Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva, obično se označavaju s . Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao formalni zbroj, gdje su i realni brojevi, a je imaginarna jedinica.

Zapisivanje kompleksnog broja u obliku , , naziva se algebarski oblik kompleksnog broja.

Svojstva kompleksnih brojeva. Geometrijska interpretacija kompleksnog broja.

Djelovanje na kompleksne brojeve dane u algebarskom obliku:

Razmotrimo pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima.

Ako su dana dva kompleksna broja α = a + bi i β = c + di, tada

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (jedanaest)

To proizlazi iz definicije operacija zbrajanja i oduzimanja dvaju uređenih para realnih brojeva (vidi formule (1) i (3)). Dobili smo pravila za zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva: da bismo zbrojili dva kompleksna broja, moramo posebno zbrojiti njihove realne dijelove i, prema tome, njihove imaginarne dijelove; Da bi se od jednog složenog broja oduzeo drugi, potrebno je oduzeti njihov realni, odnosno imaginarni dio.

Broj – α = – a – bi nazivamo suprotan broju α = a + bi. Zbroj ova dva broja je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Da bismo dobili pravilo za množenje kompleksnih brojeva koristimo se formulom (6), odnosno činjenicom da je i2 = -1. Uzimajući u obzir ovu relaciju, nalazimo (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, tj.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ova formula odgovara formuli (2) kojom je određeno množenje uređenih parova realnih brojeva.

Imajte na umu da su zbroj i umnožak dva kompleksna konjugirana broja realni brojevi. Doista, ako je α = a + bi, = a – bi, tada je α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, tj.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Kod dijeljenja dva kompleksna broja u algebarskom obliku treba očekivati ​​da je kvocijent također izražen brojem iste vrste, tj. α/β = u + vi, gdje je u, v R. Izvedimo pravilo za dijeljenje kompleksnih brojeva . Neka su zadani brojevi α = a + bi, β = c + di i β ≠ 0, tj. c2 + d2 ≠ 0. Posljednja nejednakost znači da c i d ne iščezavaju istovremeno (slučaj je isključen kada je c = 0). , d = 0). Primjenom formule (12) i druge jednakosti (13) nalazimo:

Dakle, kvocijent dvaju kompleksnih brojeva određuje se formulom:

koji odgovara formuli (4).

Koristeći dobivenu formulu za broj β = c + di, možete pronaći njegov inverzni broj β-1 = 1/β. Uz pretpostavku a = 1, b = 0 u formuli (14), dobivamo

Ova formula određuje inverziju zadanog kompleksnog broja različitog od nule; ovaj broj je također složen.

Na primjer: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

55. Argument kompleksnog broja. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnog broja (derivacija).

Arg.com.brojevi. – između pozitivnog smjera realne X osi i vektora koji predstavlja zadani broj.

Trigonska formula. Brojevi: ,

DEFINICIJA

Algebarski oblik kompleksnog broja je pisanje kompleksnog broja \(\z\) u obliku \(\z=x+i y\), gdje su \(\x\) i \(\y\) realni brojevi , \(\i\ ) - imaginarna jedinica koja zadovoljava relaciju \(\i^(2)=-1\)

Broj \(\ x \) naziva se realni dio kompleksnog broja \(\ z \) i označava se s \(\ x=\imeoperatora(Re) z \)

Broj \(\y\) naziva se imaginarni dio kompleksnog broja \(\z\) i označava se s \(\y=\imeoperatora(Im) z\)

Na primjer:

Kompleksni broj \(\ z=3-2 i \) i njegov pridruženi broj \(\ \overline(z)=3+2 i \) zapisani su u algebarskom obliku.

Imaginarna veličina \(\ z=5 i \) zapisana je u algebarskom obliku.

Osim toga, ovisno o problemu koji rješavate, možete pretvoriti kompleksni broj u trigonometrijski ili eksponencijalni broj.

Zadatak

Napiši broj \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) u algebarskom obliku, pronađi njegov realni i imaginarni dio, kao i njegov konjugirani broj.

Riješenje.

Koristeći pojam dijeljenja razlomaka i pravilo zbrajanja razlomaka, dobivamo:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Stoga je realni dio kompleksnog broja \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) broj \(\ x=\imeoperatora(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginarni dio je broj \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugirani broj: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odgovor

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Djelovanje kompleksnih brojeva u usporedbi algebarskih oblika

Za dva kompleksna broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) se kaže da su jednaka ako \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) tj. Njihov stvarni i imaginarni dio su jednaki.

Zadatak

Odredite za koje su x i y dva kompleksna broja \(\ z_(1)=13+y i \) i \(\ z_(2)=x+5 i \) jednaka.

Riješenje

Po definiciji, dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi, tj. \(\x=13\), \(\y=5\).

Odgovor \(\x=13\), \(\y=5\)

dodatak

Zbrajanje kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) vrši se izravnim zbrajanjem realnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\lijevo(x_(1)+x_(2)\desno) +i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno) \)

Zadatak

Pronađite zbroj kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Riješenje.

Realni dio kompleksnog broja \(\ z_(1)=-7+5 i \) je broj \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , imaginarni dio je broj \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Realni i imaginarni dio kompleksnog broja \(\ z_(2)=13-4 i \) jednaki su \(\ x_(2)=\imeoperatora(Re) z_(2)=13 \) i \( \ y_(2) redom )=\imeoperatora(Im) z_(2)=-4 \) .

Dakle, zbroj kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)+z_(2)=\lijevo(x_(1)+x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Odgovor

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Više o zbrajanju kompleksnih brojeva pročitajte u zasebnom članku: Zbrajanje kompleksnih brojeva.

Oduzimanje

Oduzimanje kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) i \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) izvodi se izravnim oduzimanjem stvarni i imaginarni dio:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_(1)-x_(2) +\lijevo(i y_(1)-i y_(2)\desno)=\lijevo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)-y_(2)\desno ) \)

Zadatak

nađi razliku kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Riješenje.

Pronađite realne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\imeoperatora(Re) z_(1)=17, x_(2)=\imeoperatora(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\imeoperatora(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\imeoperatora(Im) z_(2)=5 \)

Dakle, razlika kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)-z_(2)=\lijevo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)-y_(2)\desno)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odgovor

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) množenje

Množenje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) izvodi se izravnim stvaranjem brojevi u algebarskom obliku uzimajući u obzir svojstvo imaginarne jedinice \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\lijevo(x_(1)+i y_(1)\desno) \cdot\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\lijevo(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\desno)=\)

\(\ =\lijevo(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\lijevo(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\desno) \)

Zadatak

Pronađite umnožak kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=1-5 i \)

Riješenje.

Kompleks kompleksnih brojeva:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\lijevo(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\lijevo(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\desno)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Odgovor

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) dijeljenje

Faktor kompleksnih brojeva \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) i \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) određuje se množenjem brojnik i nazivnik konjugiranom broju s nazivnikom:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\lijevo (x_(1)+i y_(1)\desno)\lijevo(x_(2)-i y_(2)\desno))(\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)\lijevo (x_(2)-i y_(2)\desno))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Zadatak

Podijeliti broj 1 s kompleksnim brojem \(\z=1+2 i\).

Riješenje.

Budući da je imaginarni dio realnog broja 1 nula, faktor je:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Odgovor

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Prisjetimo se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.

Složeni broj je izraz forme a + dvo, Gdje a, b su realni brojevi, i ja- tzv imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat jednak –1, tj ja 2 = –1. Broj a nazvao pravi dio, i broj b - imaginarni dio složeni broj z = a + dvo. Ako b= 0, tada umjesto a + 0ja jednostavno pišu a. Vidi se da su prave brojke poseban slučaj kompleksni brojevi.

Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima iste su kao i nad realnim brojevima: mogu se međusobno zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i oduzimanje odvija se prema pravilu ( a + dvo) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)ja, a množenje slijedi pravilo ( a + dvo) · ( c + di) = (ak – bd) + (oglas + prije Krista)ja(ovdje se koristi da ja 2 = –1). Broj = a – dvo nazvao složeni konjugat Do z = a + dvo. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućuje da razumijete kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim (različitim od nule) kompleksnim brojem:

(Na primjer, .)

Složeni brojevi imaju zgodan i vizualni geometrijski prikaz: broj z = a + dvo može se prikazati vektorom s koordinatama ( a; b) na Kartezijevoj ravnini (ili, što je gotovo isto, točka - kraj vektora s tim koordinatama). U ovom slučaju, zbroj dvaju kompleksnih brojeva prikazan je kao zbroj odgovarajućih vektora (koji se mogu pronaći korištenjem pravila paralelograma). Prema Pitagorinom teoremu, duljina vektora s koordinatama ( a; b) jednako je . Ova količina se zove modul složeni broj z = a + dvo i označava se sa | z|. Kut koji ovaj vektor čini s pozitivnim smjerom x-osi (računajući u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument složeni broj z i označava se s Arg z. Argument nije jedinstveno definiran, već samo do zbrajanja višekratnika 2 π radijana (ili 360°, ako se računa u stupnjevima) - uostalom, jasno je da rotacija za takav kut oko ishodišta neće promijeniti vektor. Ali ako vektor duljine r tvori kut φ s pozitivnim smjerom x-osi, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ ; r grijeh φ ). Odavde ispada trigonometrijski zapis kompleksni broj: z = |z| · (cos(Arg z) + ja grijeh (Arg z)). Često je zgodno pisati složene brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje izračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku vrlo je jednostavno: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + ja grijeh (Arg z 1 + Arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja njihovi moduli se množe i njihovi argumenti se zbrajaju). Odavde slijedite Moivreove formule: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + ja grijeh( n· (Arg z))). Pomoću ovih formula lako je naučiti kako izvući korijene bilo kojeg stupnja iz kompleksnih brojeva. Korijen n-ti stupanj od broja z- ovo je složen broj w, Što w n = z. Jasno je da , I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- 1). To znači da uvijek postoji točno n korijenje n stupanj kompleksnog broja (na ravnini se nalaze u vrhovima pravilnog n-gon).

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu.

Odredimo njegove korijene.

Ne postoji realan broj čiji je kvadrat -1. Ali ako operator definiramo formulom ja kao imaginarna jedinica, tada se rješenje ove jednadžbe može napisati kao . pri čemu I - kompleksni brojevi kod kojih je -1 realni dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je također realan broj. Imaginarni dio pomnožen sa imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, kompleksni broj ima oblik

z = x + iy ,

Gdje x, y– realni brojevi, – imaginarna jedinica. U nizu primijenjenih znanosti, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava s j. Realni brojevi x = Re(z) I y =ja(z) se zovu stvarni i imaginarni dijelovi brojevima z. Izraz se zove algebarski oblik pisanje složenog broja.

Svaki realni broj je poseban slučaj kompleksnog broja u obliku . Imaginarni broj također je poseban slučaj kompleksnog broja .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi na sljedeći način: set S, koji se sastoji od elemenata kao što je x I g pripadaju skupu realnih brojeva R i imaginarna je jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja I jednaki ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. i .

Kompleksni brojevi i funkcije naširoko se koriste u znanosti i tehnologiji, posebice u mehanici, analizi i proračunu krugova izmjenične struje, analognoj elektronici, teoriji i obradi signala, teoriji automatska kontrola i druge primijenjene znanosti.

1. Aritmetika složenih brojeva

Zbrajanje dvaju kompleksnih brojeva sastoji se od zbrajanja njihovih realnih i imaginarni dijelovi, tj.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Složeni broj nazvao sveobuhvatno konjugirati broj z =x+iy.

Kompleksno konjugirani brojevi z i z * razlikuju se po predznacima imaginarnog dijela. Očito je da

.

Svaka jednakost između složeni izrazi ostaje valjana ako u ovoj jednakosti posvuda ja zamijenjen sa - ja, tj. prijeći na jednakost konjugiranih brojeva. Brojke ja I – ja su algebarski nerazlučivi, jer .

Umnožak (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Dijeljenje dva kompleksna broja:

Primjer:

1. Složena ravnina

Kompleksni broj može se grafički prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu. Definirajmo pravokutni koordinatni sustav u ravnini (x, y).

Na osi Vol postavit ćemo prave dijelove x, to se zove prava (stvarna) os, na osi Joj– imaginarni dijelovi g kompleksni brojevi. To se zove imaginarna os. U tom slučaju svakom kompleksnom broju odgovara određena točka na ravnini, a takva se ravnina naziva složena ravnina. Točka A kompleksna ravnina će odgovarati vektoru OA.

Broj x nazvao apscisa složeni broj, broj g – ordinata.

Par kompleksno konjugiranih brojeva predstavljen je točkama koje se nalaze simetrično oko realne osi.

Ako u avionu koji smo postavili polarni koordinatni sustav, zatim svaki kompleksni broj z određena polarnim koordinatama. pri čemu modul brojevima je polarni radijus točke, a kut - njegov polarni kut ili argument kompleksnog broja z.

Modul kompleksnog broja uvijek nenegativan. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno određen. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uvjet . Svaka točka kompleksne ravnine također odgovara opće značenje argument. Argumenti koji se razlikuju višekratnikom od 2π smatraju se jednakima. Argument broj nula je nedefiniran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očito je da

pri čemu
, .

Predstavljanje kompleksnih brojeva z kao

nazvao trigonometrijski oblik složeni broj.

Primjer.

1. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva

Razgradnja u serija Maclaurin za stvarne funkcije argumenata ima oblik:

Za eksponencijalnu funkciju sa složenim argumentom z razgradnja je slična

.

Proširenje Maclaurinovog reda za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se prikazati kao

Dobiveni identitet naziva se Eulerova formula.

Za negativan argument ima oblik

Kombinacijom ovih izraza možete definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

.

Pomoću Eulerove formule, iz trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnih brojeva

dostupno indikativan(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, t.j. njegov prikaz u formi

,

Gdje - polarne koordinate točke s pravokutnim koordinatama ( x,g).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku na sljedeći način.

Za eksponencijalni oblik to je lako odrediti sljedeće formule množenje i dijeljenje složenih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, umnožak i dijeljenje kompleksnih brojeva je jednostavniji nego u algebarskom obliku. Kod množenja moduli faktora se množe, a argumenti zbrajaju. Ovo se pravilo primjenjuje na bilo koji broj čimbenika. Konkretno, kod množenja složenog broja z na ja vektor z okreće se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu 90

Kod dijeljenja se modul brojnika dijeli s modulom nazivnika, a argument nazivnika oduzima se od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, možemo dobiti izraze za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

pomoću Eulerove formule možemo napisati

Izjednačavanje realnog i imaginarnog dijela u ovaj izraz, dobivamo izraze za kosinus i sinus zbroja kutova

1. Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Podizanje kompleksnog broja na prirodni stupanj n proizvedeno prema formuli

Primjer. Idemo izračunati .

Zamislimo broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenom formule za potenciranje dobivamo

Stavljanjem vrijednosti u izraz r= 1, dobivamo tzv Moivreova formula, s kojim možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više kutova.

Korijen n-tu potenciju kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Pronađimo ga.

Da bismo to učinili, izrazimo kompleksni broj () u trigonometrijskom obliku

.

Koristeći se formulom za izračunavanje korijena kompleksnog broja, dobivamo

Logaritam kompleksnog broja z- ovo je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksni broj ima beskonačan skup vrijednosti i izračunava se pomoću formule

Sastoji se od realnog (kosinus) i imaginarnog (sinus) dijela. Ovaj napon se može prikazati kao vektor duljine um , početna faza(kut) koji se okreće kutnom brzinom ω .

Štoviše, ako se zbrajaju složene funkcije, tada se zbrajaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se složena funkcija pomnoži s konstantnom ili realnom funkcijom, tada se njezini realni i imaginarni dio množe istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferencijaciju/integraciju realnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, razlikovanje izraza složenog naglaska

je pomnožiti s iω je realni dio funkcije f(z), i – imaginarni dio funkcije. Primjeri: .

Značenje z predstavljena je točkom u kompleksnoj z ravnini i odgovarajućom vrijednošću w- točka u kompleksnoj ravnini w. Kada se prikaže w = f(z) ravninske linije z transformirati u ravninske linije w, figure jedne ravnine u figure druge, ali se oblici linija ili likova mogu značajno promijeniti.

Plan učenja.

1. Organizacijski trenutak.

2. Prezentacija gradiva.

3. Domaća zadaća.

4. Sažimanje lekcije.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

II. Prezentacija materijala.

Motivacija.

Proširenje skupa realnih brojeva sastoji se od dodavanja novih brojeva (imaginarnih) realnim brojevima. Uvođenje ovih brojeva je zbog nemogućnosti izvlačenja korijena negativnog broja u skupu realnih brojeva.

Upoznavanje s pojmom kompleksnog broja.

U obrascu su zapisani imaginarni brojevi kojima nadopunjujemo realne brojeve dvo, Gdje ja je zamišljena jedinica, i i 2 = - 1.

Na temelju toga dobivamo sljedeću definiciju kompleksnog broja.

Definicija. Kompleksni broj je izraz oblika a+bi, Gdje a I b- realni brojevi. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

a) Dva kompleksna broja a 1 + b 1 i I a 2 + b 2 i jednako ako i samo ako a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Zbrajanje kompleksnih brojeva određeno je pravilom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Množenje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebarski oblik kompleksnog broja.

Zapisivanje kompleksnog broja u obrazac a+bi naziva se algebarski oblik kompleksnog broja, gdje A– pravi dio, dvo je imaginarni dio, i b- pravi broj.

Složeni broj a+bi smatra se jednakim nuli ako su njegov realni i imaginarni dio jednaki nuli: a = b = 0

Složeni broj a+bi na b = 0 smatra se istim kao realni broj a: a + 0i = a.

Složeni broj a+bi na a = 0 naziva se čisto imaginarno i označava se dvo: 0 + bi = bi.

Dva kompleksna broja z = a + bi I = a – bi, koji se razlikuju samo u znaku imaginarnog dijela, nazivaju se konjugirani.

Operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

Možete izvesti sljedeće operacije nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

1) Zbrajanje.

Definicija. Zbroj kompleksnih brojeva z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i naziva se kompleksan broj z, čiji je realni dio jednak zbroju realnih dijelova z 1 I z 2, a imaginarni dio je zbroj imaginarnih dijelova brojeva z 1 I z 2, to je z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Brojke z 1 I z 2 nazivaju se pojmovi.

Zbrajanje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. Komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asocijativnost: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Složeni broj –a –bi naziva se suprotnost kompleksnog broja z = a + bi. Kompleksni broj, suprotno od kompleksnog broja z, označeno -z. Zbroj kompleksnih brojeva z I -z jednako nuli: z + (-z) = 0

Primjer 1: Izvedite zbrajanje (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Oduzimanje.

Definicija. Oduzmite od kompleksnog broja z 1 složeni broj z 2 z,Što z + z 2 = z 1.

Teorema. Razlika između kompleksnih brojeva postoji i jedinstvena je.

Primjer 2: Izvršite oduzimanje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Množenje.

Definicija. Umnožak kompleksnih brojeva z 1 =a 1 +b 1 i I z 2 =a 2 +b 2 i naziva se kompleksan broj z, definiran jednakošću: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Brojke z 1 I z 2 nazivaju faktori.

Množenje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. Komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asocijativnost: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- pravi broj.

U praksi se množenje kompleksnih brojeva provodi prema pravilu množenja zbroja zbrojem i odvajanja realnog i imaginarnog dijela.

U sljedećem primjeru razmotrit ćemo množenje kompleksnih brojeva na dva načina: pravilom i množenjem zbroja sa zbrojem.

Primjer 3: Izvršite množenje (2 + 3i) (5 – 7i).

1 način. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Podjela.

Definicija. Podijelite složeni broj z 1 na kompleksan broj z 2, znači pronaći tako složen broj z, Što z · z 2 = z 1.

Teorema. Kvocijent kompleksnih brojeva postoji i jedinstven je ako z 2 ≠ 0 + 0i.

U praksi se kvocijent kompleksnih brojeva nalazi množenjem brojnika i nazivnika konjugatom nazivnika.

Neka z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Zatim

.

U sljedećem primjeru izvršit ćemo dijeljenje pomoću formule i pravila množenja brojem konjugiranim nazivniku.

Primjer 4. Nađi kvocijent .

5) Podizanje na pozitivnu cjelinu.

a) Potencija imaginarne jedinice.

Iskorištavanje jednakosti i 2 = -1, lako je definirati bilo koji pozitivni cijeli broj potencije imaginarne jedinice. Imamo:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 itd.

To pokazuje da vrijednosti stupnja ja n, Gdje n– pozitivan cijeli broj, koji se periodički ponavlja kako se indikator povećava za 4 .

Stoga, za podizanje broja ja na pozitivnu cjelinu, eksponent moramo podijeliti sa 4 i izgraditi ja na potenciju čiji je eksponent jednak ostatku dijeljenja.

Primjer 5: Izračunajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Podizanje kompleksnog broja na cijeli potenciju provodi se prema pravilu za dizanje binoma na odgovarajuću potenciju, budući da se radi o posebnom slučaju množenja istih kompleksnih faktora.

Primjer 6: Izračunajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.