Izvršava se za sve vrijednosti argumenta (iz općeg opsega).

Univerzalne formule zamjene.

Pomoću ovih formula lako je svaki izraz koji sadrži različite trigonometrijske funkcije jednog argumenta pretvoriti u racionalni izraz jedne funkcije tg (α /2):

Formule za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj.

Prethodno su se gornje formule koristile za pojednostavljenje izračuna. Računali su pomoću logaritamskih tablica, a kasnije i kliznog pravila, budući da su logaritmi najprikladniji za množenje brojeva. Zato je svaki izvorni izraz sveden na oblik koji bi bio pogodan za logaritmiranje, odnosno na umnoške Na primjer:

2 grijeh α grijeh b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 grijeh α cos b = grijeh (α - b) + grijeh (α + b).

gdje je kut za koji, posebno,

Formule za funkcije tangensa i kotangensa lako se dobivaju iz gore navedenog.

Formule za smanjenje stupnja.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
grijeh 3α = (3 sinα - grijeh 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Pomoću ovih formula trigonometrijske jednadžbe lako se svode na jednadžbe nižih potencija. Na isti način se izvode formule redukcije za više visoki stupnjevi grijeh I cos.

Izražavanje trigonometrijskih funkcija kroz jednu od njih istog argumenta.

Predznak ispred korijena ovisi o položaju četvrtine kuta α .

Dati su odnosi između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju smanjenje stupnja, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangens pola kuta itd.

U ovom ćemo članku redom navesti sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije u smislu bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Formule redukcije

Formule redukcije slijede iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijske funkcije, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.

Adicinske formule

Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule polukuta

Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostruki kut.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.

Formule za smanjenje stupnja

Trigonometrijske formule za smanjenje stupnjeva imaju za cilj olakšati prijelaz iz prirodni stupnjevi trigonometrijske funkcije na sinuse i kosinuse na prvi stupanj, ali višestruke kutove. Drugim riječima, oni vam omogućuju smanjenje ovlasti trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna namjena formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na produkt funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se često koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe, budući da vam omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta. Ova zamjena je tzv univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da su sve trigonometrijske funkcije izražene u smislu tangensa polukuta racionalno bez korijena.

Bibliografija.

• Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.: Obrazovanje, 1990. - 272 str. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn i dr.; ur. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Obrazovanje, 2004. - il.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

U transformacije identiteta trigonometrijski izrazi mogu se koristiti sljedeće algebarske tehnike: zbrajanje i oduzimanje istih članova; stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada; množenje i dijeljenje istom količinom; primjena formula za skraćeno množenje; dodjela puni kvadrat; raspad kvadratni trinom po množiteljima; uvođenje novih varijabli za pojednostavljenje transformacija.

Kada pretvarate trigonometrijske izraze koji sadrže razlomke, možete koristiti svojstva proporcija, smanjivanje razlomaka ili pretvaranje razlomaka u zajednički nazivnik. Osim toga, možete koristiti odabir cijelog dijela razlomka, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim iznosom, a također, ako je moguće, uzeti u obzir homogenost brojnika ili nazivnika. Ako je potrebno, razlomak možete prikazati kao zbroj ili razliku nekoliko jednostavnijih razlomaka.

Osim toga, pri primjeni svih potrebnih metoda za pretvaranje trigonometrijskih izraza, potrebno je stalno voditi računa o površini prihvatljive vrijednosti konvertibilni izrazi.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.

Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Riješenje.

Iz formula redukcije slijedi:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Odakle, na temelju formula za zbrajanje argumenata i glavnog trigonometrijskog identiteta, dobivamo

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ u umnožak.

Riješenje.

Iz formula za zbrajanje argumenata i formula za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak nakon odgovarajućeg grupiranja imamo

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Primjer 3.

Pokažite da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) uzima jedan za sve x iz R i isto značenje. Pronađite ovu vrijednost.

Riješenje.

Evo dva načina za rješavanje ovog problema. Primjenom prve metode, izdvajanjem potpunog kvadrata i uporabom pripadajućih osnovnih trigonometrijskih formula, dobivamo

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rješavajući zadatak na drugi način, promatrajte A kao funkciju x iz R i izračunajte njegovu derivaciju. Nakon transformacija dobivamo

A´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Dakle, zbog kriterija konstantnosti funkcije diferencijabilne na intervalu, zaključujemo da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne tehnike za dokazivanje trigonometrijskih identiteta su:

A) svođenje lijeve strane identiteta na desnu kroz odgovarajuće transformacije;
b) svođenje desne strane identiteta na lijevu;
V) svođenje desne i lijeve strane identiteta na isti oblik;
G) svodeći na nulu razliku između lijeve i desne strane identiteta koji se dokazuje.

Primjer 4.

Provjerite je li cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Riješenje.

Transformirajući desnu stranu ovog identiteta prema odgovarajućem trigonometrijske formule, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Desna strana identiteta svodi se na lijevu.

Primjer 5.

Dokažite da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 ako su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta.

Riješenje.

Uzimajući u obzir da su α, β, γ unutarnji kutovi nekog trokuta, dobivamo

α + β + γ = π i, prema tome, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Izvorna jednakost je dokazana.

Primjer 6.

Dokažite da je potrebno i dovoljno da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 da bi jedan od kutova α, β, γ trokuta bio jednak 60°.

Riješenje.

Uvjet ovog problema uključuje dokazivanje i nužnosti i dostatnosti.

Prvo dokažimo nužnost.

Može se pokazati da

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Dakle, uzimajući u obzir da je cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobivamo da ako je jedan od kutova α, β ili γ jednak 60°, tada

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 i, prema tome, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo sada adekvatnost navedeno stanje.

Ako je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tada je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, i stoga

ili cos (3α/2) = 0, ili cos (3β/2) = 0, ili cos (3γ/2) = 0.

Stoga,

ili 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

odnosno 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ili 3γ/2 = π/2 + πk,

oni. γ = π/3 + 2πk/3, gdje je k ϵ Z.

Iz činjenice da su α, β, γ kutovi trokuta, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Prema tome, za α = π/3 + 2πk/3 ili β = π/3 + 2πk/3 ili

γ = π/3 + 2πk/3 od svih kϵZ samo je k = 0 prikladno.

Slijedi da je ili α = π/3 = 60°, ili β = π/3 = 60°, ili γ = π/3 = 60°.

Izjava je dokazana.

Još uvijek imate pitanja? Niste sigurni kako pojednostaviti trigonometrijske izraze?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.