Pri razmatranju euklidskog prostora uveli smo definiciju kvadratne forme. Pomoću neke matrice

konstruira se polinom drugog reda oblika

koji se naziva kvadratni oblik generiran kvadratnom matricom A.

Kvadratne forme su usko povezane s površinama drugog reda u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru. Opća jednadžba takvih površina u našem trodimenzionalnom euklidskom prostoru u kartezijevom koordinatnom sustavu ima oblik:

Gornja linija nije ništa više od kvadratnog oblika, ako stavimo x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z:

- simetrična matrica (a ij = a ji)

Pretpostavimo radi općenitosti da polinom

postoji linearni oblik. Tada je opća jednadžba površine zbroj kvadratnog oblika, linearnog oblika i neke konstante.

Glavna zadaća teorije kvadratnih formi je svođenje kvadratne forme na najjednostavniji mogući oblik pomoću nedegenerirane linearne transformacije varijabli ili, drugim riječima, promjenom baze.

Prisjetimo se da smo proučavajući površine drugog reda došli do zaključka da se rotacijom koordinatnih osi možemo riješiti članova koji sadrže umnožak xy, xz, yz ili x i x j (ij). Nadalje, paralelnim prevođenjem koordinatnih osi, možete se riješiti linearnih članova i na kraju svesti opću jednadžbu površine na oblik:

U slučaju kvadratnog oblika, svođenje na oblik

naziva se redukcija kvadratnog oblika na kanonski oblik.

Rotacija koordinatnih osi nije ništa drugo nego zamjena jedne baze drugom, ili, drugim riječima, linearna transformacija.

Zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku. Da bismo to učinili, zamislimo to na sljedeći način:

L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+

Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+

Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)

Uvedimo matricu – stupac

Zatim
- gdje je X T = (x,y,z)

Matrični zapis kvadratnog oblika. Ova formula očito vrijedi u općem slučaju:

Kanonski oblik kvadratne forme očito znači da matrica A ima dijagonalni izgled:

Razmotrimo neku linearnu transformaciju X = SY, gdje je S kvadratna matrica reda n, a matrice - stupci X i Y su:

Matrica S naziva se matrica linearne transformacije. Napomenimo usput da svaka matrica n-tog reda sa zadanom bazom odgovara određenom linearnom operatoru.

Linearna transformacija X = SY zamjenjuje varijable x 1, x 2, x 3 novim varijablama y 1, y 2, y 3. Zatim:

gdje je B = S T A S

Zadatak svođenja na kanonski oblik svodi se na pronalaženje prijelazne matrice S takve da matrica B poprima dijagonalni oblik:

Dakle, kvadratni oblik s matricom A nakon linearne transformacije varijabli prelazi u kvadratni oblik iz novih varijabli s matricom U.

Okrenimo se linearnim operatorima. Svakoj matrici A za danu bazu odgovara određeni linearni operator A . Ovaj operator očito ima određeni sustav svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora. Štoviše, napominjemo da će u euklidskom prostoru sustav vlastitih vektora biti ortogonalan. U prethodnom predavanju smo dokazali da u bazi svojstvenih vektora matrica linearnog operatora ima dijagonalni oblik. Formula (*), kao što se sjećamo, je formula za transformaciju matrice linearnog operatora pri promjeni baze. Pretpostavimo da su svojstveni vektori linearnog operatora A s matricom A - to su vektori y 1, y 2, ..., y n.

A to znači da ako se kao baza uzmu svojstveni vektori y 1, y 2, ..., y n, tada će matrica linearnog operatora u ovoj bazi biti dijagonalna

ili B = S -1 A S, gdje je S matrica prijelaza iz početne baze ( e) na osnovu ( g). Štoviše, u ortonormiranoj bazi, matrica S će biti ortogonalna.

Da. da bi se kvadratni oblik sveo na kanonski oblik, potrebno je pronaći svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora A, koji u izvornoj bazi ima matricu A, koja generira kvadratni oblik, ići na bazu svojstvenih vektora i konstruirajte kvadratni oblik u novom koordinatnom sustavu.

Pogledajmo konkretne primjere. Razmotrimo linije drugog reda.

ili

Rotiranjem koordinatnih osi i naknadnim paralelnim prevođenjem osi, ova se jednadžba može svesti na oblik (varijable i koeficijenti su preimenovani x 1 = x, x 2 = y):

1)
ako je linija središnja, 1  0,  2  0

2)
ako linija nije središnja, tj. jedna od  i = 0.

Prisjetimo se vrsta vodova drugog reda. Središnje linije:

Linije izvan središta:

5) x 2 = a 2 dva paralelna pravca;

6) x 2 = 0 dvije linije koje se spajaju;

7) y 2 = 2px parabola.

Zanimaju nas slučajevi 1), 2), 7).

Pogledajmo konkretan primjer.

Dovedite jednadžbu pravca u kanonski oblik i konstruirajte je:

5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.

Matrica kvadratnog oblika je
. Karakteristična jednadžba:

Njegovi korijeni:

Nađimo vlastite vektore:

Kada je  1 = 4:
u 1 = -2u 2 ; u 1 = 2c, u 2 = -c ili g 1 = c 1 (2 ja – j).

Kada je  2 = 9:
2u 1 = u 2; u 1 = c, u 2 = 2c ili g 2 = c 2 ( ja+2j).

Normaliziramo ove vektore:

Kreirajmo matricu linearne transformacije ili matricu prijelaza na bazu g 1, g 2:

- ortogonalna matrica!

Formule za transformaciju koordinata imaju oblik:

ili

Zamijenimo linije u našu jednadžbu i dobijemo:

Napravimo paralelnu translaciju koordinatnih osi. Da biste to učinili, odaberite cijele kvadrate x 1 i y 1:

Označimo
. Tada će jednadžba poprimiti oblik: 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 ili

Ovo je elipsa s poluosima 3 i 2. Odredimo kut rotacije koordinatnih osi i njihov pomak kako bismo izgradili elipsu u starom sustavu.

P oštar:

Provjera: kod x = 0: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 – 7y + 10 = 0. Stoga je y 1,2 = 5; 2

Kada je y = 0: 5x 2 – 32x + 80 = 0 Ovdje nema korijena, tj. nema sjecišta s osi x!

Kvadratni oblik naziva se kanonskim ako su svi, tj.

Svaki kvadratni oblik može se reducirati u kanonski oblik pomoću linearnih transformacija. U praksi se obično koriste sljedeće metode.

1. Ortogonalna transformacija prostora:

Gdje - svojstvene vrijednosti matrice A.

2. Lagrangeova metoda - sekvencijalno odabiranje kompletnih kvadrata. Na primjer, ako

Zatim se sličan postupak izvodi s kvadratnom formom itd. Ako je u kvadratnom obliku sve ali onda se nakon prethodne transformacije stvar svodi na razmatrani postupak. Dakle, ako, na primjer, onda pretpostavljamo

3. Jacobijeva metoda (u slučaju kada su svi glavni minori kvadratni oblik različit od nule):

Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štoviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se opća jednadžba pravca. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – pravac prolazi kroz ishodište

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ravna linija paralelna s osi Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – pravac paralelan s osi Oy

B = C = 0, A ≠0 – pravac se poklapa s osi Oy

A = C = 0, B ≠0 – pravac se poklapa s osi Ox

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojem danom početnom uvjetu.

Ravna linija u prostoru može se odrediti:

1) kao linija presjeka dviju ravnina, tj. sustav jednadžbi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) svojim dvjema točkama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je pravac koji prolazi kroz njih dan jednadžbama:

= ; (3.3)

3) točku M 1 (x 1, y 1, z 1) koja joj pripada i vektor a(m, n, p), kolinearni s njim. Tada je ravna crta određena jednadžbama:

. (3.4)

Jednadžbe (3.4) nazivaju se kanonske jednadžbe pravca.

Vektor a nazvao vektor smjera pravac.

Parametarske jednadžbe pravca dobivamo izjednačavanjem svake od relacija (3.4) s parametrom t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Rješavanje sustava (3.2) kao sustava linearnih jednadžbi za nepoznanice x I g, dolazimo do jednadžbi pravca u projekcije Ili do zadane jednadžbe pravca:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od jednadžbi (3.6) možemo prijeći na kanonske jednadžbe, nalazeći z iz svake jednadžbe i izjednačavanje dobivenih vrijednosti:

.

Od općih jednadžbi (3.2) možete prijeći na kanonske na drugi način, ako pronađete bilo koju točku na ovoj liniji i njen vektor smjera n= [n 1 , n 2 ], gdje n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normalni vektori zadanih ravnina. Ako jedan od nazivnika m, n ili R u jednadžbama (3.4) ispada da je jednak nuli, tada brojnik odgovarajućeg razlomka mora biti jednak nuli, tj. sustav

je ekvivalentan sustavu ; takva ravna linija je okomita na os Ox.

Sustav je ekvivalentan sustavu x = x 1, y = y 1; pravac je paralelan s osi Oz.

Svaka jednadžba prvog stupnja s obzirom na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definira ravninu, i obrnuto: svaka ravnina se može prikazati jednadžbom (3.1), koja se naziva jednadžba ravnine.

Vektor n(A, B, C) okomita na ravninu naziva se normalni vektor avion. U jednadžbi (3.1) koeficijenti A, B, C nisu istovremeno jednaki 0.

Posebni slučajevi jednadžbe (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravnina prolazi kroz ishodište.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravnina je paralelna s osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravnina prolazi kroz os Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravnina je paralelna s ravninom Oyz.

Jednadžbe koordinatnih ravnina: x = 0, y = 0, z = 0.

Pravac može ali ne mora pripadati ravnini. Pripada ravnini ako joj barem dvije točke leže na ravnini.

Ako pravac ne pripada ravnini, može biti s njom paralelan ili je sijeći.

Pravac je paralelan s ravninom ako je paralelan s drugim pravcem koji leži u toj ravnini.

Ravna crta može sijeći ravninu pod različitim kutovima, a posebno može biti okomita na nju.

Točka u odnosu na ravninu može se locirati na sljedeći način: pripadati joj ili joj ne pripadati. Točka pripada ravnini ako se nalazi na pravoj liniji koja se nalazi u ovoj ravnini.

U prostoru se dvije linije mogu sjeći, biti paralelne ili križati.

U projekcijama je sačuvana paralelnost odsječaka.

Ako se pravci sijeku, tada su sjecišne točke njihovih istoimenih projekcija na istom spojnom pravcu.

Pravci koji križaju ne pripadaju istoj ravnini, tj. ne sijeku se ni paralelno.

na crtežu projekcije istoimenih pravaca, odvojeno uzete, imaju karakteristike sijekućih ili paralelnih pravaca.

Elipsa. Elipsa je geometrijsko mjesto točaka za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka (žarišta) ista konstantna vrijednost za sve točke elipse (ta konstantna vrijednost mora biti veća od udaljenosti između žarišta).

Najjednostavnija jednadžba elipse

Gdje a- velika poluos elipse, b- mala poluos elipse. Ako 2 c- udaljenost između fokusa, zatim između a, b I c(Ako a > b) postoji odnos

a 2 - b 2 = c 2 .

Ekscentricitet elipse je omjer udaljenosti između žarišta ove elipse i duljine njezine velike osi.

Elipsa ima ekscentricitet e < 1 (так как c < a), a njegova žarišta leže na velikoj osi.

Jednadžba hiperbole prikazane na slici.

Mogućnosti:
a, b – poluosovine;
- udaljenost između fokusa,
- ekscentričnost;
- asimptote;
- ravnateljice.
Pravokutnik prikazan u središtu slike je glavni pravokutnik; njegove dijagonale su asimptote.

Ova se metoda sastoji od uzastopnog odabira kompletnih kvadrata u kvadratnom obliku.

Neka je dan kvadratni oblik

Podsjetimo, zbog simetrije matrice

,

Dva su moguća slučaja:

1. Najmanje jedan od koeficijenata kvadrata je različit od nule. Bez gubitka općenitosti, pretpostavit ćemo (ovo se uvijek može postići odgovarajućim prenumeriranjem varijabli);

2. Svi koeficijenti

ali postoji koeficijent različit od nule (za određenost neka bude).

U prvom slučaju transformirajte kvadratni oblik na sljedeći način:

,

a svi ostali pojmovi su označeni sa.

je kvadratni oblik (n-1) varijabli.

Na isti način se ponašaju prema njoj i tako dalje.

primijeti da

Drugi slučaj zamjena varijabli

svodi se na prvo.

Primjer 1: Reducirajte kvadratni oblik u kanonski oblik kroz nedegeneriranu linearnu transformaciju.

Riješenje. Sakupimo sve pojmove koji sadrže nepoznanicu , i dodajte ih cijelom kvadratu

.

(Jer .)

ili

(3)

ili


(4)

i od nepoznatog
oblik poprimit će oblik. Dalje pretpostavljamo

ili

i od nepoznatog
oblik poprimit će kanonski oblik

Riješimo jednakosti (3) s obzirom na
:

ili

Sekvencijalno izvođenje linearnih transformacija
I
, Gdje

,

ima matricu

Linearna transformacija nepoznanica
daje kvadratni oblik kanonskom obliku (4). Varijable
povezan s novim varijablama
odnosa

S LU dekompozicijom smo se upoznali u radionici 2_1

Prisjetimo se izjava iz radionice 2_1

Izjave(vidi L.5, str. 176)

Ova skripta dizajnirana je za razumijevanje uloge LU u Lagrangeovoj metodi; trebate raditi s njom u bilježnici EDITOR pomoću gumba F9.

A u dolje priloženim zadacima bolje je izraditi vlastite M-funkcije koje pomažu u izračunavanju i razumijevanju problema linearne algebre (u okviru ovog rada)

Ax=X."*A*X % dobivamo kvadratni oblik

Ax=simple(Ax) % pojednostavi

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% pronađite LU dekompoziciju bez preslagivanja redaka matrice A

% Prilikom pretvaranja matrice u oblik ešalona

%bez permutacija redaka, dobivamo matricu M1 i U3

% U se dobiva iz A U3=M1*A,

% ovom matricom elementarnih transformacija

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%dobijamo U3=M1*A, gdje je

4.0000 -2.0000 2.0000

% iz M1 lako je dobiti L1 promjenom predznaka

% u prvom stupcu u svim redovima osim u prvom.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 je takav da

A_=L1*U % ovo je LU dekompozicija koja nam treba

% Elementi na glavnoj dijagonali U -

% su koeficijenti kvadrata y i ^2

% u pretvorenom kvadratnom obliku

% u našem slučaju postoji samo jedan koeficijent

% znači da će u novim koordinatama biti samo 4y 1 2 na kvadrat,

% za preostale koeficijente 0y 2 2 i 0y 3 2 jednaki su nuli

% stupaca matrice L1 su dekompozicija Y sa X

% u prvom stupcu vidimo y1=x1-0,5x2+0,5x3

% za drugu vidimo y2=x2; prema trećem y3=x3.

% ako je L1 transponiran,

% to je T=L1."

% T - matrica prijelaza iz (X) u (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – matrica transformirane kvadratne forme

% Napomena U=A2*L1." i A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Dakle, dobili smo dekompoziciju A_=L1* A2*L1." ili A_=T."* A2*T

% koji pokazuje promjenu varijabli

% y1=x1-0,5x2+0,5x3

% i prikaz kvadratnog oblika u novim koordinatama

A_=T."*A2*T % T=L1." matrica prijelaza iz (X) u (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % mora odgovarati izvornom A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % pronađite matricu prijelaza iz (Y) u (X)

% Pronađimo transformaciju,

% kvadratni Ax=X."*A*X

% na novi tip Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% druga matrica transformacije,

% koji je mnogo jednostavniji za kompajlirati.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % nedegenerirana linearna transformacija

% dovodeći matricu operatora u kanonski oblik.

det(R) % determinanta nije jednaka nuli - transformacija je nedegenerirana

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Formulirajmo algoritam za smanjivanje četvorki ratičan oblik u kanonski oblik ortogonalnom transformacijom:

Definicija 10.4.Kanonski pogled kvadratni oblik (10.1) naziva se sljedeći oblik: . (10.4)

Pokažimo da u bazi vlastitih vektora kvadratni oblik (10.1) poprima kanonski oblik. Neka

- normalizirani svojstveni vektori koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice (10.3) u ortonormalnoj bazi. Tada će matrica prijelaza sa stare baze na novu biti matrica

. U novoj osnovi matrica A poprimit će dijagonalni oblik (9.7) (po svojstvu svojstvenih vektora). Dakle, transformacija koordinata pomoću formula:

,

u novoj bazi dobivamo kanonski oblik kvadratnog oblika s koeficijentima jednakim svojstvenim vrijednostima λ 1, λ 2, λ 3:

Napomena 1. S geometrijskog gledišta, razmatrana koordinatna transformacija je rotacija koordinatnog sustava, kombinirajući stare koordinatne osi s novima.

Napomena 2. Ako se bilo koja svojstvena vrijednost matrice (10.3) podudara, možemo dodati jedinični vektor ortogonalno svakoj od njih odgovarajućim ortonormiranim svojstvenim vektorima i tako konstruirati bazu u kojoj kvadratni oblik poprima kanonski oblik.

Dovedimo kvadratni oblik u kanonski oblik

x² + 5 g² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Njegova matrica ima oblik U primjeru koji se raspravlja u predavanju 9, svojstvene vrijednosti i ortonormirani svojstveni vektori ove matrice su pronađeni:

Kreirajmo matricu prijelaza na bazu od ovih vektora:

(promijenjen je redoslijed vektora tako da čine desnokretnu trojku). Transformirajmo koordinate pomoću formula:

.

Dakle, kvadratni oblik se svodi na kanonski oblik s koeficijentima jednakim svojstvenim vrijednostima matrice kvadratnog oblika.

Predavanje 11.

Krivulje drugog reda. Elipsa, hiperbola i parabola, njihova svojstva i kanonske jednadžbe. Svođenje jednadžbe drugog reda na kanonski oblik.

Definicija 11.1.Krivulje drugog reda na ravnini nazivaju se presjecišta kružnog stošca s ravninama koje ne prolaze njegovim vrhom.

Ako takva ravnina siječe sve generatrise jedne šupljine konusa, tada se u presjeku ispostavlja elipsa, na sjecištu generatrisa obiju šupljina – hiperbola, a ako je rezna ravnina paralelna s bilo kojom generatorom, tada je presjek stošca parabola.

Komentar. Sve krivulje drugog reda specificirane su jednadžbama drugog stupnja u dvije varijable.

Elipsa.

Definicija 11.2.Elipsa je skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F trikovi, je konstantna vrijednost.

Komentar. Kad se točke poklope F 1 i F 2 elipsa se pretvara u krug.

Izvedimo jednadžbu elipse odabirom Kartezijevog sustava

y M(x,y) koordinira tako da os Oh poklapao s ravnom linijom F 1 F 2, početak

r 1 r 2 koordinate – sa sredinom segmenta F 1 F 2. Neka duljina ovog

segment je jednak 2 S, zatim u odabranom koordinatnom sustavu

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Neka točka M(x, y) leži na elipsi, i

zbroj udaljenosti od njega do F 1 i F 2 je jednako 2 A.

Zatim r 1 + r 2 = 2a, ali ,

dakle, uvodeći notaciju b² = a²- c² i nakon izvođenja jednostavnih algebarskih transformacija, dobivamo kanonska jednadžba elipse: (11.1)

Definicija 11.3.Ekscentričnost elipse naziva se veličina e=s/a (11.2)

Definicija 11.4.Ravnateljica D i elipsa koja odgovara fokusu F i F i u odnosu na os OU okomito na os Oh na daljinu a/e od porijekla.

Komentar. Uz drugačiji izbor koordinatnog sustava, elipsa se ne može odrediti kanonskom jednadžbom (11.1), već jednadžbom drugog stupnja drugog tipa.

Svojstva elipse:

1) Elipsa ima dvije međusobno okomite osi simetrije (glavne osi elipse) i središte simetrije (središte elipse). Ako je elipsa dana kanonskom jednadžbom, tada su njezine glavne osi koordinatne osi, a njezino središte ishodište. Budući da su duljine segmenata formiranih sjecištem elipse s glavnim osima jednake 2 A i 2 b (2a>2b), tada se glavna os koja prolazi kroz žarišta naziva velika os elipse, a druga glavna os mala os.

2) Cijela elipsa je sadržana unutar pravokutnika

3) Ekscentricitet elipse e< 1.

Stvarno,

4) Direktrise elipse nalaze se izvan elipse (budući da je udaljenost od centra elipse do direktrise a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, a cijela elipsa leži u pravokutniku)

5) Omjer udaljenosti r i od točke elipse do fokusa F i na daljinu d i od ove točke do direktrise koja odgovara žarištu jednaka je ekscentričnosti elipse.

Dokaz.

Udaljenosti od točke M(x, y) do žarišta elipse može se prikazati na sljedeći način:

Kreirajmo jednadžbe direktrise:

(D 1), (D 2). Zatim Odavde r i / d i = e, što je i trebalo dokazati.

Hiperbola.

Definicija 11.5.Hiperbola je skup točaka u ravnini za koje je modul razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka F 1 i F 2 ovog aviona, tzv trikovi, je konstantna vrijednost.

Izvedimo kanonsku jednadžbu hiperbole po analogiji s izvođenjem jednadžbe elipse, koristeći isti zapis.

|r 1 - r 2 | = 2a, odakle Ako oznacimo b² = c² - a², odavde možete dobiti

- kanonska jednadžba hiperbole. (11.3)

Definicija 11.6.Ekscentričnost hiperbola se naziva količina e = c/a.

Definicija 11.7.Ravnateljica D i hiperbola koja odgovara fokusu F i, naziva se pravac koji se nalazi u istoj poluravnini s F i u odnosu na os OU okomito na os Oh na daljinu a/e od porijekla.

Svojstva hiperbole:

1) Hiperbola ima dvije osi simetrije (glavne osi hiperbole) i centar simetrije (središte hiperbole). U ovom slučaju, jedna od tih osi siječe hiperbolu u dvije točke koje se nazivaju vrhovi hiperbole. Zove se prava os hiperbole (os Oh za kanonski izbor koordinatnog sustava). Druga os nema zajedničkih točaka s hiperbolom i naziva se njezina imaginarna os (u kanonskim koordinatama - os OU). S obje njegove strane nalaze se desna i lijeva grana hiperbole. Fokusi hiperbole nalaze se na njezinoj realnoj osi.

2) Grane hiperbole imaju dvije asimptote, određene jednadžbama

3) Uz hiperbolu (11.3) možemo razmotriti i tzv. konjugiranu hiperbolu, definiranu kanonskom jednadžbom

za koje se realna i imaginarna os mijenjaju uz zadržavanje istih asimptota.

4) Ekscentricitet hiperbole e> 1.

5) Omjer udaljenosti r i od točke hiperbole do fokusa F i na daljinu d i od ove točke do direktrise koja odgovara žarištu jednaka je ekscentričnosti hiperbole.

Dokaz se može izvesti na isti način kao i za elipsu.

Parabola.

Definicija 11.8.Parabola je skup točaka na ravnini za koje je udaljenost do neke fiksne točke F ta je ravnina jednaka udaljenosti do neke fiksne ravne linije. Točka F nazvao usredotočenost parabole, a pravac je njezin ravnateljice.

Za izvođenje jednadžbe parabole odabiremo kartezijansku

koordinatnog sustava tako da mu ishodište bude sredina

D M(x,y) okomito F D, izostavljen iz fokusa na direktivu

r su, a koordinatne osi su bile smještene paralelno i

okomito na redatelja. Neka duljina segmenta F D

D O F x je jednako R. Zatim iz jednakosti r = d slijedi to

jer

Koristeći algebarske transformacije, ova se jednadžba može svesti na oblik: g² = 2 px, (11.4)

nazvao jednadžba kanonske parabole. Veličina R nazvao parametar parabole.

Svojstva parabole:

1) Parabola ima os simetrije (os parabole). Točka u kojoj parabola siječe os naziva se vrh parabole. Ako je parabola dana kanonskom jednadžbom, tada je njezina os os Oh, a vrh je ishodište koordinata.

2) Cijela parabola nalazi se u desnoj poluravnini ravnine ooh

Komentar. Koristeći svojstva direktrisa elipse i hiperbole te definiciju parabole, možemo dokazati sljedeću tvrdnju:

Skup točaka na ravnini za koje relacija e udaljenost do neke fiksne točke do udaljenosti do neke ravne linije je konstantna vrijednost, to je elipsa (s e<1), гиперболу (при e>1) ili parabola (sa e=1).

Povezane informacije.