2. Poglavlje
3) broj

Stavimo točku na dopisivanje.

Nazovimo jediničnu kružnicu s utvrđenom korespondencijom

brojčani krug.

Ovo je drugi geometrijski model za skup realnih

brojevima. Učenici već poznaju prvi model – brojevni pravac. Jesti

analogija: za brojevni pravac pravilo korespondencije (od broja do točke)

gotovo doslovno isti. Ali postoji temeljna razlika – izvor

glavne poteškoće u radu s brojčanim krugom: na ravnoj liniji, svaki

točka odgovara jedini broj, to nije slučaj na krugu. Ako

krug odgovara broju, onda odgovara svima

brojevi obrasca

Gdje je duljina jedinične kružnice, a cijeli broj

Riža. 1

broj koji označava broj kompletnih krugova kruga u jednom ili drugom krugu

strana.

Ovaj trenutak je težak za studente. Treba ih ponuditi

shvaćanje suštine stvari i pravog zadatka:

Stadionska staza za trčanje duga je 400 m, trkač je udaljen 100 m

od polazišta. Koliko je daleko otišao? Ako je tek počeo trčati, onda

trčao 100 m; ako si uspio istrčati jedan krug, onda - (

Dva kruga – () ; ako ste uspjeli pobjeći

krugovi, tada će put biti (

) . Sada možete usporediti

rezultat dobiven izrazom

Primjer 1. Kojim brojevima odgovara točka?

brojčani krug

Riješenje. Budući da je duljina cijele kružnice

To je duljina njegove četvrtine

I stoga - svim brojevima obrasca

Slično se utvrđuje kojim brojevima odgovaraju bodovi

nazivaju se prvi, drugi, treći,

četvrte četvrtine kruga brojeva.

Sva školska trigonometrija temelji se na numeričkom modelu

krugovi. Iskustvo pokazuje da kod ovog modela postoje i nedostaci

brzopleto uvođenje trigonometrijskih funkcija ne dopušta stvaranje

pouzdan temelj za uspješno usvajanje gradiva. Stoga, ne

morate požuriti i uzeti malo vremena da razmislite o sljedećem

pet različitih vrsta problema s brojevnim krugovima.

Prva vrsta zadataka. Pronalaženje točaka na kružnici brojeva,

koji odgovaraju zadanim brojevima, izraženi u razlomcima broja

Primjer 2.

brojevima

Riješenje. Podijelimo luk

na pola s točkom na tri jednaka dijela -

točkice

(slika 2). Zatim

Dakle, broj

Poklapa se s bodom

Broj
Primjer

3.
na

numerički

krug

bodovi,

odgovarajući brojevi:

Riješenje. Izvodit ćemo konstrukcije

a) Odlaganje luka

(njegova duljina

) Pet puta

od točke

u negativnom smjeru,

dobivamo bod

b) Odlaganje luka

(njegova duljina

) sedam puta od

u pozitivnom smjeru, dobivamo točku razdvajanja

treći dio luka

Odgovarat će broju

c) Odlaganje luka

(njegova duljina

) pet puta od točke

u pozitivnom smislu

smjeru, dobivamo bod

Odvajanje trećeg dijela luka. Ona i

će odgovarati broju

(iskustvo pokazuje da je bolje ne odgađati

pet puta

I to 10 puta

Nakon ovog primjera prikladno je dati dva glavna numerička izgleda

krugovi: na prvom od njih (sl. 3) sve su četvrtine podijeljene na pola, na

drugi (slika 4) - na tri jednaka dijela. Ove rasporede je korisno imati u svom uredu

matematika.

Riža. 2

Riža. 3 Riža. 4

Svakako s učenicima treba razgovarati o pitanju: što će se dogoditi ako

svaki od rasporeda ne kreće se u pozitivu, već u negativu

smjer? Na prvom rasporedu potrebno je dodijeliti odabrane točke

druga "imena": odnosno

itd.; na drugom rasporedu:

Druga vrsta zadataka. Pronalaženje točaka na kružnici brojeva,

koji odgovaraju zadanim brojevima koji nisu izraženi u razlomcima broja

Primjer 4. Pronađite odgovarajuće točke na brojevnoj kružnici

brojevi 1; 2; 3; -5.

Riješenje.

Ovdje ćemo se morati osloniti na činjenicu da

Stoga točka 1

koji se nalazi na luku

bliže stvari

Točke 2 i 3 su na luku, prva je

Drugi je bliži (sl. 5).

Idemo malo detaljnije

na pronalaženje točke koja odgovara broju – 5.

Morate se pomaknuti s točke

u negativnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu

Riža. 5

strijela. Ako idete u ovom smjeru do točke

Dobivamo

To znači da se nalazi točka koja odgovara broju – 5

malo desno od točke

(vidi sliku 5).

Treća vrsta zadataka. Izrada analitičke evidencije (dvostruka

nejednakosti) za lukove brojevne kružnice.

Zapravo, mi postupamo prema tome

isti plan koji je korišten u 5-8

razredi za učenje brojevnog pravca:

prvo pronađite točku po broju, a zatim po

točka - broj, zatim se koriste dvojnice

nejednakosti za upisivanje intervala na

brojevni pravac.

Razmotrimo, na primjer, otvorenu

Gdje je sredina prvog

četvrtine kruga brojeva, i

- njegova sredina

druga četvrtina (sl. 6).

Nejednakosti koje karakteriziraju luk, tj. predstavljanje

Predlaže se sastaviti analitički model luka u dvije faze. Na prvom

faza čine jezgru analitička evidencija(ovo je glavna stvar koju treba slijediti

poučavati školarce); za dati luk

Na drugom

fazi, napravite opći zapis:

Ako govorimo o luku

Zatim kada pišete kernel morate to uzeti u obzir

() leži unutar luka i stoga se mora pomaknuti na početak luka

u negativnom smjeru. To znači da jezgra analitičkog zapisa luka

izgleda kao

Riža. 6

Pojmovi “jezgra analitičkog

zapisi luka", "analitički zapis

lukovi" nisu općenito prihvaćeni,

razmatranja.

Četvrta

zadaci.

traži

kartezijanski

koordinate

točke kružnice broja, središte

koji se kombinira s početkom sustava

koordinate

Prvo, pogledajmo jednu prilično suptilnu točku, do sada

praktički se ne spominju u sadašnjim školskim udžbenicima.

Počevši proučavati model „brojevnog kruga na koordinati

avion", učitelji moraju biti jasno svjesni poteškoća koje ih očekuju

studenti ovdje. Ove poteškoće nastaju zbog činjenice da pri proučavanju ovog

modela, školarci moraju imati prilično visoku razinu

matematičke kulture, jer moraju raditi istovremeno u

dva koordinatna sustava - u "krivocrtnom", kada je informacija o

položaj točke uzima se duž kruga (broj

odgovara

kružna točka

(); – “krivocrtna koordinata” točke), i in

Kartezijev pravokutni koordinatni sustav (u točki

Kao i svaka točka

koordinatna ravnina, postoji apscisa i ordinata). Posao učitelja je pomoći

školarcima u prevladavanju ovih prirodnih poteškoća. Nažalost,

obično školski udžbenici ne obraćaju pažnju na to i od samog početka

prve lekcije koriste snimke

Ne s obzirom na to da je pismo u

u umu učenika jasno povezana s apscisom u kartezijanskom

pravokutnom koordinatnom sustavu, a ne s prijeđenim putem prema numeričkom

opseg staze. Stoga, kada radite s krugom brojeva, ne biste trebali

koristiti simbole

Riža. 7

Vratimo se četvrtoj vrsti zadataka. Riječ je o o prijelazu sa snimanja

zapisa

(), tj. od krivocrtnih koordinata do kartezijevih.

Kompatibilan brojčani krug s kartezijanskim pravokutnim sustavom

koordinate kao što je prikazano na sl. 7. Zatim bodovi

imat će

sljedeće koordinate:

() () () (). Jako važno

naučiti školarce određivati ​​koordinate svih onih točaka koje

označeno na dva glavna rasporeda (vidi sl. 3,4). Za bod

Sve se svodi na

razmatranje jednakokračnog pravokutni trokut s hipotenuzom

Noge su mu jednake

Dakle, koordinate

). Slična je situacija i s bodovima

Ali jedina razlika je u tome što morate uzeti u obzir

predznake apscise i ordinate. Posebno:

Što učenici trebaju zapamtiti? Samo što su moduli apscisa i

ordinate na središtima svih četvrtina su jednake

I trebali bi se moći potpisati

odrediti za svaku točku izravno iz crteža.

Za bod

Sve se svodi na razmatranje pravokutnika

trokut s hipotenuzom 1 i kutom

(Slika 9). Zatim nogu

suprotni kut

Bit će jednaki

susjedni

√

Sredstva,

koordinate točke

Slična je situacija i s bodom

samo noge “mijenjaju mjesta”, i stoga

Riža. 8

Riža. 9

dobivamo

). To su vrijednosti

(točno do znakova) i bit će

“poslužuju” sve točke drugog rasporeda (vidi sl. 4), osim točaka

kao apscise i ordinate. Predloženi način za pamćenje: "gdje ukratko,

; gdje je duže, tamo

Primjer 5. Pronađite koordinate točke

(vidi sliku 4).

Riješenje. Točka

Nalazi se bliže okomitoj osi nego

horizontalno, tj. modul njegove apscise je manji od modula njegove ordinate.

To znači da je modul apscise jednak

Modul ordinate jednak je

Znakovi u oba

slučajevi su negativni (treći kvartal). Zaključak: točka

Ima koordinate

U četvrtoj vrsti problema koje tražimo Kartezijeve koordinate svatko

točke predstavljene u prvom i drugom spomenutom izgledu

Zapravo, tijekom ove vrste zadataka pripremamo studente

izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Ako je sve ovdje

razrađen dovoljno pouzdano, zatim prijelaz na novu razinu apstrakcije

(ordinata - sinus, apscisa - kosinus) bit će manje bolna od

U četvrtu vrstu spadaju zadaci ove vrste: za bod

pronaći predznake kartezijevih koordinata

Rješenje učenicima ne bi trebalo izazivati ​​poteškoće: broj

odgovara točki

Četvrta četvrtina, tj.

Peta vrsta zadataka. Pronalaženje točaka na brojevnom krugu po

zadane koordinate.

Primjer 6. Pronađite ordinatne točke na brojevnoj kružnici

napiši kojim brojevima odgovaraju.

Riješenje. Ravno

Sječe brojevnu kružnicu u točkama
(slika 11). Koristeći drugi izgled (vidi sl. 4) utvrđujemo da točka

odgovara broju

Dakle ona

odgovara svim brojevima obrasca
odgovara broju

A to znači

svi brojevi obrasca

Odgovor:

Primjer 7. Pronađite na numeričkom

točka kružnice s apscisom

napiši kojim brojevima odgovaraju.

Riješenje. Ravno
√

siječe brojevnu kružnicu u točkama

– sredine druge i treće četvrtine (sl. 10). Koristeći prvi

raspored postaviti tu točku

odgovara broju

Što znači svima

brojevi obrasca

odgovara broju

Što znači svima

brojevi obrasca

Odgovor:

Potrebno je prikazati drugu opciju

odgovoriti na bilješke na primjer 7. Uostalom, točka

odgovara broju

Oni. svi brojevi obrasca

dobivamo:

Riža. 10

Sl.11

Istaknimo neospornu važnost

peti tip zadataka. Zapravo, mi podučavamo

Školska djeca

odluka

protozoa

trigonometrijske jednadžbe: u primjeru 6

radi se o jednadžbi

I u primjeru

– o jednadžbi

važno je poučavati razumijevanju suštine stvari

školarci rješavaju jednadžbe tipa

duž kruga brojeva,

uzmite si vremena da prijeđete na formule

Iskustvo pokazuje da ako prva faza (rad na

brojevni krug) nije dovoljno pouzdano razrađen, zatim druga faza

(rad pomoću formula) školarci percipiraju formalno, što,

Naravno, moramo to prevladati.

Slično kao u primjerima 6 i 7, treba pronaći na krugu brojeva

točke sa svim “glavnim” ordinatama i apscisama

Kao posebne predmete prikladno je istaknuti sljedeće:

Napomena 1. U propedeutičkom smislu, pripremni

rad na temi “Dužina kružnice” iz predmeta geometrija 9. razreda. Važno

savjet: sustav vježbi treba sadržavati zadatke poput predloženog

ispod. Jedinični krug podijeljen je točkama na četiri jednaka dijela

luk je prepolovljen točkom, a luk je prepolovljen točkama

na tri jednaka dijela (slika 12). Kolike su duljine lukova?

(vjeruje se da se krug prelazi u pozitivu

smjer)?

Riža. 12

Peta vrsta zadataka također uključuje rad s uvjetima kao što su

sredstva
Do

odluka

protozoa

Također postupno “selektiramo” trigonometrijske nejednadžbe.

pet lekcija i tek u šestoj lekciji treba definicije sinusa i

kosinus kao koordinate točke na brojevnoj kružnici. pri čemu

Preporučljivo je ponovno rješavati sve vrste problema sa školarcima, ali sa

koristeći uvedene oznake, predlažući da se izvrši takav

primjerice zadaci: izračunati

Riješite jednadžbu

nejednakost

itd. To naglašavamo na prvim satovima

trigonometrija najjednostavnija trigonometrijske jednadžbe i nejednakosti

nisu Svrha obuku, ali se koriste kao objekata Za

svladavanje onog glavnog – definicije sinusa i kosinusa kao koordinate točaka

brojčani krug.

Neka broj

odgovara točki

brojčani krug. Zatim njegova apscisa

nazvao kosinus broja

i naznačen je

A njegova ordinata se zove sinus broja

i naznačen je. (slika 13).

Iz ove definicije možemo odmah

postaviti predznake sinusa i kosinusa po

četvrtine: za sinus

Za kosinus

Posvetite cijelu lekciju ovome (ovako

prihvaćeno) teško da je preporučljivo. Nemoj to učiniti

prisiliti školarce da upamte ove znakove: svi mehanički

pamćenje, pamćenje je nasilna tehnika koju učenici,

Proučavajući trigonometriju u školi, svaki se učenik susreće s vrlo zanimljivim konceptom "kruga brojeva". Koliko će učenik kasnije naučiti trigonometriju ovisi o sposobnosti učitelja da objasni što je to i zašto je potrebna. Nažalost, ne može svaki učitelj jasno objasniti ovo gradivo. Zbog toga su mnogi učenici zbunjeni čak i oko toga kako ocjenjivati točke na brojevnoj kružnici. Ako pročitate ovaj članak do kraja, naučit ćete kako to učiniti bez ikakvih problema.

Pa krenimo. Nacrtajmo krug čiji je radijus 1. Označimo “krajnju desnu” točku tog kruga slovom O:

Čestitamo, upravo ste izvukli jedinični krug. Budući da je polumjer ove kružnice 1, njezina je duljina .

Svakom realnom broju može se pridružiti duljina putanje duž brojevne kružnice od točke O. Smjer kretanja u smjeru suprotnom od kazaljke na satu uzima se kao pozitivan smjer. Za negativno – u smjeru kazaljke na satu:

Položaj točaka na brojevnoj kružnici

Kao što smo već primijetili, duljina brojevnog kruga (jediničnog kruga) jednaka je . Gdje će se onda na tom krugu nalaziti broj? Očito, s točke O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu trebamo prijeći pola duljine kruga, i naći ćemo se na željenoj točki. Označimo ga slovom B:

Imajte na umu da se do iste točke može doći hodajući polukružno u negativnom smjeru. Zatim bismo ucrtali broj na jediničnu kružnicu. Odnosno, brojevi odgovaraju istoj točki.

Štoviše, ta ista točka također odgovara brojevima , , , i, općenito, beskonačan skup brojeva koji se mogu napisati u obliku , gdje , odnosno pripada skupu cijelih brojeva. Sve to zato što s točke B možete napraviti put "oko svijeta" u bilo kojem smjeru (zbrojiti ili oduzeti opseg) i doći do iste točke. Dobivamo važan zaključak koji treba razumjeti i upamtiti.

Svaki broj odgovara jednoj točki na krugu brojeva. Ali svaka točka na krugu brojeva odgovara beskonačnom broju brojeva.

Podijelimo sada gornju polukružnicu brojevne kružnice na lukove jednake dužine točka C. Lako je vidjeti da je duljina luka O.C. jednak . Odgodimo sada s točke C luk iste duljine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kao rezultat toga, doći ćemo do točke B. Rezultat je sasvim očekivan, jer . Položimo ponovno ovaj luk u istom smjeru, ali sada od točke B. Kao rezultat toga, doći ćemo do točke D, što će već odgovarati broju:

Ponovno primijetite da ova točka ne odgovara samo broju, već i, na primjer, broju, jer se ta točka može postići udaljavanjem od točke Očetvrtina kruga u smjeru kazaljke na satu (negativan smjer).

I, općenito, opet napominjemo da ova točka odgovara beskonačno mnogo brojeva koji se mogu napisati u obliku . Ali mogu se napisati iu obliku . Ili, ako želite, u obliku . Svi ovi zapisi su apsolutno jednaki i mogu se dobiti jedni od drugih.

Podijelimo sada luk na O.C. polutočka M. Sada odredite kolika je duljina luka OM? Tako je, pola luka O.C.. To je . Kojim brojevima odgovara točka? M na krugu brojeva? Siguran sam da ćete sada shvatiti da se ovi brojevi mogu napisati kao .

Ali može se i drugačije. Idemo uzeti . Onda to shvaćamo . Odnosno, ti se brojevi mogu napisati u obliku . Isti se rezultat može dobiti korištenjem kruga brojeva. Kao što sam već rekao, oba zapisa su ekvivalentna i mogu se dobiti jedan od drugog.

Sada možete jednostavno dati primjer brojeva kojima bodovi odgovaraju N, P I K na brojevnom krugu. Na primjer, brojevi , i :

Često se minimalni pozitivni brojevi uzimaju za označavanje odgovarajućih točaka na krugu brojeva. Iako to uopće nije potrebno, točka N, kao što već znate, odgovara beskonačnom broju drugih brojeva. Uključujući, na primjer, broj.

Ako prekinete luk O.C. na tri jednaka luka s točkama S I L, pa to je poanta S nalazit će se između točaka O I L, zatim duljina luka OS bit će jednak , a duljina luka OL bit će jednako . Koristeći znanje koje ste stekli u prethodnom dijelu lekcije, lako možete zaključiti kako su ispale preostale točke na kružnici brojeva:

Brojevi koji nisu višekratnici broja π na krugu brojeva

Postavimo si sada pitanje: gdje na brojevnoj crti označiti točku koja odgovara broju 1? Da biste to učinili, morate krenuti od najdesnije točke jediničnog kruga O nacrtati luk čija bi duljina bila jednaka 1. Možemo samo približno naznačiti mjesto željene točke. Nastavimo na sljedeći način.

U ovom ćemo članku vrlo detaljno analizirati definiciju brojevnog kruga, saznati njegovo glavno svojstvo i rasporediti brojeve 1,2,3 itd. O tome kako označiti druge brojeve na krugu (na primjer, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) razumije .

Brojevni krug zove se kružnica jediničnog polumjera čije točke odgovaraju , raspoređenih prema sljedećim pravilima:

1) Ishodište je u krajnjoj desnoj točki kružnice;

2) Suprotno od kazaljke na satu - pozitivan smjer; u smjeru kazaljke na satu – negativno;

3) Nanesemo li udaljenost \(t\) na kružnicu u pozitivnom smjeru, tada ćemo doći do točke s vrijednošću \(t\);

4) Nanesemo li udaljenost \(t\) na kružnicu u negativnom smjeru, tada ćemo doći do točke s vrijednošću \(–t\).

Zašto se kružnica naziva brojevnom kružnicom?
Jer ima brojeve na sebi. Krug je na taj način sličan brojčanoj osi - na krugu, kao i na osi, za svaki broj postoji određena točka.

Zašto znati što je brojčani krug?
Pomoću kruga brojeva određuju se vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata. Stoga je za poznavanje trigonometrije i polaganje Jedinstvenog državnog ispita za 60+ bodova morate razumjeti što je kružnica s brojevima i kako na nju stavljati točke.

Što znače riječi "...jediničnog radijusa..." u definiciji?
To znači da je polumjer te kružnice jednak \(1\). A ako konstruiramo takvu kružnicu sa središtem u ishodištu, tada će se ona presijecati s osi u točkama \(1\) i \(-1\).

Ne mora biti nacrtana mala; možete promijeniti "veličinu" podjela duž osi, tada će slika biti veća (vidi dolje).

Zašto je radijus točno jedan? Ovo je prikladnije, jer u ovom slučaju, kada izračunamo opseg pomoću formule \(l=2πR\), dobivamo:

Duljina brojevne kružnice je \(2π\) ili približno \(6,28\).

Što znači "... čije točke odgovaraju realnim brojevima"?
Kao što smo gore rekli, na krugu brojeva za bilo koji realni broj sigurno će postojati njegovo "mjesto" - točka koja odgovara ovom broju.

Zašto odrediti ishodište i smjer na brojevnoj kružnici?
Glavna svrha brojčanog kruga je jedinstveno određivanje njegove točke za svaki broj. Ali kako možete odrediti gdje staviti točku ako ne znate odakle računati i kamo se kretati?

Ovdje je važno ne brkati ishodište na koordinatnoj liniji i na brojevnoj kružnici - to su dva različita referentna sustava! Također nemojte brkati \(1\) na osi \(x\) i \(0\) na kružnici - to su točke na različitim objektima.

Koje točke odgovaraju brojevima \(1\), \(2\) itd.?

Zapamtite, pretpostavili smo da brojevni krug ima radijus \(1\)? To će biti naš jedinični segment (po analogiji s brojčanom osi), koji ćemo iscrtati na kružnici.

Da biste označili točku na brojevnom krugu koja odgovara broju 1, potrebno je prijeći od 0 do udaljenosti jednake polumjeru u pozitivnom smjeru.

Da biste označili točku na krugu koja odgovara broju \(2\), trebate prijeći udaljenost jednaku dva radijusa od ishodišta, tako da je \(3\) udaljenost jednaka tri radijusa, itd.

Kada gledate ovu sliku, možete imati 2 pitanja:
1. Što se događa kada krug "završi" (tj. napravimo puni krug)?
Odgovor: idemo u drugi krug! A kad prođe drugi, idemo na treći i tako dalje. Stoga se na kružnicu može ucrtati beskonačno mnogo brojeva.

2. Gdje će biti negativni brojevi?
Odgovor: upravo tamo! Također se mogu rasporediti, brojeći od nule potreban broj radijusa, ali sada u negativnom smjeru.

Nažalost, na brojevnoj kružnici teško je označiti cijele brojeve. To je zbog činjenice da duljina kruga brojeva neće biti jednaka cijelom broju: \(2π\). A na najprikladnijim mjestima (u točkama sjecišta s osi) također će biti razlomci, a ne cijeli brojevi

Predstavljamo vam video lekciju na temu "Krug brojeva". Dana je definicija što su sinus, kosinus, tangens, kotangens i funkcije g= grijeh x, g= cos x, g= tg x, g= ctg x za bilo koji numerički argument. Razmatramo standardne probleme korespondencije između brojeva i točaka u jediničnom brojevnom krugu kako bismo pronašli jednu točku za svaki broj i, obrnuto, kako bismo za svaku točku pronašli skup brojeva koji joj odgovaraju.

Tema: Elementi teorije trigonometrijskih funkcija

Lekcija: Zaokruživanje brojeva

Naš neposredni cilj je utvrditi trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens-

Numerički argument može se ucrtati na koordinatnu liniju ili na kružnicu.

Takav se krug naziva numerički ili jedinični krug jer radi praktičnosti, uzmite krug sa

Na primjer, zadana je točka, označite je na koordinatnoj liniji

i dalje brojčani krug.

U radu s brojevnim krugom dogovoreno je da je kretanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu pozitivan smjer, au smjeru kazaljke na satu negativan smjer.

Tipični zadaci - potrebno je odrediti koordinate dana točka ili, obrnuto, pronaći točku prema njezinim koordinatama.

Koordinatna linija uspostavlja korespondenciju jedan na jedan između točaka i brojeva. Na primjer, broj odgovara točki A s koordinatom

Svaku točku B s koordinatom karakterizira samo jedan broj - udaljenost od 0 do uzeta s predznakom plus ili minus.

U krugu brojeva, korespondencija jedan na jedan funkcionira samo u jednom smjeru.

Na primjer, postoji točka B koordinatni krug(slika 2), duljina luka je 1, tj. ova točka odgovara 1.

Zadana je kružnica, duljina kružnice If then je duljina jedinične kružnice.

Dodamo li , dobivamo istu točku B, tada također dolazimo do točke B, oduzmemo - također točku B.

Razmotrimo točku B: duljina luka = ​​1, tada brojevi karakteriziraju točku B na brojevnoj kružnici.

Dakle, broj 1 odgovara jednoj točki na brojevnoj kružnici - točki B, a točki B odgovara beskonačan broj točaka oblika .

Za krug brojeva vrijedi sljedeće:

Ako je T. M Ako brojčani krug odgovara broju, onda odgovara i broju oblika

Možete napraviti onoliko punih okretaja oko kruga brojeva koliko želite u pozitivnom ili negativnom smjeru - poanta je ista. Stoga trigonometrijske jednadžbe imaju beskonačan broj rješenja.

Na primjer, dana je točka D. Kojim brojevima ona odgovara?

Mjerimo luk.

skup svih brojeva koji odgovaraju točki D.

Pogledajmo glavne točke na krugu brojeva.

Duljina cijelog opsega.

Oni. snimanje više koordinata može biti različito .

Razmotrimo tipični zadaci na brojevnom krugu.

1. Dato je: . Pronađite: točku na brojevnoj kružnici.

Odaberimo cijeli dio:

Potrebno je pronaći točku na brojevnoj kružnici. , Zatim .

Ovaj set također uključuje i točku.

2. Dato je: . Pronađite: točku na brojevnoj kružnici.

Potrebno je pronaći t.

t.također pripada ovom skupu.

Rješavajući standardne probleme podudarnosti brojeva i točaka na brojevnoj kružnici, saznali smo da za svaki broj možemo pronaći jednu točku, a za svaku točku možemo pronaći skup brojeva koji su karakterizirani zadanom točkom.

Podijelite luk na tri jednaka dijela i označite točke M i N.

Nađimo sve koordinate tih točaka.

Dakle, naš cilj je definirati trigonometrijske funkcije. Da bismo to učinili, moramo naučiti kako odrediti argument funkcije. Promatrali smo točke jedinične kružnice i rješavali dva tipična problema - pronalaženje točke na brojevnoj kružnici i zapisivanje svih koordinata točke na jediničnoj kružnici.

1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Udžbenik. Za opće obrazovanje Ustanove.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.

2. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatnica za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i drugi - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. razred: edukativni za učenike općeg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., rev. i dodatni - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred. 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred. U 2 dijela 1. dio Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izd. brisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. U 2 dijela Dio 2. Knjiga zadataka za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi; ur. A. G. Mordkovich. — 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Knjiga zadataka za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Video tutorijali su među najučinkovitijim alatima za podučavanje, pogotovo takvi školske discipline, poput matematike. Stoga autor ovog materijala prikupio samo korisne, važne i kompetentne informacije u jedinstvenu cjelinu.

Ova lekcija traje 11:52 minute. Gotovo isto toliko vremena treba učitelju da objasni novo gradivo o zadanoj temi na satu. Iako će glavna prednost video lekcije biti činjenica da će učenici pažljivo slušati o čemu autor govori, bez da ih ometaju suvišne teme i razgovori. Uostalom, ako učenici ne slušaju pažljivo, propustit će važnu točku lekcije. A ako učitelj sam objašnjava gradivo, tada njegovi učenici mogu lako odvratiti pažnju od glavne stvari svojim razgovorima o apstraktnim temama. I, naravno, postaje jasno koja će metoda biti racionalnija.

Autor početak sata posvećuje ponavljanju onih funkcija s kojima su učenici bili upoznati ranije u kolegiju algebre. I prvi koji počinju proučavati su trigonometrijske funkcije. Za njihovo razmatranje i proučavanje potrebna je nova matematički model. I ovaj model postaje brojčani krug, što je upravo ono što je navedeno u temi lekcije. Da bismo to učinili, uvodi se pojam jedinične kružnice i daje se njezina definicija. Dalje na slici autor prikazuje sve sastavnice takvog kruga, a što će učenicima koristiti za daljnje učenje. Lukovi označavaju četvrtine.

Zatim autor predlaže razmatranje kruga brojeva. Ovdje daje primjedbu da je prikladnije koristiti jediničnu kružnicu. Ovaj krug pokazuje kako se dobiva točka M ako je t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Zatim autor podsjeća učenike kako pronaći opseg kruga. Zatim ispisuje duljinu jedinične kružnice. Predlaže se primijeniti ove teorijske podatke u praksi. Da biste to učinili, razmotrite primjer u kojem trebate pronaći točku na krugu koja odgovara određenim vrijednostima brojeva. Rješenje primjera prati ilustracija u obliku slike, te potrebni matematički zapisi.

Prema uvjetu drugog primjera potrebno je pronaći točke na brojevnoj kružnici. I ovdje je cjelokupno rješenje popraćeno komentarima, ilustracijama i matematičkim zapisom. Time se doprinosi razvoju i poboljšanju matematičke pismenosti učenika. Treći primjer konstruiran je na sličan način.

Zatim, autor bilježi one brojeve na krugu koji se pojavljuju češće od ostalih. Ovdje predlaže izradu dva modela brojčanog kruga. Kada su oba izgleda spremna, razmatra se sljedeći, četvrti primjer, gdje je potrebno pronaći točku na krugu brojeva koja odgovara broju 1. Nakon ovog primjera formulira se izjava prema kojoj možete pronaći točku M koja odgovara broju broj t.

Zatim se uvodi napomena prema kojoj učenici uče da broj „pi” odgovara svim brojevima koji padnu na zadanu točku kada ona prođe cijelu kružnicu. Ovu informaciju potkrepljuje i peti primjer. Njegovo rješenje sadrži logički ispravno razmišljanje i crteže koji ilustriraju situaciju.

DEKODIRANJE TEKSTA:

BROJČANI KRUG

Prethodno smo proučavali funkcije definirane analitičkim izrazima. I te su funkcije nazvane algebarskim. Ali u školskom tečaju matematike proučavaju se funkcije drugih razreda, a ne algebarskih. Počnimo učiti trigonometrijske funkcije.

Za uvođenje trigonometrijskih funkcija potreban nam je novi matematički model - brojevni krug. Razmotrimo jedinični krug. Kružnica čiji je radijus jednak segmentu ljestvice, bez označavanja konkretnih mjernih jedinica, naziva se jedinica. Polumjer takve kružnice smatra se jednakim 1.

Koristit ćemo jediničnu kružnicu u koju su ucrtani vodoravni i okomiti promjeri CA i DB (ce a i de be) (vidi sliku 1).

Nazvat ćemo luk AB prva četvrtina, luk BC druga četvrtina, luk CD treća četvrtina, a luk DA četvrta četvrtina.

Razmotrite krug brojeva. Općenito, svaki se krug može smatrati numeričkim krugom, ali je za tu svrhu prikladnije koristiti jedinični krug.

DEFINICIJA Dana je jedinična kružnica na kojoj je označena početna točka A - desni kraj horizontalnog promjera. Pridružimo svakom realnom broju t (te) točku na kružnici prema sljedećem pravilu:

1) Ako je t>0 (te je veće od nule), tada, krećući se iz točke A u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (pozitivan smjer kružnice), po kružnici opisujemo stazu AM (a em) duljine t. Točka M bit će željena točka M(t) (em iz te).

2) Ako je t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Dodijelimo točku A broju t = 0.

Jediničnu kružnicu s uspostavljenom korespondencijom (između realnih brojeva i točaka na kružnici) nazivamo brojevnom kružnicom.

Poznato je da se opseg L (el) izračunava po formuli L = 2πR (el jednako dva pi er), gdje je π≈3,14, R polumjer kruga. Za jedinični krug R=1cm, to znači L=2π≈6,28 cm (el je jednako dva pi približno 6,28).

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Pronađite točku na kružnici brojeva koja odgovara zadanom broju: ,.(pi puta dva, pi, tri pi puta dva, dva pi, jedanaest pi puta dva, sedam pi, minus pet pi puta dva)

Riješenje. Prvih šest brojeva je pozitivno, stoga, da biste pronašli odgovarajuće točke na krugu, morate hodati stazom zadane duljine duž kruga, krećući se od točke A u pozitivnom smjeru. Duljina svake četvrtine jedinične kružnice je jednaka. To znači AB =, odnosno točka B odgovara broju (vidi sliku 1). AC = , odnosno brojki odgovara točka C. AD = , odnosno broju odgovara točka D. A brojci opet odgovara točka A, jer smo nakon hodanja po kružnici završili na početnoj točki A.

Razmotrimo gdje će se točka nalaziti. Budući da već znamo koja je duljina kružnice, smanjit ćemo je na oblik (četiri pi plus tri pi sa dva). Odnosno, krećući se od točke A u pozitivnom smjeru, trebate dva puta opisati cijelu kružnicu (put duljine 4π) i dodatno put duljine koji završava u točki D.

Što se dogodilo? Ovo je 3∙2π + π (tri puta dva pi plus pi). To znači da se krećući od točke A u pozitivnom smjeru treba tri puta opisati cijelu kružnicu i dodatno put duljine π koji će završiti u točki C.

Da biste pronašli točku na brojevnoj kružnici koja odgovara negativnom broju, trebate hodati od točke A duž kružnice u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu) stazom duljine, a to odgovara 2π +. Ovaj put će završiti u točki D.

PRIMJER 2. Pronađite točke na brojevnoj kružnici (pi puta šest, pi puta četiri, pi puta tri).

Riješenje. Dijeleći luk AB na pola, dobivamo točku E, koja odgovara. Podijelimo li luk AB na tri jednaka dijela točkama F i O, dobivamo da točka F odgovara, a točka T odgovara

(vidi sliku 2).

PRIMJER 3. Pronađite točke na brojevnoj kružnici (minus trinaest pi puta četiri, devetnaest pi puta šest).

Riješenje. Odlaganjem luka AE (a em) duljine (pi puta četiri) iz točke A trinaest puta u negativnom smjeru, dobivamo točku H (pepeo) - sredinu luka BC.

Polaganjem luka AF duljine (pi puta šest) iz točke A devetnaest puta u pozitivnom smjeru dolazimo do točke N (en), koja pripada trećoj četvrtini (luk CD) i CN je jednaka trećem dijelu luk CD (se de).

(vidi sliku primjer 2).

Najčešće morate tražiti točke na brojevnoj kružnici koje odgovaraju brojevima (pi sa šest, pi sa četiri, pi sa tri, pi sa dva), kao i one koje su njihovi višekratnici, odnosno (sedam pi sa šest, pet pi sa četiri, četiri pi sa tri, jedanaest pi sa dva). Stoga, za brzu navigaciju, preporučljivo je napraviti dva izgleda kruga brojeva.

Na prvom rasporedu, svaka od četvrtina brojčanog kruga bit će podijeljena na dva jednaka dijela i pored svake od dobivenih točaka ćemo napisati njihova "imena":

Na drugom rasporedu, svaka od četvrtina je podijeljena na tri jednaka dijela i pored svake od rezultirajućih dvanaest točaka upisujemo njihova "imena":

Ako se pomaknemo u smjeru kazaljke na satu, dobit ćemo ista “imena” za točke na crtežima, samo s minus vrijednošću. Za prvi raspored:

Slično, ako se pomičete duž drugog izgleda u smjeru kazaljke na satu od točke O.

PRIMJER 4. Na brojevnoj kružnici pronađite točke koje odgovaraju brojevima 1 (jedan).

Riješenje. Znajući da je π≈3,14 (pi je približno jednako tri zarez četrnaest stotinki), ≈ 1,05 (pi puta tri je približno jednako jedan zarez pet stotinki), ≈ 0,79 (pi puta četiri je približno jednako nula zarez sedamdeset devet stotinki) . Sredstva,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Sljedeća izjava je istinita: ako točka M na brojevnoj kružnici odgovara broju t, tada odgovara bilo kojem broju oblika t + 2πk(te plus dva pi ka), gdje je ka bilo koji cijeli broj i kϵ Z(ka pripada Zetu).

Koristeći ovu izjavu, možemo zaključiti da točka odgovara svim točkama oblika t =+ 2πk (te je jednako pi puta tri plus dva vrha), gdje je kϵZ ( ka pripada zet), a točki (pet pi sa četiri) - točke oblika t = + 2πk (te je jednako pet pi sa četiri plus dva pi ka), gdje je kϵZ ( ka pripada zet) i tako dalje.

PRIMJER 5. Pronađite točku na brojevnoj kružnici: a) ; b) .

Riješenje. a) Imamo: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(dvadeset pi puta tri jednako je dvadeset puta tri pi jednako šest plus dvije trećine, pomnoženo s pi jednako šest pi plus dva pi puta tri jednako dva pi puta tri plus tri puta dva pi).

To znači da broj odgovara istoj točki na krugu brojeva kao i broj (ovo je druga četvrtina) (pogledajte drugi izgled na slici 4).

b) Imamo: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4).(minus trideset pet pi puta četiri jednako je minus osam plus tri četvrtine puta pi jednako minus tri pi puta četiri plus dva pi puta minus četiri ). To jest, broj odgovara istoj točki na krugu brojeva kao i broj