Pogledali smo najosnovnije trigonometrijske funkcije(nemojte se zavarati, osim sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, postoji čitav niz drugih funkcija, ali o njima kasnije), ali za sada pogledajmo neka osnovna svojstva funkcija koje smo već proučili.

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta

Koji god realni broj t uzet, može se pridružiti jedinstveno definiranom broju sin(t) . Istina, pravilo sparivanja prilično je složeno i sastoji se od sljedećeg.

Da biste pronašli vrijednost sin(t) iz broja t, trebate:

1. brojevnu kružnicu postaviti na koordinatnu ravninu tako da se središte kružnice poklapa s ishodištem koordinata, a početna točka A kružnice pada u točku (1; 0);
2. pronaći točku na kružnici koja odgovara broju t;
3. nađi ordinatu ove točke.
4. ova ordinata je željeni sin(t) .

Zapravo, govorimo o funkciji s = sin(t) , gdje je t bilo koji realni broj. Možemo izračunati neke vrijednosti ove funkcije (na primjer, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) itd.), poznata su nam neka njegova svojstva.

Na isti način, možemo smatrati da smo već dobili neke ideje o još tri funkcije: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Sve ove funkcije nazivamo trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta t .

Odnos trigonometrijskih funkcija

Kao što, nadam se, možete pogoditi, sve su trigonometrijske funkcije međusobno povezane i čak i bez poznavanja značenja jedne, može se pronaći pomoću druge.

Na primjer, najvažnija formula u cijeloj trigonometriji je osnovni trigonometrijski identitet:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Kao što vidite, znajući vrijednost sinusa, možete pronaći vrijednost kosinusa, ali i obrnuto. Također vrlo uobičajene formule koje povezuju sinus i kosinus s tangensom i kotangensom:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Iz posljednje dvije formule može se izvesti još jedan trigometrijski identitet, ovaj put povezujući tangens i kotangens:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Sada da vidimo kako ove formule rade u praksi.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Najprije napišimo tangentu zadržavajući kvadrat:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Sada stavimo sve pod zajednički nazivnik i dobivamo:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

I konačno, kao što vidimo, brojnik se može svesti na jedan pomoću glavnog trigonometrijskog identiteta, kao rezultat dobivamo: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) S kotangensom izvodimo sve iste radnje, samo nazivnik više neće biti kosinus, već sinus, a odgovor će biti ovakav:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nakon što smo obavili ovaj zadatak, izveli smo još dvije vrlo važne formule koje povezuju naše funkcije, a koje također moramo znati kao svoj džep:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Morate znati sve predstavljene formule napamet, inače je daljnje proučavanje trigonometrije bez njih jednostavno nemoguće. U budućnosti će biti još formula i bit će ih puno i uvjeravam vas da ćete ih se svih sigurno dugo sjećati, ili ih se možda nećete sjećati, ali ovih šest stvari SVATKO bi trebao znati!

Definicija 1: Numerička funkcija dana formulom y=sin x naziva se sinus.

Ova krivulja se zove - sinusni val.

Svojstva funkcije y=sin x

2. Raspon vrijednosti funkcije: E(y)=[-1; 1]

3. Funkcija pariteta:

y=sin x – neparan,.

4. Periodičnost: sin(x+2πn)=sin x, gdje je n cijeli broj.

Ova funkcija poprima iste vrijednosti nakon određenog razdoblja. Ovo svojstvo funkcije naziva se frekvencija. Interval je period funkcije.

Za funkciju y=sin x period je 2π.

Funkcija y=sin x je periodična, s periodom T=2πn, n je cijeli broj.

Najmanji pozitivni period je T=2π.

Matematički, ovo se može napisati na sljedeći način: sin(x+2πn)=sin x, gdje je n cijeli broj.

Definicija 2: Numerička funkcija dana formulom y=cosx naziva se kosinus.

Svojstva funkcije y=cos x

1. Funkcijska domena: D(y)=R

2. Područje vrijednosti funkcije: E(y)=[-1;1]

3. Funkcija pariteta:

y=cos x – paran.

4. Periodičnost: cos(x+2πn)=cos x, gdje je n cijeli broj.

Funkcija y=cos x je periodična, s periodom T=2π.

Definicija 3: Numerička funkcija dana formulom y=tan x naziva se tangens.

Svojstva funkcije y=tg x

1. Domena funkcije: D(y) - svi realni brojevi osim π/2+πk, k – cijeli broj. Budući da u tim točkama tangenta nije definirana.

3. Funkcija pariteta:

y=tg x – nepar.

4. Periodičnost: tg(x+πk)=tg x, gdje je k cijeli broj.

Funkcija y=tg x je periodična s periodom π.

Definicija 4: Numerička funkcija dana formulom y=ctg x naziva se kotangens.

Svojstva funkcije y=ctg x

1. Područje definiranja funkcije: D(y) - svi realni brojevi osim πk, k je cijeli broj. Budući da u tim točkama kotangens nije definiran.

2. Raspon funkcije: E(y)=R.

Video lekcija "Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta" pruža vizualni materijal za jasnoću prilikom objašnjavanja teme u razredu. Tijekom demonstracije razmatra se princip formiranja vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz broja, opisuje se niz primjera koji uče kako izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz broja. Uz pomoć ovog priručnika lakše je razviti vještine rješavanja relevantnih problema i postići pamćenje gradiva. Korištenje priručnika povećava učinkovitost lekcije i pomaže u brzom postizanju ciljeva učenja.

Na početku lekcije prikazan je naslov teme. Tada je zadatak pronaći odgovarajući kosinus nekom numeričkom argumentu. Napominje se da se ovaj problem može jednostavno riješiti i to se može jasno pokazati. Zaslon prikazuje jedinični krug sa središtem u ishodištu. Primjećuje se da se točka presjeka kružnice s pozitivnom poluosi osi apscisa nalazi u točki A(1;0). Dat je primjer točke M koja predstavlja argument t=π/3. Ta je točka označena na jediničnoj kružnici, a iz nje se spušta okomica na os apscisa. Nađena apscisa točke je kosinus cos t. U ovom slučaju, apscisa točke će biti x=1/2. Prema tome cos t=1/2.

Rezimirajući razmatrane činjenice, napominje se da ima smisla govoriti o funkciji s=cos t. Napominje se da studenti već imaju određena znanja o ovoj funkciji. Izračunavaju se neke vrijednosti kosinusa: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. S ovom funkcijom su povezane i funkcije s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Napominje se da imaju zajedničko ime za sve - trigonometrijske funkcije.

Prikazane su važne relacije koje se koriste u rješavanju problema s trigonometrijskim funkcijama: glavni identitet sin 2 t+ cos 2 t=1, izraz tangensa i kotangensa kroz sinus i kosinus tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/ 2+πk za kϵZ, ctg t= cos t/sin t, gdje je t≠πk za kϵZ, kao i omjer tangensa prema kotangensu tg t·ctg t=1 gdje je t≠πk/2 za kϵZ.

Zatim predlažemo da razmotrimo dokaz relacije 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, s t≠π/2+πk za kϵZ. Da bi se dokazala identičnost, potrebno je tg 2 t predstaviti u obliku omjera sinusa i kosinusa, a potom članove na lijevoj strani dovesti na zajednički nazivnik 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Koristeći se osnovnim trigonometrijskim identitetom, dobivamo 1 u brojniku, odnosno konačni izraz 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitet 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t dokazuje se na sličan način, za t≠πk za kϵZ. Baš kao u prethodnom dokazu, kotangens je zamijenjen odgovarajućim omjerom kosinusa i sinusa, a oba člana na lijevoj strani su svedena na zajednički nazivnik 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Nakon primjene osnovnog trigonometrijskog identiteta na brojnik dobivamo 1/ sin 2 t. Ovo je izraz koji tražimo.

Razmatra se rješavanje primjera u kojima se primjenjuju stečena znanja. U prvom zadatku treba pronaći vrijednosti troška, ​​tgt, ctgt, ako je poznat sinus broja sint=4/5, a t pripada intervalu π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Zatim razmatramo rješenje sličnog problema u kojem je poznat tangens tgt = -8/15, a argument je ograničen na vrijednosti 3π/2

Da bismo pronašli vrijednost sinusa, koristimo se definicijom tangensa tgt= sint/cost. Iz njega nalazimo sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Znajući da je kotangens inverzna funkcija tangensa, nalazimo ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Video lekcija "Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta" koristi se za povećanje učinkovitosti nastave matematike u školi. Tijekom učenja na daljinu ovaj se materijal može koristiti kao vizualna pomoć za razvijanje vještina rješavanja problema koji uključuju trigonometrijske funkcije broja. Za stjecanje ovih vještina, studentu se može savjetovati da samostalno pregleda vizualni materijal.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Tema lekcije je "Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta."

Svaki realni broj t može se pridružiti jedinstveno definiranom broju cos t. Da biste to učinili, trebate učiniti sljedeće:

1) brojevnu kružnicu postaviti na koordinatnu ravninu tako da se središte kružnice podudara s ishodištem koordinata, a početna točka A kružnice pada u točku (1;0);

2) na kružnici pronaći točku koja odgovara broju t;

3) nađite apscisu te točke. Ovo je zbog t.

Stoga ćemo govoriti o funkciji s = cos t (es jednako kosinusu te), gdje je t bilo koji realni broj. Već imamo neku ideju o ovoj funkciji:

• naučili izračunati neke vrijednosti, na primjer cos 0=1, cos = 0, cos =, itd. (kosinus nula jednak je jedan, kosinus pi puta dva je jednak nuli, kosinus pi puta tri je jednako jednoj polovici, i tako dalje).
• a budući da su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa međusobno povezane, dobili smo neku ideju o još tri funkcije: s = sint; s= tgt; s= ctgt. (es jednako sinus te, es jednako tangens te, es jednako kotangens te)

Sve te funkcije nazivamo trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta t.

Iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa slijede neki odnosi:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te jednako je jedan)

2)tgt = za t ≠ + πk, kϵZ (tangens te je jednak omjeru sinusa te i kosinusa te s tim da te nije jednak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te jednak je omjeru kosinusa te i sinusa te kada te nije jednako pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (umnožak tangensa te s kotangensom te jednak je jedan kada te nije jednako vrhu ka, podijeljeno s dva, ka pripada zet)

Dokažimo još dvije važne formule:

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Pronađite trošak, tgt, ctgt ako je sint = i< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Riješenje. Iz prve relacije nalazimo da je kosinus na kvadrat te jednak jedan minus sinus na kvadrat te: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

To znači da je cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinus na kvadrat te jednak je devet dvadeset petina), odnosno trošak = (kosinus te je jednak tri petine) ili trošak = - (kosinus te je jednak minus tri petine). Po uvjetu argument t pripada drugoj četvrtini, au njoj cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

To znači da je kosinus te jednak minus tri petine, trošak = - .

Izračunajmo tangens te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(tangens te jednak je omjeru sinusa te i kosinusa te, i prema tome četiri petine prema minus tri petine i jednak minus četiri trećine)

Prema tome izračunavamo (kotangens broja te. budući da je kotangens te jednak omjeru kosinusa od te i sinusa od te,) ctgt = = - .

(kotangens te je jednak minus tri četvrtine).

Odgovor: trošak = - , tgt= - ; ctgt = - . (odgovor upisujemo dok ga rješavamo)

PRIMJER 2. Poznato je da je tgt = - i< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Riješenje. Upotrijebimo ovaj odnos i zamijenimo vrijednost u ovu formulu kako bismo dobili:

1 + (-) 2 = (jedan po kosinus kvadratu te jednako je zbroju jedan i kvadrata minus osam petnaestina). Odavde nalazimo cos 2 t =

(kosinus kvadrat te jednak je dvjesto dvadeset pet dvjesto osamdeset deveti). To znači trošak = (kosinus te je petnaest sedamnaestina) ili

trošak =. Po uvjetu, argument t pripada četvrtoj četvrtini, gdje je trošak>0. Stoga trošak = .(cosenus te je petnaest sedamnaestih)

Nađimo vrijednost argumenta sinus te. Budući da je iz relacije (pokažite relaciju tgt = za t ≠ + πk, kϵZ) sinus te jednak umnošku tangente te s kosinusom te, tada zamjenom vrijednosti argumenta te..tangens te je jednak minus osam petnaestina .. prema uvjetu, a kosinus te je jednak ranije riješenom, dobivamo

sint = tgt ∙ trošak = (-) ∙ = - , (sinus te je jednako minus osam sedamnaestih)

ctgt = = - . (pošto je kotangens te recipročna vrijednost tangensa, što znači da je kotangens te jednak minus petnaest osamnaestih)

Definicija. Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su istoimene trigonometrijske funkcije kuta jednakog radijanima.

Objasnimo ovu definiciju konkretnim primjerima.

Primjer 1. Izračunajmo vrijednost. Ovdje mislimo na apstraktni iracionalni broj. Prema definiciji. Dakle, .

Primjer 2. Izračunajmo vrijednost. Ovdje pod 1,5 mislimo na apstraktni broj. Kao što je definirano (vidi Dodatak II).

Primjer 3. Izračunajte vrijednost Dobivamo isto kao gore (vidi Dodatak II).

Dakle, ubuduće ćemo pod argumentom trigonometrijskih funkcija podrazumijevati kut (luk) ili samo broj, ovisno o problemu koji rješavamo. A u nekim slučajevima, argument može biti veličina koja ima drugu dimenziju, na primjer vrijeme, itd. Nazivajući argument kutom (lukom), možemo pod njim podrazumijevati broj kojim se mjeri u radijanima.