Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: "model (lat. modulus - mjera) je zamjenski objekt za izvorni objekt, koji osigurava proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima izvornog objekta korištenjem modela objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) “Pod matematičkim modeliranjem razumjet ćemo proces uspostavljanja korespondencije danog stvarnog objekta s nekim matematičkim objektom, koji se naziva matematički model, i proučavanje tog modela, koji nam omogućuje dobivanje karakteristika objekta pod obzir pravi objekt. Vrsta matematičkog modela ovisi kako o prirodi stvarnog objekta tako i o zadacima proučavanja objekta i potrebnoj pouzdanosti i točnosti rješavanja ovog problema.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: "Jednadžba koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela temelji se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiraju u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

i tako dalje. Svaki konstruirani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički, ... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani u drugom, itd.

Klasifikacija prema načinu prikazivanja predmeta

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju i po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekt kao sustav s vlastitom strukturom i mehanizmom funkcioniranja. Funkcionalni modeli ne koristiti takve prikaze i odražavati samo izvana percipirano ponašanje (funkcioniranje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju ih i modelima “crne kutije”. Mogući su i kombinirani tipovi modela koji se ponekad nazivaju “ siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja navode da se prvo gradi posebna idealna struktura, tj. model sadržaja. Ovdje nema ustaljene terminologije, a drugi autori ovo nazivaju idealnim objektom konceptualni model , spekulativni model ili predmodel. U ovom slučaju poziva se konačna matematička konstrukcija formalni model ili jednostavno matematički model dobiven kao rezultat formalizacije danog smislenog modela (predmodel). Konstrukcija smislenog modela može se izvesti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna njihala, elastični mediji itd. daju gotove konstruktivni elementi za smisleno modeliranje. Međutim, u područjima znanja u kojima nema potpuno dovršenih formaliziranih teorija (najsavremenija fizika, biologija, ekonomija, sociologija, psihologija i većina drugih područja), stvaranje smislenih modela postaje dramatično teže.

Sadržajna klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u znanosti ne može se dokazati jednom zauvijek. Richard Feynman je to vrlo jasno formulirao:

“Uvijek imamo priliku opovrgnuti teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je točna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kamo ona vodi i ustanovili da su sve njezine posljedice eksperimentalno potvrđene. Znači li to da je vaša teorija točna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da se on privremeno prihvaća kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. No, to ne može biti točka u istraživanju, već samo privremena stanka: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašamo se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro u postojeće teorije i akumulirano znanje o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još nepoznat i da se potraga za “pravim mehanizmima” mora nastaviti. Peierls u drugu vrstu ubraja, primjerice, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica.

Uloga modela u istraživanju može se mijenjati tijekom vremena, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i oni budu promovirani u status hipoteze. Isto tako, nove spoznaje mogu postupno doći u sukob s modelima-hipotezama prve vrste, a mogu se pretočiti u drugu. Dakle, model kvarka postupno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rješenje, ali je tijekom povijesti postao prvi tip. Ali modeli etera prešli su put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan znanosti.

Ideja pojednostavljenja vrlo je popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Približavanje (nešto smatramo vrlo velikim ili vrlo malim)

Ako je moguće konstruirati jednadžbe koje opisuju proučavani sustav, to ne znači da ih je moguće riješiti čak i uz pomoć računala. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je uporaba aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednadžbe su zamijenjene linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ovdje dolazi Tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sustava.

Tip 8: Demonstracija značajki (glavno je pokazati unutarnju dosljednost mogućnosti)

To su također misaoni eksperimenti s imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen dosljedan osnovnim načelima i interno dosljedan. Ovo je glavna razlika od modela tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih od tih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarnom geometrijom"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela kemijskih i bioloških vibracija, autovalova, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen zamišljen je kao model tipa 7 kako bi se pokazala nedosljednost kvantna mehanika. Na potpuno neplaniran način na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sustav koji se sastoji od opruge, pričvršćene na jednom kraju, i mase mase , pričvršćene na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se teret može kretati samo u smjeru osi opruge (npr. kretanje se događa duž štapa). Izgradimo matematički model ovog sustava. Stanje sustava opisat ćemo udaljenošću od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon(), a zatim upotrijebite drugi Newtonov zakon da to izrazite u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugu derivaciju od u odnosu na vrijeme: .

Rezultirajuća jednadžba opisuje matematički model razmatranog fizički sustav. Ovaj model se naziva "harmonijski oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamički, koncentrirani, kontinuirani. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o nedostatku vanjske sile, odsutnost trenja, mala odstupanja itd.), što u stvarnosti možda neće biti ispunjeno.

U odnosu na stvarnost, to je najčešće model tipa 4 pojednostavljenje("izostavit ćemo neke pojedinosti radi jasnoće"), jer su izostavljena neka bitna univerzalna obilježja (na primjer, disipacija). U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, uz nisko trenje, ne previše vremena i pod određenim drugim uvjetima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sustav, budući da su odbačeni faktori zanemariv učinak na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih čimbenika. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom primjenjivosti.

Međutim, kod usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktički beskorisnim. Često, jednostavniji model omogućuje bolje i dublje istraživanje stvarnog sustava od složenijeg (i, formalno, "ispravnijeg").

Ako model harmonijskog oscilatora primijenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerojatnije bi ga trebalo klasificirati kao tip 6 analogija("uzmimo u obzir samo neke značajke").

Tvrdi i meki modeli

Harmonijski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobiva se kao rezultat snažne idealizacije stvarnog fizičkog sustava. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je shvatiti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je proučavati “meki” model koji se dobiva malom perturbacijom “tvrdog”. Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Evo neke funkcije koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju istezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije u kojoj se nalazimo ovaj trenutak ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela ne razlikuje bitno od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitnu vrstu perturbirajućih čimbenika, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. U suprotnom, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije s konstantnom amplitudom. Slijedi li iz ovoga da će pravi oscilator neograničeno dugo titrati s konstantnom amplitudom? Ne, jer promatrajući sustav s proizvoljno malim trenjem (koji je uvijek prisutan u realnom sustavu), dobivamo prigušene oscilacije. Ponašanje sustava se kvalitativno promijenilo.

Ako sustav održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonijski oscilator primjer je strukturno nestabilnog (nehrapavog) sustava. Međutim, ovaj se model može koristiti za proučavanje procesa tijekom ograničenih vremenskih razdoblja.

Svestranost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važna imovina svestranost: Bitno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na opruzi, već i druge oscilatorni procesi, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije njihala, fluktuacije razine tekućine u posudi u obliku slova A ili promjena jakosti struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, odmah proučavamo čitavu klasu fenomena koji su njime opisani. To je taj izomorfizam zakona izražen matematičkim modelima u raznim segmentima znanstveno znanje, inspiracija za Ludwiga von Bertalanffyja da stvori “Opću teoriju sustava”.

Izravni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate osmisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacija ove znanosti. Tako se vagon pretvara u sustav ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustoća, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednadžbe, a usput neki se detalji odbacuju kao nevažni, rade se izračuni, uspoređuju s mjerenjima, model se pročišćava i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je ovaj proces rastaviti na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: izravni i inverzni.

Izravni zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatima, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagirati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika ili na prolazak vlaka različitim brzinama), kako će avion prevladati zvučni zid, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri izravnog problema. Postavljanje pravog izravnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti izradili model mosta, izračunali da ima 20 puta veći faktor sigurnosti za djelovanje tereta, ali su zaboravili na vjetrove. stalno puše na tim mjestima. I nakon godinu i pol se srušio.

U najjednostavnijem slučaju (jednadžba jednog oscilatora, na primjer), izravni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje te jednadžbe.

Inverzni problem: poznati su mnogi mogući modeli, potrebno je odabrati određeni model na temelju dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata, a potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. dodatne informacije može se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( problem dizajna). Dodatni podaci mogu stići neovisno o procesu rješavanja inverznog problema ( pasivno promatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tijekom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz najpotpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz promatranih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove znanosti je razviti metode za bilježenje, opisivanje i analizu opažačkih i eksperimentalnih podataka u svrhu izgradnje probabilističkih modela masovnih slučajnih pojava. Oni. skup mogućih modela ograničen je na probabilističke modele. U specifičnim zadacima, skup modela je ograničeniji.

Računalni simulacijski sustavi

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su računalni matematički sustavi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućuju stvaranje formalnih i blok modela jednostavnih i složenih procesa i uređaja te jednostavnu promjenu parametara modela tijekom modeliranje. Blok modeli prikazuju se blokovima (najčešće grafičkim), čiji skup i veza su specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta je proporcionalna trenutna veličina populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu mortaliteta (), veličina populacije raste neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih sredstava. Kada se dosegne određena kritična veličina populacije, model prestaje biti adekvatan jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Pročišćavanje Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta točno kompenzirana stopom mortaliteta. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti, a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Sustav predator-plijen

Recimo da na nekom području žive dvije vrste životinja: zečevi (koji se hrane biljkama) i lisice (koje se hrane zečevima). Neka broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model s potrebnim dopunama kako bi se uzelo u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sustava pod nazivom modeli Pladnjevi - Volterra:

Ovaj sustav ima stanje ravnoteže kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja rezultira fluktuacijama u broju zečeva i lisica, sličnim fluktuacijama harmonijskog oscilatora. Kao i kod harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse koji su potrebni zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene u ponašanju. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije u brojevima će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od položaja ravnoteže dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Model Volterra-Lotka ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

1. “Matematički prikaz stvarnosti” (Enciklopedija Britanica)
2. Novik I. B., OKO filozofska pitanja kibernetsko modeliranje. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Lagana i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Vikirječnik: matematički model
8. CliffsNotes.com. Glosar znanosti o Zemlji. 20. rujna 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
10. “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom ovisno o vrsti matematičkog aparata - linearnom ili nelinearnom - i kakvu vrstu linearnih ili nelinearnih matematičkih modela koristi. ...bez poricanja potonjeg. Moderni fizičar, kada bi morao ponovno kreirati definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najvjerojatnije bi postupio drugačije, i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenijoj od dvije suprotnosti, definirao bi linearnost kao "ne nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja iz nelinearne dinamike. Elementarni uvod. Serijal “Sinergetika: iz prošlosti u budućnost”. 2. izdanje. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
11. "Modelirani dinamički sustavi konačan broj obične diferencijalne jednadžbe nazivamo koncentriranim ili točkastim sustavima. Opisuju se pomoću konačnodimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sustav u različitim uvjetima može se smatrati ili koncentriranim ili raspodijeljenim. Matematički modeli distribuiranih sustava su parcijalne diferencijalne jednadžbe, integralne jednadžbe ili obične jednadžbe kašnjenja. Broj stupnjeva slobode distribuiranog sustava je beskonačan i beskonačan broj podataka je potreban da bi se odredilo njegovo stanje.” Aniščenko V. S., Dinamički sustavi, Soroseducation journal, 1997., br. 11, str. 77-84 (prikaz, ostalo).
12. “Ovisno o prirodi procesa koji se proučavaju u sustavu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističke i stohastičke, statičke i dinamičke, diskretne, kontinuirane i diskretno-kontinuirane. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja nepostojanje bilo kakvih slučajnih utjecaja; stohastičko modeliranje prikazuje vjerojatnosne procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku u vremenu, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tijekom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje nam omogućava da odražavamo kontinuirane procese u sustavima, a diskretno-kontinuirano modeliranje koristi se za slučajeve kada se želi istaknuti prisutnost i diskretnih i kontinuiranih procesa. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model nazivamo strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira - na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje - tada se naziva funkcionalna ili, slikovito, crna kutija. Mogući su i kombinirani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruiranja ili odabira matematičkog modela je dobivanje što je moguće jasnije slike o objektu koji se modelira i pročišćavanje njegovog smislenog modela, na temelju neformalnih rasprava. U ovoj fazi ne biste trebali štedjeti vrijeme i trud, o tome uvelike ovisi uspjeh cijele studije. Dogodilo se više od jednom da je znatan rad utrošen na rješavanje matematički problem, pokazalo se neučinkovitim ili čak uzaludnim zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari.” Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izdanje, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
15. « Opis konceptualnog modela sustava. U ovoj podfazi izgradnje modela sustava: a) konceptualni model M opisuje se apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela dat je korištenjem standardnih matematičkih shema; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka aproksimacije stvarnih procesa pri izradi modela je opravdan.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sustava: Proc. za sveučilišta - 3. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

U ovom članku nudimo primjere matematičkih modela. Osim toga, posvetit ćemo pozornost fazama izrade modela i analizirati neke probleme povezane s matematičkim modeliranjem.

Još jedno pitanje koje imamo su matematički modeli u ekonomiji, čije ćemo primjere definicije pogledati malo kasnije. Predlažemo započeti naš razgovor sa samim konceptom "modela", ukratko razmotriti njihovu klasifikaciju i prijeći na naša glavna pitanja.

Koncept "modela"

Često čujemo riječ "model". Što je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, a evo samo tri od njih:

• određeni objekt koji je stvoren za primanje i pohranjivanje informacija, odražavajući neka svojstva ili karakteristike, itd., izvornika ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u različite oblike: mentalno, opis pomoću znakova i tako dalje);
• Model također znači prikaz određene situacije, života ili upravljanja;
• model može biti mala kopija objekta (stvoreni su za više detaljna studija i analiza, budući da model odražava strukturu i odnose).

Na temelju svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućuje detaljno proučavanje složenog sustava ili objekta.

Svi modeli mogu se klasificirati prema nizu karakteristika:

• prema području uporabe (obrazovni, eksperimentalni, znanstveni i tehnički, igranje, simulacija);
• po dinamici (statički i dinamički);
• prema granama znanja (fizikalna, kemijska, geografska, povijesna, sociološka, ​​ekonomska, matematička);
• po načinu prikazivanja (materijalni i informativni).

Informacijski modeli se pak dijele na simboličke i verbalne. A simbolične - na računalne i neračunalne. Sada prijeđimo na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.

Matematički model

Kao što možda pretpostavljate, matematički model odražava bilo koje značajke objekta ili pojave pomoću posebnih matematički simboli. Matematika je potrebna za modeliranje obrazaca okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.

Metoda matematičkog modeliranja nastala je dosta davno, prije više tisuća godina, zajedno s pojavom ove znanosti. No, poticaj razvoju ove metode modeliranja dala je pojava računala (elektronička računala).

Sada prijeđimo na klasifikaciju. Također se može provesti prema nekim znakovima. Oni su prikazani u tablici ispod.

Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo najnoviju klasifikaciju, budući da ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se stvaraju.

Deskriptivni modeli

U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo jasno, navest ćemo primjer.

Počnimo s činjenicom da se ovaj tip može nazvati opisnim. To je zbog činjenice da mi jednostavno radimo izračune i prognoze, ali ne možemo ni na koji način utjecati na ishod događaja.

Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je izračun putanje leta, brzine, udaljenosti od Zemlje kometa koji je napao naša prostranstva Sunčev sustav. Ovaj model je deskriptivan, jer svi dobiveni rezultati mogu nas samo upozoriti na bilo kakvu opasnost. Nažalost, ne možemo utjecati na ishod događaja. Međutim, na temelju dobivenih izračuna moguće je poduzeti bilo kakve mjere za očuvanje života na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu poslužiti kao različite trenutne situacije. U ovom slučaju govorimo o o modelima koji pomažu pronaći točan odgovor pod određenim uvjetima. Definitivno imaju neke parametre. Da bi bilo potpuno jasno, pogledajmo primjer iz poljoprivrednog sektora.

Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo kvari. U ovom slučaju moramo odabrati prave temperaturne uvjete i optimizirati proces skladištenja.

Dakle, možemo definirati koncept "modela optimizacije". U matematičkom smislu, to je sustav jednadžbi (linearnih i nelinearnih) čije rješavanje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u konkretnoj ekonomskoj situaciji. Pogledali smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali bih želio dodati: ovaj tip pripada klasi ekstremnih problema, oni pomažu opisati funkcioniranje ekonomskog sustava.

Primijetimo još jednu nijansu: modeli se mogu nositi drugačiji karakter(vidi tablicu u nastavku).

Višekriterijski modeli

Sada vas pozivamo da malo popričamo o matematičkom modelu višekriterijske optimizacije. Prije ovoga smo dali primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali što ako ih ima više?

Upečatljiv primjer višekriterijalnog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i ujedno ekonomične prehrane za velike skupine ljudi. Takvi se zadaci često susreću u vojsci, školskim kantinama, ljetnim kampovima, bolnicama itd.

Koji su nam kriteriji zadani u ovom zadatku?

1. Prehrana treba biti zdrava.
2. Troškovi hrane trebaju biti minimalni.

Kao što vidite, ti se ciljevi uopće ne poklapaju. To znači da je pri rješavanju problema potrebno tražiti optimalno rješenje, ravnotežu između dva kriterija.

Modeli igara

Kada govorimo o modelima igara, potrebno je razumjeti pojam “teorije igara”. Jednostavno rečeno, ti modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo morate shvatiti da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja specifična pravila.

Sada ćemo pružiti minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite što je model igre. I tako, model nužno sadrži stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igrači.

Svi modeli imaju određene karakteristike.

Model igre može biti uparen ili višestruk. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen, ako ih je više, višestruki je. Također možete razlikovati antagonističku igru, naziva se i igra s nultim zbrojem. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od sudionika jednak gubitku drugog.

Simulacijski modeli

U ovom odjeljku pozornost ćemo posvetiti simulacijskim matematičkim modelima. Primjeri zadataka uključuju:

• model dinamike populacije mikroorganizama;
• model molekularnog kretanja i tako dalje.

U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što bliži stvarnim procesima. Općenito, oni oponašaju neke manifestacije u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo simulirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. U isto vrijeme možete promatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju rijetko se koristi matematički opis, češće su prisutni pisani uvjeti:

• nakon pet dana ženka polaže jaja;
• nakon dvadeset dana mrav umre, i tako dalje.

Stoga se koriste za opisivanje velikog sustava. Matematičko zaključivanje je obrada dobivenih statističkih podataka.

Zahtjevi

Vrlo je važno znati da ova vrsta modela ima neke zahtjeve, uključujući one navedene u donjoj tablici.

Svestranost	Ovo svojstvo omogućuje korištenje istog modela pri opisivanju sličnih grupa objekata. Važno je napomenuti da su univerzalni matematički modeli potpuno neovisni o fizičkoj prirodi predmeta koji se proučava
Adekvatnost	Ovdje je važno razumjeti da ovo svojstvo omogućuje reprodukciju stvarnih procesa što je točnije moguće. U operativnim zadacima ovo je svojstvo matematičkog modeliranja vrlo važno. Primjer modela je proces optimizacije korištenja plinskog sustava. U ovom se slučaju uspoređuju izračunati i stvarni pokazatelji, kao rezultat toga provjerava se ispravnost sastavljenog modela
Točnost	Ovaj zahtjev podrazumijeva podudarnost vrijednosti koje smo dobili prilikom izračuna matematičkog modela i ulaznih parametara našeg stvarnog objekta.
Ekonomičan	Zahtjev troškovne učinkovitosti za bilo koji matematički model karakteriziraju troškovi implementacije. Ako s modelom radite ručno, tada morate izračunati koliko će vam vremena trebati za rješavanje jednog problema pomoću ovog matematičkog modela. Ako govorimo o računalno potpomognutom dizajnu, tada se izračunavaju pokazatelji vremena i troškova memorije računala

Faze modeliranja

Ukupno se matematičko modeliranje obično dijeli u četiri faze.

1. Formuliranje zakona povezivanja dijelova modela.
2. Proučavanje matematičkih problema.
3. Utvrđivanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
4. Analiza i modernizacija modela.

Ekonomski i matematički model

U ovom odjeljku ukratko ćemo istaknuti problem. Primjeri zadataka uključuju:

• formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih proizvoda koji osigurava maksimalnu dobit od proizvodnje;
• maksimiziranje profita organizacije izračunavanjem optimalne količine stolova i stolica proizvedenih u tvornici namještaja i tako dalje.

Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju, koja se izražava matematičkim terminima i simbolima.

Računalni matematički model

Primjeri računalnog matematičkog modela su:

• hidraulički problemi pomoću dijagrama toka, dijagrama, tablica itd.;
• problemi s mehanikom čvrsta, i tako dalje.

Računalni model je slika objekta ili sustava, predstavljena u obliku:

• stolovi;
• blok dijagrami;
• dijagrami;
• grafika, i tako dalje.

Štoviše, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sustava.

Izrada ekonomsko-matematičkog modela

Već smo govorili o tome što je ekonomsko-matematički model. Upravo ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Potrebno je analizirati proizvodni program kako bismo identificirali rezervu za povećanje dobiti s pomakom u asortimanu.

Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterij našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: A=r1*h1+r2*h2..., težeći maksimumu. U ovom modelu, p je dobit po jedinici, a x je broj proizvedenih jedinica. Dalje, na temelju konstruiranog modela, potrebno je napraviti izračune i sažeti.

Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela

Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:

• 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
• 20% ulova su stanovnici južnih mora;
• Iz lokalne rijeke nije pronađena nijedna riba.

Koliko je riba kupio u trgovini?

Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema izgleda ovako. Ukupan broj riba označavamo s x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombiniramo sve dostupne informacije i dobivamo matematički model problema: x=0,2x+8. Rješavamo jednadžbu i dobivamo odgovor glavno pitanje: Kupio je 10 riba u trgovini.

Predavanje 1.

METODOLOŠKE OSNOVE MODELOVANJA

Trenutno stanje problematike modeliranja sustava

Koncepti modeliranja i simulacije

Modeliranje može se smatrati zamjenom predmeta koji se proučava (izvornika) njegovom konvencionalnom slikom, opisom ili drugim predmetom tzv. model te pružanje ponašanja bliskog izvorniku u okviru određenih pretpostavki i prihvatljivih pogrešaka. Modeliranje se obično provodi s ciljem razumijevanja svojstava originala proučavanjem njegovog modela, a ne samog objekta. Naravno, modeliranje je opravdano kada je jednostavnije od stvaranja samog originala ili kada je iz nekog razloga bolje ne stvarati original uopće.

Pod, ispod model se shvaća kao fizički ili apstraktni objekt, čija su svojstva u određenom smislu slična svojstvima predmeta koji se proučava.U ovom slučaju, zahtjevi za model određeni su problemom koji se rješava i raspoloživim sredstvima. Postoji nekoliko općih zahtjeva za modele:

2) cjelovitost – davanje svih potrebnih informacija primatelju

o objektu;

3) fleksibilnost - sposobnost reproduciranja različitih situacija u svemu

raspon promjena uvjeta i parametara;

4) složenost razvoja mora biti prihvatljiva za postojeće

vrijeme i softver.

Modeliranje je proces konstruiranja modela objekta i proučavanja njegovih svojstava ispitivanjem modela.

Dakle, modeliranje uključuje 2 glavne faze:

1) razvoj modela;

2) proučavanje modela i izvođenje zaključaka.

Istodobno se u svakoj fazi rješavaju različiti zadaci i

bitno različite metode i sredstva.

U praksi se koriste različite metode modeliranja. Ovisno o načinu implementacije, svi se modeli mogu podijeliti u dvije velike klase: fizičke i matematičke.

Matematičko modeliranje Obično se smatra sredstvom proučavanja procesa ili pojava pomoću njihovih matematičkih modela.

Pod, ispod fizičko modeliranje odnosi se na proučavanje objekata i pojava na fizičkim modelima, kada se proces koji se proučava reproducira uz očuvanje njegove fizičke prirode ili se koristi druga fizikalna pojava slična onoj koja se proučava. pri čemu fizički modeli U pravilu pretpostavljaju stvarno utjelovljenje onih fizičkih svojstava izvornika koja su značajna u određenoj situaciji.Na primjer, pri projektiranju novog zrakoplova stvara se maketa koja ima ista aerodinamička svojstva; Prilikom planiranja razvoja, arhitekti izrađuju model koji odražava prostorni raspored njegovih elemenata. U tom smislu naziva se i fizičko modeliranje izrada prototipova.

Modeliranje poluživota je studija upravljivih sustava na modelirajućim kompleksima uz uključivanje stvarne opreme u model. Uz stvarnu opremu, zatvoreni model uključuje simulatore utjecaja i smetnji, matematičke modele vanjske okoline i procesa za koje nije poznat dovoljno točan matematički opis. Uključivanje stvarne opreme ili stvarnih sustava u krug modeliranja složenih procesa omogućuje smanjenje apriorne nesigurnosti i istraživanje procesa za koje ne postoji točan matematički opis. Koristeći poluprirodno modeliranje, istraživanje se provodi uzimajući u obzir male vremenske konstante i linearnosti svojstvene stvarnoj opremi. Pri proučavanju modela na stvarnoj opremi koristi se koncept dinamička simulacija, tijekom istraživanja složeni sustavi i pojave - evolucijski, imitacija I kibernetsko modeliranje.

Očito, prava korist od modeliranja može se postići samo ako su ispunjena dva uvjeta:

1) model osigurava ispravan (adekvatan) prikaz svojstava

izvornik, značajan sa stajališta operacije koja se proučava;

2) model vam omogućuje da eliminirate gore navedene inherentne probleme

provođenje istraživanja na stvarnim objektima.

2. Osnovni pojmovi matematičkog modeliranja

Rješavanje praktičnih problema matematičkim metodama dosljedno se provodi formuliranjem problema (razvijanjem matematičkog modela), odabirom metode proučavanja dobivenog matematičkog modela i analizom dobivenog matematičkog rezultata. Matematička formulacija problema obično se prikazuje u obliku geometrijskih slika, funkcija, sustava jednadžbi itd. Opis objekta (fenomena) može se prikazati kontinuiranim ili diskretnim, determinističkim ili stohastičkim i drugim matematičkim oblicima.

Teorija matematičkog modeliranja osigurava identifikaciju obrazaca pojavljivanja različitih pojava u okolnom svijetu ili rada sustava i uređaja pomoću njihovog matematičkog opisa i modeliranja bez provođenja testova u punom opsegu. U ovom slučaju koriste se odredbe i zakoni matematike koji opisuju simulirane pojave, sustave ili uređaje na određenoj razini njihove idealizacije.

Matematički model (MM) je formalizirani opis sustava (ili operacije) u nekom apstraktnom jeziku, na primjer, u obliku skupa matematičkih odnosa ili dijagrama algoritma, tj. tj. takav matematički opis koji omogućuje simulaciju rada sustava ili uređaja na razini dovoljno bliskoj njihovom stvarnom ponašanju dobivenom tijekom testiranja sustava ili uređaja u punoj mjeri.

Svaki MM opisuje stvarni objekt, pojavu ili proces s određenim stupnjem približavanja stvarnosti. Vrsta MM ovisi o prirodi stvarnog objekta i o ciljevima istraživanja.

Matematičko modeliranje društvenih, ekonomskih, bioloških i fizičkih pojava, objekata, sustava i raznih uređaja jedno je od najvažnijih sredstava razumijevanja prirode i projektiranja najrazličitijih sustava i uređaja. Poznati su primjeri učinkovite uporabe modeliranja u stvaranju nuklearnih tehnologija, zrakoplovnih i svemirskih sustava, u predviđanju atmosferskih i oceanskih pojava, vremena itd.

Međutim, takva ozbiljna područja modeliranja često zahtijevaju superračunala i godine rada velikih timova znanstvenika da pripreme podatke za modeliranje i njihovo otklanjanje pogrešaka. Međutim, u ovom slučaju matematičko modeliranje složenih sustava i uređaja ne samo da štedi novac na istraživanju i testiranju, već također može eliminirati ekološke katastrofe - na primjer, omogućuje vam da napustite testiranje nuklearnog i termonuklearnog oružja u korist njihovog matematičkog modeliranja. ili testiranje zrakoplovnih sustava prije njihovih stvarnih letova.Između Stoga je matematičko modeliranje na razini rješavanja jednostavnijih problema, primjerice, iz područja mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike i mnogih drugih područja znanosti i tehnologije sada postalo dostupan za izvođenje na modernim računalima. A kada se koriste generalizirani modeli, postaje moguće simulirati prilično složene sustave, na primjer, telekomunikacijske sustave i mreže, radarske ili radionavigacijske sustave.

Svrha matematičkog modeliranja je analiza stvarnih procesa (u prirodi ili tehnologiji) pomoću matematičkih metoda. Zauzvrat, to zahtijeva formalizaciju MM procesa koji treba proučavati. Model može biti matematički izraz koji sadrži varijable čije je ponašanje slično ponašanju stvarnog sustava. Model može uključivati ​​elemente slučajnosti koji uzimaju u obzir vjerojatnosti mogućih djelovanja dva ili više"igrači", kao u teoriji igara; ili može predstavljati stvarne varijable međusobno povezanih dijelova operativnog sustava.

Matematičko modeliranje za proučavanje karakteristika sustava može se podijeliti na analitičko, simulacijsko i kombinirano. Zauzvrat, MM se dijele na simulacijske i analitičke.

Analitičko modeliranje

Za analitičko modeliranje Karakteristično je da se procesi funkcioniranja sustava zapisuju u obliku određenih funkcionalnih odnosa (algebarske, diferencijalne, integralne jednadžbe). Analitički model može se proučavati pomoću sljedećih metoda:

1) analitički, kada nastoje dobiti opći pogled eksplicitne ovisnosti za karakteristike sustava;

2) numerički, kada nije moguće naći rješenje jednadžbi u općem obliku i one se rješavaju za određene početne podatke;

3) kvalitativno, kada se u nedostatku rješenja pronađu neka od njegovih svojstava.

Analitički modeli mogu se dobiti samo za relativno jednostavne sustave. Za složene sustave često se javljaju veliki matematički problemi. Za primjenu analitičke metode ide se na značajno pojednostavljenje izvornog modela. Međutim, istraživanje pomoću pojednostavljenog modela pomaže u dobivanju samo indikativnih rezultata. Analitički modeli matematički ispravno odražavaju odnos između ulaznih i izlaznih varijabli i parametara. Ali njihova struktura ne odražava unutarnju strukturu objekta.

Tijekom analitičkog modeliranja njegovi se rezultati prikazuju u obliku analitičkih izraza. Na primjer, povezivanjem R.C.- krug na izvor konstantnog napona E(R, C I E- komponente ovog modela), možemo stvoriti analitički izraz za vremensku ovisnost napona u(t) na kondenzatoru C:

Ova linearna diferencijalna jednadžba (DE) je analitički model ovog jednostavnog linearnog kruga. Njegovo analitičko rješenje, pod početnim uvjetom u(0) = 0, što znači ispražnjeni kondenzator C na početku modeliranja, omogućuje vam da pronađete željenu ovisnost - u obliku formule:

u(t) = E(1− prstr(- t/RC)). (2)

Međutim, čak iu ovom najjednostavnijem primjeru potrebni su određeni napori za rješavanje DE (1) ili za primjenu sustavi računalne matematike(SCM) sa simboličkim proračunima – sustavi računalne algebre. Za ovaj potpuno trivijalan slučaj, rješavanje problema modeliranja linearnog R.C.- krug daje analitički izraz (2) prilično općenitog oblika - prikladan je za opisivanje rada kruga za bilo koju vrijednost komponente R, C I E, i opisuje eksponencijalni naboj kondenzatora C kroz otpornik R iz izvora konstantnog napona E.

Naravno, pronalaženje analitičkih rješenja tijekom analitičkog modeliranja pokazuje se izuzetno vrijednim za identificiranje općih teorijskih obrazaca jednostavnih linearnih sklopova, sustava i uređaja.Međutim, njegova složenost naglo raste kako utjecaji na model postaju složeniji, a redoslijed i broj jednadžbe stanja koje opisuju modelirani objekt povećavaju. Možete dobiti više ili manje vidljive rezultate kod modeliranja objekata drugog ili trećeg reda, ali kod višeg reda analitički izrazi postaju preglomazni, složeni i teško shvatljivi. Na primjer, čak i jednostavno elektroničko pojačalo često sadrži desetke komponenti. Međutim, mnogi moderni SCM-ovi, na primjer, sustavi simboličke matematike Maple, Mathematica ili okoliš MATLAB, sposobni su u velikoj mjeri automatizirati rješavanje složenih problema analitičkog modeliranja.

Jedna vrsta modeliranja je numeričko modeliranje, koji se sastoji u dobivanju potrebnih kvantitativnih podataka o ponašanju sustava ili uređaja bilo kojom prikladnom numeričkom metodom, poput Eulerove ili Runge-Kutta metode. U praksi se koristi modeliranje nelinearnih sustava i uređaja numeričke metode pokazuje se mnogo učinkovitijim od analitičkog modeliranja pojedinačnih privatnih linearnih sklopova, sustava ili uređaja. Na primjer, za rješavanje DE (1) ili DE sustava od više od teški slučajevi rješenje se ne može dobiti u analitičkom obliku, ali pomoću podataka numeričke simulacije mogu se dobiti prilično potpuni podaci o ponašanju simuliranih sustava i uređaja, kao i konstruirati grafovi ovisnosti koji opisuju to ponašanje.

Simulacijsko modeliranje

Na imitacija 10i modeliranje, algoritam koji implementira model reproducira proces funkcioniranja sustava tijekom vremena. Elementarni fenomeni koji čine proces se simuliraju, čuvajući njihovu logičnu strukturu i slijed događaja tijekom vremena.

Glavna prednost simulacijskih modela u odnosu na analitičke je mogućnost rješavanja složenijih problema.

Simulacijski modeli olakšavaju uzimanje u obzir prisutnost diskretnih ili kontinuiranih elemenata, nelinearnih karakteristika, slučajnih utjecaja itd. Stoga se ova metoda široko koristi u fazi projektiranja složenih sustava. Glavno sredstvo za provedbu simulacijskog modeliranja je računalo, koje omogućuje digitalno modeliranje sustava i signala.

S tim u vezi, definirajmo izraz „ računalno modeliranje”, koja se sve više koristi u literaturi. Pretpostavimo da računalno modeliranje je matematičko modeliranje pomoću računalne tehnologije. Sukladno tome, tehnologija računalnog modeliranja uključuje izvođenje sljedećih radnji:

1) određivanje svrhe modeliranja;

2) izrada konceptualnog modela;

3) formalizacija modela;

4) programska implementacija modela;

5) planiranje modela eksperimenata;

6) provedba plana pokusa;

7) analiza i interpretacija rezultata modeliranja.

Na simulacijsko modeliranje MM koji se koristi reproducira algoritam ("logiku") funkcioniranja sustava koji se proučava tijekom vremena za različite kombinacije vrijednosti parametara sustava i vanjskog okruženja.

Primjer najjednostavnijeg analitičkog modela je jednadžba pravocrtnog jednolikog gibanja. Kada se takav proces proučava pomoću simulacijskog modela, potrebno je primijeniti promatranje promjena u prijeđenom putu tijekom vremena. Očito je da je u nekim slučajevima bolje analitičko modeliranje, u drugima - simulacija (ili kombinacija oboje). Za uspješan izbor potrebno je odgovoriti na dva pitanja.

Koja je svrha modeliranja?

U koju se klasu može svrstati modelirani fenomen?

Odgovori na oba ova pitanja mogu se dobiti tijekom prve dvije faze modeliranja.

Simulacijski modeli ne samo po svojstvima, već i po strukturi odgovaraju modeliranom objektu. U ovom slučaju postoji nedvosmislena i očita korespondencija između procesa dobivenih na modelu i procesa koji se odvijaju na objektu. Nedostatak simulacije je što je potrebno dugo vremena za rješavanje problema kako bi se postigla dobra točnost.

Rezultati simulacijskog modeliranja rada stohastičkog sustava su implementacije slučajne varijable odnosno procesa. Stoga su za pronalaženje karakteristika sustava potrebna višestruka ponavljanja i naknadna obrada podataka. Najčešće se u ovom slučaju koristi vrsta simulacije - statistički

modeliranje(ili Monte Carlo metoda), tj. reprodukcija slučajnih faktora, događaja, količina, procesa, polja u modelima.

Na temelju rezultata statističkog modeliranja utvrđuju se procjene probabilističkih kriterija kvalitete, općih i specifičnih, koji karakteriziraju funkcioniranje i učinkovitost upravljanog sustava. Statističko modeliranje naširoko se koristi za rješavanje znanstvenih i primijenjenih problema u raznim područjima znanosti i tehnologije. Metode statističkog modeliranja naširoko se koriste u proučavanju složenih dinamičkih sustava, procjenjujući njihovo funkcioniranje i učinkovitost.

Završna faza statističkog modeliranja temelji se na matematičkoj obradi dobivenih rezultata. Ovdje se koriste metode matematičke statistike (parametarska i neparametarska estimacija, testiranje hipoteza). Primjer parametarskog procjenitelja je srednja vrijednost uzorka mjere izvedbe. Među neparametarskim metodama, široko rasprostranjena metoda histograma.

Razmatrana shema temelji se na ponovljenim statističkim ispitivanjima sustava i metodama statistike nezavisnih slučajnih varijabli.Ova shema nije uvijek prirodna u praksi i optimalna u pogledu troškova. Smanjenje vremena testiranja sustava može se postići korištenjem preciznijih metoda procjene. Kao što je poznato iz matematičke statistike, efektivne procjene imaju najveću točnost za određenu veličinu uzorka. Optimalno filtriranje i metoda najveće vjerojatnosti daju opća metoda dobivanje takvih procjena U problemima statističkog modeliranja, obrada implementacija slučajnih procesa je neophodna ne samo za analizu izlaznih procesa.

Vrlo je važna i kontrola karakteristika ulaznih slučajnih utjecaja. Kontrola se sastoji od provjere usklađenosti distribucija generiranih procesa sa zadanim distribucijama. Ovaj problem se često formulira kao problem testiranja hipoteze.

Opći trend računalnog modeliranja složenih upravljanih sustava je želja da se smanji vrijeme modeliranja, kao i provođenje istraživanja u stvarnom vremenu. Prikladno je predstaviti računalne algoritme u rekurentnom obliku, dopuštajući njihovu implementaciju brzinom primanja trenutnih informacija.

NAČELA SUSTAVSKOG PRISTUPA U MODELOVANJU

Osnovni principi teorije sustava

Osnovna načela teorije sustava nastala su tijekom proučavanja dinamičkih sustava i njihovih funkcionalnih elemenata. Sustav se shvaća kao skupina međusobno povezanih elemenata koji zajedno djeluju kako bi izvršili unaprijed određeni zadatak. Analiza sustava omogućuje vam da odredite najviše pravi načini ispunjenje dodijeljenog zadatka, osiguravajući maksimalno zadovoljenje navedenih zahtjeva.

Elementi koji čine osnovu teorije sustava ne nastaju putem hipoteza, već se otkrivaju eksperimentalno. Da bi se pristupilo izgradnji sustava potrebno je poznavati opće karakteristike tehnoloških procesa. Isto vrijedi i za načela stvaranja matematički formuliranih kriterija koje proces ili njegov teorijski opis moraju zadovoljiti. Modeliranje je jedna od najvažnijih metoda znanstvenog istraživanja i eksperimentiranja.

Pri izradi modela objekata koristi se sistemski pristup, koji je metodologija rješavanja složenih problema koja se temelji na promatranju objekta kao sustava koji djeluje u određenom okruženju. Sustavni pristup uključuje otkrivanje cjelovitosti objekta, prepoznavanje i proučavanje njegove unutarnje strukture, kao i povezanosti s vanjskim okruženjem. U ovom slučaju objekt se prikazuje kao dio stvarnog svijeta koji se izdvaja i proučava u vezi s problemom konstruiranja modela. Osim, sistemski pristup podrazumijeva dosljedan prijelaz od općeg prema posebnom, kada je temelj promišljanja projektantski cilj, a objekt se promatra u vezi s okolinom.

Složeni objekt može se podijeliti na podsustave, koji su dijelovi objekta koji ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1) podsustav je funkcionalno neovisan dio objekta. Povezan je s drugim podsustavima, s njima razmjenjuje informacije i energiju;

2) za svaki podsustav mogu se definirati funkcije ili svojstva koja se ne poklapaju sa svojstvima cijelog sustava;

3) svaki od podsustava može se podvrgnuti daljnjoj podjeli do razine elemenata.

U ovom slučaju element se shvaća kao podsustav niže razine, čija je daljnja podjela neprikladna sa stajališta problema koji se rješava.

Dakle, sustav se može definirati kao prikaz objekta u obliku skupa podsustava, elemenata i veza u svrhu njegovog stvaranja, istraživanja ili poboljšanja. U tom slučaju, uvećani prikaz sustava, uključujući glavne podsustave i veze između njih, naziva se makrostruktura, a detaljan prikaz unutarnje strukture sustava do razine elemenata naziva se mikrostruktura.

Uz sustav obično postoji i nadsustav - sustav više razine, koji uključuje dotični objekt, a samo preko nadsustava može se odrediti funkcija bilo kojeg sustava.

Potrebno je istaknuti pojam okoline kao skupa objekata vanjskog svijeta koji značajno utječu na učinkovitost sustava, ali nisu dio sustava i njegovog nadsustava.

U vezi sa sistemskim pristupom izgradnji modela koristi se pojam infrastrukture koji opisuje odnos sustava s okolinom (okolišom), pri čemu se radi o identifikaciji, opisu i proučavanju svojstava objekta koja su bitna u okviru određenog zadatka naziva se stratifikacija objekta, a svaki model objekta je njegov stratificirani opis.

Za sustavski pristup važno je odrediti strukturu sustava, tj. skup veza između elemenata sustava, odražavajući njihovu interakciju. Da bismo to učinili, prvo ćemo razmotriti strukturne i funkcionalne pristupe modeliranju.

Strukturalnim pristupom otkriva se sastav odabranih elemenata sustava i veze među njima. Skup elemenata i veza omogućuje prosudbu strukture sustava. Najopćenitiji opis strukture je topološki opis. Omogućuje određivanje komponenti sustava i njihovih veza pomoću grafikona. Manje je općenito funkcionalni opis, kada se razmatraju pojedinačne funkcije, tj. algoritmi za ponašanje sustava. U ovom slučaju implementiran je funkcionalni pristup koji definira funkcije koje sustav obavlja.

Na temelju sistemskog pristupa može se predložiti slijed razvoja modela u kojem se razlikuju dvije glavne faze dizajna: makrodizajn i mikrodizajn.

U fazi makrodizajna gradi se model vanjskog okruženja, identificiraju se resursi i ograničenja, odabire model sustava i kriteriji za ocjenu primjerenosti.

Faza mikrodizajna uvelike ovisi o specifičnoj vrsti odabranog modela. Općenito, to uključuje stvaranje informacijskih, matematičkih, tehničkih i softverskih sustava za modeliranje. U ovoj fazi utvrđuju se glavne tehničke karakteristike izrađenog modela, procjenjuje se vrijeme potrebno za rad s njim i troškovi resursa za postizanje određene kvalitete modela.

Bez obzira na vrstu modela, prilikom njegove konstrukcije potrebno je voditi se nizom načela sustavnog pristupa:

1) dosljedno napredovanje kroz faze stvaranja modela;

2) koordinaciju informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

3) ispravan odnos između različitih razina konstrukcije modela;

4) cjelovitost pojedinih faza dizajna modela.

Matematičko modeliranje

1. Što je matematičko modeliranje?

Od sredine 20.st. Matematičke metode i računala počeli su se široko koristiti u raznim područjima ljudske djelatnosti. Pojavile su se nove discipline kao što su “matematička ekonomija”, “matematička kemija”, “matematička lingvistika” itd., koje proučavaju matematičke modele relevantnih objekata i pojava, kao i metode za proučavanje tih modela.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta jezikom matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje tih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. No, modeliranje je i metoda razumijevanja svijeta oko nas, omogućavajući da njime upravljamo.

Matematičko modeliranje i pridruženi računalni eksperiment neophodni su u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz jednog ili drugog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti prirodni eksperiment u povijesti da se provjeri “što bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti točnost jedne ili druge kozmološke teorije. Načelno je moguće, ali teško razumno, eksperimentirati sa širenjem bolesti, kao što je kuga, ili provoditi nuklearna eksplozija proučiti njegove posljedice. Međutim, sve se to može učiniti na računalu tako da se prvo konstruiraju matematički modeli fenomena koji se proučavaju.

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izrada modela. U ovoj fazi specificira se neki "nematematički" objekt - prirodni fenomen, dizajn, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, u pravilu, jasan opis situacije je težak. Najprije se utvrđuju glavna obilježja fenomena i njihove povezanosti na kvalitativnoj razini. Zatim se pronađene kvalitativne ovisnosti formuliraju jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteža faza modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj se fazi velika pažnja posvećuje razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računalu, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći s potrebnom točnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobivenih posljedica iz matematičkog modela. Posljedice izvedene iz modela jezikom matematike tumače se jezikom prihvaćenim u tom području.

4) Provjera adekvatnosti modela. U ovoj fazi utvrđuje se slažu li eksperimentalni rezultati s teorijskim konzekvencama modela unutar određene točnosti.

5) Modifikacija modela. U ovoj fazi model se ili komplicira kako bi bio primjereniji stvarnosti ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasificirati prema različitim kriterijima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturne. U prvom slučaju, sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet izražene su kvantitativno. Štoviše, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama tih veličina. Matematički model obično je sustav jednadžbi različitih vrsta (diferencijalne, algebarske, itd.) koje uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od pojedinačnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se te veze ne mogu kvantificirati. Za konstruiranje takvih modela prikladno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekt koji predstavlja skup točaka (vrhova) na ravnini ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (brdovima).

Na temelju prirode početnih podataka i rezultata, modeli predviđanja mogu se podijeliti na determinističke i probabilističko-statističke. Modeli prvog tipa daju sigurna, nedvosmislena predviđanja. Modeli druge vrste temelje se na statističkim informacijama, a predviđanja dobivena uz njihovu pomoć vjerojatnosne su prirode.

4. Primjeri matematičkih modela

1) Zadaci o gibanju projektila.

Razmotrite sljedeći mehanički problem.

Projektil se lansira sa Zemlje početnom brzinom v 0 = 30 m/s pod kutom a = 45° u odnosu na njezinu površinu; potrebno je pronaći putanju njezina kretanja i udaljenost S između početne i završne točke te putanje.

Zatim, kao što je poznato iz školskog tečaja fizike, kretanje projektila opisuje se formulama:

gdje je t vrijeme, g = 10 m/s 2 je ubrzanje sile teže. Ove formule daju matematički model problema. Izražavanjem t kroz x iz prve jednadžbe i zamjenom u drugu, dobivamo jednadžbu za putanju projektila:

Ova krivulja (parabola) siječe os x u dvije točke: x 1 = 0 (početak putanje) i (mjesto gdje je pao projektil). Zamjenom zadanih vrijednosti v0 i a u dobivene formule dobivamo

odgovor: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Imajte na umu da je prilikom konstruiranja ovog modela korišten niz pretpostavki: na primjer, pretpostavlja se da je Zemlja ravna, a zrak i rotacija Zemlje ne utječu na kretanje projektila.

2) Problem o spremniku s najmanjom površinom.

Potrebno je pronaći visinu h 0 i polumjer r 0 limenog spremnika volumena V = 30 m 3, koji ima oblik zatvorenog kružnog cilindra, pri čemu je njegova površina S minimalna (u ovom slučaju najmanje količina kositra će se koristiti za njegovu proizvodnju).

Zapišimo to sljedeće formule za volumen i površinu valjka visine h i polumjera r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Izražavajući h kroz r i V iz prve formule i zamjenjujući rezultirajući izraz u drugu, dobivamo:

Dakle, s matematičkog gledišta problem se svodi na određivanje vrijednosti r pri kojoj funkcija S(r) doseže svoj minimum. Nađimo one vrijednosti r 0 za koje je izvod

ide na nulu: Možete provjeriti da druga derivacija funkcije S(r) mijenja predznak iz minusa u plus kada argument r prolazi kroz točku r 0 . Prema tome, u točki r0 funkcija S(r) ima minimum. Odgovarajuća vrijednost je h 0 = 2r 0 . Zamjenom zadane vrijednosti V u izraz za r 0 i h 0 dobivamo željeni radijus i visine

3) Problem transporta.

Grad ima dva skladišta brašna i dvije pekare. Dnevno se iz prvog skladišta u tvornice odveze 50 tona brašna, a iz drugog 70 tona brašna, od čega u prvo 40 tona, a u drugo 80 tona.

Označimo sa a ij trošak transporta 1 tone brašna od i-tog skladišta do j-ta biljka(i, j = 1,2). Neka

a 11 = 1,2 rublja, a 12 = 1,6 rubalja, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Kako planirati prijevoz da njegov trošak bude minimalan?

Dajmo problemu matematičku formulaciju. Označimo s x 1 i x 2 količinu brašna koju treba prevesti iz prvog skladišta u prvu i drugu tvornicu, a s x 3 i x 4 - iz drugog skladišta u prvu, odnosno drugu tvornicu. Zatim:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ukupni trošak cjelokupnog prijevoza određuje se formulom

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

S matematičke točke gledišta, problem je pronaći četiri broja x 1, x 2, x 3 i x 4 koji zadovoljavaju sve zadane uvjete i daju minimum funkcije f. Riješimo sustav jednadžbi (1) za xi (i = 1, 2, 3, 4) eliminirajući nepoznanice. Shvaćamo to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

a x 4 ne može se odrediti jednoznačno. Budući da je x i í 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz jednadžbi (2) slijedi da je 30J x 4 J 70. Zamjenom izraza za x 1, x 2, x 3 u formulu za f, dobivamo

f = 148 – 0,2x 4.

Lako je vidjeti da se minimum ove funkcije postiže pri najvećoj mogućoj vrijednosti x 4, odnosno pri x 4 = 70. Odgovarajuće vrijednosti ostalih nepoznanica određene su formulama (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnog raspada.

Neka je N(0) početni broj atoma radioaktivne tvari, a N(t) broj neraspadnutih atoma u trenutku t. Eksperimentalno je utvrđeno da je brzina promjene broja ovih atoma N"(t) proporcionalna N(t), odnosno N"(t)=–l N(t), l >0 je konstanta radioaktivnosti određene tvari. U školskom tečaju matematičke analize pokazano je da je rješenje za to diferencijalna jednadžba ima oblik N(t) = N(0)e –l t . Vrijeme T tijekom kojeg se broj početnih atoma prepolovio naziva se vrijeme poluraspada i važna je karakteristika radioaktivnosti tvari. Da bismo odredili T, moramo unijeti formulu Zatim Na primjer, za radon l = 2,084 · 10 –6, pa je stoga T = 3,15 dana.

5) Problem trgovačkog putnika.

Trgovački putnik koji živi u gradu A 1 treba posjetiti gradove A 2 , A 3 i A 4 , svaki grad točno jednom, a zatim se vratiti natrag u A 1 . Poznato je da su svi gradovi u parovima povezani cestama, a duljine cesta b ij između gradova A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) su sljedeće:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Potrebno je odrediti redoslijed obilaska gradova u kojima je duljina odgovarajuće staze minimalna.

Svaki grad zamislimo kao točku na ravnini i označimo ga odgovarajućom oznakom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojimo te točke ravnim linijama: one će predstavljati ceste između gradova. Za svaku “cestu” označavamo njezinu duljinu u kilometrima (slika 2). Rezultat je graf - matematički objekt koji se sastoji od određenog skupa točaka na ravnini (zvanih vrhovi) i određenog skupa linija koje povezuju te točke (zvanih bridovi). Štoviše, ovaj graf je označen, budući da su njegovim vrhovima i bridovima dodijeljene neke oznake - brojevi (brdovi) ili simboli (vrhovi). Ciklus na grafu je niz vrhova V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 takav da su vrhovi V 1 , ..., V k različiti, a svaki par vrhova V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) i par V 1, V k spojeni su bridom. Dakle, problem koji razmatramo je pronaći ciklus na grafu koji prolazi kroz sva četiri vrha za koji je zbroj svih težina bridova minimalan. Pretražimo sve različite cikluse koji prolaze kroz četiri vrha i počinju na A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Nađimo sada duljine tih ciklusa (u km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Dakle, ruta najkraće duljine je prva.

Imajte na umu da ako postoji n vrhova u grafu i svi vrhovi su povezani u parovima bridovima (takav graf se naziva potpunim), tada je broj ciklusa koji prolaze kroz sve vrhove jednak. Dakle, u našem slučaju postoje točno tri ciklusa.

6) Problem pronalaženja veze između strukture i svojstava tvari.

Pogledajmo nekoliko kemijski spojevi, koji se nazivaju normalni alkani. Sastoje se od n atoma ugljika i n + 2 atoma vodika (n = 1, 2 ...), međusobno povezanih kao što je prikazano na slici 3 za n = 3. Neka budu poznate eksperimentalne vrijednosti vrelišta ovih spojeva:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Za ove spojeve potrebno je pronaći približan odnos između vrelišta i broja n. Pretpostavimo da ta ovisnost ima oblik

y" a n+b,

Gdje a, b - konstante koje treba odrediti. Pronaći a i b zamijenimo u ovu formulu redom n = 3, 4, 5, 6 i odgovarajuće vrijednosti vrelišta. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Da bi se odredio najbolji a i b postoji mnogo različitih metoda. Iskoristimo najjednostavniji od njih. Izrazimo b kroz a iz ovih jednadžbi:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Uzmimo aritmetičku sredinu ovih vrijednosti kao željeni b, odnosno stavimo b » 16 – 4,5 a. Zamijenimo ovu vrijednost b u izvorni sustav jednadžbi i izračunajmo a, dobivamo za a sljedeće vrijednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Uzmimo kao traženo a prosječna vrijednost ovih brojeva, to jest, recimo a 34. Dakle, tražena jednadžba ima oblik

y » 34n – 139.

Provjerimo točnost modela na izvorna četiri spoja, za koje izračunavamo vrelište pomoću dobivene formule:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Dakle, pogreška u izračunavanju ovog svojstva za ove spojeve ne prelazi 5°. Dobivenu jednadžbu koristimo za izračunavanje vrelišta spoja s n = 7, koji nije uključen u originalni skup, za koji smo zamijenili n = 7 u ovu jednadžbu: y r (7) = 99°. Rezultat je bio dosta točan: poznato je da je eksperimentalna vrijednost vrelišta y e (7) = 98°.

7) Problem određivanja pouzdanosti električnog kruga.

Ovdje ćemo pogledati primjer probabilističkog modela. Prvo, predstavljamo neke informacije iz teorije vjerojatnosti - matematičke discipline koja proučava obrasce slučajnih pojava uočenih tijekom opetovanog ponavljanja eksperimenata. Nazovimo slučajni događaj A mogućim ishodom nekog eksperimenta. Događaji A 1, ..., A k čine potpunu skupinu ako se jedan od njih nužno dogodi kao rezultat pokusa. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu pojaviti istovremeno u jednom iskustvu. Neka se događaj A dogodi m puta tijekom n-strukog ponavljanja pokusa. Učestalost događaja A je broj W = . Očito, vrijednost W ne može se točno predvidjeti dok se ne provede niz od n eksperimenata. Međutim, priroda slučajnih događaja je takva da se u praksi ponekad opaža sljedeći učinak: kako se broj eksperimenata povećava, vrijednost praktički prestaje biti slučajna i stabilizira se oko nekog neslučajnog broja P(A), koji se naziva vjerojatnost događaj A. Za nemoguć događaj (koji se nikada ne događa u eksperimentu) P(A)=0, a za pouzdani događaj (koji se uvijek događa u iskustvu) P(A)=1. Ako događaji A 1 , ..., A k čine potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, tada je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Neka se, na primjer, eksperiment sastoji od bacanja kocke i promatranja broja izbačenih točaka X. Tada možemo uvesti sljedeće slučajne događaje A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni čine potpunu skupinu nekompatibilnih jednako vjerojatnih događaja, stoga je P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Zbroj događaja A i B je događaj A + B, koji se sastoji u tome da se barem jedan od njih dogodi u iskustvu. Umnožak događaja A i B je događaj AB, koji se sastoji od istovremenog zbivanja tih događaja. Za neovisne događaje A i B vrijede sljedeće formule:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmotrimo sada sljedeće zadatak. Pretpostavimo da su tri elementa spojena u seriju u električni krug i rade neovisno jedan o drugom. Vjerojatnosti kvara 1., 2. i 3. elementa jednake su redom P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Krug ćemo smatrati pouzdanim ako vjerojatnost da u krugu neće biti struje nije veća od 0,4. Potrebno je utvrditi je li dati sklop pouzdan.

Budući da su elementi spojeni u seriju, neće biti struje u strujnom krugu (događaj A) ako barem jedan od elemenata pokvari. Neka je A i događaj koji i-ti element radi (i = 1, 2, 3). Tada je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očito, A 1 A 2 A 3 je događaj u kojem sva tri elementa rade istovremeno, a

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, pa je P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Zaključno, napominjemo da su navedeni primjeri matematičkih modela (uključujući funkcionalne i strukturne, determinističke i probabilističke) ilustrativne prirode i, očito, ne iscrpljuju raznolikost matematičkih modela koji se pojavljuju u prirodnim i humanističkim znanostima.

Problemi koji se rješavaju metodama LP vrlo su raznoliki po sadržaju. Ali njihovi matematički modeli su slični i uvjetno se kombiniraju u tri velike skupine problema:

• transportni poslovi;
• zadaci oko izrade plana;

Pogledajmo primjere specifičnih ekonomskih problema svake vrste i detaljno se zadržimo na izradi modela za svaki problem.

Transportni zadatak

U dvije trgovačke baze A I U Ima 30 garnitura namještaja, po 15 na svakom. Sav namještaj potrebno je dostaviti u dva salona namještaja, S I D i u S Potrebno je dostaviti 10 slušalica i D- 20. Poznato je da isporuka jedne slušalice iz baze A u trgovinu S košta jednu novčanu jedinicu po trgovini D- u tri novčane jedinice. Prema tome iz baze U u trgovine S I D: dvije i pet novčanih jedinica. Napravite plan prijevoza tako da trošak cjelokupnog prijevoza bude minimalan.
Radi lakšeg snalaženja, te ćemo zadatke navesti u tablici. Na sjecištu redaka i stupaca nalaze se brojevi koji karakteriziraju cijenu odgovarajućeg prijevoza (tablica 3.1).

Tablica 3.1

Kreirajmo matematički model problema.
Moraju se unijeti varijable. U tekstu pitanja stoji da je potrebno izraditi plan prijevoza. Označimo sa x 1 , x 2 broj slušalica prevezenih iz baze A u trgovine S I D prema tome, i kroz na 1 , na 2 - broj slušalica prevezenih iz baze U u trgovine S I D odnosno. Zatim količina namještaja uklonjena iz skladišta A, jednako ( x 1 + x 2), te iz skladišta U - (na 1 + na 2). Potreba trgovine S jednako 10 slušalica, i donijeli su ( x 1 + na 1) komadi, tj. x 1 + na 1 = 10. Slično, za trgovinu D imamo x 2 + na 2 = 20. Imajte na umu da su potrebe trgovina točno jednake broju slušalica dostupnih u skladištima, stoga x 1 + na 2 = 15 i na 1 + na 2 = 15. Ako biste iz skladišta uzeli manje od 15 garnitura, tada trgovine ne bi imale dovoljno namještaja za svoje potrebe.
Dakle, varijable x 1 , x 2 , na 1 , na 2 u smislu problema su nenegativni i zadovoljavaju sustav restrikcija:
(3.1)
Odredio F troškove prijevoza, mi ćemo ih izračunati. za prijevoz jedne garniture namještaja iz A V S troši se jedan novac. jedinice, za prijevoz x 1 set - x 1 dan jedinice Isto tako i za prijevoz x 2 kompleta A V D koštat će 3 x 2 dana jedinice; iz U V SA - 2g 1 dan jedinice, od U V D - 5g 2 dana jedinice
Tako,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2g 1 + 5g 2 → min (3.2)
(želimo svesti ukupne troškove dostave na minimum).
Formulirajmo problem matematički.
Na skupu rješenja sustava ograničenja (3.1) pronaći rješenje koje minimizira funkciju cilja F(3.2), ili pronaći optimalni plan ( x 1 , x 2, g 1 , g 2), određena sustavom ograničenja (3.1) i funkcijom cilja (3.2).
Problem koji smo razmatrali može se prikazati u općenitijem obliku, s bilo kojim brojem dobavljača i potrošača.
U problemu koji smo razmatrali, raspoloživost tereta od dobavljača (15 + 15) jednaka je ukupnoj potražnji potrošača (10 + 20). Ovaj model se zove zatvoreno, a pripadni zadatak je uravnoteženi transport zadatak.
U ekonomskim proračunima značajnu ulogu imaju tzv. otvoreni modeli, u kojima se ne poštuje navedena jednakost. Ili je zaliha dobavljača veća od potražnje potrošača ili potražnja premašuje dostupnost robe. Imajte na umu da će tada sustav ograničenja za problem neuravnoteženog transporta uključivati ​​nejednadžbe zajedno s jednadžbama.

Pitanja za samokontrolu
1. Postavka transportnog problema. opisati konstrukciju matematičkog modela.
2. Što je ravnotežni i neuravnoteženi prometni problem?
3. Što se ubraja u funkciju cilja transportnog problema?
4. Što odražava svaka nejednakost u sustavu ograničenja u planskom problemu?
5. Što odražava svaka nejednakost u sustavu ograničenja u problemu smjese?
6. Što znače varijable u problemu plana i problemu smjese?