U zadatku 13 razine profila Jedinstvenog državnog ispita iz matematike potrebno je riješiti jednadžbu, ali povećane razine složenosti, budući da zadaci počinju zadatkom 13 bivša razina C, a ovaj zadatak se može nazvati C1. Prijeđimo na primjere tipičnih zadataka.

Analiza tipičnih opcija za zadatke br. 13 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike na razini profila

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018.)

a) Riješite jednadžbu cos2x = 1-cos(n/2-x)

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe, koji pripadaju intervalu[-5p/2;-p].

Algoritam rješenja:

1. t
2. Radimo obrnutu zamjenu i rješavamo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

1. Gradimo brojevnu os.
2. Na njega primjenjujemo korijenje.
3. Označite krajeve segmenta.
4. Odabiremo one vrijednosti koje leže unutar intervala.
5. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Transformirajte desnu stranu jednakosti pomoću formule redukcije cos( π/ 2−x)=grijeh x. Imamo:

sos2x = 1 – sin x.

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe koristeći formulu dvostrukog argumenta kosinusa koristeći sinus:

cos(2x)=1−2sin 2 x

Dobivamo sljedeću jednadžbu: 1−sin 2 x=1− grijeh x

Sada postoji samo jedan u jednadžbi trigonometrijska funkcija grijeh x.

2. Unesite zamjenu: t= grijeh x. Rješavanje rezultata kvadratna jednadžba:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 ili -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Napravite obrnutu zamjenu:

grijeh x= 0 ili sin x = ½

Riješimo ove jednadžbe:

grijeh x =0↔x=πn, nÊZ

grijeh( x)=1/2↔x= (-1) n ∙( π/6)+πn, nÊZ.

Posljedično, dobivamo dvije obitelji rješenja.

1. U prethodnom odlomku dobivene su dvije obitelji od kojih svaka ima beskonačno mnogo rješenja. Potrebno je saznati koji se od njih nalaze u zadanom intervalu. Da bismo to učinili, gradimo brojevnu liniju.

2. Na njega primjenjujemo korijene obiju obitelji, označavajući ih zelenom (prva) i plavom (druga).

3. Označite krajeve praznine crvenom bojom.

4. U navedenom intervalu nalaze se tri korijena koji su tri korijena: −2 π ;−11π/ 6 i −7 π/ 6.

A) πn, nÊZ;(-1) n ∙( π/6)+πn, nÊZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

Druga verzija zadatka (od Jaščenka, br. 1)

Algoritam rješenja:

1. Tu funkciju zamijenimo varijablom t te riješiti dobivenu kvadratnu jednadžbu.
2. Radimo obrnutu zamjenu i rješavamo najjednostavnije eksponencijalne, zatim trigonometrijske jednadžbe.

1. Mi gradimo koordinatna ravnina a na njemu kružnica jediničnog polumjera.
2. Označavamo točke koje su krajevi segmenta.
3. Odabiremo one vrijednosti koje leže unutar segmenta.
4. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Uvodimo zamjenu t = 4 cos x. tada će jednadžba imati oblik:

Kvadratnu jednadžbu rješavamo pomoću formule diskriminacije i korijena:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9 – 7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

3. Povratak na varijablu x:

1. Konstruiraj koordinatnu ravninu i na njoj kružnicu jediničnog polumjera.

2. Označite točke koje su krajevi segmenta.

3. Odaberite one vrijednosti koje se nalaze unutar segmenta..

Ovo su korijeni. Ima ih dvoje.

A)

b)

Treća verzija zadatka (od Jaščenka, br. 6)

Algoritam rješenja:

1. Uz pomoć trigonometrijske formule Jednadžbu reduciramo na oblik koji sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.
2. Tu funkciju zamijenimo varijablom t te riješiti dobivenu kvadratnu jednadžbu.
3. Radimo obrnutu zamjenu i rješavamo najjednostavnije eksponencijalne, a zatim trigonometrijske jednadžbe.

1. Rješavamo nejednadžbe za svaki slučaj.
2. Zapisujemo odgovor.

Riješenje:

1. Korištenje redukcijskih formula .

2. Zatim dana jednadžba poprimit će oblik:

3. Uvodimo zamjenu . Dobivamo:

Rješavamo običnu kvadratnu jednadžbu korištenjem diskriminantnih i korijenskih formula:

Dom

Kako riješiti zadatak Jedinstvenog državnog ispita br. 13 o eksponencijalnim i logaritamskim jednadžbama | 1C: Učitelj

Što trebate znati o eksponencijalnim i logaritamskim jednadžbama za rješavanje USE problema u matematici?

Sposobnost rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi vrlo je važna za uspješan završetak singl državni ispit iz matematike na razini profila. Važno iz dva razloga:

Prvo, zadatak br. 13 KIM verzije Jedinstvenog državnog ispita, iako rijetko, ponekad predstavlja upravo takvu jednadžbu koju treba ne samo riješiti, već i (slično zadatku trigonometrije) odabrati korijene jednadžbe koji zadovoljavaju neki uvjet.

Tako je jedna od opcija za 2017. uključivala sljedeći zadatak:

a) Riješite jednadžbu 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

b) Označite korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu.

Odgovor: a) 2; log 2 7 i b) log 2 7.

U drugoj verziji bio je ovaj zadatak:

a) Riješite jednadžbu 6log 8 2 x– 5log 8 x + 1 = 0

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu.

Odgovor: a) 2 i 2√ 2 ; b) 2.

Dogodilo se i ovo:

a) Riješite jednadžbu 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0.

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu [π; 5π/2].

Odgovor: A) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) i b) 11π/6; 13π/6.

Drugo, učenje metoda za rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi je dobro jer osnovne metode za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi zapravo koriste iste matematičke ideje.

Osnovne metode rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi lako se pamte, ima ih samo pet: svođenje na najjednostavniju jednadžbu, korištenje ekvivalentnih prijelaza, uvođenje novih nepoznanica, logaritmiranje i faktorizacija. Zasebna metoda je korištenje svojstava eksponencijalnih, logaritamskih i drugih funkcija pri rješavanju problema: ponekad je ključ za rješavanje jednadžbe domena definicije, raspon vrijednosti, nenegativnost, ograničenost, parnost funkcija koje su u nju uključene .

U pravilu, u problemu br. 13 postoje jednadžbe koje zahtijevaju korištenje pet glavnih gore navedenih metoda. Svaka od ovih metoda ima svoje karakteristike koje treba poznavati jer upravo njihovo nepoznavanje dovodi do pogrešaka pri rješavanju problema.

Koje su najčešće greške koje ispitanici rade?

Često, pri rješavanju jednadžbi koje sadrže eksponencijalnu funkciju, školarci zaborave uzeti u obzir jedan od slučajeva jednakosti. Kao što je poznato, jednadžbe ovog tipa ekvivalentne su skupu od dva sustava uvjeta (vidi dolje), govorimo o o slučaju kada a( x) = 1

Ova pogreška je posljedica činjenice da ispitanik pri rješavanju jednadžbe formalno koristi definiciju eksponencijalne funkcije (y = sjekira, a>0, a ≠ 1): s A ≤ 0 eksponencijalna funkcija stvarno nije definirano

Ali kada A = 1 je definirana, ali nije indikativna, budući da jedinica u bilo kojoj prava diploma identično jednak sebi. To znači da ako u jednadžbi koja se razmatra pri A(x) = 1 Ako se pojavi prava numerička jednakost, tada će odgovarajuće vrijednosti varijable biti korijeni jednadžbe.

Druga pogreška je korištenje svojstava logaritama bez uzimanja u obzir površine prihvatljive vrijednosti. Na primjer, dobro poznato svojstvo “logaritam umnoška jednak zbroju logaritmi”, ispada da ima generalizaciju:
log a ( f(x)g(x)) = log a │ f(x)│ + log a │g( x)│, na f(x)g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1

Dapače, da bi izraz na lijevoj strani ove jednakosti bio definiran, dovoljno je da je umnožak funkcija f I g bio pozitivan, ali same funkcije mogu biti i veće i manje od nule u isto vrijeme, stoga je pri primjeni ovog svojstva potrebno koristiti koncept modula.

I može se navesti mnogo takvih primjera. Stoga je za učinkovito ovladavanje metodama rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi najbolje koristiti usluge studenta koji će vam na primjerima rješavanja relevantnih ispitnih zadataka moći reći o takvim „zamkama“.

Redovito vježbajte rješavanje problema

Sve što trebate je da počnete učiti na portalu 1C:Tutor.
Možeš:

Svi kolegiji sastoje se od metodološki ispravnog slijeda teorije i prakse potrebne za uspješno rješenje zadaci. Uključuje teoriju u obliku tekstova, slajdova i videa, probleme s rješenjima, interaktivne simulatore, modele i testove.

Još uvijek imate pitanja? Nazovite nas na 8 800 551-50-78 ili pišite na online chat.

Evo ključnih izraza koji će robotima za pretraživanje pomoći da bolje pronađu naše savjete:
Kako riješiti problem 13 u Jedinstveni državni ispit, problemi na logaritmima, Kim Unified State Exam 2017, priprema za Jedinstveni državni ispit profil matematike, Matematički profil, rješavanje jednadžbi i logaritama, rješavanje zadataka na eksponencijalnim jednadžbama Jedinstvenog državnog ispita, izračunavanje svojstava logaritama, funkcija eksponencijalne snage, problemi iz matematike na razini profila, primjena svojstava logaritama, problemi rješenja na korijenima, problemi Jedinstvenog državnog ispita 2017. eksponencijalne jednadžbe, priprema za Maturanti jedinstvenog državnog ispita 11. razred 2018., upis na tehničko sveučilište.