Ova lekcija je namijenjena samostalno istraživanje tema "Dvostrani kut". U ovoj lekciji učenici će se upoznati s jednim od najvažnijih geometrijskih oblika, diedralnim kutom. Također u lekciji naučit ćemo kako odrediti linearni kut razmatranog geometrijski lik a koliki je diedarski kut na osnovici lika.

Ponovimo što je kut na ravnini i kako se mjeri.

Riža. 1. Avion

Promotrimo ravninu α (slika 1). S točke OKO dvije zrake izlaze - OB I OA.

Definicija. Lik koji čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke naziva se kut.

Kut se mjeri u stupnjevima i radijanima.

Sjetimo se što je radijan.

Riža. 2. Radijan

Ako imamo središnji kut čija je duljina luka jednaka polumjeru, tada se takav središnji kut naziva kut od 1 radijana. ,∠ AOB= 1 rad (slika 2).

Odnos između radijana i stupnjeva.

radostan.

Shvaćamo, drago mi je. (). Zatim,

Definicija. Diedralni kut naziva se figura koju tvori ravna linija A a dvije poluravnine sa zajedničkim rubom A, ne pripadaju istoj ravni.

Riža. 3. Poluravnine

Promotrimo dvije poluravnine α i β (slika 3). Njihova zajednička granica - A. Taj se lik naziva diedralni kut.

Terminologija

Poluravnine α i β su plohe diedarskog kuta.

Ravno A je brid diedralnog kuta.

Na zajedničkom rubu A diedralni kut, odaberite proizvoljnu točku OKO(slika 4). U poluravnini α iz točke OKO vratiti okomicu OA na ravnu liniju A. Iz iste točke OKO u drugoj poluravnini β konstruiramo okomicu OB do ruba A. Imam kut AOB, koji se naziva linearni diedarski kut.

Riža. 4. Mjerenje diedralnog kuta

Dokažimo jednakost svih linearnih kutova za zadani diedarski kut.

Neka imamo diedralni kut (slika 5). Izaberimo točku OKO i točka O 1 na ravnoj liniji A. Konstruirajmo linearni kut koji odgovara točki OKO, tj. povučemo dvije okomice OA I OB u ravninama α odnosno β do ruba A. Dobivamo kut AOB- linearni kut diedralnog kuta.

Riža. 5. Ilustracija dokaza

S točke O 1 povucimo dvije okomice OA 1 I OB 1 do ruba A u ravninama α odnosno β i dobivamo drugi linearni kut A 1 O 1 B 1.

zrake O 1 A 1 I OA susmjerni, jer leže u istoj poluravnini i međusobno su paralelni kao dvije okomice na isti pravac A.

Isto tako, zrake Otprilike 1 u 1 I OB su surežirani, što znači ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kao kutovi s kodirekcijskim stranicama, što je i trebalo dokazati.

Ravnina linearnog kuta okomita je na brid diedralnog kuta.

Dokazati: A ⊥ AOB.

Riža. 6. Ilustracija dokaza

Dokaz:

OA ⊥ A po konstrukciji, OB ⊥ A po konstrukciji (slika 6).

Nalazimo da je linija A okomito na dvije crte koje se sijeku OA I OB izvan aviona AOB, što znači da je ravno A okomito na ravninu OAV, što je i trebalo dokazati.

Diedralni kut se mjeri svojim linearnim kutom. To znači da onoliko stupnjeva radijana sadržano je u linearnom kutu, isti broj stupnjeva radijana sadržano je u njegovom diedralnom kutu. U skladu s tim razlikuju se sljedeće vrste diedralnih kutova.

Akutna (slika 6)

Diedarski kut je oštar ako mu je linearni kut oštar, tj. .

Ravno (Sl. 7)

Diedralni kut je prav kada je njegov linearni kut 90° - Tup (Sl. 8)

Diedralni kut je tup kada mu je linearni kut tup, tj. .

Riža. 7. Pravi kut

Riža. 8. Tupi kut

Primjeri konstruiranja linearnih kutova u realnim likovima

ABCD- tetraedar.

1. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom AB.

Riža. 9. Ilustracija za zadatak

Izgradnja:

Govorimo o diedralnom kutu kojeg tvori brid AB i rubovi ABD I ABC(slika 9).

Napravimo izravnu DN okomito na ravninu ABC, N- osnovica okomice. Nacrtajmo nagnutu DM okomito na ravnu liniju AB,M- nagnuta baza. Po teoremu o tri okomice zaključujemo da je projekcija kose NM također okomito na pravac AB.

Odnosno s točke M obnovljene su dvije okomice na rub AB na dvije strane ABD I ABC. Dobili smo linearni kut DMN.

primijeti da AB, brid diedralnog kuta, okomit na ravninu linearnog kuta, tj. ravninu DMN. Problem je riješen.

Komentar. Diedralni kut se može označiti na sljedeći način: DABC, Gdje

AB- rub, i točke D I S leže na različitim stranama kuta.

2. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom AC.

Povucimo okomicu DN do aviona ABC i sklon DN okomito na ravnu liniju AC. Po teoremu o tri okomice nalazimo da NN- kosa projekcija DN do aviona ABC, također okomito na pravac AC.DNH- linearni kut diedralnog kuta s bridom AC.

U tetraedru DABC svi rubovi su jednaki. Točka M- sredina rebra AC. Dokažite da kut DMV- linearni diedarski kut VASD, tj. diedarski kut s bridom AC. Jedno od njegovih lica je ACD, drugi - DIA(slika 10).

Riža. 10. Ilustracija za zadatak

Riješenje:

Trokut ADC- jednakostraničan, DM- medijan, a time i visina. Sredstva, DM ⊥ AC. Isto tako, trokut AUC- jednakostraničan, UM- medijan, a time i visina. Sredstva, VM ⊥ AC.

Dakle, s točke M rebra AC diedral angle restaurirane dvije okomice DM I VM ovom bridu u plohama diedralnog kuta.

Dakle, ∠ DMU je linearni kut diedralnog kuta, što je trebalo dokazati.

Dakle, definirali smo diedralni kut, linearni kut diedralnog kuta.

U sljedećoj lekciji ćemo pogledati okomitost pravaca i ravnina, a zatim ćemo naučiti što je diedralni kut u osnovi likova.

Popis referenci na temu "Dihedralni kut", "Dihedralni kut na bazi geometrijskih figura"

1. Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za opće obrazovanje obrazovne ustanove/ Sharygin I.F.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10. razred: udžbenik za obrazovne ustanove s produbljenim i specijalističkim studijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 str.: ilustr.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Domaća zadaća na temu "Dvostrani kut", određivanje diedralnog kuta na bazi figura

Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (osnovne i specijalizirane razine) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.

Zadaci 2, 3 str.

Što je linearni diedarski kut? Kako ga izgraditi?

ABCD- tetraedar. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom:

A) UD b) DS.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Konstruirajte linearni kut diedralnog kuta A 1 ABC s rebrom AB. Odredite mu stupanjsku mjeru.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije: uvesti pojam diedarskog kuta i njegovog linearnog kuta;

razmotriti zadatke o primjeni ovih pojmova;

razvijati konstruktivnu vještinu određivanja kuta između ravnina;

razmotriti zadatke o primjeni ovih pojmova.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

Obavijestite temu lekcije, formulirajte ciljeve lekcije.

II. Obnavljanje znanja učenika (slajd 2, 3).

1. Priprema za proučavanje novog gradiva.

Kako se zove kut u ravnini?

Kako se zove kut između pravaca u prostoru?

Kako se zove kut između pravca i ravnine?

Navedite teorem o tri okomice

III. Učenje novog gradiva.

• Pojam diedralnog kuta.

Lik koji čine dvije poluravnine koje prolaze pravcem MN naziva se diedralni kut (slajd 4).

Poluravnine su plohe, pravac MN je brid diedralnog kuta.

Koji predmeti u svakodnevnom životu imaju oblik diedralnog kuta? (Slajd 5)

• Kut između ravnina ASN i SND je diedarski kut ASND, gdje je SN brid. Točke A i D leže na plohama tog kuta. Kut AFD je linearni kut diedralnog kuta ACHD (slajd 6).

• Algoritam za konstruiranje linearnog kuta (slajd 7).

1 način. Na rubu uzmite bilo koju točku O i povucite okomice na tu točku (PO DE, KO DE) da dobijete kut ROK - linearni.

Metoda 2. U jednoj poluravnini uzmite točku K i iz nje ispustite dvije okomice na drugu poluravninu i brid (KO i KR), a zatim prema inverznom TTP teoremu PODE

• Svi linearni kutovi diedralnog kuta su jednaki (slajd 8). Dokaz: zrake OA i O 1 A 1 suusmjerene, poluprave OB i O 1 B 1 također supravci, kutovi BOA i B 1 O 1 A 1 jednaki su kao kutovi s istosmjernim stranicama.

• Stupanjska mjera diedralnog kuta je stupanjska mjera njegovog linearnog kuta (slajd 9).

IV. Konsolidacija proučenog materijala.

• Rješavanje zadataka (usmeno po gotovim crtežima). (Slajdovi 10-12)

1. RAVS – piramida; kut ACB jednak je 90°, pravac PB okomit je na ravninu ABC. Dokažite da je kut RSV linearni kut diedralnog kuta s

2. RAVS - piramida; AB = BC, D je sredina dužine AC, pravac PB okomit je na ravninu ABC. Dokažite da je kut PDB linearni kut diedralnog kuta s bridom AC.

3. PABCD – piramida; pravac PB je okomit na ravninu ABC, BC je okomit na DC. Dokažite da je kut RKB linearni kut diedralnog kuta s bridom CD.

• Zadaci konstruiranja linearnog kuta (slajdovi 13-14).

1. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom AC, ako je u piramidi RABC lice ABC pravilni trokut, O je sjecište središnjica, pravac PO okomit na ravninu ABC

2. Zadan je romb ABCD pravac RS okomit na ravninu ABCD.

Konstruirajte linearni kut diedra s bridom VD i linearni kut diedra s bridom AD.

• Računski zadatak. (Slajd 15)

U paralelogramu ABCD kut ADC jednak je 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, pravac RS okomit je na ravninu ABC, RS = 9 cm.

Odredite veličinu diedralnog kuta s rubom AD i površinu paralelograma.

V. Domaća zadaća (slajd 16).

Str. 22, br. 168, 171.

Rabljene knjige:

1. Geometrija 10-11 L.S.Atanasyan.
2. Sustav zadataka na temu "Dvostrani kutovi" M.V. Sevostyanova (Murmansk), časopis Matematika u školi 198...

Između okomica na rub diedralnog kuta, obnovljenog s oba lica iz iste točke.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što je "LINEARNI KUT" u drugim rječnicima:

Moltkeova krstarica "Moltke" u New Yorku 1912. Osnovne informacije Vrsta ... Wikipedia

Suprug. prijelom, pregib, koljeno, lakat, izbočina ili nabor (udubljenje) na jednoj strani. Linearni kut, bilo koja dva suprotna pravca i njihov interval; kutna ravnina ili u ravninama, susret dviju ravnina ili zidova; kut je debeo, tijelo, susret u jednom... Rječnik Dahl

Bojni brod ... Wikipedia

I u vektorski prostor L je preslikavanje koje povezuje svaki vektor e s vektorom poro skupa D (koji se nalazi u L i naziva se domena definicije linearnog operatora) u drugi vektor, označen s Ae (i naziva se vrijednost linearnog operatora na vektor e). Dovršene su sljedeće. Uvjeti … Fizička enciklopedija

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi bojni brod(značenja). "Dreadnought" je predak klase bojnih brodova ... Wikipedia

Potrebno je sadržaj ovog članka premjestiti u članak “Slava (bojni brod)”. Možete pomoći projektu kombiniranjem članaka. Ako je potrebno razgovarati o izvedivosti spajanja, zamijenite ovaj predložak predloškom ((za spajanje)) ... Wikipedia

“Dvostrani kut” - Pronađite udaljenost od točke B do ravnine. Kut C je šiljast. Trokut ABC je tupokutan. Kut C je tup. Udaljenost od točke do pravca. U tetraedru DAVS svi bridovi su jednaki. Kut između nagnutih. Udaljenost između nagnutih baza. Linearni kutovi diedralnog kuta su jednaki. Algoritam za konstruiranje linearnog kuta.

“Geometrija diedralnog kuta” - kut RSV - linearan za diedralni kut s bridom AC. Pronađite (vidite) rub i plohe diedralnog kuta. Model može biti ili voluminozan ili sklopivi. Odsjek dvostranog kuta ravninom okomitom na brid. Rubovi. pravac CP je okomit na brid CA (po teoremu o tri okomice). kut RKV - linearni za diedarski kut s RSAV.

"Triedarski kut" - Znakovi jednakosti trokutnih kutova. Zadano je: Oabc – trostrani kut; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcija 6. Posljedice. 1) Za izračunavanje kuta između pravca i ravnine primjenjiva je formula: Formula tri kosinusa. . Zadan je trokutni kut Oabc. Trokutasti kut. Teorema. U desnoj trokutasta piramida ravni vršni kut manji od 120°.

“Triedarski i poliedarski kutovi” - Trokutni kutovi dodekaedra. Trokutni i tetraedarski kutovi rombskog dodekaedra. Tetraedarski kutovi oktaedra. Trokutni uglovi tetraedra. Mjerenje poliedarskih kutova. Zadatak. Poliedarski kutovi. Peterokutni kutovi ikosaedra. Vertikalni poliedarski kutovi. Trokutasti kut piramide. Neka je SA1…An konveksan n-fasetni kut.

“Kut između pravca i ravnine” - U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite kut između pravca AC1 i ravnine ADE1. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravca AA1 i ravnine ACE1. Kut između pravca i ravnine. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravca AB1 i ravnine ADE1.

“Poliedarski kut” - Konveksni poliedarski kutovi. Poliedarski kutovi. Prema broju stranica poliedarski kutovi su triedarski, tetraedarski, pentaedarski itd. C) ikozaedar. Dva ravna kuta trostranog kuta su 70° i 80°. Stoga, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Ukupno ima 9 prezentacija

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

DIEDRALNI KUT Profesor matematike GOU srednja škola br. 10 Eremenko M.A.

Glavni ciljevi lekcije: Uvesti pojam diedralnog kuta i njegovog linearnog kuta Razmotriti zadatke za primjenu ovih pojmova.

Definicija: Diedralni kut je lik kojeg tvore dvije poluravnine sa zajedničkim graničnim pravcem.

Veličina diedralnog kuta je veličina njegovog linearnog kuta. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - linearni diedarski kut ACD B

Dokažimo da su svi linearni kutovi diedralnog kuta međusobno jednaki. Promotrimo dva linearna kuta AOB i A 1 OB 1. Zrake OA i OA 1 leže na istoj plohi i okomite su na OO 1, pa su susmjerne. Zrake OB i OB 1 također su suusmjerene. Dakle, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (poput kutova sa suusmjerenim stranicama).

Primjeri diedralnih kutova:

Definicija: Kut između dviju ravnina koje se sijeku je najmanji od diedarskih kutova koje čine te ravnine.

1. zadatak: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i CDD 1. Odgovor: 90 o.

Zadatak 2: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i CDA 1. Odgovor: 45 o.

Zadatak 3: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i BDD 1. Odgovor: 90 o.

Zadatak 4: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ACC 1 i BDD 1. Odgovor: 90 o.

Zadatak 5: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina BC 1 D i BA 1 D. Rješenje: Neka je O polovište B D. A 1 OC 1 – linearni kut diedralnog kuta A 1 B D C 1.

Zadatak 6: U tetraedru DABC svi bridovi su jednaki, točka M je sredina brida AC. Dokažite da je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta BACD.

Rješenje: Trokuti ABC i ADC su pravilni, pa je BM ⊥ AC i DM ⊥ AC pa je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta DACB.

7. zadatak: Iz vrha B trokuta ABC, čija stranica AC leži u ravnini α, povučena je okomica BB 1 na tu ravninu. Odredite udaljenost od točke B do pravca AC i ravnine α ako je AB=2, ∠VAC=150 0 i diedarski kut VASV 1 jednak 45 0.

Rješenje: ABC – tupokutni trokut s tupim kutom A, stoga osnovica visine BC leži na nastavku stranice AC. VC – udaljenost od točke B do AC. BB 1 – udaljenost od točke B do ravnine α

2) Kako je AC ⊥BK, tada je AC⊥KB 1 (prema teoremu, inverzni teorem oko tri okomice). Dakle, ∠VKV 1 je linearni kut diedralnog kuta BASV 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 =VK· sin 45 0 , VV 1 =