Tema lekcije:Grafičke funkcije koje sadrže module. Uvod u IF i funkcijeABS.
Učiteljica matematike i informatike, srednja škola br. 2, selo Novobelokatay, okrug Belokataysky, Yulia Rafailovna Galiullina.
Udžbenik “Algebra i počeci matematičke analize. 10-11 razred" izd. Kolmogorova, Ugrinovich N.D. "Informatika i ICT 10. razred."
Vrsta lekcije: trening lekcija koristeći informacijske tehnologije.
Svrha lekcije: provjeriti znanje, vještine i sposobnosti na ovu temu.
Ciljevi lekcije:
Edukativni
sistematizacija i generalizacija znanja o ovoj temi;
naučiti odrediti najprikladniju metodu rješenja;
naučiti kako prikazati funkciju pomoću proračunske tablice.
Razvojni
razvoj sposobnosti samokontrole;
aktivacija mentalne aktivnosti učenika;
Edukativni
njegovanje motiva za učenje i savjestan odnos prema radu.
Nastavne metode: djelomično traženje, istraživanje, individualno.
Oblik organizacije odgojno-obrazovnih aktivnosti: individualni, frontalni, kartice.
Sredstva obrazovanja: multimedijski projektor, platno, kartice
Tijekom nastave
Pozdrav, provjeravam prisutne. Objašnjenje lekcije
II. Ponavljanje
Učvršćivanje znanja o crtanju grafova u tabličnom procesoru.
Frontalno ispitivanje.
-Kako umetnuti graf u Excel?
- Koje vrste grafova postoje u Excel?
Učvršćivanje znanja na tematskoj shemi s modulima.
- Koje je značenje funkcije s modulom?
Primjer analize: y = | x | – 2.
Postoje dva slučaja za razmatranje kada je x=0. Ako je x=0, tada će funkcija izgledati kao y = x – 2. Konstruirajte graf ove funkcije u svojim bilježnicama.
Sada izgradimo graf funkcije pomoću stolni procesor MS Excel. Ova se funkcija može grafički prikazati na dva načina:
1. način: korištenje funkcije IF
Kako bismo izgradili grafikon, prvo moramo ispuniti tablicu X i Y vrijednosti.
Nazivamo ćeliju A2-X, ćeliju B2-U. Stoga će stupac A sadržavati vrijednost varijable, a stupac B vrijednost funkcije.
U stupac A upisujemo varijablu u rasponu od -5 do 5 u koracima od 0,5. Da biste to učinili, unesite -5 u ćeliju A3 i formulu =A4+0,5 u ćeliju A4, kopirajte formulu u sljedeće ćelije, budući da ovdje postoji relativno adresiranje, formula će se promijeniti kada se kopira.
Nakon popunjavanja X vrijednosti prijeđite na drugi stupac za čije popunjavanje trebate unijeti formulu. U ćeliju B4 upisujemo formulu u kojoj koristimo funkciju IF.
funkcija " Ako" u MS Excel proračunskim tablicama (Kategorija - Boolean) analizira rezultat izraza ili sadržaj određene ćelije i postavlja jednu od dvije moguće vrijednosti ili izraza u navedenu ćeliju.
Sintaksa funkcije "IF".
=IF (Booleov izraz; vrijednost_ako_istina; vrijednost_ako_netočno). Booleov izraz ili uvjet koji može dati vrijednost TRUE ili FALSE. Value_if_true – vrijednost koju logički izraz ima ako se izvrši. Value_if_false je vrijednost koju preuzima Booleov izraz ako ne uspije."
Logički izrazi ili uvjeti konstruiraju se pomoću operatora usporedbe (, =, =) i logičkih operacija (I, ILI, NE).
Slika 22 IF funkcija
Funkcija IF je logična funkcija.
Sjetimo se značenja funkcije s modulom: ako je x=0, tada će funkcija izgledati kao y = x – 2.
Ovaj se tekst mora unijeti u ćeliju B4 u jasnom obliku tablice. Vrijednost X je u stupcu A, stoga ako je A4
A4-2, inače = A4-2.
Sl.23 Argumenti funkcije IF
Formula izgleda ovako: =IF(A5A5-2,A5-2)
Nakon popunjavanja tablice vrijednosti. Građenje grafa funkcije
Stavka izbornika Insert-Diagrams-Scatter. Odaberite jedan od izgleda. Na radnom listu pojavljuje se prazno polje grafikona. U kontekstnom izborniku ovog polja odaberite Odaberi podatke. Pojavljuje se dijaloški okvir Odabir podataka.
U ovom dijaloškom okviru odaberite naziv serije u ćeliji A1 ili također možete unijeti naziv s tipkovnice.
U polju X vrijednost izaberemo stupac u koji smo unijeli vrijednost varijable.
U polju Y vrijednost odaberite stupac u kojem smo pomoću uvjetnog IF operatora pronašli vrijednost funkcije.
Riža. 24. Grafik funkcije y = | x | – 2.
Metoda 2: Korištenje funkcijeABS
Također možete koristiti funkciju ABS za izradu grafikona s modulom.
Nacrtajmo funkciju y = | x | – 2 pomoću ABS funkcije.
U primjeru 2 date su vrijednosti varijable X.
U ćeliju B4 unesite formulu pomoću funkcije ABC
Sl.25. Unos funkcije ABS pomoću čarobnjaka za funkcije
Formula će izgledati ovako: =ABS(A4)-2.
IV. Obavljanje praktičnog rada
Nakon analize dvaju primjera studenti dobivaju praktični zadatak.
U ovim zadacima dobivate nekoliko funkcija s modulima. Morate odabrati koja je funkcija prikladnija za korištenje u svakom primjeru.
Učenici gledaju linearna funkcija y = x – 2 i izgraditi njegov graf.
Zadatak 1. Grafički nacrtajte funkciju y = | x – 2 |
Zadatak 2. Grafički nacrtajte funkciju y = | x | – 2
Zadatak 3. Grafički nacrtajte jednadžbu | y | = x – 2
Učenici gledaju kvadratna funkcija y = x 2 – 2x – 3 i izgraditi graf.
Zadatak 1. Grafički nacrtajte funkciju y = | x 2 – 2x – 3 |
Zadatak 2. Grafički nacrtajte funkciju y = | x 2 | – 2 | x | - 3
Zadatak 3. Grafički nacrtajte jednadžbu | y | = x 2 – 2x - 3
V. Informacije o domaćim zadaćama.
VI.Sažetak lekcije, refleksija. Učenici i nastavnik sažimaju sat i analiziraju provedbu postavljenih zadataka.
Glavne elementarne funkcije su sljedeće:
Funkcija snage, gdje;
Eksponencijalna funkcija, Gdje ;
Logaritamska funkcija gdje je ;
Trigonometrijske funkcije;
Inverzne trigonometrijske funkcije: ,
Elementarne funkcije su osnovne elementarne funkcije i onih koji se od njih mogu oblikovati pomoću konačan broj operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje) i superpozicija, na primjer:
Navedimo neke klase elementarnih funkcija.
Cjelokupna racionalna funkcija, ili polinom, gdje je n cijeli broj nenegativan broj(stupanj polinoma), - stalni brojevi(koeficijenti).
Razlomačka racionalna funkcija, što je omjer dva cijela broja racionalne funkcije:
Cjelobrojne racionalne i frakcijske racionalne funkcije tvore klasu racionalne funkcije.
Iracionalna funkcija je ona koja je prikazana pomoću superpozicija racionalnih funkcija i funkcija snage s racionalnim cjelobrojnim eksponentima, na primjer:
Racionalne i iracionalne funkcije tvore klasu algebarski funkcije.
REFERENTNI MATERIJAL
Funkcija snage
Riža. 2.1. Riža. 2.2.
Riža. 2.3. Riža. 2.4.
Riža. 2.5. Obrnuto proporcionalna Sl. 2.6. Obrnuto proporcionalan
ovisnost ovisnost
Riža. 2.7. Funkcija snage s pozitivnim racionalom
indikator
Riža. 2.8. Funkcija snage s pozitivnim racionalom
indikator
Riža. 2.9. Funkcija snage s pozitivnim racionalom
indikator
Riža. 2.10. Funkcija snage s negativnim racionalom
indikator
Riža. 2.11. Funkcija snage s negativnim racionalom
indikator
Riža. 2.12. Funkcija snage s negativom
Riža. 2.13. Eksponencijalna funkcija
Riža. 2.14. Logaritamska funkcija
3p/2 -p/2 0 p/2 3p/2 x
Riža. 2.15. Trigonometrijska funkcija
3p/2 p/2 p/2 3p/2
Riža. 2.16. Trigonometrijska funkcija
P/2 p/2 -p p/2 3p/2
P 0 p x -p/2 0 p x
Riža. 2.17. Trigonometrijski sl. 2.18. Trigonometrijski
funkcija funkcija
Riža. 2.19. Obrnuta trigonometrija - Sl. 2.20. Inverzna trigonometrija
ric function ric funkcija
Riža. 2.21. Inverzna trigonometrija Sl. 2.22. Inverzna trigonometrija
funkcionalna funkcija
Riža. 2.23. Inverzna trigonometrija - Sl. 2.24. Inverzna trigonometrijska funkcija
Riža. 2.25. Inverzna trigonometrija - Sl. 2.26. Inverzna trigonometrija
ical function funkcija
UPUTE ZA IZVOĐENJE TIPIČNOG IZRAČUNA
Zadatak 1.
Pomoću grafa funkcije konstruirajte graf funkcije pomoću pomaka i deformacija.
Izgradnja dana funkcija provodi se u nekoliko faza koje ćemo ovdje razmotriti. Pozvat ćemo funkciju Osnovni, temeljni.
Grafičko crtanje funkcije .
Pretpostavimo da za neke x 1 i x 2 glavna i zadana funkcija imaju jednake ordinate, tj. Ali onda mora postojati
Ovisno o predznaku a, moguća su dva slučaja.
1. Ako je a > 0, tada je točka na grafu funkcije pomaknuta duž osi OX za jedinicu udesno u usporedbi s točkom N(x,y) na grafu funkcije f(x) (Sl. 3.1).
2. Ako a< 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем
y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)
0 x x+a x x+a 0 x x
Riža. 3.1 Sl. 3.2
Pravilo 1. Ako je a > 0, tada se graf funkcije f(x-a) dobiva iz grafa glavne funkcije f(x) paraleliziranjem uz os OX za “a” jedinice pravo.
Ako a< 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц lijevo.
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija: 1) ; 2) .
1) Ovdje je a = 2 > 0. Gradimo graf funkcije. Pomaknuvši ga 2 jedinice udesno duž osi OX, dobivamo graf funkcije
2) Ovdje je a = -3< 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).
Y=(x+3) 2 y=x 2
1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x
Riža. 3.3 Sl. 3.4
Komentar. Konstruiranje grafa funkcije može se učiniti drugačije: nakon konstruiranja grafa glavne funkcije u sustavu, morate pomaknuti os na jedinice lijevo, ako , i po jedinicama pravo, ako . Zatim dobijemo graf funkcije u sustavu. Sustav ima pomoćno značenje, pa je os prikazana isprekidanim linijama ili olovkom.
Kao primjer, konstruirajmo još jednom grafove funkcija i (sl. 3.5) i (sl. 3.6)
0 1 2 x -3 -2 -1 0 x
Riža. 3.5 Sl. 3.6
Grafičko crtanje funkcije Gdje
Neka su za neke vrijednosti i ordinate funkcija i jednake, tj. Zatim i. Dakle, svakoj točki na grafu glavne funkcije odgovara točka na grafu funkcije.Moguća su dva slučaja.
1. Ako je , tada točka leži k puta bliže osi OY od točke (sl. 3.7).
2. Ako je 0< k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.
Riža. 3.7 Sl. 3.8
Pravilo 2. Neka je k > 1. Tada se graf funkcije f(kx) dobije iz grafa funkcije f(x) sažimanjem duž osi OX za k puta (drugim riječima: sažimanjem na os OY za k puta).
Neka 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija: 1) i ;
2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x
Riža. 3.9 Sl. 3.10
1. Gradimo graf funkcije - krivulje (1) na sl. 3.9. Sažimajući ga dva puta na os OY, dobivamo graf funkcije - krivulju (2) na sl. 3.9. U ovom slučaju, na primjer, točka (1; 0) ide u točku, točka ide u točku.
Komentar. Imajte na umu: točka koja leži na osi OY ostaje na mjestu. Doista, svaka točka N(0, y) grafa f(x) odgovara točki grafa f(kx).
Graf funkcije dobije se razvlačenjem grafa funkcije od osi OY za 2 puta. U tom slučaju točka opet ostaje nepromijenjena (krivulja (3) na sl. 3.9).
2. Pomoću grafa funkcije konstruiranog u intervalu konstruiramo grafove funkcija - krivulje (1), (2), (3) na sl. 3.10. Primijetimo da točka (0; 0) ostaje nepomična.
Grafičko crtanje funkcije y=f(-x).
Funkcije f(x) i f(-x) uzimaju jednake vrijednosti za suprotne vrijednosti argumenta x. Posljedično, točke N(x;y) i M(-x;y) njihovih grafova bit će simetrične u odnosu na os OY.
Pravilo 3. Da biste izgradili graf f(-x), trebate zrcaliti graf funkcije f(x) u odnosu na os OY.
Primjeri.
Rješenja su prikazana na sl. 3.11 i 3.12.
Riža. 3.11 Sl. 3.12
Grafičko crtanje funkcije y=f(-kx), gdje je k > 0.
Pravilo 4. Konstruiramo graf funkcije y=f(kx) u skladu s pravilom 2. Graf funkcije f(kx) zrcalimo s osi OY u skladu s pravilom
škart 3. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije f(-kx).
Primjeri. Grafičke funkcije
Rješenja su prikazana na sl. 3.13 i 3.14.
1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x
Riža. 3.13 Sl. 3.14
Grafičko crtanje funkcije, gdje je A > 0. Ako je A > 1, tada je za svaku vrijednost ordinata zadane funkcije A puta veća od ordinate glavne funkcije f(x). U ovom slučaju, graf f(x) je rastegnut A puta duž osi OY (drugim riječima: od osi OX).
Ako je 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).
Pravilo 5. Neka je A > 1. Tada se graf funkcije dobije iz grafa f(x) razvlačenjem A puta duž osi OY (ili s osi OX).
Neka 0< A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija 1) i 2),
1 0 p/2 p p/3 p x
Riža. 3.15 Sl. 3.16
Grafičko crtanje funkcije .
Za svaku točku N(x,y) funkcije f(x) i M(x, -y) funkcije -f(x) su simetrične u odnosu na os OX, pa dobivamo pravilo.
Pravilo 6. Da biste iscrtali graf funkcije, trebate zrcaliti graf u odnosu na OX os.
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija i (sl. 3.17 i 3.18).
0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x
Riža. 3.17 Sl. 3.18
Grafičko crtanje funkcije, gdje je A>0.
Pravilo 7. Konstruiramo graf funkcije, gdje je A>0, u skladu s pravilom 5. Dobiveni graf se zrcali s osi OX u skladu s pravilom 6.
Grafičko crtanje funkcije .
Ako je B>0, tada za svaku ordinatu dane funkcije postoji B jedinica više od ordinate f(x). Ako B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.
Pravilo 8. Da biste konstruirali graf funkcije pomoću grafa y=f(x), trebate pomaknuti ovaj graf duž osi OY za B jedinica gore ako je B>0 ili dolje za jedinice ako je B<0.
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija: 1) i
2) (sl. 3.19 i 3.20).
0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x
Riža. 3.19 Sl. 3.20
Shema za konstruiranje grafa funkcije .
Najprije napišemo jednadžbu funkcije u obliku i označimo . Zatim konstruiramo graf funkcije prema sljedećoj shemi.
1. Gradimo graf glavne funkcije f(x).
2. U skladu s pravilom 1 gradimo graf f(x-a).
3. Sažimanjem ili rastezanjem grafa f(x-a) uzimajući u obzir predznak k, prema pravilima 2-4, konstruiramo graf funkcije f.
Imajte na umu: graf f(x-a) je komprimiran ili rastegnut u odnosu na ravnu liniju x=a (zašto?)
4. Pomoću grafa prema pravilima 5-7 konstruiramo graf funkcije.
5. Rezultirajući graf se pomiče duž osi OY u skladu s pravilom 8.
Imajte na umu: u svakom koraku konstrukcije, prethodni graf djeluje kao graf glavne funkcije.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije. Ovdje je k=-2, dakle . Uzimajući u obzir neparnost, imamo .
1. Gradimo graf glavne funkcije.
2. Pomičući ga duž osi OX za jedinice udesno, dobivamo graf funkcije
(Slika 3.21).
3. Dobiveni graf sabijemo 2 puta na ravnu liniju i tako dobijemo graf funkcije (sl. 3.22).
4. Sabijanjem posljednjeg grafa na os OX 2 puta i zrcaljenjem s osi OX dobivamo graf funkcije (sl. 3.22 i 3.23).
5. Na kraju, pomakom prema gore duž osi OY dobivamo graf željene funkcije (sl. 3.23).
1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x
Riža. 3.21 Sl. 3.22
0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x
Riža. 3.23 Sl. 3.24
Zadatak 2.
Crtanje grafova funkcija s predznakom modula.
Rješenje ovog problema također se sastoji od nekoliko faza. U ovom slučaju morate zapamtiti definiciju modula:
Grafičko crtanje funkcije .
Za one vrijednosti za koje će postojati . Dakle, ovdje se grafovi funkcija i f(x) podudaraju. Za one za koje je f(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .
Pravilo 9. Gradimo graf funkcije y=f(x). Nakon toga ostavljamo nepromijenjen onaj dio grafa f(x), gdje je , a dio gdje je f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.
Komentar. Imajte na umu da grafikon uvijek leži iznad ili dodiruje OX os.
Primjeri. Grafičke funkcije
(Sl. 3.24, 3.25, 3.26).
Riža. 3.25 Sl. 3.26
Grafičko crtanje funkcije .
Kako je , onda je , odnosno dana je parna funkcija čiji je graf simetričan u odnosu na os OY.
Pravilo 10. Crtamo funkciju y=f(x) za . Konstruirani graf odražavamo od osi OY. Tada će kombinacija dviju dobivenih krivulja dati graf funkcije.
Primjeri. Grafičke funkcije
(Sl. 3.27, 3.28, 3.29)
-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x
Riža. 3.27 Sl. 3.28 Sl. 3.29
Grafičko crtanje funkcije .
Gradimo graf funkcije prema pravilu 10.
Gradimo graf funkcije prema pravilu 9.
Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija i .
1. Izgradite graf funkcije (Sl. 3.28)
Negativan dio grafa reflektira se od OX osi. Grafikon je prikazan na sl. 3.30.
2 0 2 x -1 0 1 x
Riža. 3.30 Sl. 3.31
2. Gradimo graf funkcije (sl. 3.29).
Odbijamo negativni dio grafa od OX osi. Grafikon je prikazan na sl. 3.31.
Prilikom crtanja grafa funkcije koji sadrži predznake modula, vrlo je važno znati intervale konstantnog predznaka funkcije. Stoga rješenje svakog problema mora započeti određivanjem tih intervala.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije.
Domena . Izrazi x+1 i x-1 mijenjaju predznak u točkama x=-1 i x=1. Stoga domenu definicije dijelimo na četiri intervala:
Uzimajući u obzir predznake x+1 i x-1, imamo
Dakle, funkcija se može napisati bez znakova modula na sljedeći način:
Funkcije odgovaraju hiperbolama, a funkcija y=2 ravnoj liniji. Daljnja konstrukcija može se izvesti po točkama (Sl. 3.32).
| x | -4 | -2 | -1 | - | ||||
| g |
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Komentar. Imajte na umu da kada je x=0 funkcija nije definirana. Kaže se da funkcija u ovom trenutku trpi diskontinuitet. Na sl. 3.32 ovo je označeno strelicama.
Zadatak 3. Crtanje grafa funkcije definirane s nekoliko analitičkih izraza.
U prethodnom smo primjeru funkciju prikazali s nekoliko analitičkih izraza. Dakle, u intervalu se mijenja prema zakonu hiperbole; u intervalu, osim x=0, ona je linearna funkcija; u intervalu opet imamo hiperbolu. Slične funkcije će se često susresti u budućnosti. Pogledajmo jednostavan primjer.
Trasa vlaka od stanice A do stanice B sastoji se od tri dionice. U prvoj dionici ubrzava se, odnosno u intervalu mu je brzina , gdje je . U drugom odsječku giba se konstantnom brzinom, tj. v=c, ako je . Konačno, pri kočenju, njegova brzina će biti . Dakle, u intervalu se brzina kretanja mijenja prema zakonu
Nacrtajmo ovu funkciju uz pretpostavku da je a 1 =2, c=2, b=6, a 2 =1 (slika 3.33).
0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x
Riža. 3.33 Sl. 3.34
U ovom primjeru brzina v se kontinuirano mijenja. Međutim, u općem slučaju, proces može biti složeniji. Da, funkcija
ima složeniji graf (sl. 3.34), koji se lomi u točki.
Dakle, ako je funkcija zadana
tada treba izgraditi graf funkcije y=f(x) u intervalu i graf funkcije u intervalu . Kombinacija dviju takvih linija dat će graf zadane funkcije.
Zadatak 4. Konstrukcija parametarski specificiranih krivulja.
Definicija krivulje L parametarski je karakterizirana činjenicom da su koordinate x, y svake točke specificirane kao funkcija nekog parametra t:
U ovom slučaju, parametar t može biti vrijeme, kut rotacije itd.
Parametarskoj specifikaciji krivulje L pribjegava se u slučajevima kada je teško ili čak nemoguće eksplicitno izraziti y kao funkciju argumenta x, odnosno y=f(x). Navedimo neke primjere.
Primjer 1. Kartezijev list je krivulja L čija jednadžba ima oblik .
Stavimo ovdje , onda ili , to jest, . Dakle, parametarske jednadžbe kartezijevog lista imaju oblik: , , gdje je .
Krivulja je prikazana na sl. 3.35. Ima asimptotu y=-a-x.
U ovom članku ukratko sažimamo informacije koje se tiču tako važnog matematički koncept, kao funkcija. Razgovarat ćemo o tome što je to numerička funkcija i što treba znati i moći istraživati.
Što se dogodilo numerička funkcija? Neka imamo dva numerička skupa: X i Y, a među tim skupovima postoji određeni odnos. Odnosno, svaki element x iz skupa X, prema određenom pravilu, je dodijeljen pojedinačni element y iz skupa Y.
Važno, ono Svaki element x iz skupa X odgovara jednom i samo jednom elementu y iz skupa Y. 
Pravilo po kojem svakom elementu iz skupa X pridružujemo jedan element iz skupa Y zove se numerička funkcija.
Skup X naziva se regija definicije funkcija.
Skup Y se zove skup vrijednosti funkcije.
Jednakost se zove jednadžba funkcije. U ovoj jednadžbi - nezavisna varijabla ili argument funkcije. - zavisna varijabla.
Ako uzmemo sve parove i dodijelimo im odgovarajuće bodove koordinatna ravnina, onda dobivamo graf funkcije. Graf funkcije je grafička slika ovisnosti između skupova X i Y.
Svojstva funkcije možemo utvrditi gledajući graf funkcije, i, obrnuto, ispitivanjem možemo to iscrtati.
Osnovna svojstva funkcija.
1. Područje funkcije.
Domena funkcije D(y)- ovo je skup svih prihvatljive vrijednosti argument x (neovisna varijabla x), za koji izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije ima smisla. Drugim riječima, ovo su izrazi.
Do Pomoću grafa funkcije pronađite njezino područje definiranja, n već, kreće sa slijeva nadesno duž osi OX, zapišite sve intervale vrijednosti x na kojima postoji graf funkcije.
2. Skup vrijednosti funkcije.
Skup vrijednosti funkcije E(y) je skup svih vrijednosti koje zavisna varijabla y može poprimiti.
Do prema grafu funkcije da biste pronašli njegov skup vrijednosti, morate se kretati odozdo prema gore duž osi OY i zapisati sve intervale y vrijednosti na kojima postoji graf funkcije.
3. Funkcijske nule.
Funkcijske nule - To su one vrijednosti argumenta x kod kojih je vrijednost funkcije (y) jednaka nuli.
Da biste pronašli nule funkcije, trebate riješiti jednadžbu. Korijeni ove jednadžbe bit će nule funkcije.
Da biste pronašli nulte točke funkcije iz njezinog grafa, morate pronaći točke sjecišta grafa s OX osi. Apscise sjecišnih točaka bit će nulte točke funkcije.
4. Intervali konstantnog predznaka funkcije.
Intervali konstantnog predznaka funkcije su oni intervali vrijednosti argumenata preko kojih funkcija zadržava svoj predznak, odnosno ili .
Pronaći , trebate riješiti nejednadžbe i .
Pronaći intervali konstantnog predznaka funkcije prema njezinom rasporedu, potrebno je
5. Intervali monotonosti funkcije.
Intervali monotonosti funkcije su oni intervali vrijednosti argumenta x na kojima funkcija raste ili opada.
Za funkciju se kaže da raste na intervalu I ako, za bilo koje dvije vrijednosti argumenta, koji pripadaju intervalu I tako da vrijedi sljedeća relacija: 
.
Drugim riječima, funkcija raste na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz tog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Da biste odredili intervale rastuće funkcije s grafa funkcije, potrebno je pomicanjem slijeva na desno po liniji grafa funkcije označiti intervale vrijednosti argumenta x na kojima je graf ide gore.
Kaže se da se funkcija smanjuje na intervalu I ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta , koje pripadaju intervalu I, vrijedi sljedeća relacija: 
.
Drugim riječima, funkcija opada na intervalu I ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.
Da biste odredili intervale opadajuće funkcije s grafa funkcije, potrebno je pomicanjem slijeva na desno po liniji grafa funkcije označiti intervale vrijednosti argumenta x na kojima je graf ide dolje.
6. Točke maksimuma i minimuma funkcije.
Točka se naziva točka maksimuma funkcije ako postoji takva okolina I točke da za bilo koju točku x iz te okoline vrijedi relacija:
.
Grafički to znači da se točka s apscisom x_0 nalazi iznad ostalih točaka iz susjedstva I grafa funkcije y=f(x).
Točka se naziva minimalna točka funkcije ako postoji takva okolina I točke da za bilo koju točku x iz te okoline vrijedi relacija:
Grafički to znači da se točka s apscisom nalazi ispod ostalih točaka iz okoline I grafa funkcije.
Točku maksimuma i minimuma funkcije obično nalazimo ispitivanjem funkcije pomoću njezine derivacije.
7. Parna (neparna) funkcija.
Funkcija se poziva čak i ako su ispunjena dva uvjeta:
Drugim riječima, Područje definiranja parne funkcije je simetrično u odnosu na ishodište.
b) Za bilo koju vrijednost argumenta x koja pripada domeni definicije funkcije, relacija je zadovoljena 
.
Funkcija se naziva neparnom ako su ispunjena dva uvjeta:
a) Za bilo koju vrijednost argumenta , koja pripada domeni funkcije, također pripada domeni funkcije.
