Nacionalno istraživačko sveučilište
Zavod za primijenjenu geologiju
Sažetak o višoj matematici
Na temu: “Osnovne elementarne funkcije,
njihova svojstva i grafovi"
Završeno:
Provjereno:
učitelj, nastavnik, profesor
Definicija. Funkcija dana formulom y=a x (gdje je a>0, a≠1) naziva se eksponencijalna funkcija s bazom a.
Formulirajmo glavna svojstva eksponencijalne funkcije:
1. Područje definiranja je skup (R) svih realnih brojeva.
2. Raspon - skup (R+) svih pozitivnih realnih brojeva.
3. Za a > 1 funkcija raste duž cijelog brojevnog pravca; na 0<а<1 функция убывает.
4. Je funkcija opći pogled.
, na intervalu xO [-3;3]
, na intervalu xO [-3;3] Funkcija oblika y(x)=x n, gdje je n broj OR, naziva se potencnom funkcijom. Broj n može poprimiti različite vrijednosti: i cijeli i razlomak, i parne i neparne. Ovisno o tome, funkcija snage će imati drugačiji oblik. Razmotrimo posebne slučajeve koji su funkcije snage i odražavaju osnovna svojstva ove vrste krivulje sljedećim redoslijedom: funkcija snage y=x² (funkcija s parnim eksponentom - parabola), funkcija snage y=x³ (funkcija s neparnim eksponentom - kubna parabola) i funkcija y=√x (x na potenciju ½) (funkcija s razlomačkim eksponentom), funkcija s negativnim cijelim eksponentom (hiperbola).
Funkcija snage y=x²
1. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;
2. E(y)= i raste na intervalu
Funkcija snage y=x³
1. Graf funkcije y=x³ naziva se kubna parabola. Funkcija snage y=x³ ima sljedeća svojstva:
2. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija uzima sve vrijednosti u svojoj domeni definicije;
4. Kada je x=0 y=0 – funkcija prolazi kroz ishodište koordinata O(0;0).
5. Funkcija raste u cijeloj domeni definicije.
6. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište).
, na intervalu xO [-3;3] Ovisno o numeričkom faktoru ispred x³, funkcija može biti strma/ravna i rastuća/opadajuća.
Funkcija potencije s negativnim cijelim eksponentom:
Ako je eksponent n neparan, tada se graf takve funkcije stepena naziva hiperbola. Funkcija potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentom ima sljedeća svojstva:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) za bilo koji n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ako je n neparan broj; E(y)=(0;∞), ako je n paran broj;
3. Funkcija opada u cijeloj domeni definicije ako je n neparan broj; funkcija raste na intervalu (-∞;0) i opada na intervalu (0;∞) ako je n paran broj.
4. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište) ako je n neparan broj; funkcija je parna ako je n paran broj.
5. Funkcija prolazi kroz točke (1;1) i (-1;-1) ako je n neparan broj i kroz točke (1;1) i (-1;1) ako je n paran broj.
, na intervalu xO [-3;3] Funkcija potencije s razlomačkim eksponentom
Power funkcija s razlomačkim eksponentom (slika) ima graf funkcije prikazane na slici. Funkcija potencije s razlomačkim eksponentom ima sljedeća svojstva: (slika)
1. D(x) OR, ako je n neparan broj i D(x)= 
, na intervalu xO 
, na intervalu xO [-3;3]
Logaritamska funkcija y = log a x ima sljedeća svojstva:
1. Područje definicije D(x)O (0; + ∞).
2. Raspon vrijednosti E(y) O (- ∞; + ∞)
3. Funkcija nije ni parna ni neparna (općeg oblika).
4. Funkcija raste na intervalu (0; + ∞) za a > 1, opada na (0; + ∞) za 0< а < 1.
Graf funkcije y = log a x može se dobiti iz grafa funkcije y = a x pomoću transformacije simetrije oko pravca y = x. Slika 9 prikazuje graf logaritamske funkcije za a > 1, a slika 10 za 0< a < 1.
; na intervalu xO 
; na intervalu xO Funkcije y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x zovu se trigonometrijske funkcije.
Funkcije y = sin x, y = tan x, y = ctg x su neparne, a funkcija y = cos x je parna.
Funkcija y = sin(x).
1. Područje definicije D(x) OR.
2. Raspon vrijednosti E(y) O [ - 1; 1].
3. Funkcija je periodična; glavni period je 2π.
4. Funkcija je neparna.
5. Funkcija raste na intervalima [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] i opada na intervalima [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n O Z.
Graf funkcije y = sin (x) prikazan je na slici 11.
Važno!
Funkcija oblika “y = kx + b” naziva se linearna funkcija.
Zovu se faktori slova "k" i "b". numerički koeficijenti.
Umjesto "k" i "b" mogu biti bilo koji brojevi (pozitivni, negativni ili razlomci).
Drugim riječima, možemo reći da je “y = kx + b” obitelj svih mogućih funkcija, gdje umjesto “k” i “b” stoje brojevi.
Primjeri funkcija poput "y = kx + b".
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Obratite posebnu pozornost na funkciju "y = 0,5x" u tablici. Često griješe tražeći brojčani koeficijent “b”.
Kada se razmatra funkcija "y = 0,5x", netočno je reći da u funkciji ne postoji numerički koeficijent "b".
Numerički koeficijent "b" uvijek je prisutan u funkciji kao što je "y = kx + b" uvijek. U funkciji “y = 0,5x” numerički koeficijent “b” je nula.
Kako nacrtati graf linearne funkcije
"y = kx + b"Zapamtiti!
Raspored linearna funkcija"y = kx + b" je ravna linija.
Kako je graf funkcije “y = kx + b” ravna linija, funkcija se zove linearna funkcija.
Iz geometrije, prisjetimo se aksioma (tvrdnja koja ne zahtijeva dokaz) da kroz bilo koje dvije točke možete povući ravnu liniju i, štoviše, samo jednu.
Na temelju gornjeg aksioma, slijedi da bi se nacrtala funkcija oblika
“y = kx + b” bit će nam dovoljno pronaći samo dvije točke.Na primjer izgradimo graf funkcije"y = −2x + 1".
Pronađimo vrijednost funkcije "y" za dvije proizvoljne vrijednosti "x". Zamijenimo, na primjer, umjesto "x" brojeve "0" i "1".
Važno!
Prilikom odabira proizvoljnih numeričkih vrijednosti umjesto "x", bolje je uzeti brojeve "0" i "1". Lako je raditi izračune s ovim brojevima.
Rezultirajuće vrijednosti "x" i "y" su koordinate točaka na grafu funkcije.
Zapišimo dobivene koordinate točaka “y = −2x + 1” u tablicu.
Dobivene točke označimo na koordinatnom sustavu.
Sada povucimo ravnu liniju kroz označene točke. Ova ravna linija bit će graf funkcije “y = −2x + 1”.
Kako riješiti probleme na
linearna funkcija “y = kx + b”Razmotrimo problem.
Grafički nacrtajte funkciju “y = 2x + 3”. Pronađi prema grafikonu:
- vrijednost "y" koja odgovara vrijednosti "x" jednaka -1; 2; 3; 5 ;
- vrijednost "x" ako je vrijednost "y" 1; 4; 0; −1.
Prvo nacrtajmo funkciju “y = 2x + 3”.
Koristimo se pravilima po kojima smo superiorni. Za crtanje grafa funkcije “y = 2x + 3” dovoljno je pronaći samo dvije točke.
Odaberimo dvije proizvoljne numeričke vrijednosti za "x". Radi praktičnosti izračuna, odabrat ćemo brojeve "0" i "1".
Provedimo izračune i zapišimo njihove rezultate u tablicu.
Dobivene točke označimo na pravokutnom koordinatnom sustavu.
Spojimo dobivene točke ravnom linijom. Nacrtana ravna linija bit će graf funkcije “y = 2x + 3”.
Sada radimo s konstruiranim grafom funkcije “y = 2x + 3”.
Morate pronaći vrijednost "y" koja odgovara vrijednosti "x",
što je jednako −1; 2; 3; 5 .- Vol" na nulu (x = 0);
- zamijenite nulom umjesto “x” u formuli funkcije i pronađite vrijednost “y”;
- oj".
Umjesto "x" u formuli funkcije "y = −1,5x + 3" zamijenimo broj nula.
Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - koordinate točke presjeka grafa funkcije "y = −1,5x + 3" s osi "Oy".Zapamtiti!
Za pronalaženje koordinata sjecišta grafa funkcije
s osi " Vol"(x os) trebate:- izjednačiti koordinatu točke duž "" osi oj" na nulu (y = 0);
- zamijenite nulu umjesto "y" u formuli funkcije i pronađite vrijednost "x";
- zapišite dobivene koordinate točke presjeka s osi " oj".
Umjesto "y" u formuli funkcije "y = −1,5x + 3", zamijenimo broj nula.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - koordinate točke presjeka grafa funkcije "y = −1,5x + 3" s osi "Ox".Da biste lakše zapamtili koju koordinatu točke treba izjednačiti s nulom, sjetite se "pravila suprotnosti".
Važno!
Ako trebate pronaći koordinate točke sjecišta grafikona s osi " Vol", tada izjednačavamo "y" s nulom.
I obrnuto. Ako trebate pronaći koordinate točke presjeka grafikona s osi "". oj", tada izjednačavamo "x" s nulom.
Duljina segmenta na koordinatnoj osi određena je formulom:
Duljina segmenta koordinatna ravnina pretražuje se po formuli:
Da biste pronašli duljinu segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu, koristite sljedeću formulu:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu os koristi se samo prva formula, za koordinatnu ravninu - prve dvije formule, za trodimenzionalni koordinatni sustav - sve tri formule) izračunavaju se pomoću formula:
Funkcija– ovo je dopisivanje obrasca g= f(x) između varijabilnih veličina, zbog čega svaka razmatrana vrijednost neke varijabilne veličine x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenoj vrijednosti druge varijable, g(ovisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednost funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja tu jednu vrijednost argumenta x može odgovarati samo jedna vrijednost zavisne varijable na. Međutim, ista vrijednost na može se dobiti s različitim x.
Funkcijska domena– ovo su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično ovo x), za koju je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Označeno je područje definicije D(g). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Domena funkcije naziva se i domena prihvatljive vrijednosti, odnosno ODZ, koje ste odavno uspjeli pronaći.
Raspon funkcija su sve moguće vrijednosti zavisne varijable dane funkcije. Određeni E(na).
Funkcija se povećava na interval u kojem većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Funkcija se smanjuje na intervalu u kojem manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.
Intervali konstantnog predznaka funkcije- to su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.
Funkcijske nule– to su vrijednosti argumenta pri kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim točkama graf funkcije siječe apscisnu os (OX os). Vrlo često potreba za pronalaženjem nula funkcija znači potrebu jednostavnog rješavanja jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnosti predznaka znači potrebu jednostavnog rješavanja nejednadžbe.
Funkcija g = f(x) se zovu čak x
To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Raspored ravnomjerna funkcija uvijek simetričan u odnosu na ordinatnu os op-amp.
Funkcija g = f(x) se zovu neparan, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji x iz domene definicije vrijedi jednakost:
To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta, vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ishodište.
Zbroj korijena parnog i neparne funkcije(sjecišta apscisne osi OX) uvijek je jednaka nuli, jer za svaki pozitivan korijen x ima negativan korijen - x.
Važno je napomenuti: neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve se funkcije nazivaju opće funkcije, i za njih nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava nije zadovoljena.
Linearna funkcija je funkcija koja se može dati formulom:
Graf linearne funkcije je pravac i opći slučaj izgleda ovako (naveden je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za tu priliku k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole dan je kvadratnom funkcijom:
Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x 1 ; 0) i ( x 2 ; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX; ako postoji samo jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje os OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe os OY u točki s koordinatama: (0; c). Raspored kvadratna funkcija(parabola) može izgledati ovako (slika prikazuje primjere koji ne iscrpljuju sve moguće vrste parabola):
pri čemu:
- ako je koeficijent a> 0, u funkciji g = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
- ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole mogu se izračunati iz sljedeće formule. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili točka u kojoj kvadratni trinom doseže najveću ili najmanju vrijednost):
Vrhovi Igrek (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimum ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratni trinom:
Grafovi ostalih funkcija
Funkcija snage
Evo nekoliko primjera grafikona funkcije snage:
Obrnuto proporcionalan je funkcija dana formulom:
Ovisno o predznaku broja k Grafikon obrnuto proporcionalne ovisnosti može imati dvije temeljne opcije:
Asimptota je linija kojoj se graf funkcije beskonačno približava, ali se ne siječe. Asimptote za grafove obrnuta proporcionalnost Na gornjoj slici prikazane su koordinatne osi kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne siječe.
Eksponencijalna funkcija s bazom A je funkcija dana formulom:
a Graf eksponencijalne funkcije može imati dvije temeljne opcije (također dajemo primjere, vidi dolje):
Logaritamska funkcija je funkcija dana formulom:
Ovisno o tome je li broj veći ili manji od jedan a Graf logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:
Graf funkcije g = |x| kako slijedi:
Grafovi periodičkih (trigonometrijskih) funkcija
Funkcija na = f(x) Zove se periodički, ako postoji takav broj različit od nule T, Što f(x + T) = f(x), za bilo koga x iz domene funkcije f(x). Ako funkcija f(x) je periodičan s periodom T, tada funkcija:
Gdje: A, k, b – stalni brojevi, i k nije jednak nuli, također periodičan s periodom T 1, koji se određuje formulom:
Većina primjera periodične funkcije- Ovo trigonometrijske funkcije. Predstavljamo grafove glavnih trigonometrijskih funkcija. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije g= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije g= grijeh x nazvao sinusoida:
Graf funkcije g=cos x nazvao kosinus. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Budući da se sinusni grafikon neograničeno nastavlja duž OX osi lijevo i desno:
Graf funkcije g= tg x nazvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
I na kraju, graf funkcije g=ctg x nazvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako mislite da ste pronašli grešku u obrazovni materijali, onda pišite o tome e-poštom. Također možete prijaviti grešku na društvena mreža(). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po Vašem mišljenju greška. Također opišite koja je greška na koju se sumnja. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.
funkcija je korespondencija između elemenata dva skupa, uspostavljena prema pravilu da je svakom elementu jednog skupa pridružen neki element iz drugog skupa.
graf funkcije je geometrijsko mjesto točaka u ravnini čije su apscisa (x) i ordinata (y) povezane navedenom funkcijom:
točka se nalazi (ili nalazi) na grafu funkcije ako i samo ako .
Dakle, funkcija se može adekvatno opisati svojim grafom.
Tabelarna metoda. Prilično uobičajen je određivanje tablice pojedinačnih vrijednosti argumenata i njihovih odgovarajućih funkcijskih vrijednosti. Ova metoda definiranja funkcije koristi se kada je domena definiranja funkcije diskretni konačni skup.
Tabličnom metodom određivanja funkcije moguće je približno izračunati vrijednosti funkcije koje nisu sadržane u tablici, a koje odgovaraju srednje vrijednosti argument. Da biste to učinili, upotrijebite metodu interpolacije.
Prednosti tablične metode određivanja funkcije su u tome što omogućuje određivanje određenih specifičnih vrijednosti odmah, bez dodatnih mjerenja ili izračuna. Međutim, u nekim slučajevima tablica ne definira funkciju u potpunosti, već samo za neke vrijednosti argumenta i ne daje vizualni prikaz prirode promjene funkcije ovisno o promjeni argumenta.
Grafička metoda. Graf funkcije y = f(x) je skup svih točaka na ravnini čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu.
Grafička metoda određivanja funkcije ne omogućuje uvijek točno određivanje numeričkih vrijednosti argumenta. Ipak, ima veliku prednost u odnosu na druge metode – vidljivost. U inženjerstvu i fizici često se koristi grafička metoda određivanja funkcije, a graf je jedini dostupan način za to.
Da bi grafičko zadavanje funkcije bilo potpuno ispravno s matematičkog gledišta, potrebno je naznačiti točan geometrijski dizajn grafa, koji se najčešće određuje jednadžbom. To dovodi do sljedećeg načina specificiranja funkcije.
Analitička metoda. Najčešće se formulama specificira zakon koji uspostavlja vezu između argumenta i funkcije. Ova metoda određivanja funkcije naziva se analitička.
Ova metoda omogućuje svakoj numeričkoj vrijednosti argumenta x pronaći svoj odgovarajući brojčana vrijednost funkcionira točno ili s određenom točnošću.
Ako je odnos između x i y dan formulom razriješenom u odnosu na y, tj. ima oblik y = f(x), onda kažemo da je funkcija od x zadana eksplicitno.
Ako su vrijednosti x i y povezane nekom jednadžbom oblika F(x,y) = 0, tj. formula nije riješena za y, što znači da je funkcija y = f(x) dana implicitno.
Funkcija se može definirati različite formule u različitim dijelovima područja njihove misije.
Analitička metoda je najčešći način specificiranja funkcija. Kompaktnost, konciznost, mogućnost izračunavanja vrijednosti funkcije za proizvoljnu vrijednost argumenta iz domene definicije, mogućnost primjene aparata matematičke analize na zadanu funkciju glavne su prednosti analitičke metode određivanja funkcija. Nedostaci uključuju nedostatak vidljivosti, što se kompenzira mogućnošću izrade grafikona i potrebom za izvođenjem ponekad vrlo glomaznih izračuna.
Verbalna metoda. Ova se metoda sastoji u izražavanju funkcionalne ovisnosti riječima.
Primjer 1: funkcija E(x) - cijeli dio brojevi x. Općenito, E(x) = [x] označava najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Drugim riječima, ako je x = r + q, gdje je r cijeli broj (može biti negativan), a q pripada intervalu = r. Funkcija E(x) = [x] je konstantna na intervalu = r.
Primjer 2: funkcija y = (x) je razlomački dio broja. Točnije, y =(x) = x - [x], gdje je [x] cjelobrojni dio broja x. Ova je funkcija definirana za sve x. Ako je x proizvoljan broj, onda ga predstavite kao x = r + q (r = [x]), gdje je r cijeli broj, a q leži u intervalu .
Vidimo da dodavanje n argumentu x ne mijenja vrijednost funkcije.
Najmanji broj različit od nule u n je , pa je period sin 2x .
Poziva se vrijednost argumenta pri kojoj je funkcija jednaka 0 nula (korijen) funkcije.
Funkcija može imati više nula.
Na primjer, funkcija y = x (x + 1) (x-3) ima tri nule: x = 0, x = - 1, x =3.
Geometrijski, nula funkcije je apscisa točke presjeka grafa funkcije s osi x .
Slika 7 prikazuje graf funkcije s nulama: x = a, x = b i x = c.
Ako se graf funkcije neograničeno približava određenom pravcu dok se udaljava od ishodišta, tada se taj pravac naziva asimptota.
Inverzna funkcija
Neka je funkcija y=ƒ(x) dana s domenom definicije D i skupom vrijednosti E. Ako svaka vrijednost yêE odgovara jednoj vrijednosti xêD, tada je funkcija x=φ(y) definirana s domena definicije E i skup vrijednosti D (vidi sliku 102).
Takvu funkciju φ(y) nazivamo inverzom funkcije ƒ(x) i pišemo u sljedećem obliku: x=j(y)=f -1 (y). Funkcije y=ƒ(x) i x =φ(y) kaže se da su međusobno inverzni. Za pronalaženje funkcije x=φ(y), inverzne funkciji y=ƒ (x), dovoljno je riješiti jednadžbu ƒ(x)=y za x (ako je moguće).
1. Za funkciju y=2x inverzna funkcija je funkcija x=y/2;
2. Za funkciju y=x2 xê inverzna funkcija je x=√y; primijetite da je za funkciju y=x 2 definiranu na segmentu [-1; 1], inverz ne postoji, budući da jedna vrijednost y odgovara dvjema vrijednostima x (dakle, ako je y = 1/4, tada je x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Iz definicije inverzne funkcije slijedi da funkcija y=ƒ(x) ima inverz ako i samo ako funkcija ƒ(x) specificira korespondenciju jedan na jedan između skupova D i E. Slijedi da bilo koji strogo monotona funkcija ima inverz. Štoviše, ako funkcija raste (opada), onda i inverzna funkcija također raste (opada).
Imajte na umu da su funkcija y=ƒ(x) i njezin inverz x=φ(y) prikazani istom krivuljom, tj. njihovi grafovi se podudaraju. Ako se dogovorimo da se, kao i obično, nezavisna varijabla (tj. argument) označava s x, a zavisna varijabla s y, tada će inverzna funkcija funkcije y=ƒ(x) biti zapisana u obliku y=φ( x).
To znači da točka M 1 (x o; y o) krivulje y=ƒ(x) postaje točka M 2 (y o; x o) krivulje y=φ(x). Ali točke M 1 i M 2 su simetrične u odnosu na ravnu liniju y=x (vidi sliku 103). Dakle, grafikoni su međusobno inverzne funkcije y=ƒ(x) i y=φ(x) su simetrične u odnosu na simetralu prvog i trećeg koordinatnog kuta.
Neka je na skupu D definirana funkcija u=ƒ(u), a na skupu D 1 funkcija u= φ(h) i za x D 1 odgovarajuća vrijednost u=φ(h) ê D. Tada na skupu D 1 funkcionira funkcija u=ƒ(φ(x)), koja se naziva kompleksna funkcija od x (ili superpozicija navedene funkcije, ili funkcija funkcije).
Varijabla u=φ(x) naziva se međuargumentom složene funkcije.
Na primjer, funkcija y=sin2x je superpozicija dviju funkcija y=sinu i u=2x. Složena funkcija može imati nekoliko međuargumenata.
4. Osnovne elementarne funkcije i njihovi grafovi.
Sljedeće funkcije nazivamo glavnim elementarnim funkcijama.
1) Eksponencijalna funkcija y=a x,a>0, a ≠ 1. Na sl. Prikazana su 104 grafikona eksponencijalne funkcije, što odgovara različitim bazama stupnjeva.
2) Funkcija potencije y=x α, αêR. Na slikama su prikazani primjeri grafova potencijskih funkcija koji odgovaraju različitim eksponentima.
3) Logaritamska funkcija y=log a x, a>0,a≠1; Grafikoni logaritamske funkcije, koji odgovaraju različitim bazama, prikazani su na sl. 106.
4) Trigonometrijske funkcije y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafovi trigonometrijskih funkcija imaju oblik prikazan na sl. 107.
5) Inverzne trigonometrijske funkcije y=arcsinx, y=arccosh, y=arctgx, y=arcctgx. Na sl. 108 prikazani su grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija.
Funkcija definirana jednom formulom sastavljenom od osnovnih elementarne funkcije a stalna uz pomoć konačan broj aritmetičke operacije(zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje) i operacije uzimanja funkcije iz funkcije naziva se elementarna funkcija.
Primjeri elementarnih funkcija su funkcije
Primjeri neelementarnih funkcija su funkcije
5. Pojmovi limita niza i funkcije. Svojstva limita.
Ograničenje funkcije (granična vrijednost funkcije) u danoj točki, ograničavajući domenu definicije funkcije, vrijednost je kojoj vrijednost funkcije koja se razmatra teži dok njen argument teži danoj točki.
U matematici granica niza elementi metričkog prostora ili topološkog prostora su element istog prostora koji ima svojstvo “privlačenja” elemenata danog niza. Granica niza elemenata topološkog prostora je takva točka da svaka njezina okolina sadrži sve elemente niza, počevši od određenog broja. U metričkom prostoru, susjedstva su definirana kroz funkciju udaljenosti, tako da je koncept limita formuliran u jeziku udaljenosti. Povijesno gledano, prvi je bio koncept limita numeričkog niza, koji se javlja u matematičkoj analizi, gdje služi kao osnova za sustav aproksimacija i naširoko se koristi u konstrukciji diferencijalnog i integralnog računa.
Oznaka:
(čita se: granica x-n-tog niza dok en teži beskonačnosti je a)
Svojstvo niza koji ima limit naziva se konvergencija: ako niz ima limit, onda se kaže da ovaj niz konvergira; u protivnom (ako niz nema granice) kaže se da je niz razilazi se. U Hausdorffovom prostoru, a posebno u metričkom prostoru, svaki podniz konvergentnog niza konvergira, a njegova granica koincidira s granicom izvornog niza. Drugim riječima, niz elemenata Hausdorffovog prostora ne može imati dvije različite granice. Međutim, može se pokazati da niz nema limit, ali postoji podniz (danog niza) koji ima limit. Ako se konvergentni podniz može identificirati iz bilo kojeg niza točaka u prostoru, tada se kaže da dati prostor ima svojstvo sekvencijalne kompaktnosti (ili, jednostavno, kompaktnosti, ako je kompaktnost definirana isključivo u terminima nizova).
Pojam limita niza izravno je povezan s konceptom granične točke (skupa): ako skup ima graničnu točku, tada postoji niz elemenata tog skupa koji konvergira toj točki.
Definicija
Neka su zadani topološki prostor i niz.Tada, ako postoji element takav da
Gdje - otvoreni skup koji sadrži , tada se naziva limitom niza. Ako je prostor metrički, tada se granica može definirati pomoću metrike: ako postoji element takav da
gdje je metrika, zove se granica.
· Ako je prostor opremljen anti-diskretnom topologijom, tada će granica bilo kojeg niza biti bilo koji element prostora.
6. Limit funkcije u točki. Jednostrana ograničenja.
Funkcija jedne varijable. Određivanje limesa funkcije u točki po Cauchyju. Broj b naziva se limit funkcije na = f(x) na x, težnja za A(ili u točki A), ako za bilo koji pozitivan broj postoji pozitivan broj takav da za sve x ≠ a vrijedi | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Određivanje limesa funkcije u točki po Heineu. Broj b naziva se limit funkcije na = f(x) na x, težnja za A(ili u točki A), ako za bilo koji niz ( x n), konvergirajući u A(ciljajući za A, s ograničenim brojem A), i na bilo kojoj vrijednosti n x n ≠ A, podniz ( g n= f(x n)) konvergira u b.
Ove definicije pretpostavljaju da funkcija na = f(x) je definirana u nekoj okolini točke A, osim, možda, same poante A.
Ekvivalentne su Cauchyjeve i Heineove definicije limita funkcije u točki: ako broj b služi kao granica za jednu od njih, onda to vrijedi i za drugu.
Navedeno ograničenje naznačeno je kako slijedi:
Geometrijski gledano, postojanje limita funkcije u točki prema Cauchyju znači da je za svaki broj > 0 moguće na koordinatnoj ravnini označiti takav pravokutnik s bazom 2 > 0, visinom 2 i središtem u točki ( A; b) da su sve točke grafa zadane funkcije na intervalu ( A– ; A+ ), s mogućim izuzetkom točke M(A; f(A)), leže u ovom pravokutniku
Jednostrana granica u matematičkoj analizi, granica numeričke funkcije, implicirajući "približavanje" graničnoj točki s jedne strane. Takve granice se prema tome nazivaju lijeva granica(ili ograničiti ulijevo) I desna granica (ograničiti udesno). Neka je dan neki skup brojeva numerička funkcija a broj je granična točka domene definiranja. Postoje različite definicije za jednostrane granice funkcije u točki, ali sve su ekvivalentne.
Što riječi znače? "postaviti funkciju"? Oni znače: objasnite svima koji žele znati što specifična funkcija pričamo. Štoviše, objasnite jasno i nedvosmisleno!
Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju?
Možete napisati formulu. Možete nacrtati grafikon. Možete napraviti stol. Bilo koji način je neko pravilo pomoću kojeg možemo saznati vrijednost i za x vrijednost koju smo odabrali. Oni. "postavi funkciju", to znači pokazati zakon, pravilo po kojem se x pretvara u y.
Obično postoje različiti zadaci već spreman funkcije. Daju nam su već postavljeni. Odlučite sami, da, odlučite.) Ali... Najčešće školarci (pa čak i studenti) rade s formulama. Naviknu se, znate... Toliko se naviknu da svako elementarno pitanje vezano za drugačiji način specificiranja funkcije čovjeka odmah uznemiri...)
Kako bismo izbjegli takve slučajeve, ima smisla razumjeti različite načine specificiranja funkcija. I, naravno, primijenite ovo znanje na "škakljiva" pitanja. Sasvim je jednostavno. Ako znate što je funkcija...)
Ići?)
Analitička metoda zadavanja funkcije.
Najuniverzalniji i najmoćniji način. Funkcija definirana analitički ovo je funkcija koja je dana formule. Zapravo, ovo je cijelo objašnjenje.) Funkcije koje su svima poznate (želim vjerovati!), Na primjer: y = 2x, ili y = x 2 itd. i tako dalje. određuju se analitički.
Usput, ne može svaka formula definirati funkciju. Ne ispunjava svaka formula strogi uvjet iz definicije funkcije. Naime - za svaki X može postojati samo jedan igrek. Na primjer, u formuli y = ±x, Za jedan vrijednosti x=2, ispada dva y vrijednosti: +2 i -2. Ova formula ne može definirati jedinstvenu funkciju. U pravilu, oni ne rade s viševrijednim funkcijama u ovoj grani matematike, u računu.
Što je dobro u analitičkom načinu specificiranja funkcije? Jer ako imate formulu, znate za funkciju Svi! Možete napraviti znak. Izgradite grafikon. Istražite ovu značajku u cijelosti. Predvidite točno gdje i kako će se ova funkcija ponašati. Sve matematičke analize temelje se na ovoj metodi određivanja funkcija. Recimo, uzimanje derivata tablice je izuzetno teško...)
Analitička metoda je dosta poznata i ne stvara probleme. Možda postoje neke varijacije ove metode s kojima se učenici susreću. Govorim o parametarskim i implicitnim funkcijama.) Ali takve funkcije su u posebnoj lekciji.
Prijeđimo na manje poznate načine određivanja funkcije.
Tablični način zadavanja funkcije.
Kao što naziv sugerira, ova metoda je jednostavan znak. U ovoj tablici svaki x odgovara ( stavlja se u skladu) neki smisao igre. Prvi red sadrži vrijednosti argumenta. Drugi redak sadrži odgovarajuće vrijednosti funkcije, na primjer:
Stol 1.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| g | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Molim obratite pažnju! U ovom primjeru, igra ovisi o X u svakom slučaju. Ovo sam namjerno smislio.) Nema uzorka. U redu je, događa se. Sredstva, točno Specificirao sam ovu specifičnu funkciju. Točno Uspostavio sam pravilo prema kojem se X pretvara u Y.
Možete se pomiriti još ploča koja sadrži uzorak. Ovaj znak će pokazati drugo funkcija, na primjer:
Tablica 2.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| g | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Jeste li uhvatili uzorak? Ovdje se sve vrijednosti igre dobivaju množenjem x s dva. Ovdje je prvo "škakljivo" pitanje: može li se funkcija definirana pomoću tablice 2 smatrati funkcijom y = 2x? Razmislite za sada, odgovor će biti ispod, na grafički način. Tu je sve vrlo jasno.)
Što je dobro tablična metoda specificiranja funkcije? Da, jer ne morate ništa brojati. Sve je već izračunato i napisano u tablici.) Ali nema više ništa dobro. Ne znamo vrijednost funkcije za X, kojih nema u tabeli. U ovoj metodi, takve x vrijednosti su jednostavne ne postoji. Usput, ovo je nagovještaj škakljivog pitanja.) Ne možemo saznati kako se funkcija ponaša izvan tablice. Ne možemo ništa. A jasnoća ove metode ostavlja mnogo da se poželi... Grafička metoda je dobra za jasnoću.
Grafički način specificiranja funkcije.
U ovoj metodi funkcija je predstavljena grafom. Argument (x) se crta duž apscisne osi, a vrijednost funkcije (y) se crta duž ordinatne osi. Prema rasporedu, također možete odabrati bilo koji x i pronađite odgovarajuću vrijednost na. Graf može biti bilo koji, ali... ne bilo koji.) Radimo samo s jednoznačnim funkcijama. Definicija takve funkcije jasno kaže: svaki x stavlja se u skladu jedini na. Jedan jednu igru, ne dvije ili tri... Na primjer, pogledajmo kružni grafikon:
Krug je kao krug... Zašto ne bi bio graf funkcije? Pronađimo koja igra će odgovarati vrijednosti X, na primjer, 6? Pomaknemo kursor preko grafikona (ili dodirnemo crtež na tabletu) i... vidimo da ovaj x odgovara dva značenja igre: y=2 i y=6.
Dva i šest! Stoga takav graf neće biti grafička dodjela funkcije. Na jedan x računa za dva igra. Ovaj graf ne odgovara definiciji funkcije.
Ali ako je ispunjen uvjet jednoznačnosti, graf može biti apsolutno bilo što. Na primjer:
Ta ista krivudavost je zakon po kojem se X može pretvoriti u Y. Jednoznačno. Htjeli smo znati značenje funkcije za x = 4, Na primjer. Moramo pronaći četiri na x-osi i vidjeti koja igra odgovara ovom x. Prelazimo mišem preko slike i vidimo da je vrijednost funkcije na Za x=4 jednako pet. Ne znamo koja formula određuje ovu transformaciju X u Y. I nije potrebno. Sve je određeno rasporedom.
Sada se možemo vratiti na "škakljivo" pitanje o y=2x. Nacrtajmo ovu funkciju. Evo ga:
Naravno, prilikom crtanja ovog grafikona nismo uzeli beskonačan skup vrijednosti X. Uzeli smo nekoliko vrijednosti i izračunali y, napravio znak - i sve je spremno! Najpismeniji ljudi uzimali su samo dvije vrijednosti X! I to s pravom. Za ravnu liniju ne treba vam više. Zašto dodatni posao?
Ali mi sigurno znaošto x može biti bilo tko. Cijeli broj, razlomak, negativan... Bilo koji. Ovo je prema formuli y=2x vidi se. Stoga smo hrabro spojili točke na grafikonu punom linijom.
Ako nam je funkcija dana u tablici 2, tada ćemo morati uzeti vrijednosti x samo sa stola. Jer drugi X-ovi (i Y-ovi) nam nisu dani, a nemamo ih odakle ni nabaviti. Ove vrijednosti nisu prisutne u ovoj funkciji. Raspored će uspjeti od bodova. Pomaknemo miš preko slike i vidimo graf funkcije navedene u tablici 2. Nisam napisao x-y vrijednosti na osi, shvatit ćete to, ćeliju po ćeliju?)
Evo odgovora na "škakljivo" pitanje. Funkcija određena tablicom 2 i funkcijom y=2x - drugačiji.
Grafička metoda je dobra zbog svoje jasnoće. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava. gdje se smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije. A u temi s izvedenicama zadaci s grafovima su posvuda!
Općenito, analitičke i grafičke metode definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad s formulom pomaže u izgradnji grafikona. A grafikon često predlaže rješenja koja ne biste ni primijetili u formuli... Bit ćemo prijatelji s grafikonima.)
Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koje smo upravo pogledali. Ali na pitanje: “A četvrti!?” - temeljito se smrzava.)
Postoji takav način.
Verbalni opis funkcije.
Da da! Funkcija se može sasvim nedvosmisleno odrediti riječima. Veliki i moćni ruski jezik sposoban je za mnogo!) Recimo funkciju y=2x može se specificirati sljedećim verbalnim opisom: Svakoj realnoj vrijednosti argumenta x pridružena je njegova dvostruka vrijednost. Kao ovo! Pravilo je uspostavljeno, funkcija je određena.
Štoviše, možete verbalno odrediti funkciju koju je iznimno teško, ako ne i nemoguće, definirati pomoću formule. Na primjer: Svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbrojem znamenki koje čine vrijednost x. Na primjer, ako x=3, Da y=3. Ako x=257, Da y=2+5+7=14. I tako dalje. Problematično je to napisati formulom. Ali znak je lako napraviti. I napravite raspored. Usput, grafikon izgleda smiješno...) Pokušajte.
Put verbalni opis- metoda je prilično egzotična. Ali ponekad se dogodi. Donio sam ga ovdje kako bih vam dao povjerenje u neočekivanim i neobičnim situacijama. Samo trebate razumjeti značenje riječi "određena funkcija..." Evo ga, ovo značenje:
Ako postoji zakon korespondencije jedan na jedan između x I na- to znači da postoji funkcija. Koji zakon, u kojem obliku je izražen - formula, ploča, grafikon, riječi, pjesme, plesovi - ne mijenja bit stvari. Ovaj zakon vam omogućuje da odredite odgovarajuću vrijednost Y iz vrijednosti X. Svi.
Sada ćemo ovo duboko znanje primijeniti na neke nestandardne zadatke.) Kao što je obećano na početku lekcije.
Vježba 1:
Funkcija y = f(x) dana je u tablici 1:
Stol 1.
Nađi vrijednost funkcije p(4), ako je p(x)= f(x) - g(x)
Ako uopće ne možete razumjeti što je što, pročitajte prethodnu lekciju "Što je funkcija?" Vrlo je jasno napisano o takvim slovima i zagradama.) A ako vas samo tablični oblik zbunjuje, onda ćemo to ovdje riješiti.
Iz prethodne lekcije je jasno da ako, p(x) = f(x) - g(x), To p(4) = f(4) - g(4). pisma f I g znači pravila prema kojima se svakom X dodjeljuje vlastita igra. Za svako slovo ( f I g) - tvoje Pravilo. Što je dato odgovarajućom tablicom.
Vrijednost funkcije f(4) određena iz tablice 1. To će biti 5. Vrijednost funkcije g4) određuje se prema tablici 2. Ovo će biti 8. Ostaje ono najteže.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Ovo je točan odgovor.
Riješite nejednadžbu f(x) > 2
To je to! Potrebno je riješiti nejednadžbu, koje (u uobičajenom obliku) sjajno nema! Preostaje samo odustati od zadatka ili se okrenuti na glavu. Biramo drugo i razgovaramo.)
Što znači riješiti nejednakost? To znači pronaći sve vrijednosti x pri kojima je zadani uvjet zadovoljen f(x) > 2. Oni. sve vrijednosti funkcije ( na) mora biti veći od dva. A na našem grafikonu imamo svaku igru... I ima više dvojki, a manje... I povucimo, radi jasnoće, granicu duž ove dvije! Pomaknemo kursor preko crteža i vidimo ovu granicu.
Strogo govoreći, ova granica je graf funkcije y=2, ali nije u tome stvar. Važno je da sada grafikon vrlo jasno pokazuje gdje, na koji X, vrijednosti funkcije, tj. y, više od dva. Oni su više x > 3. Na x > 3 cijela naša funkcija prolazi viši granice y=2. To je rješenje. Ali još je rano da ugasiš glavu!) Još moram zapisati odgovor...
Grafikon pokazuje da se naša funkcija ne proteže lijevo i desno u beskonačnost. Točke na krajevima grafikona to pokazuju. Funkcija tu završava. Stoga, u našoj nejednakosti, svi X-ovi koji izlaze izvan granica funkcije nemaju nikakvo značenje. Za funkciju ovih X-ova ne postoji. I mi, zapravo, rješavamo nejednakost za funkciju...
Točan odgovor će biti:
3 < x ≤ 6
Ili, u drugom obliku:
x ∈ (3; 6]
Sada je sve kako treba biti. Tri nije uključeno u odgovor, jer izvorna nejednakost je stroga. I šestica se pali, jer i funkcija na šest postoji, a uvjet nejednakosti je zadovoljen. Uspješno smo riješili nejednadžbu koja (u uobičajenom obliku) ne postoji...
Ovako vas znanje i elementarna logika spašavaju u nestandardnim slučajevima.)
