Trapez je četverokut koji ima dvije paralelne stranice, koje su osnovice, i dvije neparalelne stranice, koje su stranice.

Ima i naziva kao npr jednakokračan ili jednakostraničan.

je trapez čiji su bočni kutovi pravi.

Trapezoidni elementi

a, b - trapezoidne baze(a paralelno s b),

m, n - strane trapezi,

d 1 , d 2 — dijagonale trapezi,

h - visina trapezoid (segment koji povezuje baze i istodobno je okomit na njih),

MN - središnja linija(odsječak koji povezuje sredine strana).

Područje trapeza

1. Kroz poluzbroj baza a, b i visine h: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Kroz središnjicu MN i visinu h: S = MN\cdot h
3. Kroz dijagonale d 1, d 2 i kut (\sin \varphi) između njih: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Svojstva trapeza

Srednja linija trapeza

središnja linija paralelan s bazama, jednak njihovom poluzbroju i dijeli svaki segment s krajevima koji se nalaze na ravnim linijama koje sadrže baze (na primjer, visinu figure) na pola:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Zbroj kutova trapeza

Zbroj kutova trapeza, uz svaku stranu, jednak je 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Trapezoidni trokuti jednake površine

Jednake veličine, odnosno imajući jednake površine, su dijagonalni segmenti i trokuti AOB i DOC koje tvore bočne stranice.

Sličnost formiranih trapezoidnih trokuta

Slični trokuti su AOD i COB, koje tvore njihove baze i dijagonalni segmenti.

\trokut AOD \sim \trokut COB

Koeficijent sličnosti k se nalazi formulom:

k = \frac(AD)(BC)

Štoviše, omjer površina ovih trokuta jednak je k^(2) .

Odnos duljina odsječaka i baza

Svaki segment koji povezuje baze i prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza podijeljen je ovom točkom u omjeru:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

To će vrijediti i za visinu sa samim dijagonalama.

Trapez je poseban slučajčetverokut kojemu je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku pogledati vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, otkrit ćemo kako izračunati pojedine elemente ovoga Na primjer, dijagonalu jednakokračnog trapeza, središnju liniju, površinu itd. Materijal je prikazan u stilu elementarne popularne geometrije, tj. u lako dostupnom obliku. .

Opće informacije

Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri stranice i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, vratimo se na trapeze. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije paralelne strane. Nazivaju se bazama. Druge dvije (neparalelne) su bočne strane. U ispitnim materijalima i raznim testovi vrlo često se mogu naći zadaci vezani uz trapeze čije rješavanje često od učenika zahtijeva znanja koja nisu predviđena programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i sa središnjicom jednakokračnog trapeza. No, osim ovoga, spomenuti geometrijski lik ima i druga obilježja. Ali o njima malo kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapez je lik kojemu je jedna stranica okomita na osnovice. Njezina dva kuta uvijek su jednaka devedeset stupnjeva.

2. Jednakokračni trapez je geometrijski lik čije su stranice međusobno jednake. To znači da su i kutovi na bazama jednaki u parovima.

Glavna načela metodologije proučavanja svojstava trapeza

Glavno načelo uključuje korištenje tzv. pristupa zadatku. Zapravo, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tijek geometrije. Oni se mogu otkriti i formulirati u procesu rješavanja različitih problema (po mogućnosti sistemskih). U isto vrijeme, vrlo je važno da nastavnik zna koje zadatke treba dodijeliti učenicima u jednom ili drugom trenutku. obrazovni proces. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se prikazati kao ključni zadatak u sustavu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva vraćanje u procesu učenja na pojedinačne značajke datog geometrijski lik. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati i proučavanjem sličnosti i naknadnom uporabom vektora. A istovrijednost trokuta koji graniče s bočnim stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta s jednakim visinama nacrtanih na stranice koje leže na istoj ravnoj liniji, već i korištenjem formule S = 1/2( ab*sinα). Osim toga, možete raditi na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na upisanom trapezu itd.

Korištenje "izvanprogramskih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školski tečaj- ovo je tehnologija koja se temelji na zadacima za njihovo podučavanje. Konstantno upućivanje na svojstva koja se proučavaju uz prolaz kroz druge teme omogućuje učenicima stjecanje dubljeg znanja o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadanih problema. Dakle, počnimo proučavati ovu prekrasnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo već primijetili, ova geometrijska figura ima jednake strane. Također je poznat kao pravilan trapez. Zašto je tako značajan i zašto je dobio takvo ime? Posebnost ove figure je da nisu samo strane i kutovi na bazama jednaki, već i dijagonale. Osim toga, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 ​​stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se jednakokračan može opisati kao kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure jednak 180 stupnjeva i samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrha na ravnu liniju koja sadrži ovu bazu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada shvatimo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Riješenje

Tipično, četverokut se obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina jednaka X, a veličina baza jednaka je Y i Z (manja odnosno veća). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu kraka AN: oduzimamo manji od veće baze i rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y)/2 = F. Sada, da izračunamo šiljasti kut trokuta, koristit ćemo se cos funkcija. Dobivamo sljedeći unos: cos(β) = X/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (X/F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.

Postoji drugo rješenje za ovaj problem. Prvo ga spustimo od kuta do visine H. Izračunamo vrijednost kraka BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutni trokut jednak zbroju kvadrati nogu. Dobivamo: BN = √(X2-F2). Dalje koristimo trigonometrijska funkcija tg. Kao rezultat imamo: β = arctan (BN/F). Pronađen je oštar kut. Zatim ga definiramo slično prvoj metodi.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada je:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenom s dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kruga je točka u kojoj ;

Ako je bočna strana podijeljena točkom dodirivanja na segmente H i M, tada je jednaka korijen proizvodi ovih segmenata;

Četverokut koji čine dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice je kvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;

Površina figure jednaka je umnošku baza i umnošku polovine zbroja baza i njegove visine.

Slični trapezi

Ova je tema vrlo prikladna za proučavanje svojstava ovog. Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji graniče s bazama su slični, a oni koji graniče sa stranicama jednake su veličine. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se znakom sličnosti dvaju kutova. Za dokazivanje drugog dijela bolje je koristiti dolje navedenu metodu.

Dokaz teorema

Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS osnovice trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Točka njihovog sjecišta je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im dužice BO i OD osnovice. Nalazimo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Dakle, PSOD = PBOS/K. Slično, trokuti BOS i AOB imaju zajedničku visinu. Uzimamo segmente CO i OA kao njihove baze. Dobivamo PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za učvršćivanje gradiva učenicima se preporučuje da pronađu vezu između površina dobivenih trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da trokuti BOS i AOD imaju jednake površine, potrebno je pronaći površinu trapeza. Pošto je PSOD = PAOB, to znači PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO/OD = √(PBOS/PAOD). Stoga je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD = √(PBOS*PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, može se dokazati drugo zanimljive karakteristike trapez. Dakle, koristeći sličnost, može se dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu sjecištem dijagonala ove geometrijske figure, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, riješimo sljedeći zadatak: trebamo pronaći duljinu dužine RK koja prolazi točkom O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS = AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=BS*BP/(BS+BP). Slično, iz sličnosti trokuta DOC i DBS slijedi OK = BS*AD/(BS+AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala, paralelan s bazama i povezuje dvije bočne strane, podijeljen je na pola točkom sjecišta. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvo četiri točke. Sjecišta dijagonala (O), sjecište nastavaka stranica (E), kao i polovišta osnovica (T i F) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobiveni trokuti BES i AED slični su, au svakom od njih središnje ET i EJ dijele vršni kut E na jednake dijelove. Dakle, točke E, T i F leže na istoj pravoj liniji. Isto tako, točke T, O i Zh nalaze se na istoj pravoj liniji.Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Odavde zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i F - ležati na istoj ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeze, možete tražiti od učenika da pronađu duljinu segmenta (LS) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment moraju biti paralelne s bazama. Budući da su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, tada je BS/LF = LF/AD. Slijedi da je LF=√(BS*AD). Utvrdili smo da isječak koji trapez dijeli na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina osnovica lika.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije jednake figure. Pretpostavljamo da je trapez ABSD isječak EH podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavljena je visina koja je segmentom EN podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a druga (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Slijedi da je B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalazimo da je duljina isječka koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljina baza: √((BS2+AD2)/2).

Nalazi sličnosti

Dakle, dokazali smo da:

1. Dužina koja spaja polovišta bočnih stranica trapeza paralelna je s AD i BS i jednaka je aritmetičkoj sredini BS i AD (duljina osnovice trapeza).

2. Pravac koji prolazi točkom O sjecišta dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Isječak koji trapez dijeli na slične ima duljinu geometrijske sredine osnovica BS i AD.

4. Element koji dijeli lik na dva jednaka ima duljinu korijena srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Da bi učvrstio gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba konstruirati za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala figure - paralelno s bazama. Ali gdje će se smjestiti treći i četvrti? Ovaj odgovor dovest će učenika do otkrića željenog odnosa između prosječnih vrijednosti.

Isječak koji povezuje središta dijagonala trapeza

Razmotrimo sljedeće svojstvo ove figure. Pretpostavljamo da je isječak MH paralelan s bazama i da raspolavlja dijagonale. Nazovimo točke sjecišta Š i Š. Ovaj segment će biti jednak polovici razlike baza. Pogledajmo ovo detaljnije. MS je središnja linija trokuta ABS, jednaka je BS/2. MSH je središnja linija trokuta ABD, jednaka je AD/2. Tada dobivamo da je ShShch = MSh-MSh, dakle, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako je ovaj element određen za danu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Morate dodati donju bazu gornjoj bazi - u bilo kojem smjeru, na primjer, udesno. A donju produžimo za duljinu gornje ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalno. Točka sjecišta ovog segmenta sa središnjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Nabrojimo značajke takvih figura:

1. Trapez se može upisati u kružnicu samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kružnice pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama polumjerima.

2. Boku opisanog trapeza promatramo iz središta kružnice pod pravim kutom.

Prvi korolar je očigledan, ali za dokaz drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također nije teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će vam korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.

Navedimo sada ove posljedice za jednakokračni trapez upisan u krug. Nalazimo da je visina geometrijska sredina baza lika: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući osnovnu tehniku ​​rješavanja zadataka za trapez (princip crtanja dviju visina), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednakokračnog lika ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada shvatimo kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. Spuštamo visinu iz vrha B na osnovicu AD. Kako je kružnica upisana u trapez, onda je BS+AD = 2AB ili AB = (BS+AD)/2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dobivamo PABSD = (BS+BP)*R, slijedi da je R = PABSD/(BS+BP).

Sve formule za središnjicu trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Odredimo čemu je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A+B)/2.

2. Kroz visinu, bazu i kutove:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Prolazna površina i visina: M = P/N.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

U materijalima raznih testova i ispita vrlo se često nalaze problemi trapeza, čije rješenje zahtijeva poznavanje njegovih svojstava.

Otkrijmo koja zanimljiva i korisna svojstva ima trapez za rješavanje problema.

Nakon proučavanja svojstava srednje crte trapeza, može se formulirati i dokazati svojstvo odsječka koji povezuje središta dijagonala trapeza. Isječak koji spaja središta dijagonala trapeza jednak je polovici razlike osnovica.

MO je središnja linija trokuta ABC i jednaka je 1/2BC (Sl. 1).

MQ je središnja linija trokuta ABD i jednaka je 1/2AD.

Tada je OQ = MQ – MO, dakle OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Prilikom rješavanja mnogih problema na trapezu, jedna od glavnih tehnika je crtanje dviju visina u njemu.

Razmotrite sljedeće zadatak.

Neka je BT visina jednakokračnog trapeza ABCD s osnovicama BC i AD, pri čemu je BC = a, AD = b. Odredite duljine odsječaka AT i TD.

Riješenje.

Rješavanje problema nije teško (slika 2), ali vam omogućuje da dobijete svojstvo visine jednakokračnog trapeza izvučene iz vrha tupog kuta: visina jednakokračnog trapeza povučena iz vrha tupog kuta dijeli veću osnovicu na dva segmenta, od kojih je manji jednak polovici razlike osnovica, a veći jednak polovici zbroja osnovica. .

Kada proučavate svojstva trapeza, morate obratiti pozornost na takvo svojstvo kao sličnost. Tako, na primjer, dijagonale trapeza dijele ga na četiri trokuta, a trokuti uz baze su slični, a trokuti uz stranice jednake su veličine. Ova se izjava može nazvati svojstvo trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Štoviše, prvi dio tvrdnje može se vrlo lako dokazati preko znaka sličnosti trokuta pod dva kuta. Dokažimo drugi dio izjave.

Trokuti BOC i COD imaju zajedničku visinu (slika 3), ako za njihove baze uzmemo segmente BO i OD. Tada je S BOC /S COD = BO/OD = k. Stoga je S COD = 1/k · S BOC .

Slično, trokuti BOC i AOB imaju zajedničku visinu ako im za osnovice uzmemo dužice CO i OA. Tada je S BOC /S AOB = CO/OA = k i S A O B = 1/k · S BOC .

Iz ove dvije rečenice slijedi da je S COD = S A O B.

Nemojmo se zadržavati na formuliranoj tvrdnji, nego pronađi odnos između površina trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Da bismo to učinili, riješimo sljedeći problem.

Neka je točka O sjecište dijagonala trapeza ABCD s osnovicama BC i AD. Poznato je da su površine trokuta BOC i AOD jednake S 1 odnosno S 2 . Pronađite površinu trapeza.

Kako je S COD = S A O B, onda je S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Iz sličnosti trokuta BOC i AOD slijedi da je BO/OD = √(S₁/S 2).

Prema tome, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), što znači S COD = √(S 1 · S 2).

Tada je S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Korištenjem sličnosti dokazuje se da svojstvo odsječka koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza paralelnih s osnovicama.

Razmotrimo zadatak:

Neka je točka O sjecište dijagonala trapeza ABCD s osnovicama BC i AD. BC = a, AD = b. Odredite duljinu odsječka PK koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza paralelnih s bazama. Na koje odsječke dijeli PK točka O (sl. 4)?

Iz sličnosti trokuta AOD i BOC slijedi da je AO/OC = AD/BC = b/a.

Iz sličnosti trokuta AOP i ACB slijedi da je AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Stoga PO = BC b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Slično, iz sličnosti trokuta DOK i DBC slijedi OK = ab/(a + b).

Stoga je PO = OK i PK = 2ab/(a + b).

Dakle, dokazano svojstvo može se formulirati na sljedeći način: segment paralelan s bazama trapeza, koji prolazi kroz točku sjecišta dijagonala i povezuje dvije točke na bočnim stranama, podijeljen je na pola točkom sjecišta trapeza. dijagonale. Njegova duljina je harmonijska sredina osnovica trapeza.

Praćenje svojstvo četiri točke: u trapezu, sjecište dijagonala, sjecište nastavaka stranica, polovišta osnovica trapeza leže na istoj liniji.

Trokuti BSC i ASD su slični (Sl. 5) a u svakoj od njih središnje ST i SG dijele vršni kut S na jednake dijelove. Dakle, točke S, T i G leže na istom pravcu.

Na isti se način na istom pravcu nalaze točke T, O i G. To proizlazi iz sličnosti trokuta BOC i AOD.

To znači da sve četiri točke S, T, O i G leže na istom pravcu.

Također možete pronaći duljinu segmenta koji dijeli trapez na dva slična.

Ako su trapezi ALFD i LBCF slični (Slika 6), tada je a/LF = LF/b.

Stoga je LF = √(ab).

Dakle, isječak koji dijeli trapez na dva slična trapeza ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina baza.

Dokažimo svojstvo segmenta koji dijeli trapez na dvije jednake površine.

Neka površina trapeza bude S (slika 7). h 1 i h 2 su dijelovi visine, a x je duljina željenog segmenta.

Tada je S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 i

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Stvorimo sustav

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Tako, duljina isječka koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka je √((a 2 + b 2)/2)(srednji kvadrat duljina baza).

Dakle, za trapez ABCD s bazama AD i BC (BC = a, AD = b) dokazali smo da je segment:

1) MN, koji povezuje središta bočnih strana trapeza, paralelan je s bazama i jednak je njihovom poluzbroju (prosjek aritmetički brojevi a i b);

2) PK koji prolazi kroz točku presjeka dijagonala trapeza paralelnih s osnovicama jednak je
2ab/(a + b) (harmonijska sredina brojeva a i b);

3) LF, koja trapez dijeli na dva slična trapeza, ima duljinu jednaku prosječnoj geometrijski brojevi a i b, √(ab);

4) EH, koji dijeli trapez na dva jednaka, ima duljinu √((a 2 + b 2)/2) (srednji kvadrat brojeva a i b).

Znak i svojstvo upisanog i opisanog trapeza.

Svojstvo upisanog trapeza: trapez se može upisati u krug ako i samo ako je jednakokračan.

Svojstva opisanog trapeza. Trapez se može opisati oko kružnice ako i samo ako je zbroj duljina baza jednak zbroju duljina stranica.

Korisne posljedice činjenice da je kružnica upisana u trapez:

1. Visina opisanog trapeza jednaka je dvama polumjerima upisane kružnice.

2. Stranica opisanog trapeza vidljiva je iz središta upisane kružnice pod pravim kutom.

Prvo je očito. Da bismo dokazali drugi korolar, potrebno je utvrditi da je kut COD pravi, što također nije teško. Ali poznavanje ove posljedice omogućuje vam korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.

Precizirajmo korolari za jednakokračni opisani trapez:

Visina jednakokračnog opisanog trapeza je geometrijska sredina osnovica trapeza.
h = 2r = √(ab).

Razmotrena svojstva omogućit će vam dublje razumijevanje trapeza i osigurati uspjeh u rješavanju problema pomoću njegovih svojstava.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti probleme s trapezom?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

U životu se vrlo često susrećemo s takvim oblikom kao što je trapez. Na primjer, svaki most koji je napravljen od betonskih blokova je svijetli primjer. Više vizualna opcija može se smatrati upravljanjem svakog vozilo I tako dalje. Svojstva figure bila su poznata još u Drevna grčka , što je Aristotel detaljnije opisao u svom znanstveni rad"Počelo." A znanje razvijeno prije tisuća godina i danas je relevantno. Stoga, pogledajmo ih pobliže.

U kontaktu s

Osnovni koncepti

Slika 1. Klasični oblik trapeza.

Trapez je u biti četverokut koji se sastoji od dva segmenta koji su paralelni i dva druga segmenta koji nisu paralelni. Kada govorimo o ovoj slici, uvijek je potrebno zapamtiti takve pojmove kao što su: baze, visina i srednja linija. Dva odsječka četverokuta koji se međusobno nazivaju osnovicama (odsječci AD i BC). Visina je segment okomit na svaku od baza (EH), tj. sijeku pod kutom od 90° (kao što je prikazano na slici 1).

Ako zbrojimo sve unutarnje stupnjeve, tada će zbroj kutova trapeza biti jednak 2π (360°), kao i svakog četverokuta. Segment čiji su krajevi središta stranica (IF) zove središnja linija. Duljina ovog segmenta je zbroj baza BC i AD podijeljen s 2.

Postoje tri vrste geometrijskih figura: ravne, pravilne i jednakokračne. Ako je barem jedan kut pri vrhovima osnovke prav (npr. ako je ABD = 90°), tada se takav četverokut naziva pravim trapezom. Ako su bočni segmenti jednaki (AB i CD), onda se naziva jednakokračan (prema tome, kutovi na bazama su jednaki).

Kako pronaći područje

Za to, pronaći površinu četverokuta ABCD koristi sljedeću formulu:

Slika 2. Rješavanje problema nalaženja površine

Za više jasan primjer riješimo lak problem. Na primjer, neka gornja i donja baza budu 16 i 44 cm, a stranice - 17 i 25 cm. Konstruirajmo okomiti segment iz vrha D tako da DE II BC (kao što je prikazano na slici 2). Odavde to dobivamo

Neka je DF . Iz ΔADE (koji će biti jednakokračan), dobivamo sljedeće:

Odnosno rečeno jednostavnim jezikom, prvo smo pronašli visinu ΔADE, koja je ujedno i visina trapeza. Odavde izračunavamo, koristeći već poznatu formulu, površinu četverokuta ABCD, s već poznata vrijednost visina DF.

Dakle, tražena površina ABCD je 450 cm³. To jest, možemo sa sigurnošću reći da u redu Da biste izračunali površinu trapeza, potreban vam je samo zbroj baza i duljine visine.

Važno! Pri rješavanju zadatka nije potrebno zasebno pronalaziti vrijednost duljina, sasvim je prihvatljivo ako se koriste drugi parametri figure koji će uz odgovarajući dokaz biti jednaki zbroju baza.

Vrste trapeza

Ovisno o tome koje strane ima lik i koji su kutovi formirani na bazama, postoje tri vrste četverokuta: pravokutni, neravni i jednakostrani.

Svestran

Postoje dva oblika: akutne i tupe. ABCD je šiljast samo ako su osnovni kutovi (AD) šiljasti, a duljine stranica različite. Ako je vrijednost jednog kuta veća od Pi/2 (stupnjevna mjera je veća od 90°), tada dobivamo tupi kut.

Ako su stranice jednake duljine

Slika 3. Pogled na jednakokračni trapez

Ako su neparalelne stranice jednake duljine, tada se ABCD naziva jednakokračan (pravilan). Štoviše, u takvom četverokutu stupanjska mjera kutova na bazi je ista, njihov će kut uvijek biti manji od pravog kuta. Zbog toga se jednakokračna linija nikada ne dijeli na oštrokutnu i tupokutnu. Četverokut ovog oblika ima svoje specifične razlike, koje uključuju:

1. Segmenti koji povezuju suprotne vrhove su jednaki.
2. Oštri kutovi s većom osnovicom iznose 45° (ilustrativni primjer na slici 3).
3. Ako zbrojite stupnjeve suprotnih kutova, zbroj njih iznosi 180°.
4. Možete graditi oko bilo kojeg pravilnog trapeza.
5. Ako zbrojite stupnjeve mjere suprotnih kutova, to je jednako π.

Štoviše, zbog njihovog geometrijskog rasporeda točaka postoje osnovna svojstva jednakokračnog trapeza:

Vrijednost kuta pri bazi 90°

Okomitost stranice baze je velika karakteristika koncepta "pravokutnog trapeza". Ne mogu postojati dvije strane s uglovima na bazi, jer će inače već biti pravokutnik. U četverokutima ove vrste, druga stranica će uvijek biti oblikovana oštar kut s većom bazom, a s manjom - tupo. U ovom slučaju, okomita stranica će također biti visina.

Segment između sredina bočnih stijenki

Ako spojimo središta stranica, a dobiveni segment je paralelan s bazama i jednak po duljini polovici njihovog zbroja, tada je rezultirajuća ravna crta bit će srednja linija. Vrijednost ove udaljenosti izračunava se po formuli:

Za jasniji primjer, razmotrite problem pomoću središnje linije.

Zadatak. Središnja linija trapeza je 7 cm, a poznato je da je jedna od stranica 4 cm veća od druge (slika 4). Nađi duljine baza.

Slika 4. Rješavanje zadatka nalaženja duljina baza

Riješenje. Neka manja baza DC bude jednaka x cm, tada će veća baza biti jednaka (x+4) cm, odnosno, Odavde, koristeći formulu za središnju crtu trapeza, dobivamo:

Ispada da je manja baza DC 5 cm, a veća 9 cm.

Važno! Koncept srednje crte je ključan u rješavanju mnogih geometrijskih problema. Na temelju njegove definicije konstruiraju se mnogi dokazi za druge brojke. Koristeći koncept u praksi, možda i više racionalna odluka i potražite traženu vrijednost.

Određivanje visine i načini njenog pronalaženja

Kao što je ranije navedeno, visina je segment koji siječe baze pod kutom od 2Pi/4 i najkraća udaljenost između njih. Prije pronalaženja visine trapeza, potrebno je odrediti koje su ulazne vrijednosti zadane. Za bolje razumijevanje, pogledajmo problem. Odredite visinu trapeza uz uvjet da su osnovice 8 i 28 cm, a stranice 12 i 16 cm.

Slika 5. Rješavanje zadatka nalaženja visine trapeza

Nacrtajmo odsječke DF i CH pod pravim kutom na osnovicu AD.Svaki od njih će prema definiciji biti visina zadanog trapeza (slika 5). U ovom slučaju, znajući duljinu svake bočne stijenke, koristeći Pitagorin poučak, pronaći ćemo čemu je jednaka visina u trokutima AFD i BHC.

Zbroj odsječaka AF i HB jednak je razlici baza, tj.

Neka je duljina AF jednaka x cm, tada je duljina dužine HB= (20 – x) cm. Kako je utvrđeno, odavde je DF=CH.

Tada dobivamo sljedeću jednadžbu:

Ispada da je segment AF u trokutu AFD jednak 7,2 cm, odavde izračunavamo visinu trapeza DF koristeći isti Pitagorin teorem:

Oni. visina trapeza ADCB bit će jednaka 9,6 cm Kako možete biti sigurni da je izračunavanje visine više mehanički proces, te da se temelji na izračunavanju stranica i kutova trokuta. No, u brojnim geometrijskim problemima mogu se znati samo stupnjevi kutova, u kojem će se slučaju izračuni vršiti putem omjera stranica unutarnjih trokuta.

Važno! U biti, trapez se često smatra dvama trokutima ili kombinacijom pravokutnika i trokuta. Za rješavanje 90% svih problema koji se nalaze u školskim udžbenicima, svojstva i karakteristike ovih figura. Većina formula za ovaj GMT izvedena je oslanjajući se na "mehanizme" za dvije navedene vrste brojki.

Kako brzo izračunati duljinu baze

Prije pronalaska baze trapeza potrebno je utvrditi koji su parametri već zadani i kako ih racionalno koristiti. Praktični pristup je izvući duljinu nepoznate baze iz formule srednje crte. Za jasnije razumijevanje slike, upotrijebimo primjer zadatka da pokažemo kako se to može učiniti. Neka je srednja crta trapeza 7 cm, a jedna osnovica 10 cm.Odredi duljinu druge osnovice.

Rješenje: Znajući da je srednja crta jednaka polovici zbroja baza, možemo reći da je njihov zbroj 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). Iz uvjeta zadatka znamo da je jedna od njih jednaka 10 cm, pa će manja stranica trapeza biti jednaka 4 cm (4 cm = 14 – 10).

Štoviše, za ugodnije rješavanje problema ove vrste, Preporučujemo da temeljito naučite takve formule iz područja trapeza kao:

• srednja linija;
• kvadrat;
• visina;
• dijagonale.

Poznavajući bit (točnije bit) ovih izračuna, lako možete saznati željenu vrijednost.

Video: trapez i njegova svojstva

Video: značajke trapeza

Zaključak

Iz razmatranih primjera zadataka možemo izvući jednostavan zaključak da je trapez, u smislu računske problematike, jedan od najjednostavnijih likova geometrije. Za uspješno rješenje Zadaci, prije svega, ne biste trebali odlučiti koje su informacije poznate o objektu koji se opisuje, u kojim se formulama mogu primijeniti i odlučiti što trebate pronaći. Slijedeći ovaj jednostavan algoritam, nijedan zadatak koji koristi ovu geometrijsku figuru neće biti jednostavan.