravo, opće rješenje je spremno:
.
Kako pravilno napisati opće rješenje? Prije svega, slobodne varijable se upisuju u opće rješenje "sami" i strogo na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable x 2 i x 4 treba napisati na drugom i četvrtom mjestu:
.
Dobiveni izrazi za osnovne varijable i očito treba biti napisano na prvom i trećem mjestu:
Iz općeg rješenja sustava može se naći beskonačno mnogo privatna rješenja. Vrlo je jednostavno. Slobodne varijable x 2 i x 4 se tako zovu jer se mogu dati sve konačne vrijednosti. Najpopularnije vrijednosti su nulte vrijednosti, budući da je ovo djelomično rješenje najlakše dobiti.
Zamjena ( x 2 = 0; x 4 = 0) u opće rješenje, dobivamo jedno od posebnih rješenja:
, ili je određeno rješenje koje odgovara slobodnim varijablama s vrijednostima ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Još jedan slatki par je jedinica, zamijenimo ih ( x 2 = 1 i x 4 = 1) u opće rješenje:
, tj. (-1; 1; 1; 1) – drugo posebno rješenje.
Lako je vidjeti da sustav jednadžbi ima beskonačno mnogo rješenja budući da možemo dati slobodne varijable bilo koji značenja.
Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednadžba sustava. To je osnova za “brzu” provjeru točnosti rješenja. Uzmimo, na primjer, određeno rješenje (-1; 1; 1; 1) i zamijenimo ga u lijevu stranu svake jednadžbe izvornog sustava:
Sve se mora spojiti. I s bilo kojim određenim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo slagati.
Strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad vara, tj. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednadžbu sustava, ali samo opće rješenje zapravo je netočno pronađeno. Stoga je, prije svega, provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija.
Kako provjeriti dobiveno opće rješenje 
?
Nije teško, ali zahtijeva dugotrajne transformacije. Moramo uzeti izraze Osnovni, temeljni varijable, u ovom slučaju 
i , te ih zamijenite u lijevu stranu svake jednadžbe sustava.
Na lijevoj strani prve jednadžbe sustava:
Dobivena je desna strana početne prve jednadžbe sustava.
Na lijevoj strani druge jednadžbe sustava:
Dobivena je desna strana početne druge jednadžbe sustava.
A onda - na lijeve strane treće i četvrte jednadžbe sustava. Ova provjera traje duže, ali jamči 100% ispravnost cjelokupnog rješenja. Osim toga, neki zadaci zahtijevaju provjeru općeg rješenja.
Primjer 4:
Riješite sustav Gaussovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna. Provjerite opće rješenje.
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovdje je, uzgred, opet broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, što znači da je odmah jasno da će sustav ili biti nekonzistentan ili imati beskonačan broj rješenja.
Primjer 5:
Riješite sustav linearnih jednadžbi. Ako sustav ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje
Riješenje: Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je u stupnjeviti oblik:
(1). Dodajte prvu liniju drugoj liniji. Trećem redu dodamo prvi redak pomnožen s 2. Četvrtom retku dodamo prvi redak pomnožen s 3.
(2). Trećem retku dodajemo drugi red, pomnožen s (–5). Četvrtom retku dodajemo drugi red, pomnožen s (–7).
(3). Treći i četvrti redak su isti, brišemo jedan od njih. Ovo je takva ljepota:
Bazične varijable sjede na stepenicama, dakle – bazične varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja ovdje nije dobila korak: .
(4). Obrnuti potez. Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:
Iz treće jednadžbe:
Razmotrimo drugu jednadžbu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:
, 
, ,
Razmotrimo prvu jednadžbu i zamijenimo pronađene izraze u nju:
Dakle, opće rješenje s jednom slobodnom varijablom x 4:
Još jednom, kako je ispalo? Slobodna varijabla x 4 nalazi se sam na svom zasluženom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable , , također su na mjestu.
Odmah provjerimo opće rješenje.
Zamjenjujemo osnovne varijable , , u lijevu stranu svake jednadžbe sustava:
Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, čime je nađeno ispravno opće rješenje.
Sada iz pronađenog općeg rješenja 
dobivamo dva posebna rješenja. Sve varijable su ovdje izražene kroz jedinicu slobodna varijabla x 4 . Nema potrebe razbijati glavu.
Neka x 4 = 0 tada 
– prvo partikularno rješenje.
Neka x 4 = 1 tada 
– drugo privatno rješenje.
Odgovor: Uobičajena odluka: . Privatna rješenja:
i .
Primjer 6:
Pronađite opće rješenje sustava linearnih jednadžbi.
Već smo provjerili opće rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje može se razlikovati od našeg rješenja. Glavna stvar je da se opće odluke podudaraju. Mnogi su ljudi vjerojatno primijetili neugodan trenutak u rješenjima: vrlo često, kada smo preokrenuli Gaussovu metodu, morali smo petljati s obični razlomci. U praksi je to doista tako; slučajevi u kojima nema razlomaka mnogo su rjeđi. Pripremite se psihički i, što je najvažnije, tehnički.
Zadržimo se na značajkama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima. Opće rješenje sustava ponekad može uključivati konstantu (ili konstante).
Na primjer, opće rješenje: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka stalni broj: . Nema tu ničeg egzotičnog, događa se. Očito je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvom mjestu.
Rijetko, ali postoje sustavi u kojima broj jednadžbi je veći od broja varijabli. Međutim, Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima. Trebali biste mirno reducirati proširenu matricu sustava na postupni oblik koristeći standardni algoritam. Takav sustav može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati samo jedno rješenje.
Ponovimo naš savjet - da biste se osjećali ugodno kada sustav rješavate Gaussovom metodom, trebali biste biti dobri u rješavanju barem desetak sustava.
Rješenja i odgovori:
Primjer 2:
Riješenje:Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stupnjevit oblik.
Izvedene elementarne transformacije:
(1) Prvi i treći red su zamijenjeni.
(2) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s (–6). Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s (–7).
(3) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s (–1).
Kao rezultat elementarnih transformacija dobiva se niz oblika, Gdje λ ≠ 0 .To znači da je sustav nedosljedan.Odgovor: nema rješenja.
Primjer 4:
Riješenje:Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je do stupnjevitog oblika:
Provedene konverzije:
(1). Prvi redak, pomnožen s 2, dodan je drugom retku. Prvi redak, pomnožen s 3, dodan je trećem retku.
Ne postoji jedinica za drugi korak , a transformacija (2) ima za cilj njegovo dobivanje.
(2). Treći redak je dodan drugom retku, pomnožen s –3.
(3). Drugi i treći red su zamijenjeni (premjestili smo dobiveni –1 u drugi korak)
(4). Treći red je dodan drugom redu, pomnožen sa 3.
(5). Prva dva retka su promijenila predznak (pomnoženo sa –1), treći red je podijeljen sa 14.
Naličje:
(1). Ovdje su osnovne varijable (koje su na stepenicama), i – slobodne varijable (koje nisu dobile korak).
(2). Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih varijabli:
Iz treće jednadžbe: .
(3). Razmotrimo drugu jednadžbu:, privatna rješenja:
Odgovor: Uobičajena odluka: 
Kompleksni brojevi
U ovom odjeljku predstavit ćemo koncept složeni broj, smatrati algebarski, trigonometrijski I eksponencijalni oblik složeni broj. Također ćemo naučiti kako izvoditi operacije s kompleksnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena.
Za svladavanje kompleksnih brojeva nije potrebno posebno znanje iz višeg matematičkog tečaja, a gradivo je dostupno čak i školarcima. Dovoljno je znati izvoditi algebarske operacije s “običnim” brojevima i zapamtiti trigonometriju.
Prvo, prisjetimo se “običnih” brojeva. U matematici se nazivaju skup realnih brojeva a označavaju se slovom R, ili R (zadebljano). Svi realni brojevi nalaze se na poznatom brojevnom pravcu:
Društvo realnih brojeva vrlo je raznoliko - ovdje postoje cijeli brojevi, razlomci i iracionalni brojevi. U tom slučaju svaka točka na brojevnoj osi nužno odgovara nekom realnom broju.
Kao što je jasno iz Cramerov teorem, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:
Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje
(sustav je dosljedan i određen)
Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja
(sustav je konzistentan i nesiguran)
** 
,
oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.
Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja
(sustav je nedosljedan)
Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n nazvane varijable nezglobni, ako ona nema niti jedno rješenje, i spojnica, ako ima barem jedno rješenje. Simultani sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog – neizvjestan.
Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom
Neka sustav bude dan
.
Na temelju Cramerovog teorema
………….
,
Gdje 
-
sustavna odrednica. Ostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim članovima:
Primjer 2.
.
Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.
Kako biste provjerili rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.
Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.
Primjer 3. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:
.
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, stoga je sustav određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).
6. Opći linearni sustav algebarske jednadžbe. Gaussova metoda.
Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi, koji u svakom slučaju dovest će nas do odgovora! Sam algoritam metode radi isto u sva tri slučaja. Ako Cramerova i matrična metoda zahtijevaju poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno samo poznavanje aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom čak i školskoj djeci osnovne razrede.
Prvo, sistematizirajmo malo znanja o sustavima linearnih jednadžbi. Sustav linearnih jednadžbi može:
1) Imajte jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nezglobni).
Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sustavi linearnih jednadžbi. Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica U svakom slučaju dovest će nas do odgovora! U ovoj lekciji ponovno ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sustava), članak je posvećen situacijama točaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi jednako u sva tri slučaja.
Vratimo se najjednostavnijem sustavu iz lekcije Kako riješiti sustav linearnih jednadžbi?
i riješiti Gaussovom metodom.
Prvi korak je zapisati matrica proširenog sustava:
. Mislim da svatko može vidjeti po kojem su principu napisani koeficijenti. Okomita crta unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.
Referenca:Preporučujem da zapamtite Pojmovi Linearna algebra. Matrica sustava je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznanice, u ovom primjeru matrica sustava: . Matrica proširenog sustava– ovo je ista matrica sustava plus stupac slobodnih izraza, u ovom slučaju: . Radi sažetosti, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.
Nakon što je proširena matrica sustava napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se također nazivaju elementarne transformacije.
Postoje sljedeće elementarne transformacije:
1) Žice matrice može se preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi redak: 
2) Ako matrica ima (ili se pojavila) proporcionalna (kao poseban slučaj– identične) linije, zatim slijedi izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 
. U ovoj matrici posljednja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
3) Ako se nulti redak pojavi u matrici tijekom transformacija, onda bi također trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.
4) Redak matrice može biti množiti (dijeliti) na bilo koji broj različit od nule. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti s –3, a drugi red pomnožiti s 2: 
. Ova radnja je vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.
5) Ova transformacija uzrokuje najviše poteškoća, ali zapravo nema ništa komplicirano. U red matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule. Pogledajmo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi redak s –2: 
, I drugom retku dodamo prvi red pomnožen s –2: 
. Sada se prvi redak može podijeliti "natrag" s -2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Stalno mijenja se redak KOJEM SE DODAVA UT.
U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, ali pišu ukratko: 
Još jednom: u drugu liniju dodao prvi redak pomnožen s –2. Crta se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračuna ide otprilike ovako:
“Prepisujem matricu i prepisujem prvi redak: 
»
“Prva kolona. Na dnu trebam dobiti nulu. Stoga onaj na vrhu množim s –2: , i dodajem prvi drugom retku: 2 + (–2) = 0. Rezultat upisujem u drugi redak: 
»
“Sada drugi stupac. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvom pribrajam drugi redak: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: 
»
“I treći stupac. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvom pribrajam drugi redak: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: »
Molimo vas da pažljivo razmislite o ovom primjeru i shvatite sekvencijalni algoritam proračuni, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički "u vašem džepu". Ali, naravno, još ćemo raditi na ovoj transformaciji.
Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi
! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne može koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane "same od sebe". Na primjer, s "klasičnim" operacije s matricama Ni pod kojim uvjetima ne smijete ništa preuređivati unutar matrica!
Vratimo se našem sustavu. Praktički je rastavljen na komade.
Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija svedimo je na stepenasti pogled:
(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s –2. I opet: zašto prvi redak množimo s –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači riješiti se jedne varijable u drugom retku.
(2) Podijelite drugu liniju s 3.
Svrha elementarnih transformacija –
reducirati matricu na oblik koraka: 
. U obrascu zadatka jasno je navedeno da jednostavnom olovkom“stepenice”, a također zaokružite brojeve koji se nalaze na “stepenicama”. Sam pojam "stepenasti pogled" nije posve teorijski, u znanstvenom i obrazovna literaturačesto se naziva trapezoidni pogled ili trokutasti pogled.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalent izvorni sustav jednadžbi:
Sada se sustav treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj se proces naziva inverzna od Gaussove metode.
U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .
Razmotrimo prvu jednadžbu sustava i već je zamijenimo poznata vrijednost"Y":
Razmotrimo najčešću situaciju, kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.
Primjer 1
Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom: 
Napišimo proširenu matricu sustava: 
Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tijekom rješavanja: 
Ponavljam, naš cilj je dovesti matricu do stupnjevitog oblika koristeći elementarne transformacije. Gdje započeti?
Prvo pogledajte gornji lijevi broj: 
Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Općenito govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će poslužiti, ali nekako se tradicionalno dogodilo da se jedan obično nalazi tamo. Kako organizirati jedinicu? Pogledamo prvi stupac - imamo gotovu jedinicu! Transformacija jedan: zamijenite prvi i treći red: 
Sada će prvi red ostati nepromijenjen do kraja rješenja. Sada dobro.
Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada trebate dobiti nule na ovim mjestima: 
Nule dobivamo pomoću "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Što treba učiniti da dobijemo nulu na prvoj poziciji? Moram drugom retku dodajte prvi red pomnožen s –2. Mentalno ili na nacrtu pomnožite prvi redak s –2: (–2, –4, 2, –18). I dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) zbrajanje, drugom retku dodamo prvi red, već pomnožen s –2:
Rezultat upisujemo u drugi redak: 
Na isti način postupamo s trećim redom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate trećem retku dodajte prvi redak pomnožen s –3. Mentalno ili na nacrtu pomnožite prvi redak s –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem retku dodamo prvi red pomnožen s –3:
Rezultat pišemo u treći red:
U praksi se te radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: 
Nema potrebe brojati sve odjednom i u isto vrijeme. Redoslijed izračuna i "upisivanje" rezultata dosljedan a obično je ovako: prvo prepišemo prvi redak, pa polako napuhavamo - DOSLJEDNO i POZORNO:
Već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih izračuna.
U ovom primjeru to je lako učiniti; drugi redak dijelimo s –5 (jer su svi brojevi tamo djeljivi s 5 bez ostatka). Istovremeno, treću liniju dijelimo s –2, jer što manji broj, oni jednostavnije rješenje:
Na završna faza elementarne transformacije trebate dobiti još jednu nulu ovdje: 
Za ovo trećem retku dodamo drugi red pomnožen s –2:
Pokušajte sami smisliti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi redak s –2 i izvedite zbrajanje.
Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, treću liniju podijelite s 3.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiven je ekvivalentni sustav linearnih jednadžbi: 
Cool.
Sada na scenu stupa obrnuta Gaussova metoda. Jednadžbe se "odmotavaju" odozdo prema gore.
U trećoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:
Pogledajmo drugu jednadžbu: . Značenje "zet" je već poznato, pa tako:
I na kraju, prva jednadžba: . “Igrek” i “zet” se znaju, samo su u pitanju sitnice:
Odgovor: 
Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sustav jednadžbi moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, srećom, to je jednostavno i brzo.
Primjer 2
Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se neće podudarati s mojim procesom odlučivanja, a to je značajka Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!
Primjer 3
Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je do stupnjevitog oblika:
Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Trebali bismo imati jedan tamo. Problem je što u prvom stupcu uopće nema jedinica pa preslagivanjem redova ništa nećete riješiti. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Ja sam ovo učinio:
(1) Prvom retku dodajemo drugi red, pomnožen s –1. To jest, mentalno smo pomnožili drugu liniju s –1 i zbrojili prvu i drugu liniju, dok se druga linija nije promijenila.
Sada gore lijevo stoji "minus jedan", što nam sasvim odgovara. Svatko tko želi dobiti +1 može izvesti dodatni pokret: prvi red pomnožiti s –1 (promijeniti mu predznak).
(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen s 3.
(3) Prvi red je pomnožen s –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg retka koji je pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom “koraku” imali traženu jedinicu.
(4) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen sa 2.
(5) Treći red je podijeljen s 3.
Loš znak koji ukazuje na pogrešku u izračunima (rjeđe, pogrešku pri upisu) je "loš" rezultat. To jest, ako imamo nešto poput , u nastavku, i, prema tome, 
, tada s velikom vjerojatnošću možemo reći da je tijekom elementarnih transformacija napravljena pogreška.
Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sustav, već su jednadžbe "preuzete izravno iz dane matrice." Obrnuti potez, podsjećam vas, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:
Odgovor: 
.
Primjer 4
Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Ovo je primjer koji morate sami riješiti, malo je kompliciraniji. U redu je ako se netko zbuni. Potpuno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.
U posljednjem ćemo dijelu pogledati neke značajke Gaussovog algoritma.
Prva značajka je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sustava, na primjer: 
Kako pravilno napisati matricu proširenog sustava? Već sam govorio o ovoj točki u razredu. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sustava stavili smo nule na mjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da prvi stupac već ima jednu nulu, a potrebno je izvršiti manje elementarnih transformacija.
Druga značajka je ova. U svim razmatranim primjerima stavili smo ili –1 ili +1 na “korake”. Mogu li tu biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sustav: 
.
Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2 bez ostatka – a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku trebate izvršiti sljedeće transformacije: dodati prvi redak pomnožen s –1 drugom retku; trećem retku dodajte prvi redak pomnožen s –3. Tako ćemo dobiti tražene nule u prvom stupcu.
Ili još jedan konvencionalni primjer: 
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “koraku”, jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo s 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećoj liniji dodajte drugu liniju, pomnoženu s –4, čime ćemo dobiti nulu koja nam je potrebna.
Gaussova metoda je univerzalna, ali ima jednu osobitost. Možete pouzdano naučiti rješavati sustave pomoću drugih metoda (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - imaju vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, morate se dobro snaći u njoj i riješiti barem 5-10 sustava. Stoga u početku može doći do zabune i pogrešaka u izračunima, au tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.
Kišno jesensko vrijeme izvan prozora.... Stoga, za sve koji žele više složen primjer za samostalno rješenje:
Primjer 5
Riješite sustav od četiri linearne jednadžbe s četiri nepoznanice koristeći Gaussovu metodu. 
Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljito proučio ovu stranicu intuitivno razumjeti algoritam za rješavanje takvog sustava. U osnovi je sve isto - samo ima više akcija.
U lekciji se govori o slučajevima kada sustav nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja. Nekompatibilni sustavi i sustavi sa zajedničkim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.
Želim ti uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Riješenje: Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stupnjevit oblik.
Izvedene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s –2. Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s –1. Pažnja! Ovdje možete doći u iskušenje da oduzmete prvi od trećeg retka; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od pogreške se uvelike povećava. Samo ga presavijte!
(2) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka, da se na “stepenicama” ne zadovoljavamo samo s jedinicom, nego i s –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s 5.
(4) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s –1). Treći red je podijeljen sa 14.
Naličje:
Odgovor: 
.
Primjer 4: Riješenje: Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u stupnjevit oblik:
Provedene konverzije:
(1) Prvom redu dodan je drugi redak. Tako je željena jedinica organizirana na gornjoj lijevoj “stepenici”.
(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen sa 7. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen sa 6.
S drugim "korakom" sve postaje gore, “kandidati” za njega su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će biti usmjerene na dobivanje željene jedinice
(3) Drugi redak je dodan trećem retku, pomnožen s –1.
(4) Treći redak dodan je drugom retku, pomnožen s –3.
Potrebna stavka na drugom koraku je primljena.
.
(5) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen sa 6.
U sklopu nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sustavi/sustavi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogenih sustava linearnih jednadžbi, Gdje slobodan član(koji je obično s desne strane) najmanje jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrijavanja sa rang matrice, nastavit ćemo brusiti tehniku elementarne transformacije na homogeni sustav linearnih jednadžbi.
Na temelju prvih odlomaka materijal može djelovati dosadno i osrednje, ali taj dojam je varljiv. Osim daljnjeg razvoja Tehnike Bit će puno novih informacija, stoga pokušajte ne zanemariti primjere u ovom članku.
