pravci l1 i l2 nazivaju se kosi ako ne leže u istoj ravnini. Neka su a i b vektori smjera ovih pravaca, a točke M1 i M2 neka pripadaju pravcima l1 odnosno l2.

Tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni, pa prema tome i njihovi mješoviti rad nije jednako nuli, tj. (a, b, M1M2>) =/= 0. Obratna tvrdnja je također istinita: ako je (a, b, M1M2>) =/= 0, tada su vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni, pa stoga pravci l1 i l2 ne leže u istoj ravnini, tj. sijeku se, dakle, dva pravca sijeku ako i samo ako je zadovoljen uvjet (a, b, M1M2>) =/= 0. , gdje su a i b vektori smjera pravaca, a M1 i M2 točke koje pripadaju tim pravcima. Uvjet (a, b, M1M2>) = 0 je nužan i dovoljan uvjet da pravci leže u istoj ravnini. Ako su pravci zadani svojim kanonskim jednadžbama

tada je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i uvjet (2) se piše na sljedeći način:

Udaljenost između križnih linija

ovo je udaljenost između jedne od pravaca koje se sijeku i ravnine koja je paralelna s njom, a koja prolazi kroz drugu liniju. Udaljenost između pravaca koje se sijeku je udaljenost od neke točke jedne od pravaca koja se sijeku do ravnine koja prolazi kroz drugu liniju paralelnu s prvom. crta.

26.Definicija elipse, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva.

Elipsa je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fokusnih točaka F1 i F2 te ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna vrijednost. U ovom slučaju, podudarnost žarišta elipse je nije isključeno. Ako se arome poklapaju, tada je elipsa krug za bilo koju elipsu možete pronaći kartezijanski sustav tako da će elipsa biti opisana jednadžbom (kanonska jednadžba elipse):

Opisuje elipsu sa središtem u ishodištu, čije se osi podudaraju s koordinatnim osima.

Ako se na desnoj strani nalazi jedinica s predznakom minus, tada je rezultirajuća jednadžba:

opisuje zamišljenu elipsu. Takvu elipsu nemoguće je prikazati u realnoj ravnini. Označimo žarišta s F1 i F2, a udaljenost između njih s 2c, a zbroj udaljenosti od proizvoljne točke elipse do žarišta s 2a.

Za izvođenje jednadžbe elipse odabiremo koordinatni sustav Oxy tako da žarišta F1 i F2 leže na osi Ox, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta F1F2. Tada će žarišta imati sljedeće koordinate: i Neka je M(x;y) proizvoljna točka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u biti, jednadžba elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva

Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka F1 i F2 te ravnine, zvanih žarišta, konstantna vrijednost točka hiperbole. Tada, prema definiciji hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ili MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonska jednadžba. Zaključak kanonska jednadžba. Svojstva. Parabola je HMT ravnine za koju je udaljenost do neke fiksne točke F te ravnine jednaka udaljenosti do neke fiksne ravne crte, koja se također nalazi u ravnini koja se razmatra. F – fokus parabole; fiksna linija je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2)2 +y2 =(x+p/2)2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; g 2 =2px;

Svojstva: 1. Parabola ima os simetrije (os parabole); 2.Sve

parabola se nalazi u desnoj poluravnini ravnine Oxy pri p>0, a u lijevoj

ako str<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

Predavanje: Pravci koji se sijeku, paralelni i križaju; okomitost linija

Crte koje se sijeku

Ako na ravnini postoji nekoliko ravnih linija, tada će se prije ili kasnije ili proizvoljno presijecati, ili pod pravim kutom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.

Oni pravci koji imaju barem jednu točku sjecišta mogu se nazvati sijekućima.

Možete se zapitati zašto barem jedna ravna linija ne može dva ili tri puta presijecati drugu ravnu liniju. U pravu si! Ali ravne linije mogu se potpuno podudarati jedna s drugom. U tom slučaju postojat će beskonačan broj zajedničkih točaka.

Paralelizam

Paralelno Možete imenovati one linije koje se nikada neće presijecati, čak ni u beskonačnosti.

Drugim riječima, paralelni su oni koji nemaju niti jednu zajedničku točku. Imajte na umu da je ova definicija važeća samo ako su pravci u istoj ravnini, ali ako nemaju zajedničkih točaka, jer su u različitim ravninama, tada se smatraju da se sijeku.

Primjeri paralelnih linija u životu: dva suprotna ruba ekrana monitora, crte u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.

Kada žele pismeno pokazati da je jedan pravac paralelan s drugim, koriste sljedeću oznaku a||b. Ovaj unos kaže da je pravac a paralelan s pravcem b.

Kada proučavate ovu temu, važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz određenu točku na ravnini koja ne pripada danoj liniji, može se nacrtati jedna paralelna linija. Ali obratite pozornost, opet je ispravak u ravnini. Ako razmatramo trodimenzionalni prostor, tada možemo nacrtati beskonačan broj linija koje se neće sijeći, ali će se sijeći.

Izjava koja je gore opisana zove se aksiom paralelnih pravaca.

Okomitost

Izravne linije mogu se pozivati ​​samo ako okomito, ako se sijeku pod kutom jednakim 90 stupnjeva.

U prostoru se kroz određenu točku na pravcu može povući beskonačno mnogo okomitih pravaca. Međutim, ako govorimo o ravnini, tada kroz jednu točku na liniji možete nacrtati jednu okomitu liniju.

Ukrižene ravne linije. Sjekanica

Ako se neke linije sijeku u određenoj točki pod proizvoljnim kutom, mogu se nazvati križanje.

Sve linije koje se sijeku imaju okomite i susjedne kutove.

Ako kutovi koje tvore dvije ravne crte koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranicu, nazivaju se susjednim:

Zbroj susjednih kutova iznosi 180 stupnjeva.

KRIŽANJE RAVNICA Veliki enciklopedijski rječnik

prelaženje granica- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. * * * SJECANJE RAVNICA SJECANJE RAVNICA, ravnih linija u prostoru koje ne leže u istoj ravnini... enciklopedijski rječnik

Prelaženje granica- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. Kroz linearnu točku mogu se povući paralelne ravnine, a udaljenost između linearnih točaka je jednaka najkraćoj udaljenosti između točaka prave... Velika sovjetska enciklopedija

KRIŽANJE RAVNICA- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini. Kut između S. str. bilo koji od kutova između dvaju paralelnih pravaca koji prolaze kroz proizvoljnu točku u prostoru. Ako su a i b vektori smjera S. p., tada je kosinus kuta između S. p. Matematička enciklopedija

KRIŽANJE RAVNICA- prave u prostoru koje ne leže u istoj ravnini... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Paralelne linije- Sadržaj 1 U euklidskoj geometriji 1.1 Svojstva 2 U geometriji Lobačevskog ... Wikipedia

Ultraparalelne ravne linije- Sadržaj 1 U euklidskoj geometriji 1.1 Svojstva 2 U geometriji Lobačevskog 3 Vidi također... Wikipedia

RIEMANNOVA GEOMETRIJA- eliptična geometrija, jedna od neeuklidskih geometrija, tj. geometrijska, teorija temeljena na aksiomima, čiji su zahtjevi drugačiji od zahtjeva aksioma euklidske geometrije. Za razliku od euklidske geometrije u R. g.... ... Matematička enciklopedija

Ako dva pravca u prostoru imaju zajedničku točku, kaže se da se ta dva pravca sijeku. Na sljedećoj slici pravci a i b sijeku se u točki A. Pravci a i c se ne sijeku.

Bilo koje dvije ravne crte ili imaju samo jednu zajedničku točku ili nemaju nijednu zajedničku točku.

Paralelne linije

Dva pravca u prostoru nazivaju se paralelnima ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih linija koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je pravac a paralelan s pravcem b. Na gornjoj slici, pravci a i c su paralelni.

Teorem o paralelnim pravcima

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi pravac paralelan zadanom i, štoviše, samo jedan.

Prelaženje granica

Dvije linije koje leže u istoj ravnini mogu se sijeći ili biti paralelne. Ali u prostoru dvije ravne linije ne moraju nužno pripadati ovoj ravnini. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očito je da se pravci koji se nalaze u različitim ravninama ne sijeku i nisu paralelni pravci. Dva pravca koji ne leže u istoj ravnini nazivaju se križanje ravnih linija.

Na sljedećoj slici prikazane su dvije prave a i b koje se sijeku i koje leže u različitim ravninama.

Test i teorem o kosim pravcima

Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se ti pravci sijeku.

Teorem o kosim pravcima: kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi ravnina paralelna s drugim pravcem, i to samo jedna.

Dakle, razmotrili smo sve moguće slučajeve međusobnog položaja linija u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Pravci se sijeku. (Odnosno, imaju samo jednu zajedničku točku.)

2. Pravci su paralelni. (To jest, nemaju zajedničkih točaka i leže u istoj ravnini.)

3. Ravne linije se križaju. (Odnosno, nalaze se u različitim ravninama.)