Neka je zadan pravokutni koordinatni sustav.

Teorem 1.1. Za bilo koje dvije točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) ravnine, udaljenost d između njih izražava se formulom

Dokaz. Ispustimo okomice M 1 B i M 2 A iz točaka M 1 odnosno M 2

na osi Oy i Ox i označimo s K točku presjeka pravaca M 1 B i M 2 A (sl. 1.4). Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Točke M 1, M 2 i K su različite. Očito, točka K ima koordinate (x 2; y 1). Lako je vidjeti da je M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôu 2 – y 1 ô. Jer ∆M 1 KM 2 je pravokutan, tada je po Pitagorinoj teoremi d = M 1 M 2 = = .

2) Točka K podudara se s točkom M 2, ali se razlikuje od točke M 1 (Sl. 1.5). U ovom slučaju y 2 = y 1

i d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Točka K poklapa se s točkom M 1, ali je različita od točke M 2. U ovom slučaju x 2 = x 1 i d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôu 2 - y 1 ô= = .

4) Točka M 2 poklapa se s točkom M 1. Tada je x 1 = x 2, y 1 = y 2 i

d = M 1 M 2 = O = .

Podjela segmenta u tom pogledu.

Neka je na ravnini zadan proizvoljni segment M 1 M 2 i neka je M ─ bilo koja njegova točka

segment različit od točke M 2 (Sl. 1.6). Broj l, definiran jednakošću l = , nazvao stav, u kojoj točki M dijeli segment M 1 M 2.

Teorem 1.2. Ako točka M(x;y) dijeli segment M 1 M 2 u odnosu na l, tada su koordinate te točke određene formulama

x = , y = , (4)

gdje (x 1;y 1) ─ koordinate točke M 1, (x 2; y 2) ─ koordinate točke M 2.

Dokaz. Dokažimo prvu od formula (4). Druga formula se dokazuje na sličan način. Dva su moguća slučaja.

x = x 1 = = = .

2) Pravac M 1 M 2 nije okomit na os Ox (sl. 1.6). Spustimo okomice iz točaka M 1, M, M 2 na os Ox i označimo točke njihova sjecišta s osi Ox kao P 1, P, P 2, redom. Prema teoremu proporcionalnih odsječaka = l.

Jer P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô i brojevi (x – x 1) i (x 2 – x) imaju isti predznak (na x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 su negativni), tada

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Korolar 1.2.1. Ako su M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) dvije proizvoljne točke i točka M(x; y) je sredina segmenta M 1 M 2, tada je

x = , y = (5)

Dokaz. Kako je M 1 M = M 2 M, onda je l = 1 i korištenjem formula (4) dobivamo formule (5).

Površina trokuta.

Teorem 1.3. Za sve točke A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) i C(x 3; y 3) koje ne leže na istoj

pravac, površina S trokuta ABC izražena je formulom

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Dokaz. Površina ∆ ABC prikazana na sl. 1.7, računamo na sljedeći način

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Izračunavamo površinu trapeza:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Sada imamo

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Za drugo mjesto ∆ ABC formula (6) se dokazuje na sličan način, ali može ispasti s predznakom “-”. Stoga su u formuli (6) stavili znak modula.

Predavanje 2.

Jednadžba pravca na ravnini: jednadžba pravca s glavnim koeficijentom, opća jednadžba pravac, jednadžba pravca u segmentima, jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke. Kut između ravnih pravaca, uvjeti paralelnosti i okomitosti pravaca na ravninu.

2.1. Neka je na ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav i neki pravac L.

Definicija 2.1. Jednadžba oblika F(x;y) = 0, koja povezuje varijable x i y, naziva se jednadžba linije L(u danom koordinatnom sustavu), ako je ova jednadžba zadovoljena koordinatama bilo koje točke koja leži na liniji L, a ne koordinatama bilo koje točke koja ne leži na ovoj liniji.

Primjeri jednadžbi pravaca u ravnini.

1) Promotrimo ravnu liniju paralelnu s osi Oy pravokutnog koordinatnog sustava (slika 2.1). Označimo slovom A točku presjeka ove linije s osi Ox, (a;o) ─ njenu ili

dinara. Jednadžba x = a je jednadžba zadanog pravca. Zaista, ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke M(a;y) ovog pravca, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje točke koja ne leži na pravcu. Ako je a = 0, tada se pravac poklapa s osi Oy, koja ima jednadžbu x = 0.

2) Jednadžba x - y = 0 definira skup točaka ravnine koje čine simetrale I i III koordinatnog kuta.

3) Jednadžba x 2 - y 2 = 0 ─ je jednadžba dviju simetrala koordinatnih kutova.

4) Jednadžba x 2 + y 2 = 0 definira jednu točku O(0;0) na ravnini.

5) Jednadžba x 2 + y 2 = 25 ─ jednadžba kružnice polumjera 5 sa središtem u ishodištu.

Svaka točka A ravnine karakterizirana je svojim koordinatama (x, y). One se podudaraju s koordinatama vektora 0A koji izlazi iz točke 0 - ishodišta koordinata.

Neka su A i B proizvoljne točke ravnine s koordinatama (x 1 y 1) odnosno (x 2, y 2).

Tada vektor AB očito ima koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Poznato je da kvadrat duljine vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata. Dakle, udaljenost d između točaka A i B, odnosno, što je isto, duljina vektora AB, određena je iz uvjeta

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Rezultirajuća formula omogućuje vam da pronađete udaljenost između bilo koje dvije točke na ravnini, ako su poznate samo koordinate tih točaka

Svaki put kada govorimo o koordinatama određene točke na ravnini, mislimo na dobro definiran koordinatni sustav x0y. Općenito, koordinatni sustav na ravnini može se odabrati na različite načine. Dakle, umjesto koordinatnog sustava x0y, možemo uzeti u obzir koordinatni sustav xִy, koji je dobiven kao rezultat rotacije starih koordinatnih osi oko početne točke 0 suprotno od kazaljke na satu strelice na uglu α .

Ako je određena točka ravnine u koordinatnom sustavu x0y imala koordinate (x, y), tada će u novom koordinatnom sustavu xִy imati druge koordinate (x, y).

Kao primjer, razmotrite točku M koja se nalazi na osi 0x i odvojena je od točke 0 na udaljenosti od 1.

Očito, u x0y koordinatnom sustavu ova točka ima koordinate (cos α ,grijeh α ), a u xִy koordinatnom sustavu koordinate su (1,0).

Koordinate bilo koje dvije točke na ravnini A i B ovise o tome kako je koordinatni sustav zadan u ovoj ravnini. I ovdje udaljenost između tih točaka ne ovisi o načinu zadavanja koordinatnog sustava .

Ostali materijali

Matematika

§2. Koordinate točke na ravnini

3. Udaljenost između dviju točaka.

Vi i ja sada možemo govoriti o bodovima jezikom brojeva. Na primjer, više ne trebamo objašnjavati: uzmite točku koja je tri jedinice desno od osi i pet jedinica ispod osi. Dovoljno je reći jednostavno: prihvatite poantu.

Već smo rekli da to stvara određene prednosti. Dakle, možemo telegrafom prenijeti crtež sastavljen od točkica, priopćiti ga računalu koje uopće ne razumije crteže, ali dobro razumije brojeve.

U prethodnom odlomku definirali smo neke skupove točaka na ravnini koristeći odnose između brojeva. Sada pokušajmo dosljedno prevesti other geometrijski pojmovi i činjenice.

Počet ćemo s jednostavnim i uobičajenim zadatkom.

Nađi udaljenost između dviju točaka na ravnini.

Riješenje:
Kao i uvijek, pretpostavljamo da su točke zadane svojim koordinatama, a onda je naš zadatak pronaći pravilo po kojem možemo izračunati udaljenost između točaka, znajući njihove koordinate. Prilikom izvođenja ovog pravila, naravno, dopušteno je pribjeći crtežu, ali samo pravilo ne bi trebalo sadržavati nikakve reference na crtež, već samo pokazati koje se radnje i kojim redoslijedom moraju izvršiti na zadanim brojevima - koordinatama točaka - kako bi se dobio željeni broj - razmak između točaka.

Možda će nekim čitateljima ovaj pristup rješavanju problema biti čudan i nategnut. Što je jednostavnije, reći će, točke se daju, čak i koordinatama. Nacrtajte te točke, uzmite ravnalo i izmjerite udaljenost između njih.

Ova metoda ponekad nije tako loša. Međutim, opet zamislite da imate posla s računalom. Nema ravnalo i ne crta, ali može tako brzo računati da joj to uopće nije problem. Imajte na umu da je naš problem formuliran tako da se pravilo za izračunavanje udaljenosti između dviju točaka sastoji od naredbi koje može izvršiti stroj.

Bolje je najprije riješiti problem postavljen za poseban slučaj kada jedna od tih točaka leži u ishodištu koordinata. Počnite s nekoliko numeričkih primjera: pronađite udaljenost od ishodišta točaka; i .

Bilješka. Koristite Pitagorinu teoremu.

Sada napišite opću formulu za izračunavanje udaljenosti točke od ishodišta.

Udaljenost točke od ishodišta određena je formulom:

Očito, pravilo izraženo ovom formulom zadovoljava gore navedene uvjete. Konkretno, može se koristiti u izračunima na strojevima koji mogu množiti brojeve, zbrajati ih i izvlačiti kvadratne korijene.

Sada riješimo opći problem

Zadane su dvije točke na ravnini, pronađite udaljenost između njih.

Riješenje:
Označimo s , , , projekcije točaka i na koordinatne osi.

Točku sjecišta pravaca označimo slovom . Iz pravokutni trokut Pomoću Pitagorine teoreme dobivamo:

Ali duljina segmenta jednaka je duljini segmenta. Točke i , leže na osi i imaju koordinate i , Odnosno. Prema formuli dobivenoj u stavku 3. stavka 2., udaljenost između njih jednaka je .

Slično argumentirajući, nalazimo da je duljina segmenta jednaka . Zamjenom pronađenih vrijednosti i u formulu dobivamo.

Rješavanje matematičkih zadataka učenike često prati mnogo poteškoća. Pomozite učeniku da se nosi s tim poteškoćama, kao i naučite ga koristiti ono što ima teorijsko znanje pri rješavanju specifičnih problema u svim dijelovima kolegija predmeta "Matematika" - glavna svrha naše stranice.

Pri započinjanju rješavanja zadataka iz teme učenici bi trebali znati konstruirati točku na ravnini koristeći njezine koordinate, kao i pronaći koordinate zadane točke.

Izračun udaljenosti između dviju točaka A(x A; y A) i B(x B; y B) na ravnini izvodi se pomoću formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), gdje je d duljina segmenta koji povezuje te točke na ravnini.

Ako se jedan od krajeva segmenta podudara s ishodištem koordinata, a drugi ima koordinate M(x M; y M), tada će formula za izračunavanje d imati oblik OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Izračunavanje udaljenosti između dviju točaka na temelju zadanih koordinata tih točaka

Primjer 1.

Odredite duljinu odsječka koji spaja točke A(2; -5) i B(-4; 3) na koordinatnoj ravnini (slika 1).

Riješenje.

U tekstu zadatka stoji: x A = 2; x B = -4; y A = -5 i y B = 3. Nađite d.

Primjenom formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), dobivamo:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Izračunavanje koordinata točke koja je jednako udaljena od tri zadane točke

Primjer 2.

Odredite koordinate točke O 1 koja je jednako udaljena od tri točke A(7; -1) i B(-2; 2) i C(-1; -5).

Riješenje.

Iz formulacije uvjeta zadatka slijedi O 1 A = O 1 B = O 1 C. Neka željena točka O 1 ima koordinate (a; b). Pomoću formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Kreirajmo sustav od dvije jednadžbe:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nakon kvadriranja lijeve i desne strane jednadžbe pišemo:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Pojednostavljeno, napišimo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Nakon što smo riješili sustav, dobivamo: a = 2; b = -1.

Točka O 1 (2; -1) jednako je udaljena od tri točke navedene u uvjetu koje ne leže na istoj ravnici. Ova točka je središte kružnice koja prolazi kroz tri zadane točke (slika 2).

3. Izračunavanje apscise (ordinate) točke koja leži na apscisnoj (ordinatnoj) osi i nalazi se na zadanoj udaljenosti od zadane točke

Primjer 3.

Udaljenost od točke B(-5; 6) do točke A koja leži na osi Ox je 10. Pronađite točku A.

Riješenje.

Iz formulacije uvjeta zadatka proizlazi da je ordinata točke A jednaka nuli i da je AB = 10.

Označavajući apscisu točke A s a, pišemo A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dobivamo jednadžbu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Pojednostavljujući je, imamo

a 2 + 10a – 39 = 0.

Korijeni ove jednadžbe su a 1 = -13; i 2 = 3.

Dobivamo dva boda A 1 (-13; 0) i A 2 (3; 0).

Ispitivanje:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Obje dobivene točke su prikladne prema uvjetima problema (slika 3).

4. Izračunavanje apscise (ordinate) točke koja leži na apscisnoj (ordinatnoj) osi i nalazi se na istoj udaljenosti od dvije zadane točke

Primjer 4.

Pronađite točku na osi Oy koja je na istoj udaljenosti od točaka A (6, 12) i B (-8, 10).

Riješenje.

Neka koordinate točke koja se traži prema uvjetima zadatka, a leži na osi Oy, budu O 1 (0; b) (u točki koja leži na osi Oy apscisa je nula). Iz uvjeta slijedi O 1 A = O 1 B.

Pomoću formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Imamo jednadžbu √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ili 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Nakon pojednostavljenja dobivamo: b – 4 = 0, b = 4.

Točka O 1 (0; 4) koju zahtijevaju uvjeti zadatka (slika 4).

5. Izračunavanje koordinata točke koja se nalazi na istoj udaljenosti od koordinatnih osi i neke zadane točke

Primjer 5.

Nađi točku M koja se nalazi na koordinatnoj ravnini na istoj udaljenosti od koordinatnih osi i od točke A(-2; 1).

Riješenje.

Tražena točka M se, kao i točka A(-2; 1), nalazi u drugom koordinatnom kutu, jer je jednako udaljena od točaka A, P 1 i P 2 (Sl. 5). Udaljenosti točke M od koordinatnih osi su iste, pa će njezine koordinate biti (-a; a), gdje je a > 0.

Iz uvjeta zadatka slijedi da je MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

oni. |-a| = a.

Pomoću formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nalazimo:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Napravimo jednadžbu:

√((-a + 2) 2 + (a – 1) 2) = a.

Nakon kvadriranja i pojednostavljenja imamo: a 2 – 6a + 5 = 0. Riješite jednadžbu, pronađite a 1 = 1; i 2 = 5.

Dobivamo dvije točke M 1 (-1; 1) i M 2 (-5; 5) koje zadovoljavaju uvjete zadatka.

6. Izračunavanje koordinata točke koja se nalazi na istoj određenoj udaljenosti od osi apscisa (ordinate) i od zadane točke

Primjer 6.

Nađi točku M tako da je njezina udaljenost od osi ordinata i od točke A(8; 6) jednaka 5.

Riješenje.

Iz uvjeta zadatka slijedi da je MA = 5 i apscisa točke M jednaka je 5. Neka je ordinata točke M jednaka b, tada je M(5; b) (slika 6).

Prema formuli d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) imamo:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Napravimo jednadžbu:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Pojednostavljeno, dobivamo: b 2 – 12b + 20 = 0. Korijeni ove jednadžbe su b 1 = 2; b 2 = 10. Prema tome, postoje dvije točke koje zadovoljavaju uvjete zadatka: M 1 (5; 2) i M 2 (5; 10).

Poznato je da su mnogi učenici prilikom samostalnog rješavanja problema potrebni stalnih konzultacija o tehnikama i metodama rješavanja istih. Često učenik ne može pronaći način da riješi problem bez pomoći učitelja. Potrebne savjete o rješavanju problema student može dobiti na našoj web stranici.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako pronaći udaljenost između dvije točke na ravnini?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

U ovom ćemo članku pogledati načine određivanja udaljenosti od točke do točke teoretski i na primjeru specifičnih zadataka. Za početak, uvedimo neke definicije.

Definicija 1

Udaljenost između točaka je duljina segmenta koji ih povezuje, u postojećem mjerilu. Potrebno je postaviti mjerilo da bismo imali jedinicu duljine za mjerenje. Stoga se u osnovi problem nalaženja udaljenosti između točaka rješava korištenjem njihovih koordinata na koordinatnoj liniji, u koordinatnoj ravnini ili trodimenzionalnom prostoru.

Početni podaci: koordinatni pravac O x i proizvoljna točka A koja leži na njemu. Svaka točka na pravcu ima jedan realan broj: neka to bude određeni broj za točku A. x A, to je ujedno i koordinata točke A.

Općenito, možemo reći da se duljina određenog segmenta procjenjuje u usporedbi sa segmentom koji se uzima kao jedinica duljine na danom mjerilu.

Ako točka A odgovara cijelom realnom broju, odlaganjem uzastopno od točke O do točke duž ravne linije O A segmenata - jedinica duljine, možemo odrediti duljinu segmenta O A iz ukupnog broja izdvojenih jediničnih segmenata.

Na primjer, točka A odgovara broju 3 - da biste došli do nje iz točke O, morat ćete odložiti tri jedinična segmenta. Ako točka A ima koordinatu - 4, jedinični segmenti položeni su na sličan način, ali u drugom, negativnom smjeru. Tako je u prvom slučaju udaljenost O A jednaka 3; u drugom slučaju O A = 4.

Ako točka A ima za koordinatu racionalni broj, zatim iz ishodišta (točke O) odvojimo cijeli broj jediničnih odsječaka, a zatim njegov nužni dio. Ali geometrijski nije uvijek moguće izvršiti mjerenje. Na primjer, čini se da je teško ucrtati razlomak 4 111 na koordinatnu liniju.

Koristeći gornju metodu, potpuno je nemoguće nacrtati iracionalan broj na ravnoj liniji. Na primjer, kada je koordinata točke A 11. U ovom slučaju moguće je okrenuti se apstrakciji: ako je zadana koordinata točke A veća od nule, tada je O A = x A (broj se uzima kao udaljenost); ako je koordinata manja od nule, onda je O A = - x A . Općenito, ove tvrdnje vrijede za svaki realni broj x A.

Ukratko: udaljenost od ishodišta do točke koja odgovara realnom broju na koordinatnoj liniji jednaka je:

• 0 ako se točka podudara s ishodištem;

• x A, ako je x A > 0;

• - x A ako je x A< 0 .

U ovom slučaju, očito je da duljina samog segmenta ne može biti negativna, stoga, koristeći znak modula, pišemo udaljenost od točke O do točke A s koordinatom xA: O A = x A

Sljedeća izjava će biti istinita: udaljenost od jedne do druge točke bit će jednaka modulu razlike koordinata. Oni. za točke A i B koje leže na istoj koordinatnoj liniji za bilo koje mjesto i imaju odgovarajuće koordinate xA I x B: A B = x B - x A .

Početni podaci: točke A i B koje leže na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y sa zadanim koordinatama: A (x A, y A) i B (x B, y B).

Povucimo okomice kroz točke A i B na koordinatne osi O x i O y i dobijmo kao rezultat točke projekcije: A x, A y, B x, B y. Ovisno o položaju točaka A i B, moguće su sljedeće opcije:

Ako se točke A i B podudaraju, tada je udaljenost između njih nula;

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os O x (apscisnu os), tada se točke podudaraju, a | A B | = | A y B y | . Budući da je udaljenost između točaka jednaka modulu razlike njihovih koordinata, tada je A y B y = y B - y A, pa je stoga A B = A y B y = y B - y A.

Ako točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os O y (os ordinata) - analogno prethodnom odlomku: A B = A x B x = x B - x A

Ako točke A i B ne leže na ravnoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osi, udaljenost između njih ćemo pronaći izvođenjem formule za izračun:

Vidimo da je trokut A B C konstrukcijski pravokutan. U ovom slučaju A C = A x B x i B C = A y B y. Pomoću Pitagorinog teorema stvaramo jednakost: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , a zatim je transformiramo: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Izvucimo zaključak iz dobivenog rezultata: udaljenost od točke A do točke B na ravnini određena je izračunom pomoću formule pomoću koordinata tih točaka

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Dobivena formula također potvrđuje prethodno oblikovane tvrdnje za slučajeve podudarnosti točaka ili situacije kada točke leže na ravnima okomitima na osi. Dakle, ako se točke A i B poklapaju, vrijedit će sljedeća jednakost: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Za situaciju u kojoj točke A i B leže na ravnoj liniji okomitoj na x-os:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Za slučaj kada točke A i B leže na pravoj liniji okomitoj na os ordinata:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Početni podaci: pravokutni koordinatni sustav O x y z na kojem leže proizvoljne točke sa zadanim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti udaljenost između tih točaka.

Razmotrimo opći slučaj, kada točke A i B ne leže u ravnini paralelnoj s jednom od koordinatne ravnine. Povucimo kroz točke A i B ravnine okomite na koordinatne osi i dobijmo odgovarajuće točke projekcije: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Udaljenost između točaka A i B je dijagonala rezultirajućeg paralelopipeda. Prema konstrukciji mjera ovog paralelopipeda: A x B x , A y B y i A z B z

Iz tečaja geometrije znamo da je kvadrat dijagonale paralelopipeda jednak zbroju kvadrata njegovih dimenzija. Na temelju ove tvrdnje dobivamo jednakost: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Koristeći prethodno dobivene zaključke, pišemo sljedeće:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Transformirajmo izraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Konačna formula za određivanje udaljenosti između točaka u prostoru izgledat će ovako:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dobivena formula vrijedi i za slučajeve kada:

Točke se poklapaju;

Leže na jednoj koordinatnoj osi ili pravoj liniji paralelnoj s jednom od koordinatnih osi.

Primjeri rješavanja zadataka nalaženja udaljenosti između točaka

Primjer 1

Početni podaci: zadane su koordinatna crta i na njoj ležeće točke sa zadanim koordinatama A (1 - 2) i B (11 + 2). Potrebno je pronaći udaljenost od ishodišne ​​točke O do točke A te između točaka A i B.

Riješenje

1. Udaljenost od referentne točke do točke jednaka je modulu koordinate ove točke, odnosno O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Udaljenost između točaka A i B definiramo kao modul razlike koordinata tih točaka: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odgovor: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Primjer 2

Početni podaci: zadani su pravokutni koordinatni sustav i dvije točke koje leže na njemu A (1, - 1) i B (λ + 1, 3). λ je neki realni broj. Potrebno je pronaći sve vrijednosti ovog broja pri kojima će udaljenost A B biti jednaka 5.

Riješenje

Da biste pronašli udaljenost između točaka A i B, morate koristiti formulu A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti koordinata dobivamo: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Također koristimo postojeći uvjet da je A B = 5 i tada će jednakost biti točna:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odgovor: A B = 5 ako je λ = ± 3.

Primjer 3

Početni podaci: navedeni trodimenzionalni prostor u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z i točkama A (1, 2, 3) i B - 7, - 2, 4 koje leže u njemu.

Riješenje

Za rješavanje problema upotrijebimo formulu A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Zamjenom stvarnih vrijednosti dobivamo: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odgovor: | A B | = 9

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter