Matrična determinanta proširenjem reda online. Smanjenje reda determinante. Rastavljanje determinante u niz (stupac). Neke vrste matrica i njihove determinante

Kod rješavanja zadataka iz više matematike vrlo često se javlja potreba izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice pojavljuje se u linearnoj algebri, analitička geometrija, matematička analiza i drugi dijelovi više matematike. Dakle, jednostavno je nemoguće bez vještine rješavanja determinanti. Također, za samotestiranje, možete besplatno preuzeti kalkulator determinanti; on vas neće naučiti kako sami riješiti determinante, ali je vrlo zgodan, jer je uvijek korisno znati točan odgovor unaprijed!

Neću biti strog matematička definicija determinanta, i, općenito, pokušat ću minimizirati matematičku terminologiju; to neće nimalo olakšati većini čitatelja. Svrha ovog članka je naučiti vas kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Cijelo gradivo prezentirano je u jednostavnom i pristupačnom obliku, pa će i pun (prazan) čajnik u višoj matematici, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći točno riješiti determinante.

U praksi se najčešće može naći determinanta drugog reda, na primjer: i determinanta trećeg reda, na primjer: .

Odrednica četvrtog reda Također nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.

Nadam se da svi razumiju sljedeće: Brojevi unutar determinante žive sami za sebe, a ni o kakvom oduzimanju nema govora! Brojevi se ne mogu mijenjati!

(Konkretno, moguće je izvršiti preraspodjelu redova ili stupaca determinante u paru s promjenom predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njezina reda)

Dakle, ako je dana bilo kakva determinanta, tada Ne diramo ništa unutar njega!

Oznake: Ako je dana matrica , tada se njegova determinanta označava . Također se vrlo često označava determinanta latinično pismo ili grčki.

1)Što znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Izračunati determinantu znači PRONAĆI BROJ. Upitnici u gornjim primjerima su sasvim obični brojevi.

2) Sada ostaje shvatiti KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima ćemo sada raspravljati.

Krenimo od odrednice "dva" po "dva":

OVO SE TREBA ZAPAMTITI, barem dok studirate višu matematiku na fakultetu.

Pogledajmo odmah primjer:

Spreman. Najvažnije je NE ZBUNITI SE U ZNAKOVIMA.

Determinanta matrice tri puta tri može se otvoriti na 8 načina, od kojih su 2 jednostavna i 6 normalnih.

Počnimo s dvije jednostavnih načina

Slično determinanti dva puta dva, determinanta tri puta tri može se proširiti pomoću formule:

Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći neugodne pogreške? U tu svrhu izumljena je druga metoda izračuna determinante, koja se zapravo podudara s prvom. Naziva se Sarrusova metoda ili metoda "paralelnih traka".
Zaključak je da desno od determinante dodijelite prvi i drugi stupac i pažljivo nacrtajte crte olovkom:

Množitelji koji se nalaze na "crvenim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom "plus".
Množitelji koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom minus:

Primjer:

Usporedi ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTA stvar, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, i, što je najvažnije, vjerojatnost pogreške je mnogo manja.

Sada pogledajmo šest uobičajenih načina za izračunavanje determinante

Zašto normalno? Zato što se u velikoj većini slučajeva kvalifikatori moraju otkriti na ovaj način.

Kao što ste primijetili, determinanta tri sa tri ima tri stupca i tri retka.
Odrednicu možete riješiti otvaranjem bilo kojim redom ili bilo kojim stupcem.
Dakle, postoji 6 metoda, u svim slučajevima isti tip algoritam.

Matrična determinanta jednak zbroju umnošci elemenata retka (stupca) odgovarajućim algebarskim komplementima. Zastrašujuće? Sve je mnogo jednostavnije, koristit ćemo ne-znanstveni, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi daleko od matematike.

U sljedećem primjeru ćemo proširiti determinantu na prvoj liniji.
Za to nam je potrebna matrica predznaka: . Lako je primijetiti da su znakovi raspoređeni šahovski.

Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije znanstveni, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže u razumijevanju algoritma za izračun determinante.

Prvo ću donijeti cjelovito rješenje. Ponovno uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i provodimo izračune:

I glavno pitanje: KAKO to dobiti iz odrednice "tri sa tri":
?

Tako se odrednica "tri po tri" svodi na odluka troje male determinante ili kako ih još zovu, MINOROV. Preporučam zapamtiti izraz, pogotovo jer je pamtljiv: manji – mali.

Nakon što se odabere metoda dekompozicije determinante na prvoj liniji, očito je da se sve vrti oko nje:

Elementi se obično gledaju slijeva nadesno (ili odozgo prema dolje ako je odabran stupac)

Idemo, prvo ćemo se pozabaviti prvim elementom retka, odnosno jednim:

1) Iz matrice znakova ispišemo odgovarajući znak:

2) Zatim napišemo sam element:

3) MENTALNO prekrižite redak i stupac u kojima se pojavljuje prvi element:

Preostala četiri broja čine odrednicu “dva po dva” koja se zove MALETNIK danog elementa (jedinice).

Prijeđimo na drugi element retka.

4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

5) Zatim napišite drugi element:

6) MENTALNO prekrižite red i stupac u kojima se pojavljuje drugi element:

Pa, treći element prve linije. Bez originalnosti:

7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

8) Zapišite treći element:

9) MENTALNO prekrižite red i stupac koji sadrži treći element:

Preostala četiri broja upisujemo u malu odrednicu.

Preostale akcije ne predstavljaju nikakve poteškoće, jer već znamo kako brojati determinante dva po dva. NEMOJTE SE ZBUNITI U ZNAKOVIMA!

Slično, determinanta se može proširiti preko bilo kojeg retka ili u bilo koji stupac. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.

Determinanta četiri puta četiri može se izračunati pomoću istog algoritma.
U ovom slučaju, naša matrica znakova će se povećati:

U sljedećem primjeru sam proširio odrednicu prema četvrtom stupcu:

Kako se to dogodilo, pokušajte sami shvatiti. dodatne informacije Bit će kasnije. Ako netko želi riješiti determinantu do kraja, točan odgovor je: 18. Za vježbu je bolje riješiti determinantu po nekom drugom stupcu ili drugom retku.

Vježbanje, otkrivanje, računanje je jako dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na velike kvalifikacije? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate s učinkovite metode proračuni determinanti u drugom satu – Svojstva determinante. Smanjenje reda determinante.

BUDI OPREZAN!

Jednak zbroju proizvoda elemenata retka ili stupca s njihovim algebarskim komplementima, tj. , gdje je i 0 fiksan.
Izraz (*) naziva se proširenje determinante D na elemente retka s brojem i 0 .

Svrha usluge. Ova usluga je dizajnirana za pronalaženje determinante matrice u mrežni način rada uz prijavu cjelokupnog procesa rješenja u Word formatu. Osim toga, predložak rješenja izrađuje se u Excelu.

upute. Odaberite dimenziju matrice, kliknite Dalje. Determinanta se može izračunati na dva načina: a-priorat I po retku ili stupcu. Ako trebate pronaći determinantu stvaranjem nula u jednom od redaka ili stupaca, možete koristiti ovaj kalkulator.

Algoritam za pronalaženje determinante

Za matrice reda n=2 determinanta se izračunava pomoću formule: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
Za matrice reda n=3 determinanta se izračunava preko algebarskih sabiranja odn Sarrusova metoda.
Matrica koja ima dimenziju veću od tri se rastavlja na algebarske komplemente, za koje se izračunavaju njihove determinante (minori). Na primjer, Determinanta matrice 4. reda pronađeno proširenjem u retke ili stupce (vidi primjer).

Za izračun determinante koja sadrži funkcije u matrici koriste se standardne metode. Na primjer, izračunajte determinantu matrice 3. reda:

Koristimo metodu dekompozicije duž prvog reda.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode izračuna determinanti

Određivanje determinante algebarskim sabiranjem je uobičajena metoda. Njegova pojednostavljena verzija je izračun determinante po Sarrusovom pravilu. Međutim, kada je dimenzija matrice velika, koriste se sljedeće metode:

izračunavanje determinante metodom redukcije reda
izračunavanje determinante Gaussovom metodom (svođenjem matrice na trokutasti oblik).

U Excelu se za izračun determinante koristi funkcija =MOPRED(raspon ćelija).

Primijenjena uporaba odrednica

Determinante se u pravilu izračunavaju za određeni sustav zadan u obliku kvadratne matrice. Razmotrimo neke vrste problema na pronalaženje determinante matrice.

Ponekad je potrebno pronaći nepoznati parametar a za koji bi determinanta bila jednaka nuli. Da biste to učinili, potrebno je izraditi jednadžbu determinante (na primjer, prema pravilo trokuta) i izjednačujući ga s 0, izračunajte parametar a.
dekompozicija stupca (prvi stupac):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.
Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Odredimo minor za (2,1): da bismo to učinili, brišemo drugi redak i prvi stupac iz matrice.

Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor za (3,1): Precrtajte 3. red i 1. stupac iz matrice.
Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Glavna determinanta je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Pronađimo determinantu koristeći proširenje red po red (po prvom redu):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.

Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor za (1,2): Precrtajte 1. red i 2. stupac iz matrice. Izračunajmo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. A da bismo pronašli minor za (1,3), križamo prvi red i treći stupac iz matrice. Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Pronađite glavnu determinantu: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Determinanta se izračunava samo za kvadratne matrice i zbroj je članova n-tog reda. Detaljan algoritam za izračun bit će opisan u gotovom rješenju koje možete dobiti odmah nakon unosa uvjeta u ovaj online kalkulator. Ovo je pristupačna i jednostavna prilika da dobijete detaljnu teoriju, budući da će rješenje biti predstavljeno s detaljnim objašnjenjem svakog koraka.

Upute za korištenje ovog kalkulatora su jednostavne. Da biste pronašli determinantu matrice na mreži, prvo morate odlučiti o veličini matrice i odabrati broj stupaca i, sukladno tome, redaka u njoj. Da biste to učinili, kliknite na ikonu "+" ili "-". Sve što preostaje je unijeti tražene brojeve i kliknuti “Izračunaj”. Možete unijeti i cijele brojeve i razlomački brojevi. Kalkulator će obaviti sav potreban posao i dati vam gotov rezultat.

Da biste postali stručnjak u matematici, morate puno i uporno vježbati. I nikad ne škodi ponovno se još jednom provjeriti. Stoga, kada dobijete zadatak izračunati determinantu matrice, preporučljivo je koristiti online kalkulator. Vrlo brzo će to riješiti, au roku od nekoliko sekundi pojavit će se na monitoru, gotovo rješenje. To ne znači da bi vam internetski kalkulator trebao zamijeniti tradicionalne izračune. Ali to je izvrsna pomoć ako ste zainteresirani za razumijevanje algoritma za izračunavanje determinante matrice. Osim toga, ovo je izvrsna prilika da provjerite je li test točno riješen i osigurate se od neuspjelog ocjenjivanja.

Često na sveučilištima nailazimo na probleme iz više matematike u kojima je to potrebno izračunati determinantu matrice. Inače, determinanta može biti samo u kvadratnim matricama. U nastavku ćemo razmotriti osnovne definicije, koja svojstva ima determinanta i kako je ispravno izračunati, a također ćemo prikazati detaljno rješenje na primjerima.

Što je determinanta matrice: izračunavanje determinante pomoću definicije

Matrična determinanta

Drugi red je broj.

Determinanta matrice se označava – (skraćenica od latinskog naziva za determinante), ili .

Ako:, onda ispada

Prisjetimo se još nekoliko pomoćnih definicija:

Definicija

Uređeni skup brojeva koji se sastoji od elemenata naziva se permutacija reda.

Za skup koji sadrži elemente postoji faktorijel (n), koji se uvijek označava uskličnikom: . Permutacije se međusobno razlikuju samo po redoslijedu pojavljivanja. Da bi bilo jasnije, navedimo primjer:

Razmotrimo skup od tri elementa (3, 6, 7). Postoji ukupno 6 permutacija, jer .:

Definicija

Inverzija u permutaciji reda je uređen skup brojeva (također se naziva bijekcija), gdje dva od njih čine neku vrstu nereda. To je kada se veći broj u danoj permutaciji nalazi lijevo od manjeg broja.

Gore smo pogledali primjer s inverzijom permutacije, gdje su bili brojevi . Dakle, uzmimo drugi redak, gdje sudeći prema ovim brojevima ispada da je , a , budući da je drugi element veći od trećeg elementa. Uzmimo za usporedbu šesti redak, gdje se nalaze brojevi: . Ovdje postoje tri para: , i , budući da title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Nećemo proučavati samu inverziju, ali će nam permutacije biti vrlo korisne u daljnjem razmatranju teme.

Definicija

Determinanta matrice x – broj:

je permutacija brojeva od 1 do beskonačnog broja, a je broj inverzija u permutaciji. Dakle, determinanta uključuje termine koji se nazivaju “termini determinante”.

Možete izračunati determinantu matrice drugog, trećeg, pa čak i četvrtog reda. Također vrijedi spomenuti:

Definicija

Determinanta matrice je broj koji je jednak

Razumjeti ovu formulu, opišimo ga detaljnije. Determinanta kvadratne matrice x je zbroj koji sadrži članove, a svaki je član umnožak određenog broja elemenata matrice. Štoviše, u svakom proizvodu postoji element iz svakog retka i svakog stupca matrice.

Može se pojaviti ispred određenog izraza ako su elementi matrice u umnošku poredani (po broju retka), a broj inverzija u permutaciji mnogih brojeva stupaca je neparan.

Gore je spomenuto da se determinanta matrice označava ili, odnosno determinanta se često naziva determinanta.

Dakle, vratimo se formuli:

Iz formule je jasno da je determinanta matrice prvog reda element iste matrice.

Izračunavanje determinante matrice drugog reda

Najčešće se u praksi determinanta matrice rješava metodama drugog, trećeg, a rjeđe četvrtog reda. Pogledajmo kako se izračunava determinanta matrice drugog reda:

U matrici drugog reda slijedi da je faktorijel . Prije nego što primijenite formulu

Potrebno je odrediti koje podatke dobivamo:

2. permutacije skupova: i ;

3. broj inverzija u permutaciji : i , budući da title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. odgovarajući radovi: i.

Ispada:

Na temelju navedenog dobivamo formulu za izračunavanje determinante kvadratne matrice drugog reda, odnosno x:

Pogledajmo konkretan primjer, kako izračunati determinantu kvadratne matrice drugog reda:

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice x:

Riješenje

Dakle, dobivamo , , , .

Za rješavanje morate upotrijebiti prethodno razmatranu formulu:

Zamijenimo brojeve iz primjera i nalazimo:

Odgovor

Determinanta matrice drugog reda = .

Izračun determinante matrice trećeg reda: primjer i rješenje pomoću formule

Definicija

Determinanta matrice trećeg reda je broj dobiven iz devet zadanih brojeva poredanih u kvadratnu tablicu,

Determinanta trećeg reda nalazi se gotovo na isti način kao i determinanta drugog reda. Jedina razlika je u formuli. Stoga, ako dobro razumijete formulu, tada neće biti problema s rješenjem.

Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda *:

Na temelju ove matrice razumijemo da je, prema tome, faktorijel = , što znači da su ukupne permutacije

Da biste ispravno primijenili formulu, morate pronaći podatke:

Dakle, ukupne permutacije skupa su:

Broj inverzija u permutaciji je , a odgovarajući produkti = ;

Broj inverzija u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Sada dobivamo:

Dakle, imamo formulu za izračunavanje determinante matrice reda x:

Pronalaženje matrice trećeg reda pomoću pravila trokuta (Sarrusovo pravilo)

Kao što je gore navedeno, elementi determinante 3. reda nalaze se u tri retka i tri stupca. Ako unesete oznaku općeg elementa, tada prvi element označava broj retka, a drugi element iz indeksa označava broj stupca. Postoji glavna (elementi) i sporedna (elementi) dijagonala determinante. Članovi s desne strane nazivaju se članovima determinante).

Vidi se da je svaki član determinante u dijagramu sa samo jednim elementom u svakom retku i svakom stupcu.

Determinantu možete izračunati pomoću pravila pravokutnika, koje je prikazano u obliku dijagrama. Crvenom bojom istaknuti su članovi determinante iz elemenata glavne dijagonale, kao i članovi iz elemenata koji su na vrhu trokuta koji imaju jednu stranicu paralelnu s glavnom dijagonalom (lijevi dijagram), uzeti s predznakom .

Sa znakom se uzimaju pojmovi s plavim strelicama iz elemenata bočne dijagonale, kao i iz elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta koji imaju stranice paralelne s bočnom dijagonalom (desni dijagram).

Koristeći sljedeći primjer, naučit ćemo kako izračunati determinantu kvadratne matrice trećeg reda.

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice trećeg reda:

Riješenje

U ovom primjeru:

Determinantu izračunavamo koristeći formulu ili shemu koja je gore razmotrena:

Odgovor

Determinanta matrice trećeg reda =

Osnovna svojstva determinanti matrice trećeg reda

Na temelju prethodnih definicija i formula, razmotrimo glavne svojstva determinante matrice.

1. Veličina determinante neće se promijeniti prilikom zamjene odgovarajućih redaka i stupaca (takva se zamjena naziva transpozicija).

Na primjeru ćemo se uvjeriti da je determinanta matrice jednaka determinanti transponirane matrice:

Prisjetimo se formule za izračunavanje determinante:

Transponirajte matricu:

Izračunavamo determinantu transponirane matrice:

Provjerili smo da je determinanta transportirane matrice jednaka originalnoj matrici, što ukazuje na ispravno rješenje.

2. Predznak determinante promijenit će se u suprotan ako se bilo koja dva njezina stupca ili dva retka zamijene.

Pogledajmo primjer:

Date su dvije matrice trećeg reda (x):

Potrebno je pokazati da su determinante ovih matrica suprotne.

Riješenje

Mijenjali su se redovi u matrici i u matrici (treći od prvog, a od prvog do trećeg). Prema drugom svojstvu, determinante dviju matrica moraju imati različite predznake. Odnosno, jedna matrica ima pozitivan predznak, a druga negativan predznak. Provjerimo ovo svojstvo pomoću formule za izračunavanje determinante.

Svojstvo je istinito jer .

3. Determinanta je jednaka nuli ako ima iste odgovarajuće elemente u dva retka (stupca). Neka determinanta ima identične elemente prvog i drugog stupca:

Zamjenom identičnih stupaca, prema svojstvu 2, dobivamo novu determinantu: = . S druge strane, nova determinanta se podudara s izvornom jer elementi imaju iste odgovore, odnosno = . Iz ovih jednakosti dobivamo: = .

4. Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog retka (stupca) nula. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da svaki član determinante prema formuli (1) ima jedan i samo jedan element iz svakog retka (stupca) koji ima samo nule.

Pogledajmo primjer:

Pokažimo da je determinanta matrice jednaka nuli:

Naša matrica ima dva identična stupca (drugi i treći), stoga, na temelju ovog svojstva, determinanta mora biti jednaka nuli. Provjerimo:

Doista, determinanta matrice s dva identična stupca jednaka je nuli.

5. Zajednički faktor elemenata prvog retka (stupca) može se izbaciti iz znaka determinante:

6. Ako su elementi jednog retka ili jednog stupca determinante proporcionalni odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), tada je takva determinanta jednaka nuli.

Doista, slijedeći svojstvo 5, koeficijent proporcionalnosti se može izvući iz predznaka determinante, a zatim se može koristiti svojstvo 3.

7. Ako je svaki od elemenata redaka (kolona) determinante zbroj dva člana, tada se ta determinanta može prikazati kao zbroj odgovarajućih determinanti:

Za provjeru dovoljno je u proširenom obliku napisati prema (1) determinantu koja se nalazi na lijevoj strani jednakosti, zatim posebno grupirati članove koji sadrže elemente i. Svaka od dobivenih skupina članova bit će, odn. , prva i druga determinanta na desnoj strani jednakosti.

8. Vrijednosti definicije neće se promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) dodaju elementu jednog retka ili stupca, pomnoženog s istim brojem:

Ova jednakost se dobiva na temelju svojstava 6 i 7.

9. Determinanta matrice, , jednaka je zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.

Ovdje se misli na algebarski komplement elementa matrice. Pomoću ovog svojstva možete izračunati ne samo matrice trećeg reda, već i matrice višeg reda (x ili x). Drugim riječima, ovo je rekurentna formula koja je potrebna za izračunavanje determinante matrice bilo kojeg reda . Zapamtite ga, jer se često koristi u praksi.

Vrijedno je reći da je korištenjem devetog svojstva moguće izračunati determinante matrica ne samo četvrtog reda, već i viših redova. Međutim, u ovom slučaju morate izvršiti mnogo računalnih operacija i biti oprezni, jer će i najmanja pogreška u znakovima dovesti do netočne odluke. Matrice višeg reda najprikladnije je rješavati Gaussovom metodom, o čemu ćemo kasnije.

10. Determinanta umnoška matrica istog reda jednaka je umnošku njihovih determinanti.

Pogledajmo primjer:

Primjer

Zadatak

Uvjerite se da je determinanta dviju matrica i jednaka umnošku njihovih determinanti. Date su dvije matrice:

Riješenje

Prvo, nalazimo umnožak determinanti dviju matrica i .

Sada pomnožimo obje matrice i tako izračunajmo determinantu:

Odgovor

U to smo se uvjerili

Izračunavanje determinante matrice Gaussovom metodom

Matrična determinanta ažurirano: 22. studenog 2019. od: Znanstveni članci.Ru

Formulacija problema

Zadatak uključuje upoznavanje korisnika s osnovnim pojmovima numeričke metode, kao što su determinanta i inverzna matrica, i različiti putevi njihove kalkulacije. Ovo teorijsko izvješće najprije na jednostavan i pristupačan jezik uvodi osnovne pojmove i definicije na temelju kojih se provode daljnja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz područja numeričkih metoda i linearne algebre, ali može lako koristiti rezultate ovog rada. Radi preglednosti dan je program za izračunavanje determinante matrice pomoću nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvješće. Provodi se i proučavanje metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Beskorisnost izračunavanja inverzne matrice je dokazana, tako da rad pruža optimalnije načine za rješavanje jednadžbi bez izračunavanja. Objašnjava zašto postoji toliko mnogo različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica i raspravlja o njihovim nedostacima. Također se razmatraju pogreške u izračunu determinante i ocjenjuje postignuta točnost. Osim ruskih izraza, rad također koristi njihove engleske ekvivalente kako bi razumio pod kojim nazivima tražiti numeričke postupke u knjižnicama i što znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i najjednostavnija svojstva

Determinanta

Uvedimo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova će definicija biti ponavljajući, odnosno da biste ustanovili što je determinanta matrice reda, morate već znati što je determinanta matrice reda. Primijetimo također da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinantu kvadratne matrice označit ćemo s ili det.

Definicija 1. Determinanta kvadratna matrica poziva se drugi broj reda .

Determinanta kvadratna matrica reda , naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobivena iz matrice brisanjem prvog retka i stupca s brojem .

Radi jasnoće, zapišimo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. U iznimnim slučajevima koristi se stvarni izračun determinanti za matrice iznad trećeg reda na temelju definicije. Tipično, izračun se provodi pomoću drugih algoritama, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računalnog rada.

Komentar. U definiciji 1 točnije bi bilo reći da je determinanta funkcija definirana na skupu kvadratnih matrica reda i vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma determinanta koristi i izraz determinanta koji ima isto značenje. Od riječi “odrednica” pojavila se oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti koja ćemo formulirati u obliku iskaza.

Izjava 1. Kod transponiranja matrice determinanta se ne mijenja, tj.

Izjava 2. Determinanta umnoška kvadratnih matrica jednaka je umnošku determinanti faktora, tj.

Izjava 3. Ako se dva retka u matrici zamijene, njena determinanta će promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njena determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati zbrajati nizove i množiti niz s brojem. Ove radnje na redovima (stupcima) izvodit ćemo na isti način kao i akcije na matricama reda (matrice stupaca), odnosno element po element. Rezultat će biti red (stupac), koji se u pravilu ne podudara s redovima izvorne matrice. Ako postoje operacije zbrajanja redaka (stupaca) i njihova množenja brojem, možemo govoriti i o linearnim kombinacijama redaka (stupaca), odnosno zbrojeva s numeričkim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se redak matrice pomnoži s brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s tim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njena determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redaka matrice jednak drugom, pomnožen s brojem (redci su proporcionalni), tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici ima oblik . Zatim, gdje je matrica dobivena iz matrice zamjenom i-tog retka s retkom , a matrica je dobivena zamjenom i-tog retka s retkom .

Izjava 9. Ako jednom od redaka matrice dodate još jedan redak, pomnožen s brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redova matrice linearna kombinacija njenih ostalih redaka, tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Definicija 2. Algebarski komplement elementu matrice je broj jednak , gdje je determinanta matrice dobivena iz matrice brisanjem i-tog retka i j-tog stupca. Algebarski komplement elementa matrice označava se s .

Primjer. Neka . Zatim

Komentar. Koristeći algebarske dodatke, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Proširenje determinante u proizvoljnom nizu.

Formula za determinantu matrice je

Primjer. Izračunati .

Riješenje. Upotrijebimo proširenje duž trećeg retka, ovo je isplativije, budući da su u trećem retku dva od tri broja nula. Dobivamo

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda at vrijedi relacija: .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulirane za retke (tvrdnje 1 - 11) vrijede i za stupce, posebno vrijedi dekompozicija determinante u j-tom stupcu i jednakosti u .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata njezine glavne dijagonale.

Posljedica. Odrednica matrice identiteta jednako jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućuju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokih redova s relativno malom količinom izračuna. Algoritam izračuna je sljedeći.

Algoritam za stvaranje nula u stupcu. Pretpostavimo da trebamo izračunati determinantu reda. Ako je , zamijenite prvi redak i svaki drugi redak u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice sa suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog retka jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njezina je determinanta jednaka nuli.

Dakle, vjerujemo da već u izvornoj matrici . Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. Drugom retku dodajte prvi red pomnožen s brojem . Tada će prvi element drugog retka biti jednak .

Preostale elemente novog drugog retka označavamo s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je . Pomnožite prvi red s brojem i dodajte ga trećem. Prvi element novog trećeg retka bit će jednak

Preostale elemente novog trećeg retka označavamo s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je .

Nastavit ćemo proces dobivanja nula umjesto prvih elemenata linija. Na kraju pomnožite prvi redak s brojem i dodajte ga zadnjem retku. Rezultat je matrica, označimo je , koja ima oblik

i . Za izračun determinante matrice koristimo ekspanziju u prvom stupcu

Od tad

Na desnoj strani nalazi se determinanta matrice reda. Na njega primijenimo isti algoritam, a izračunavanje determinante matrice svešćemo na izračunavanje determinante matrice reda. Postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja je izračunata po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu izračuna u usporedbi s predloženim algoritmom. Još jedan dobra strana ovaj algoritam - lako ga je koristiti za izradu računalnog programa za izračunavanje determinanti matrica velikih reda. Standardni programi za izračun determinanti koriste ovaj algoritam s manjim izmjenama koje se odnose na minimiziranje utjecaja pogrešaka zaokruživanja i pogrešaka ulaznih podataka u računalnim izračunima.

Primjer. Izračunajte determinantu matrice .

Riješenje. Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodamo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. U četvrti red dodajemo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat dobivamo

Istim algoritmom izračunavamo determinantu matrice reda 3 koja se nalazi s desne strane. Prvi redak ostavljamo nepromijenjen, drugom retku dodajemo prvi redak pomnožen brojem :

U treći red dodamo prvi, pomnožen s brojem :

Kao rezultat dobivamo

Odgovor. .

Komentar. Iako su u izračunima korišteni razlomci, rezultat je bio cijeli broj. Doista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su izvorni brojevi cijeli brojevi, operacije s razlomcima se mogu izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su iznimno rijetko cijeli brojevi. Stoga će u pravilu elementi determinante biti decimalni razlomci i neprikladno je koristiti bilo kakve trikove za pojednostavljenje izračuna.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu, ako je .

Iz definicije proizlazi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (inače jedan od proizvoda ili ne bi bio definiran).

Inverz matrice je označen sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice slijedi da je matrica inverzna matrica, tj. Za matrice možemo reći da su međusobno inverzne ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, tada njezin inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno je li determinanta matrice jednaka nuli ili ne, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerirati ili posebna matrica, ako nedegeneriran ili nesingularna matrica, Ako .

Izjava. Ako inverzna matrica postoji, onda je ona jedinstvena.

Izjava. Ako je kvadratna matrica nesingularna, tada postoji njezin inverz i (1) gdje su algebarski komplementi elementima.

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica je jedinstvena i formula (1) je važeća.

Komentar. Posebnu pozornost treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj stupac, a drugi je broj linije, u koji treba upisati izračunati algebarski zbroj.

Primjer. .

Riješenje. Pronalaženje determinante

Kako je , tada je matrica nedegenerirana i postoji njezin inverz. Pronalaženje algebarskih komplemenata:

Sastavljamo inverznu matricu, postavljajući pronađene algebarske dodatke tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi retku: (2)

Dobivena matrica (2) služi kao odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru bilo bi točnije napisati odgovor ovako:
(3)

Međutim, notacija (2) je kompaktnija i s njom je praktičnije provoditi daljnje izračune, ako je potrebno. Stoga je pisanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. I obrnuto, ako su elementi matrice decimale, onda je bolje pisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Kada pronalazite inverznu matricu, morate izvršiti dosta izračuna, a pravilo za raspoređivanje algebarskih dodataka u konačnoj matrici je neobično. Stoga postoji velika vjerojatnost pogreške. Da biste izbjegli pogreške, trebali biste provjeriti: izračunajte umnožak izvorne matrice i konačne matrice u jednom ili drugom redoslijedu. Ako je rezultat matrica identiteta, tada je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, trebate potražiti grešku.

Primjer. Pronađite inverz matrice .

Riješenje. - postoji.

Odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice pomoću formule (1) zahtijeva previše izračuna. Za matrice četvrtog reda i više to je neprihvatljivo. Stvarni algoritam za pronalaženje inverzne matrice bit će dan kasnije.